Phương pháp lặp giải bài toán không thuần nhất giữa phương trình elliptic và phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN KHƠNG THUẦN NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN KHƠNG THUẦN NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Các kiến thức 1.1 Các kiến thức không gian hàm 1.1.1 Không gian C k (Ω) 1.1.2 Không gian Lp (Ω) 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) 1.1.4 Biên liên tục Lipschitz 1.1.5 Vết hàm 1.1.6 Không gian Sobolev với số âm 1.2 Phương pháp lặp sơ đồ lặp 1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp 1.2.2 Lược đồ dừng, định lý hội tụ phép lặp 1.3 Khái niệm nghiệm yếu phương trình Elliptic cấp hai 1.3.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình 1.3.2 Phát biểu toán biên 1.3.3 Sự tồn nghiệm yếu 4 4 11 12 12 15 17 17 18 20 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ toán cấp hai cấp bốn 24 2.1 Phương pháp lặp giải toán cấp hai tư tưởng chia miền 24 2.1.1 Cơ sở phương pháp chia miền 24 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2 2.1.2 Phương pháp chia miền giải toán biên elliptic Phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên tốn song điều hịa Bài tốn khơng phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 3.1 Mơ hình tốn học tốn khơng 3.2 Phương pháp xấp xỉ dựa sơ đồ Dirichlet-Neumann 3.3 Phương pháp xấp xỉ dựa sơ đồ xấp xỉ biên 3.4 Các kết thực nghiệm Kết luận Danh mục cơng trình cơng bố Tài liệu tham khảo Phụ lục Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 36 45 45 51 58 61 66 67 68 84 iii Các ký hiệu L Rn Ω ∂Ω C k (Ω) L2 (Ω) W 1,p (Ω) H 1/2 (∂Ω) H01 (Ω) H −1 (∂Ω) H −1/2 (∂Ω) k kV (.)V Cγ (Ω) CΩ E Tốn tử elliptic Khơng gian Euclide n chiều Miền giới nội không gian Rn Biên trơn Lipschitz Không gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục Khơng gian hàm đo bình phương khả tích Không gian Sobolev với số p Không gian Sobolev với số 1/2 Khơng gian hàm có vết không ∂Ω Không gian đối ngẫu với H01 (Ω) Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω) Chuẩn xác định khơng gian V Tích vơ hướng xác định không gian V Hằng số vết Hằng số Poincare Ma trận đơn vị Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Phương trình cấp bốn mà tiêu biểu phương trình song điều hồ xuất ngành học chất rắn với mơ hình chuyển dịch ngang đàn hồi ngành học chất lỏng với mơ hình dịng chảy với phương trình Navier-Stokes môi trường chất lỏng không nén được, ghép với phương trình bậc hai xuất mơ hình khơng mơ tả dịch chuyển ngang cấu trúc đàn hồi đa hợp mà làm hai thành phần khác nhau, thành phần uốn thành phần lại màng mỏng Đây mơ hình hỗn hợp nhà toán học giới quan tâm Năm 2005, tài liệu [4], tác giả P Gervasio mơ tả mơ hình tốn học tốn khơng đưa phương pháp xác định nghiệm gần dựa sơ đồ lặp Ngồi phương pháp trên, để giải mơ hình tốn khơng sử dụng phương pháp phân rã tốn song điều hồ hai tốn elliptic từ đề xuất sơ đồ lặp cách xác định nghiệm xấp xỉ tốn song điều hồ dựa phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm hai toán elliptic sở phương pháp chia miền Cơ sở lý thuyết số tác giả Việt Nam đưa năm qua Nội dung luận văn mơ tả mơ hình tốn học toán, nghiên cứu phương pháp giải đề xuất sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ sở phân hoạch hai toán cấp hai cấp bốn, thực tính tốn số xác định nghiệm xấp xỉ Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức không gian hàm đặc biệt không gian Sobolev, khái niệm nghiệm yếu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phương trình elliptic, lý thuyết phương pháp lặp giải phương trình tốn tử Những kiến thức quan trọng làm sở để trình bày nghiên cứu lý thuyết mơ hình tốn học trình bày chương luận văn Chương 2: Trình bày sở phương pháp chia miền tổng quát, kết lý thuyết phương pháp chia miền phương trình elliptic cấp hai dựa tư tưởng xác định giá trị đạo hàm biên phân cách, lý thuyết phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên tốn song điều hịa Đây kết tác giả Việt Nam công bố năm qua Các kết sở lý thuyết để đề xuất sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ tốn khơng chương luận văn Chương 3: Mô tả mơ hình tốn học tốn khơng nhất, trình bày phương pháp xấp xỉ dựa sơ đồ Dirichlet-Neumann tác giả P Gervasio đề xuất Xuất phát từ lý thuyết chương 2, luận văn đề xuất phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ tốn khơng việc phân rã tốn tốn song điều hồ tốn elliptic tương ứng từ xây dựng phương pháp lặp xác định nghiệm xấp xỉ, tính tốn thử nghiệm máy tính điện tử Phương pháp coi ngược với phương pháp P Gervasio đưa Các kết số lập trình mơi trường MATLAB với nhiều ví dụ khác để kiểm tra tính đắn sơ đồ lặp đề xuất Mặc dù cố gắng song nội dung luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, đóng góp ý kiến Thầy Cô bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hồn thiện Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ, bạn bè, đồng nghiệp gia đình ln giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức 1.1 1.1.1 Các kiến thức không gian hàm Không gian C k (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn không gian Euclid n chiều Rn Ω bao đóng Ω Ký hiệu C k (Ω), (k = 1, 2, ) tập hàm có đạo hàm đến cấp k kể k Ω, liên tục Ω Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn X k u kC k (Ω) = max | Dα u(x) |, (1.1) pαp=k α = (α1 , α2 , , αn ) gọi đa số, vecto với tọa ∂ α1 +α2 + +αn u α độ nguyên không âm, | α |= α1 + α2 + + αn , D u = ∂xα1 ∂xαnn Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ Ω hàm tất đạo hàm chúng đến cấp k, kể k Tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp (Ω) Giả sử Ω miền Rn p số thực dương Ta ký hiệu Lp (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho Z | f (x) |p dx < ∞ (1.2) Ω Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong Lp (Ω) ta đồng hàm hầu khắp Ω Như phần tử Lp (Ω) lớp tương đương hàm đo thoả mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Ω Vì | f (x) + g(x) |p ≤ (| f (x) | + | g(x) |)p ≤ 2p (| f (x) |p + | g(x) |p ) nên rõ ràng Lp (Ω) không gian vecto Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm k kp xác định Z  p1 p k u kp = | f (x) | dx (1.3) Ω Định lớ 1.1 (Bt ng thc Hă oder) Nu < p < ∞ u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lp (Ω) uv ∈ Lp (Ω) Z | u(x)v(x) | dx ≤k u(x) kp k v(x) kp0 , (1.4) Ω p0 = p 1 , tức + = 1, p0 gọi số mũ liên hợp đối p−1 p p với p Định lí 1.2 ( Bất đẳng thức Minkowski) Nếu < p < ∞ k f + g kp ≤k f kp + k g kp (1.5) Định lí 1.3 Khơng gian Lp (Ω) với ≤ p < ∞ không gian Banach 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1 Cho Ω miền Rn Hàm u(x) gọi khả tích địa phương Ω u(x) hàm cho Ω với x0 ∈ Ω tồn lân cận ω x0 để u(x) khả tích ω Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 wi nghiệm toán  −4wi = 0, x ∈ Ωi ,   wi = 0, x ∈ Γi ,   ∂wi = ξ, x ∈ Γ ∂ni Từ (2.12),(2.13) ta suy (k) (k) e1 |Γ = S1−1 ξ (k) , ∂e2 (k)
= S e |Γ ∂n2 Như vậy, (2.14) viết lại dạng ξ (k+1) − ξ (k) + (E + S2 S1−1 )ξ (k) = 0, θ k = 0, 1, 2, Tác động S1−1 lên hai vế phương trình ta thu (k+1) e1 (k) |Γ − e1 |Γ (k) + (E + S1−1 S2 )e1 |Γ = 0, θ k = 0, 1, 2, Phương trình có dạng (1.17) với toán tử B ≡ E, A = E + S1−1 S2 Do (k+1) e1 (k) |Γ = (E − θA)e1 |Γ (2.15) (2.15) sơ đồ lặp sai số Ta cần tìm tham số θ để sơ đồ lặp hội tụ Do toán tử Steklov-Poincaré Si (i = 1, 2) đối xứng, xác định dương, tác động không gian hàm Λ = H00 (Γ) không gian − đối ngẫu Λ0 = H002 (Γ), Si ξ, η định nghĩa tích vơ hướng ξ, η ∈ Λ chuẩn sinh tích vơ hướng tương đương với chuẩn thơng thường H (Γ) Ta ký hiệu tích vô hướng chuẩn tương ứng (, )Si k kSi (i = 1, 2) Vậy ta có (ξ, η)S1 = S1 ξ, η , k ξ kS1 = S1 ξ, ξ Trong tích vơ hướng (Aξ, η)S1 = S1 (E + S1−1 S2 )ξ, η = S1 ξ, η + S2 ξ, η Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Do S1 , S2 toán tử đối xứng nên toán tử A = E + S1−1 S2 toán tử đối xứng Hơn nữa, giả sử phép chia miền Ω thành miền Ω1 , Ω2 có tồn số < m ≤ M cho S2 ξ, ξ ≤ M, ∀ξ ∈ Λ m≤ (2.16) S1 ξ, ξ Khi ta có m k ξ k2S1 ≤ S1 S1−1 S2 ξ, ξ ≤ M k ξ k2S1 , ∀ξ ∈ Λ suy (1 + m) k ξ k2S1 ≤ S1 (E + S1−1 S2 )ξ, ξ ≤ (1 + M ) k ξ k2S1 , ∀ξ ∈ Λ Do (1 + m) k ξ k2S1 ≤ (Aξ, ξ)S1 ≤ (1 + M ) k ξ k2S1 , ∀ξ ∈ Λ, tức (1 + m)E ≤ A ≤ (1 + M )E Như vậy, theo lý thuyết tổng quát sơ đồ lặp hai lớp chương ta suy 0 0, a = const ≥ 0, b = const ≥ Bài toán gọi tốn Dirichlet phương trình dạng song điều hòa ∗ Trường hợp a2 − 4bε ≥ Đặt p µ = (a + a2 − 4bε) (2.24) ký hiệu L2 v = µ4v − bv, (2.25) ε 4u − u µ (2.26) L1 u = Cho v0 hàm trơn xác định Γ, toán tử biên B cho công thức ∂u Bv0 = (2.27)