Phương pháp sai phân đối với bài toán truyền nhiệt đối lưu không dừng có hệ số liên tục

đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học Tr-ơng tiến hoàng PHƯơng pháp sai phân toán truyền nhiệt đối l-u không dừng có hệ số liên tục luận văn thạc sĩ toán học Thái nguyên, năm 2013 Số hóa trung tâm học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học Tr-ơng tiến hoàng PHƯơng pháp sai phân toán truyền nhiệt đối l-u không dừng có hệ số liên tục Chuyên ngành: Toán ứng dụng MÃ số : 60 46 01 12 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: Ts Nguyễn đình bình Thái nguyên, năm 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời mở đầu iii Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều 1.1 1.2 Phát biểu toán Lưới sai phân hàm 1.2.1 Lưới sai phân 1.2.2 Hàm lưới 1.3 1.4 Xấp xỉ đạo hàm Phương pháp ẩn 1.4.1 Xây dựng phương pháp 1.4.2 Bài toán sai phân 1.4.3 Sự xấp xỉ 1.4.4 Sự ổn định 1.4.5 Sự hội tụ Phương pháp sai phân 1.5 lưới 2 sai số 5 7 8 số 10 10 11 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 Xây dựng phương pháp Bài toán sai phân Sự xấp xỉ Sự ổn định 1.5.5 Sự hội tụ sai Phương pháp sai phân với toán Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục 13 i Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1 Bài toán đạo hàm riêng 2.2 Lưới sai phân, hàm lưới 2.2.1 Lưới sai phân 2.2.2 Hàm lưới 2.2.3 Đạo hàm lưới đạo hàm 2.3 Bài toán sai phân 2.3.1 Ký hiệu chung 2.3.2 Xấp xỉ đạo hàm riêng 2.3.3 Phát biểu toán sai phân 2.4 Phương pháp giải toán sai phân 2.4.1 Quy tốn sai phân dạng trình ba đường chéo 2.4.2 Phương pháp truy đuổi 13 lưới 15 15 16 17 17 17 18 25 hệ phương 26 Sự ổn định, hội tụ sai số 26 30 32 3.1 Sự ổn 3.1.1 3.1.2 3.1.3 định phương pháp sai phân Khái niệm ổn định, bất đẳng thức ổn định Xét toán Ý nghĩa bất đẳng thức ổn định 3.2 Sự hội tụ sai số 32 36 36 42 42 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 ii Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời mở đầu Bài toán truyền nhiệt ba toán vật lý toán mà hay gặp thực tế Việc giải tốn để có đáp số số yêu cầu quan trọng thực tiễn Trong số trường hợp, tìm nghiệm tường minh Tuy nhiên đa số trường hợp, đặc biệt tốn có hệ số hàm nghiệm tường minh tốn khó xác định được, nghiệm tường minh dạng phức tạp Vì trường hợp thường dựa vào phương pháp giải gần để tìm nghiệm Phương pháp sai phân phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật Nội dung đưa tốn cần xét việc giải phương trình sai phân hệ phương trình sai phân cho việc tính tốn thuận tiện, đồng thời đảm bảo tính ổn định lược đồ, đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm gần tìm tới nghiệm toán Trong phạm vi luận văn này, tác giả tìm hiểu phương pháp sai phân với toán Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục, mà cụ thể trình bày theo bố cục sau Chương 1: Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều Chương 2: Phương pháp sai phân với toán Truyền nhiệt đối lưu khơng dừng có hệ số liên tục Chương 3: Sự ổn định, hội tụ sai số Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa iii Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ học - Đại học Thái Ngun Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng Đào nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Đình Bình, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thầy để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 05 tháng 08 năm 2013 Tác giả Trương Tiến Hồng iv Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phương pháp sai phân giải phương trình truyền nhiệt chiều Trong chương tác giả trình bày số kiến thức chuẩn bị toán, lưới sai phân, hàm lưới hai phương pháp để giải toán sai phân 1.1 Phát biểu toán Cho số a, b thỏa mãn a < b T > Xét QT = (a, b) × (0, T ]; QT = [a, b] × [0, T ] Xét tốn biên thứ phương trình truyền nhiệt Tìm hàm số u(x, t) thỏa mãn ∂u ∂ u Lu ≡ − = f (x, t); (x, t) ∈ QT , ∂t ∂x2 (1.1) u(x, 0) = g(x); a < x < b, (1.2) u(a, t) = ga (t); u(b, t) = gb (t); < t ≤ T, (1.3) f (x, t), g(x), ga (t), gb (t) hàm số cho trước Phương trình (1.1) phương trình loại parabol với u(x, t) nhiệt độ vị trí x thời điểm t phương trình (1.1) phương Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ trình truyền nhiệt chiều với x biến không gian, t biến thời gian Bài tốn (1.1)÷ (1.3) tốn vừa có điều kiện ban đầu (điều kiện (1.2)) vừa có điều kiện biên (điều kiện (1.3)) nên tốn biên loại phương trình (1.1) Giả sử (1.1)÷ (1.3) có nghiêm đủ QT 1.2 1.2.1 Lưới sai phân hàm lưới Lưới sai phân Chọn số nguyên N ≥ 1, M ≥ Đặt h= b−a ; xi = a + ih; i = 0, 1, 2, N, N τ= T ; ti = jτ ; j = 0, 1, M M Hình 1.1 Chia miền QT thành ô đường thẳng x = xi , t = tj Mỗi điểm (xi , ti ) gọi nút Nút (xi , tj ) viết gọn (i, j) h bước theo không gian, τ gọi bước theo thời gian Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tập tất nút tạo thành lưới sai phân QT Lưới (a, b]( lưới không gian) - Tập Ωh = {xi = |i = 1, 2, , N − 1} gọi tập nút lân cận [a, b] - Tập Γh = {xi = |i = 0, N } gọi tập nút [a, b] Nút nút N hai nút biên - Tập Ωh = Ωh ∪ Γh gọi lưới sai phân [a, b] Lưới [0, T] (lưới thời gian) - Tập Ωτ = {tj |j = 1, 2, M } gọi lưới sai phân (0, T] - Tập {Ωτ = {tj |j = 0, 1, M } = Ωτ ∪ {t0 = 0} gọi lưới sai phân [0, T], nút t0 = nút ban đầu - Tập Ωhτ = Ωh × Ωτ tập nút QT - Tập Γhτ − = {x0 = a} × Ωτ gọi tập nút bên trái - Tập Γhτ + = {x0 = b} × Ωτ gọi tập nút bên phải - Tập Γ0hτ = Ωh × {t0 = 0} gọi tập nút ban đầu tập Ωhτ = Ωh × Ωτ lưới sai phân QT Ta phân lưới sai phân QT thành nhiều lớp Lớp thứ j tạo nút ứng giá trị thời gian tj j Ωh = {(xi , tj ), i = 0, 1, , N }, nút (x0 , tj ) = (a, tj ) với (xN , tj ) = (b, ti ) hai nút biên 1.2.2 Hàm lưới Hàm số xác định nút lưới gọi hàm lưới Giá trị hàm lưới v nút (i, j) viết vij Các giá trị hàm Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ j lưới v nút lớp Ωh tạo thành hàm lưới v j xác định Ωh Ta có j v j = (v0j , v1j , , vN ) ∈ RN +1, , tập hàm lưới ta xét hai chuẩn k v j k∞ = max {|vij |} 0≤i≤N q i )2 k v k2 = (v0i )2 + (v1i )2 + + (vN i Mỗi hàm số u(x, t) xác định QT có giá trị (i, j) u(xj , tj ) tạo hàm lưới u xác định uji = u(xi , tj ) 1.3 Xấp xỉ đạo hàm Áp dụng công thức Taylor 4x (4x)2 00 F (x, 4x) = F (x) + F (x) + F (x) + + 1! 2! (4x)m (m) F (x) + O((4x)m+1 ) m! ta có u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) ∂u = (xi , tj ) + O(τ ), (1.4) τ ∂t u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) ∂u = (xi , tj+1 ) + O(τ ), (1.5) τ ∂t u(xi , tj+1 ) − u(xi , tj ) ∂u = (xi , tj + l/2) + O(τ ), (1.6) τ ∂t u(xi+1 , tj ) − 2u(xi , tj ) + u(xi−1 , tj ) ∂ u = (xi , tj ) + O(h2 ), (1.7) h ∂x u(xi+1 , tj+1 ) − 2u(xi , tj+1 ) + u(xi−1 , tj+1 ) ∂ u = (xi , tj+1 ) + O(h2 ), h ∂x (1.8) n u(xi+1 , tj+1 ) − 2u(xi , tj+1 ) + u(xi−1 , tj+1 ) + h2 u(xi+1 , tj ) − 2u(xi , tj ) + u(xi−1 , tj ) o ∂ u = (xi , tj + τ /2) + O(h2 + τ ), h ∂x (1.9) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ≤ C4 , ∂t ∂t ∂t C4 , C5 số dương Giả sử tốn (2.1) ÷ (2.4) có nghiệm u(x, t) nghiệm đủ trơn đến cấp cần thiết (đạo hàm liên tục đến cấp x, cấp t) Nhận xét toán đạo hàm riêng đặt ∂  ∂u  *) A(x, t) đại lượng khuếch tán (ở khuếch tán ∂x ∂x nhiệt), A(x, t) hệ số khuếch tán nhiệt ∂u *) B(x, t) đại lượng đối lưu, B(x, t) hệ số đối lưu ∂x Chính hai lý mà tốn đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4) có tên gọi tốn "khuếch tán - đối lưu" • Bài tốn đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4) có nghiệm u(x, t), hàm u(x, t) hàm nhiệt độ vật chất vị trí x thời điểm t • Hàm A(x, t) khơng thể khuyết, hàm số khác: hàm B(x, t),,D(x, t) hàm f (x, t) khuyết phương trình (2.1) • Nếu tốn cho đoạn a ≤ x ≤ b, ≤ t ≤ T 14 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ cách biến đổi sau  x = (b − a)x0 + a t = T t0 ta đưa tốn cho có biến x t tốn có biến x0 t0 xác định đoạn ≤ x0 ≤ 1, ≤ t0 ≤ Do đó, từ sau cần quan tâm đến x t xác định đoạn [0,1] đủ 2.2 2.2.1 Lưới sai phân, hàm lưới đạo hàm lưới Lưới sai phân Đặt QT := {0 ≤ x ≤ 1, ≤ T ≤ 1} Theo phương diện hình học, QT hình chữ nhật Có nhiều cách chia miền QT khác Trong dùng cách chia trục 0x, 0t Hình 2.1 Chia QT thành miền nhỏ đoạn thẳng song song với trục 0x, 0t 15 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 0x gọi chiều không gian (không gian chiều) 0t gọi chiều thời gian Giả sử chia đoạn [0,1] thành N đoạn với xi = ih, h = , h gọi bước chia theo không gian N Giả sử chia đoạn [0,1] thành M đoạn với tj = jτ, τ = , τ gọi bước chia theo thời gian M Giao điểm hai đường x = xi t = tj tạo thành nút lưới (xi , tj ) Tập điểm (xi , tj ), i = 0, N , j = 0, M gọi lưới sai phân Tập hợp nút lưới Ωh , Ωt xác định  Ω = {(x , t ), i = 1, N − 1, j = const}, h i j Ω := {(x , t ), j, = 1, M , i = const.} t i j Cho i = 1, N − 1, j = 1, M ta tập điểm Ωht gọi tập điểm lưới Ωht = Ωh × Ωt = {(xi , tj ), i = 1, N − 1, j = 1, M } Γ0 = {(0, tj ), j = 1, M }, Γ1 = {(1, tj ), j = 1, M } gọi tập điểm lưới biên Ωh0 = {(xi , 0), i = 0, N }, gọi điểm lưới ban đầu ứng với t = (thời điểm đầu) Ωht = Ωht ∪ Γ0 ∪ Γ1 ∪ Γh0 gọi lưới phủ QT := {0 ≤ x ≤ 1, ≤ t ≤ 1} 2.2.2 Hàm lưới Xét hàm ϕ(x, t) xác định (xi , tj ), i = 1, N − 1, j giữ nguyên Ta viết ϕji = ϕ(xi , tj ), i = 1, N − gọi hàm lưới, ϕji = ϕ(xi , tj ), i = 1, N gọi hàm lưới kể biên x − x0 , x = xN , j = 0, M 16 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.2.3 Đạo hàm lưới Đạo hàm lưới hàm vij định nghĩa sau j vi+1 − vij j (vx )i = gọi đạo hàm sai phân tiến theo biến số x h j vij − vi−1 j (vx )i = gọi đạo hàm sai phân lùi theo biến số x h vij+1 − vij j (vt )i = gọi đạo hàm sai phân tiến theo thời gian t τ vij − vij−1 j (vt )i = gọi đạo hàm sai phân lùi theo thời gian t τ Trong i = 1, N − 1, j = 1, M − 2.3 2.3.1 Bài toán sai phân Ký hiệu chung Đặt B + = 0.5(B + |B|), B − = 0.5(B − |B|), ⇒ B + ≥ 0, B − ≤ 0, B = B + + B − , |B| = B + + B − Xét hàm lưới a, a+1 , d, b− , b+ , R, r, S0 , S1 , s0 , s1 xác định sau dji = D(xi , tj ) ; aji = A(xi − 0.5h, tj ) ; (a(+1) )ji = aji+1 = A(xi + 0.5h, tj ) ; (b+ )ji B + (xi , tj ) B − (xi , tj ) − j = ; (b )i = ; A(xi , tj ) A(xi , tj ) Rij = 0.5h (S0 )j = 0.5h |B(xi , tj )| ; rij = − Rij + (Rij )2 ; A(xi , tj ) B(0i , tj ) ; sji = + (S0 )j + ((S0 )j )2 ; A(0, tj ) (S1 )j = 0.5h B(1i , tj ) ; sji = − (S1 )j + ((S1 )j )2 A(1, tj ) Theo cách đặt h > τ > ta ln có rij , sj0 , sj1 ≥ 17 Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.3.2 Xấp xỉ đạo hàm riêng Theo giả thiết, hàm u(x, t) thỏa mãn điều kiện đạo hàm liên tục đến cấp bốn x, cấp hai t hàm số A(x, t) thỏa mãn điều kiện có đạo hàm liên tục đến cấp ba x cấp t Do đó, ta sử dụng cơng thức khai triển Taylor cho hàm số u(x, t) A(x, t) sau a) Tại nút lưới xi (i 6= i 6= N ) Khai triển hàm u(x, t) theo t điểm (xi , tj ) với bước −τ ta có ∂u (xi , tj ) + O(τ ) ∂t u(xi , tj ) − u(xi , tj−1 ) ∂u ⇒ = (xi , tj ) + O(τ ) τ ∂t ∂u ⇒ ut (xi , tj ) = (xi , tj ) + O(τ ) ∂t u(xi , tj−1 ) = u(xi , tj − τ ) = u(xi , tj ) − τ (2.7) Khai triển hàm u(x, t) theo x điểm (xi , tj ) với bước h ta có u(xi+1 , tj ) = u(xi + h, tj ) ∂u h2 ∂ u h3 ∂ u = (xi , tj ) + h (xi , tj ) + (xi , tj ) + (xi , tj ) + O(h4 ) ∂t ∂x ∂x u(xi+1 , tj ) − u(xi , tj ) h (2.8) ∂u h ∂ 2u h ∂ 3u = (xi , tj ) + (xi , tj ) + (xi , tj ) + O(h3 ) ∂t ∂x ∂x Khai triển hàm A(x, t) theo x điểm (xi , tj ) với bước h/2, ta có  h  A(xi+1/2 , tj ) = A xi + , tj h ∂A h2 ∂ A = A(xi , tj ) + (xi , tj ) + (xi , tj ) + O(h3 ) 2 ∂x ∂x (2.9) ⇒ 18 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Từ (2.8) (2.9) ta suy u(xi+1 , tj ) − u(xi , tj ) A(xi+1/2 , tj ) = h ∂u h ∂ 2u ∂A ∂u = A(xi , tj ) (xi , tj ) + {A(xi , tj ) (xi , tj ) + (xi , tj ) (xi , tj )}+ ∂t ∂x ∂x ∂x ∂ u ∂A ∂ u + h2 { A(xi , tj ) (xi , tj ) + (xi , tj ) (xi , tj ) ∂x ∂x ∂x 1∂ A ∂u + (x , t ) (xi , tj )} + O(h3 ) i j ∂x ∂x  ∂u  h  ∂u  ∂u  (+1) (a ux )(xi , tj ) = A (xi , tj )+ A (xi , tj )+4ji +O(h3 ) ∂x ∂x ∂x Trong n ∂ 3u ∂A ∂u2 ∂u2 j 4i = h A(xi , tj ) (xi , tj ) + (xi , tj ) (xi , tj ) (xi , tj ) ∂x ∂x ∂x ∂x o 1∂ A ∂u + (x , t ) (xi , tj ) i j ∂x2 ∂x Khai triển hàm u(x, t) theo x điểm (xi , tj ) với bước -h ta có ∂u h2 ∂ u h3 ∂ u u(xi −h, tj ) = A(xi , tj )−h (xi , tj )+ (xi , tj )− (xi , tj )+O(h4 ) ∂x ∂x2 ∂x3 u(xi , tj ) − u(xi−1 , tj ) ∂u h ∂ 2u h2 ∂ u ⇒ = (xi , tj )− (xi , tj )− (xi , tj )+O(h3 ) h ∂x ∂x ∂x (2.10) Khai triển hàm A(x, t) theo x điểm (xi , tj ) với bước −h/2, ta có A(xi+1/2 , tj ) = A(xi , tj ) h ∂A h2 ∂ A (xi , tj ) + (xi , tj ) + O(h3 ) 2 ∂x ∂x (2.11) Từ (2.10) (2.11) ta suy u(xi , tj ) − u(xi−1 , tj ) A(xi−1/2 ), tj ) h ∂u hn ∂ 2u ∂A ∂u = A(xi , tj ) (xi , tj )− A(xi , tj ) (xi , tj )+ (xi , tj ) (xi , tj ) + ∂x ∂x ∂x ∂x n1 o 2 ∂ u ∂A ∂u ∂ A ∂u h A(xi , tj ) (xi , tj )+ (xi , tj ) (xi , tj )+ (xi , tj ) (xi , tj ) ∂u ∂x ∂x ∂x2 ∂x  ∂u     h ∂ ∂u (aux −)(xi , tj ) = A (xi , tj )− A (xi , tj )+4ji +O(h3 ) ∂x ∂x ∂x (2.12) A(xi+1/2 , tj ) = A(xi , tj ) − 19 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Từ (2.10) (2.12) ta suy  ∂  ∂u  (a(+1) ux )(xi , tj ) − (au− )(x , t ) = h A (xi , tj ) + O(h3 ) i j x ∂x ∂x  ∂  ∂u  (a(+1) ux − au− x )(xi , tj ) ⇒ = A (xi , tj ) + O(h3 ) h ∂x ∂x  ∂  ∂u  ((aux )x )(xi , tj ) = A (xi , tj ) + O(h3 ) (2.13) ∂x ∂x Sử dụng kết ta có cơng thức sau  ∂ h |B| ∂  ∂u  + (+1) − − (b a ux +b aux )(xi , tj ) = B + A (xi , tj )+O(h3 ) ∂x A ∂x ∂x (2.14) Thật vậy, theo (2.11) (2.12) cách đặt b+ , b− theo ta có (b+ a(+1) ux + b− au− x )(xi , tj ) =   ∂u h ∂  ∂u    ∂u h ∂  ∂u  + = b A + A (xi , tj ) + b− A − A ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x (xi , tj ) + O(h2 )  ∂u  h ∂  ∂u + + − − = A (b + b ) + A (b − b ) (xi , tj ) + O(h2 ) ∂x ∂x ∂x  ∂u A h ∂  ∂u |B|  = A + A (xi , tj ) + O(h2 ) ∂x B ∂x ∂x A  ∂ h |B| ∂  ∂u  + (+1) − − ⇒ (b a ux + b aux )(xi , tj ) = B + A ∂x A ∂x ∂x (xi , tj ) + O(h2 ) Ta cịn có (r(au− x )x )(xi , tj )  ∂  ∂u  h |B| ∂  ∂u  = A − A (xi , tj ) + O(h2 ) ∂x ∂x A ∂x ∂x (2.15) Thật h |B(xi , tj )| (r)ji (1 − R + R2 , Rij ) = kết hợp công thức (2.13) A(xi , tj ) suy (r(au− x )x )(xi , tj ) =  ∂u  ∂u  h |B| ∂  ∂u   h |B| 2  ∂u  = A − A + A (xi , tj )+O(h2 ) ∂x ∂x A ∂x ∂x A ∂x 20 Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/  ∂u  ∂u  h |B| ∂  ∂u  ⇒ = A − A (xi , tj )+O(h2 ) ∂x ∂x A ∂x ∂x Các kết (2.13) ÷ (2.15) cho ta biểu thức sau (r(au− x )x )(xi , tj ) − + (+1) (u− ux + b− au− x − r(aux )x − b a x + du(xi , tj )  ∂u  ∂u  ∂u   ∂u = − A −B + Du (xi , tj ) + O(h2 + τ ) ∂x ∂x ∂x ∂x (2.16) b) Tại nút lưới biên x0 = Khai triển hàm u(x, t) theo x điểm (x0 , tj ) với bước h ta có ∂u h2 ∂ u u(x1 , tj ) = u(x0 , tj ) = h (x0 , tj ) + (x0 , tj ) + O(h3 ) ∂x ∂x u(x1 , tj ) − u(x0 , tj ) ∂u h2 ∂ u ⇒ = (x0 , tj ) + (x0 , tj ) + O(h2 ) h ∂x ∂x h ∂A A(x1/2 , tj ) = A(x0 , tj ) + (x0 , tj ) + O(h2 ) ∂x Do u(x1 , tj ) − u(x0 , tj ) ⇒ A(x1/2 , tj ) = h  ∂u h ∂ 2u ∂A ∂u = A(x0 , tj ) (xi , tj ) + A(x0 , tj ) (x0 , tj ) + (x0 , tj ) (x0 , tj ) ∂x ∂x ∂x ∂x + O(h2 )  ∂u  h  ∂u  ∂u  = A (x0 , tj ) + A (x0 , tj ) + O(h2 ) ∂x ∂x ∂x  ∂u  h  ∂u  ∂u  j j a1 ux0 = A (x0 , tj ) + A (x0 , tj ) + O(h2 ) ∂x ∂x ∂x  ∂u   h  ∂u ∂u = A (x0 , tj ) + −B + Du − f (x0 , tj ) + O(h2 ) ∂x ∂x ∂x  h  ∂u ∂u j j ⇒ a1 ux0 − −B + Du − f (x0 , tj ) ∂x ∂x  ∂u  = A (x0 , tj ) + O(h2 ) ∂x Đổi dấu hai vế phương trình này, thêm hai vế với σ0 (tj )u(x0 , tj ), ta có  h  ∂u ∂u j j −a1 ux0 + −B + Du − f (x0 , tj ) + σ0 (tj )u(x0 , tj ) = ∂x ∂x 21 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/  ∂u  =− A (x0 , tj ) + σ0 (tj )u(x0 , tj ) + O(h2 ) ∂x Theo (2.3)  ∂u  σ0 (tj )u(x0 , tj ) − A (x0 , tj ) = g0 (tj ), ∂x (2.17) thay biểu thức vào (2.17) ta có  h  ∂u ∂u j j −a1 ux0 + −B +Du−f (x0 , tj )+σ0 (tj )u(x0 , tj ) = g0j +O(h2 ), ∂x ∂x suy h −aj1 ujx0 +σ0 (tj )u(x0 , tj )+  ∂u ut −B +Du−f (x0 , tj ) = g0j +O(h2 +τ ) ∂x  suy h h −aj1 ujx0 + σ0j uj0 + ((ut )j0 + dj0 uj0 − f0j ) − B(0, tj )(ujx0 + O(h)) 2 j = g0 + O(h2 + τ ) (2.18) Xét (S0j + (S0j )2 )aj1 =  h B(0, t )  h B(0, t ) 2  j j + A(h/2, tj ) A(0, tj ) A(0, tj ) aj1 = A(h/2, tj ) = A(0, tj ) + O(h), nên (S0j + (S0j )2 )aj1 ⇔ (S0j + (S0j )2 )aj1 =  h B(0, t )  h B(0, t ) 2  j j = + A(h/2, tj ) A(0, tj ) A(0, tj ) h B(0, tj ) h A(0, tj ) + O(h2 ) = B(0, tj ) + O(h2 ) A(0, tj ) Thay biểu thức vào (2.18) ta h −aj1 ujx0 +σ0j uj0 + ((ut )j0 +dj0 uj0 −f0j )−((S0j +(S0j )2 )aj1 +O(h2 ))(ujx0 +O(h)) = = g0j + O(h2 + τ ) 22 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ suy h − aj1 ujx0 + σ0j uj0 + (ut )j0 + dj0 uj0 − f0j ) − (S0j + (S0j )2 )aj1 ujx0 = g0j + O(h2 + τ ) h ⇒ −(1 + S0j + (S0j )2 )aj1 ujx0 + σ0j uj0 + ((ut )j0 + dj0 uj0 − f0j ) = g0j + O(h2 + τ ) h ⇒ −S0j aj1 ujx0 + σ0j uj0 + ((ut )j0 + dj0 uj0 − f0j ) = g0j + O(h2 + τ ) h h h i j h ⇒ ut0 − s0 a1 ux0 + σ0 + d0 u0 = g0j + f0j + O(h2 + τ ) 2 (2.19) c) Tại nút lưới biên xN = Khai triển hàm u(x, t) theo x điểm (xN , tj ) với bước −h ta có u(xN −1 , tj ) = u(xN , tj ) − h ∂u h2 ∂ u (xN , tj ) + (xN , tj ) + O(h3 ) ∂x ∂x u(xN , tj ) − u(xN −1 , tj ) ∂u h ∂ 2u = (xN , tj ) − (xN , tj ) + O(h2 ) h ∂x ∂x với hàm A(x, t) ⇒ A(xN −1/2 , tj ) = A(xN , tj ) − h ∂A (xN , tj ) + O(h2 ) ∂x Do ta suy u(xN , tj ) − u(xN −1 , tj ) = h ∂u h ∂ 2u ∂A ∂u = A(xN , tj ) (xN , tj ) − A(xN , tj ) (xN , tj ) + (xN , tj ) ∂x ∂x ∂x  ∂x (xN , tj ) + O(h2 )  ∂u  h  ∂u  ∂u  = A (xN , tj ) − A (xN , tj ) + O(h2 ) ∂x ∂x ∂x ⇒ A(xN −1/2 , tj ) Từ ta suy  ∂u  h  ∂u  ∂u  j j aN uxN = A (xN , tj ) − A (xN , tj ) + O(h2 ) ∂x ∂x ∂x  ∂u   h  ∂u ∂u = A (xN , tj ) − −B + Du − f (xN , tj ) + O(h2 ) ∂x ∂x ∂x 23 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ h ajN ujxN +  ∂u   ∂u  ∂u ⇒ −B +Du−f (xN , tj ) = A (xN , tj )+O(h2 ) ∂x ∂x ∂x Thêm hai vế biểu thức vơi σ1 (tj )u(XN , tj ) ta có  h  ∂u ∂u j j aN uxN + −B + Du − f (xN , tj ) + σ0 (tj )u(xN , tj ) = ∂x ∂x  ∂u  = A (xN , tj ) + σ1 (tj ) u (xN , tj ) + O(h2 ) = gi (tj ) (2.20) ∂x Ta có  ∂u  − A (x0 , tj ) = g0 (tj ), ∂x thay biểu thức vào (2.20) ta có  h  ∂u ∂u j j aN uxN + −B +Du−f (xN , tj )+σ1 (tj )u(xN , tj ) = g1j +O(h2 ) ∂x ∂x suy h ajN ujxN +σ1 (tj )u(xN , tj )+  ∂u u− +Du−f t −B ∂x  (xN , tj ) = g1j +O(h2 +τ ) suy h h j j j j j ajN ujxN + σ1j ujN + ((u− t )N + dN uN − fN ) − B(xN , tj )(uxN + O(h)) 2 = g1j + O(h2 + τ ) (2.21) Xét (S0j − (S0j )2 )ajN  h B(x , t )  h B(x , t ) 2  N j N j = − A(xN − h/2, tj ) A(xN , tj ) A(xN , tj ) ajN = A (xN , tj ) = A (xN − h/2, tj ) + O (h) , nên (S0j −(S0j )2 )ajN  h B(x , t )  h B(x , t ) 2  N j N j = − A(xN −h/2, tj )+O(h) A(xN , tj ) A(xN , tj ) ⇔ (S0j −(S0j )2 )ajN = h B(xN , tj ) h A(xN , tj )+O(h2 ) = B(xN , tj )+O(h2 ) A(xN , tj ) 24 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Thay biểu thức vào (2.21) ta h j j j j j j j j ajN ujxN +σ1j ujN + ((u− t )0 +dN uN −fN )−((S1 +(S1 ) )aN +O(h ))(uxN +O(h)) = g1j + O(h2 + τ ) suy h j j j j j j j j j ajN ujxN +σ1j uj1 + ((u− t )N +dN uN −fN )−(S1 −(S1 ) )aN uxN = g1 +O(h +τ ) h j j j j j ⇒ (1−S1j −(S1j )2 )ajN ujxN +σ1j ujN + ((u− t )N +dN uN −fN ) = g1 +O(h +τ ) h h h h i j − ⇒ utN − s1 aN uxN + σ1 + dN uN = g1j + fNj + O(h2 + τ ) 2 (2.22) 2.3.3 Phát biểu toán sai phân Từ (2.16), ta đặt n    oj j + (+1) − Lhτ vi = vt − r avx − b a vx + b avx + dv (2.23) i Từ (2.19), ta đặt L0hτ v0j h h i j := v − S0 a1 vx0 + σ1 + d0 v0 t0 h (2.24) Từ (2.22), ta đặt j L1hτ vN := h vtN − S1 aN vxN h i j + σ1 + dN vN h (2.25) Như vậy, toán sai phân thay cho toán đạo hàm riêng (2.1) ÷ (2.4) có dạng Lhτ vij = fij , < i < N, < j < M, (2.26) v0j = g(xi ), < i < N, h l0hτ v0j = g0j + f0j , (2.27) (2.28) 25 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ h j l1hτ vN = g1j + fNj , ≤ j ≤ M Trong lhτ vij xác định theo (2.23) ta có mối liên hệ sau    Lhτ vij = Luji + O(h2 + τ ), < i < N, < j < M,    h l0hτ uj0 = l0 uj0 + f0j + O(h2 + τ ),    h j j  l1hτ uN = l1 uN + fNj + O(h2 + τ ) (2.29) Cơng thức (2.29) có nghĩa toán tử đạo hàm riêng xấp xỉ toán tử sai phân với sai số O(h2 + τ ) 2.4 Phương pháp giải toán sai phân 2.4.1 Quy toán sai phân dạng hệ phương trình ba đường chéo Theo (2.26), ta có n    oj + (+1) − vt − r avx − b a vx + b avx + dv = fij i hay j j   j v j − v j vij − vij−1 j j vi − vi−1 i+1 i (+1) − ri a − − i τ h2 h2 j j j j   j vi − vi−1 + (+1) j vi+1 − vi − (b a )i − (b − a)i + dji vij = fij h h Suy aji j  h2 − j j − (ri − h(b )i )vi−1 + + rij (a(+1) + a)ji + h(b+ a(+1) )ji h h τ
(+1) j   a vij−1  j j − j j + j j i − h(b a)i + h di − (ri + h(b )i )vi = fi + h2 τ 26 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ với γ = τ = const, ta có h2 j γaji (rij − h(b− )ji )vi−1 − (1 + γaji (rij − h(b− )ji )+ + γ(a(+1) )ji (rij + h(b+ )ji ) + τ dji )vij + j + γ(a(+1) )ji (rij + h(b+ )ji )vi+1 = −(τ fij + vij−1 ) Đặt    Pij = γaji (rij − h(b− )ji )     Qj = + γaj (rj − h(b− )j ) + γ(a(+1) )j (rj + h(b+ )j ) + τ dj i i i i i i i i   Kij = γ(a(+1) )ji (rij + h(b+ )ji )     Φj = τ f j + v j−1 i i i (2.30) Ta có j j Pij vi−1 − Qji vij + Kij vi+1 = −Φji , < i < N, < j ≤ M (2.31) Từ (2.30), ta có Qji = 1+Pij +Kij +τ dji Pij > 0, Kij > 0, Qji −Pij −Kij = 1+τ dji > Theo (2.28), ta có h h h i j h vt0 − S1 a0 vx0 + σ0 + d0 v0 = g0j + fi0 2 j j h h v0j − v0j−1 h ji j h j j v1 − v0 j ⇒ − s a1 + σ0 + d0 v0 = g0j + f0j τ h 2 h sj0 aj1 h j  j sj0 aj1 j h h j ⇒ + + (σ0 + di ) v0 − v1 = v0j−1 + g0j + f0j 2τ h h 2τ 2τ Nhân hai vế với ta h  h j  j j j j + 2γs0 a1 + 2γh(σ0 + d0 ) v0 − 2γsj0 aj1 v1j = v0j−1 + 2γhg0j + τ f0j 27 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/