ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ DUNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành TOÁN ỨNG DỤNG Mã số 60 46[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ DUNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên Trong q trình học tập làm luận văn, thơng qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ, bảo tận tình ý kiến đóng góp q báu thầy giáo trường Đại học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên, giáo sư Viện Tốn học Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng biết đến thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc tới P GS.T S Hà Tiến Ngoạn, thầy tận tình hướng dẫn, bảo tác giả suốt thời gian tác giả thực luận văn trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè cảm thơng, ln theo sát động viên, ủng hộ chia sẻ khó khăn suốt thời gian tác giả học tập làm luận văn, giúp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tác giả có điều kiện tốt q trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2012 Tác giả Lương Thị Dung Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số ký hiệu chữ viết tắt Phép tính biến phân 1.1 Một số khơng gian hàm 1.1.1 Không gian Lp (Ω) 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) 10 1.1.3 Không gian H01,2 (Ω) 10 1.2 Phiếm hàm toàn phương H01,2 (Ω) 19 1.3 Phiếm hàm H01,2 (Ω) 25 1.4 Phiếm hàm lồi 26 Phương pháp biến phân toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 33 2.1 Nghiệm suy rộng toán Dirichlet 33 2.1.1 Bài toán Dirichlet 33 2.1.2 Nghiệm suy rộng 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.3 Sự tồn nghiệm suy rộng 34 2.2 Nguyên lý Dirichlet 35 2.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần 37 2.3.1 Trường hợp g ≡ ∂Ω 37 2.3.2 Trường hợp g 6= ∂Ω 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Nghiệm suy rộng toán biên Drichlet phương trình elliptic cấp miền Ω định nghĩa không gian H 1,2 (Ω) hàm số gồm hàm số mà đạo hàm riêng đến cấp bình phương khả tích Ω Người ta chứng minh nghiệm suy rộng có liên quan chặt chẽ đến cực tiểu hóa phiếm hàm lượng tương ứng Luận văn trình bày nguyên lý biến phân toán biên thứ cho phương trình elliptic tuyến tính cấp Các vấn đề đề cập luận văn tập hợp từ [1] Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm có hai chương Phần đầu chương Luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian H 1,2 (Ω) H01,2 (Ω) phiếm hàm không gian Phần tiếp theo, Luận văn trình bày tồn phần tử cực tiểu hóa phiếm hàm Phần cuối chương 1, Luận văn trình bày điều kiện cần đủ để phần tử cực tiểu hóa Trong chương 2, Luận văn trình bày ngun lý biến phân tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lý Dirichlet phát biểu sau: Hàm u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u(x) = g(x) ∂Ω nghiệm suy rộng toán Dirichlet cực tiểu hóa phiếm hàm lượng tương ứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số ký hiệu chữ viết tắt R Rn Rd Wd W (Ω) Tập số thực Không gian Euclidean n chiều Không gian Euclidean d chiều Thể tích hình cầu đơn vị Rd Khơng gian sinh tích vơ hướng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phép tính biến phân 1.1 1.1.1 Một số không gian hàm Không gian Lp (Ω) Cho Ω ∈ Rn miền Rn Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ tập hợp tất hàm f (x) đo Ω |f (x)|p khả tích Ω, tức Z |f (x)|p dx < +∞ Ω Trong Lp (Ω) ta đưa vào chuẩn ||f (x)||Lp (Ω) 1 Z p p = |f (x)| dx (1.1) Ω Khi Lp (Ω) khơng gian Banach Khơng gian L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng sau Z (f, g)L2 (Ω) = f (x)g(x)dx (1.2) Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Giả sử số p q thỏa mãn điều kiện p ≥ 1, q ≥ 1, 1 + = p q Khi ta có bất đẳng thức Holder sau Z |f (x)g(x)|dx ≤ ||f ||Lp (Ω) ||g||Lq (Ω) (1.3) Ω 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) ¯ không gian tiền Hilbert với tích vơ hướng Khơng gian C (Ω) chuẩn sau Z < u, v >C (Ω) ¯ = n X Ω Dj (u)Dj (v) + u(x)v(x) dx, (1.4) j=1 ||u||2C (Ω) ¯ = Z u2 + Ω n X (Dj u)2 dx (1.5) j=1 ∂u ∂xj ¯ theo chuẩn (1.5) Ta kí hiệu H 1,2 (Ω) bao đóng C (Ω) Trong Dj u = 1.1.3 Không gian H01,2 (Ω) Không gian H01,2 (Ω) không gian không gian H 1,2 (Ω) H01,2 (Ω) = {u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u|∂Ω = 0} Ta định nghĩa H01,2 (Ω) bao đóng C0∞ (Ω) chuẩn (1.5), C0∞ (Ω) khơng gian tất hàm số khả vi vơ hạn có giá compact Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∂ ωn (x − rω) drdy dx ∂r Zh|y| Z Z ρ(y)dy |y|≤1 2 ρ(y)h |y| |y|≤1 Z |Dωn (x)|2 dxdy Ω R Do bất đẳng thức Holder’s Định lý Fubini’s Vì ρ(y)dy = 1, |y|≤1 ta thu đánh giá ||ωn − ωn,ε ||L2 (Ω) ≤ h||Dωn ||L2 (Ω) Sau lựa chọn h cho ε ||ωn − ωn,ε ||L2 (Ω) < 1.2 Phiếm hàm toàn phương H01,2(Ω) Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (H(·, ·)) không gian Hilbert với chuẩn || · || A : H × H → R dạng song tuyến tính, đối xứng, liên tục cho |A(u, v)| ≤ C||u||||v|| (1.11) Tính đối xứng có nghĩa ∀u, v ∈ H A(u, v) = A(v, u) (1.12) Dạng A gọi eliptic tồn số λ dương cho ∀v ∈ H A(v, v) ≥ λ||v||2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.13) http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Định lý 1.2.2 Giả sử (H, (·, ·)) không gian Hilbert với chuẩn || · || V ⊂ H lồi đóng, A : H × H → R hàm liên tục, đối xứng, eliptic Cho dạng tuyến tính L : H → R ánh xạ tuyến tính liên tục Đặt J(v) := A(v, v) + L(v) (1.14) Khi tồn cực tiểu hóa u phiếm hàm J(v) V Chứng minh Do tính eliptic A nên J bị chặn −||L||2 J(v) ≥ λ||v|| − ||L||||v|| ≥ 4λ Ta đặt K := inf J(v) v∈V (1.15) Giả sử (un )n∈N ⊂ V dãy cực tiểu hóa tức lim J(un ) = k n→∞ (1.16) Ta chứng minh (un )n∈N dãy Cauchy Khi V đóng, tồn giới hạn u = lim un ∈ V n→∞ Tính chất Cauchy xác định sau un + um ) 1 ) = J(un ) + J(um ) − A(un − um , un − um ) 2 un + um (Nếu un um có V , nên ∈ V V lồi) k ≤ J( Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Cho n, m → ∞ J(un ), J(um ) hội tụ đến k Ta kết luận A(un − um , un − um ) → n, m → ∞ Từ tính chất eliptic kéo theo ||un − um || hội tụ đến Do J liên tục nên giới hạn u thỏa mãn J(u) = lim J(un ) = inf J(v) n→∞ v∈V Ta chứng minh tính u Ta xem điều hệ tính lồi J Giả sử u1 , u2 hai cực tiểu J(u1 ) = J(u2 ) = k = inf J(v) u∈V u1 + u2 chứa tập lồi V , nên ta có u1 + u2 1 k ≤ J( ) = J(u1 ) + J(u2 ) − A(u1 − u2 , u1 − u2 ) 2 = k − A(u1 − u2 , u1 − u2 ) Do A(u1 − u2 , u1 − u2 ) = 0, tính eliptic A kéo theo Vì với u1 , u2 u1 = u2 Chú ý 1.2.3 Định lý 1.2.1 cịn mà khơng cần giả thiết tính đối xứng A Đây nội dung Định lý Lax-Milgram Hệ 1.2.4 Giả sử V khơng gian tuyến tính đóng (do lồi) H Khi điều kiện cần đủ để tồn nghiệm u ∈ V toán biến phân 2A(u, ϕ) + L(ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ V Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.17) http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 Chứng minh Giả sử u điểm cực tiểu hóa J(v) V Khi d J(u + tϕ)|t=0 = 0, ∀ϕ ∈ V dt d ⇔ = (A(u + tϕ, u + tϕ) + L(u + tϕ))|t=0 dt = 2A(u, ϕ) + L(ϕ) Ngược lại, cố định u ∈ V với ϕ ∈ V ta có J(u + tϕ) = J(u) + t(2A(u, ϕ) + L(ϕ) + t2 A(ϕ, ϕ) ≥ J(u) Suy u cực tiểu hóa Định lý 1.2.5 Giả sử A : H × H → R liên tục, đối xứng, eliptic, dạng song tuyến tính, giả sử L : H → R tuyến tính liên tục Xét tốn J(v) = A(v, v) + L(v) → Giả sử u nghiệm H , uv nghiệm không gian tuyến tính đóng V Khi ||u − uv || ≤ C inf ||u − v|| λ v∈V Với số C λ cho (1.12) (1.15) Chứng minh Do Hệ 1.2.4 ta có 2A(u, ϕ) + L(ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ H; 2A(uv , ϕ) + L(ϕv ) = 0, ∀ϕ ∈ V Do 2A(u − uv , ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ V Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.18) http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Cho v ∈ V ta thu ||u − uv ||2 ≤ A(u − uv , u − uv )( tính chất eliptic A ) λ 1 = A(u − uv , u − v) + A(u − uv , v − uv ) λ λ = A(u − uv , u − v, từ (1.18), với ϕ = v − uv ∈ V λ C ≤ ||u − uv ||||u − v|| λ Dưới ta xét vấn đề tìm cực tiểu hóa gần Định lý 1.2.6 Giả sử A : H × H → R liên tục, đối xứng, eliptic, dạng song tuyến tính khơng gian Hilbert (H(·, ·)) với chuẩn || · ||, giả sử L : H → R liên tục, đối xứng, eliptic, dạng song tuyến tính không gian Hilbert (H(·, ·)) với chuẩn || · ||, giả sử L : H → R tuyến tính liên tục Ta xét tốn biến phân sau: J(v) := A(v, v) + L(v) → Giả sử (Vn )n∈N ⊂ H dãy tăng (Vn ⊂ Vn+1 , ∀n) khơng gian tuyến tính đóng cho ∀v ∈ H δ > 0, tồn n ∈ N ∈ Vn ta có ||v − || < δ Giả sử un nghiệm toán J(v) → Vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 mà thu Định lý 1.2.5 Khi (un )n∈N hội tụ n → ∞ tới nghiệm toán J(v) → H Chứng minh Giả sử k := inf J(v), ta chứng minh v∈H lim J(un ) = k n→∞ (1.19) Vì (un )n∈N dãy cực tiểu hóa J H nên hội tụ đến cực tiểu hóa J H (Định lý 1.2.5) Giả sử (1.19) sai, ∀ > 0, ∀n ∈ N ta có J(un ) ≥ k + (vì ⊂ Vn+1 ta có J(un+1 ) ≤ J(un ), ∀n) Do tồn u0 ∈ H với J(u0 ) < k + (1.20) Khi cho δ > 0, tồn n ∈ N ∈ Vn với ||u0 − || < δ Với ωn := − un ta có |J(vn ) − j(u0 )| ≤ |A(vn , ) − A(u0 , u0 ) + |L(vn ) − L(u0 )| ≤ A(ωn , ωn ) + 2|A(ωn , u0 )| + ||L||||ω|| ≤ C||ωn ||2 + 2C||ωn ||||u0 || + ||L||||ωn || < Do < k + < J(un ) Điều mâu thuẫn với tính chất cực tiểu un Vn J(vn ) < J(u0 ) + Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 1.3 Phiếm hàm H01,2(Ω) Xét phiếm hàm I(u) = A(u, u) + L(u), (A(u, ϕ)) = Z X [ aij (x)Di uDj ϕ + C(x)u(x)]dx Ω i,j Z L(u) = f (x)u(x)dx Ω Với giả thiết sau 1) Tính đối xứng aij (x) = aji (x), ∀i, j x ∈ Ω 2) Tính elliptic: Tồn λ > cho n X aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2 , ∀x ∈ Ω, ξ ∈ Rn i,j=1 3) Sự bị chặn: Tồn Λ < ∞ cho |C(x)|, |aij | ≤ Λ, ∀i, j x ∈ Ω 4) Tính khơng âm C(x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Hệ 1.3.1 Giả sử Ω mở bị chặn hàm aij (x)(i, j = 1, , d) C(x) thỏa mãn điều kiện (1)-(4) Khi tốn biến phân J(v) → min, v ∈ H01,2 (Ω) có nghiệm u ∈ H01,2 (Ω) nghiệm thỏa mãn đẳng thức tích phân sau Z X d Ω i,j=1 ij a (x)Di u(x)Dj ϕ(x) + C(x)u(x)ϕ(x) dx Z = f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ H01,2 (Ω) Ω Chứng minh Được suy từ Định lý 1.2.2 Hệ 1.2.4 1.4 Phiếm hàm lồi Ta xét tích phân dạng Z I(u) = f (x, Du (x))dx, (1.21) Ω Du = (D1 u, , Dd u) kí hiệu đạo hàm yếu thuộc u ∈ H 1,2 (Ω) Định lý 1.4.1 Giả sử Ω ⊂ Rd mở xét hàm f : Ω × Rd → R i) f (·, v) đo với ∀v ∈ Rd Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn