Phương pháp chia miền đối với phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ DIỆP ANH PHƯƠNG PHÁP CHIA MIỀN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Các kiến thức 1.1 Các kiến thức không gian hàm 1.2 Lý thuyết phương trình elliptic 1.3 Phương pháp lặp sơ đồ lặp Chương 14 21 Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp 28 2.1 Giới thiệu phương pháp chia miÒn 28 2.2 Phương pháp chia miền Saito-Fujita 2.3 Phương pháp chia miền Dang Quang A-Vu Vinh Quang 39 2.4 Phương pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp mạnh 47 Ch­¬ng 33 Ph­¬ng pháp chia miền giải toán song điều hòa 3.1 Giới thiệu phương trình song điều hòa 3.2 Phương pháp giải toán song điều hòa phương pháp 55 55 phân rà dÃy hai toán elliptic 56 3.3 Phương pháp chia miền giải toán song điều hòa với điều kiƯn biªn Dirichlet 3.4 58 Phương pháp chia miền giải toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 74 KÕt luËn 81 Tµi liƯu tham kh¶o 83 Số hóa Trung tâm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Trên thực tế, nhiều toán khoa học kỹ thuật thông qua mô hình hóa toán học đưa đến việc giải toán biên phương trình đạo hàm riêng Trong toán trường hợp đơn giản (miền hình học miền đơn giản, hệ số phương trình hệ số hằng, ) tìm nghiệm tường minh phương pháp giải tích Còn đại đa số trường hợp khác nghiệm tường minh phức tạp Hơn nữa, số toán thực tế yêu cầu tìm nghiệm toán số điểm rời rạc Khi đó, buộc phải sử dụng phương pháp giải gần đúng, chủ yếu phương pháp số phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn Các phương pháp rời rạc hóa toán hầu hết đưa việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn, dẫn đến nhu cầu phát triển phương pháp hữu hiệu để giải hệ phương trình lưới Tuy nhiên, miền hình học miền phức tạp, liệu hệ số phương trình gián đoạn việc áp dụng phương pháp cho miền gặp nhiều khó khăn Vì nhiều năm qua, người ta đà phát triển phương pháp với mục đích đưa toán biên miền hình học phức tạp dÃy toán biên miền hình học đơn giản để sử dụng thuật toán hữu hiệu đà phát triển cho miền đơn giản Các phương pháp có tên gọi phương pháp chia miền (Domain Decomposition Methods) Tư tưởng phương pháp chia miền tìm cách xác định giá trị biên đường biên phân chia thông qua phương pháp lặp để chuyển việc giải toán miền phức tạp việc giải toán miền đơn giản từ thu nghiệm toán gốc Trong nhiều năm qua, lý thuyết phương pháp chia miền đà liên tục phát triển Các toán thường xét đến toán S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn biªn elliptic tuyến tính dạng miền Lu = f, x , L toán tử elliptic, d chiỊu (d = 2, 3) víi biªn Lipschitz ∂Ω, f hàm thuộc không gian L2 () Giả sử miền chia thành hai miền không giao Ω1 , Ω2 Ta kÝ hiÖu Γ = , giả sử biên Lipschitz (d 1) chiều Xuất phát từ công thức đa miền phương trình Steklov-Poincare, phương pháp chia miền phát triển từ sơ đồ lặp sau: Sơ đồ Dirichlet-Neumann: Xuất phát từ giá trị hàm chưa biết biên phân chia, tiến hành giải hai toán hai miền: Bài toán Dirichlet miền toán Neumann miền Từ đó, người ta xây dựng sơ đồ lặp để hiệu chỉnh giá trị hàm biên phân chia Phương pháp đà xét đến tác giả Bjorstad Windlund (1986), Bramble, (1986), Funaro, (1988), Marini vµ Quarteroni (1988, 1989) Sơ đồ Neumann-Neumann: Xuất phát từ giá trị hàm chưa biết biên phân chia, tiến hành giải hai toán hai miền: Bài toán Dirichlet miền toán Dirichlet miền Việc xây dựng sơ đồ lặp để hiệu chỉnh giá trị hàm biên phân chia phải dựa vào kết hai toán dạng Neumann hai miền Phương pháp nghiên cứu tác giả Agoshkov, Lebedev (1985), Bourgat, (1989) Sơ ®å Robin: Xt ph¸t tõ (0) u2 miỊn Ω2 , tiến hành giải hai toán Robin hai miỊn Ω1 , Ω2 ViƯc hiƯu chØnh giá trị hàm biên phân chia thực thông qua sơ đồ lặp giải hai toán Phương pháp nghiên cứu tác giả Agoshkov (1988), Lion (1990) Ta thấy rằng, sở phương pháp xuất phát từ việc xác định giá trị hàm biên phân chia, từ xây dựng sơ đồ lặp dạng hai lớp phương trình toán tử Việc nghiên cứu tính hội tụ sơ đồ lặp sử dụng kết không gian Sobolev toán tử Steklov-Poincare Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu phương trình song điều hòa lớp phương trình thu hút quan tâm rÊt lín cđa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn rÊt nhiỊu nhµ học, kỹ sư nhà toán học Trong vòng ba thập niên qua nhiều phương pháp mới, hữu hiệu giải phương trình đà nghiên cứu phát triển Cùng với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử , phương pháp số đà trở thành công cụ đắc lực để giải toán kỹ thuật nhiên có không tác giả đà sử dụng phương pháp gần giải tích phương pháp bình phương cực tiểu, phương pháp nghiệm để giải lớp phương trình song điều hòa Việc nghiên cứu thuật toán chia miền giải phương trình song điều hòa lĩnh vực cần nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày kết lý thuyết thực nghiệm tính toán phương pháp chia miền giải toán biên cho phương trình elliptic cấp hai toán song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet điều kiện biên hỗn hợp mạnh với tư tưởng hiệu chỉnh giá trị hàm đạo hàm biên phân chia Nội dung luận văn gồm có ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức không gian Sobolev, phương trình elliptic, lý thuyết phương pháp lặp giải phương trình toán tử kiến thức quan trọng làm tảng cho kết trình bày chương luận văn Chương 2: Trình bày ba phương pháp chia miền: Phương pháp SaitoFujita, phương pháp Dang Quang A-Vu Vinh Quang phương pháp chia miền giải toán biên hỗn hợp mạnh sở phương pháp chia miền tổng quát Trong phương pháp Saito-Fujita xuất phát từ tư tưởng hiệu chỉnh hàm biên phân chia thông qua phương pháp lặp sở sơ đồ lặp Dirichlet-Neumann, phương pháp Dang Quang A-Vu Vinh Quang xuất phát từ việc hiệu chỉnh giá trị đạo hàm biên phân chia cách tiến hành giải hai toán hai miền: Bài toán Neumann miền toán Dirichlet miền Chương 3: Giới thiệu tổng quan phương trình song điều hòa trình bày kết phương pháp chia miền toán song điều hòa, sở phân rà toán song điều hòa dÃy hai toán elliptic S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn kết phương pháp chia miền cho toán biên elliptic cấp hai, luận văn đà trình bày phương pháp chia miền giải toán song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet, đưa số kết thực nghiệm tính toán để kiểm tra hội tụ hai phương pháp SF phương pháp AQH, cải tiến sơ đồ chia miền so sánh tốc độ hội tụ phương pháp, đồng thời trình bày phương pháp chia miền giải toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Các kết thực nghiệm tính toán luận văn đà sử dụng thư viện chương trình TK2004 sở thuật toán thu gọn khối lượng tính toán Samarskij A - Nikolaev E lập trình môi trường Matlab máy tính PC Mặc dù đà cố gắng song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp cho luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, ngày 18 tháng 09 năm 2009 Học viên Đỗ Diệp Anh S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng Các kiến thức Trong chương này, trình bày kết lý thuyết quan trọng không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu định lý tồn nghiệm, bất đẳng thức Poincare, lý thuyết phương pháp lặp giải phương trình toán tử Những kiến thức sở kết tham khảo từ tµi liƯu [ 4, 5, 6, 7, 11, 17] 1.1 1.1.1 Các kiến thức không gian hàm Không gian C k () miền bị chặn không gian Euclid n chiều Rn bao đóng Ta ký hiÖu C k (Ω)(k = 0, 1, 2, ) tập hàm có đạo Giả sử hàm đến cấp Ta đưa vào C k () chuẩn k kể k , liên tục Ω X kukC k (Ω) max |Dα u(x)|, ¯ = (1.1) |α|=k ®ã ¯ x∈Ω α = (α1 , , n ) gọi đa số vectơ với tọa độ nguyên không ©m, |α| = α1 + · · · + αn , ∂ α1 +···+αn u D u= ∂x1 α1 ∂xn n hàm tất với chuẩn (1.1) đạo hàm chúng đến cấp k kể k Rõ ràng tập C k (Ω) Sù héi tơ theo chn nµy lµ sù héi tụ không gian Banach S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Không gian Giả sử LP () lµ mét miỊn Rn vµ p lµ mét sè thực dương Ta ký hiệu LP () lớp hàm đo f xác định cho Z |f (x)|p dx < ∞ (1.2) Ω Trong LP () ta đồng hàm hầu khắp Như phần tử LP () lớp tương đương hàm đo thỏa mÃn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Vì |f (x) + g(x)|p (|f (x)| + |g(x)|)p 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ) nên rõ ràng LP () không gian véc tơ Ta đưa vào LP () phiếm hàm ||.||p xác định 1/p Z p |u(x)| dx ||u||p = (1.3) Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Hoder) Nếu < p < ∞ vµ u ∈ LP (Ω), v ∈ LP () uv LP () Z |u(x)v(x)|dx ||u||p ||v||p, (1.4) Ω ®ã ®èi víi p, = p/(p − 1), tøc lµ 1 + , = 1, p, p p gọi số mũ liên hợp p Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu < p < ∞ th× ||f + g||p ||f ||p + ||g||p Định lí 1.3 Không gian (1.5) LP (Ω) víi p ∞ lµ mét kh«ng gian Banach Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Kh«ng gian Định nghĩa 1.1 phương Cho W 1,p () miền Rn Hàm u(x) gọi khả tích địa u(x) hàm cho với x0 tồn lân cận Định nghĩa 1.2 x0 để u(x) khả tích Cho miền Rn Giả sử u(x), v(x) hai hàm khả tích địa phương Z cho ta cã hÖ thøc ∂kϕ u dx = (−1)k k k n ∂x1 ∂xn Ω ®èi víi mäi ®ã, Z vϕdx Ω ϕ(x) ∈ C0k (Ω), k = k1 + + kn , ki ≥ (i = 1, 2, , n) Khi v(x) gọi đạo hµm suy réng cÊp k cđa u(x) KÝ hiƯu ∂ku v(x) = x1 k1 xn kn Định nghĩa 1.3 Giả sử p số thực, p < ∞, Ω lµ miỊn Rn W 1,p () định nghĩa sau:   u W 1,p (Ω) = u | u ∈ Lp (Ω), ∈ Lp (Ω), i = 1, 2, , n , ∂xi Không gian Sobolev đạo hàm đạo hàm suy rộng Với p = 2, ta kÝ hiÖu W 1,2 (Ω) = H (Ω), nghÜa lµ   ∂u H (Ω) = u | u ∈ L2 (Ω), ∈ L2 (Ω), i = 1, 2, , n xi Bổ đề 1.1 i) Không gian W 1,p () không gian Banach với chuẩn n X ∂u kukW 1,p (Ω) = kukLp (Ω) + ∂xi p L (Ω) i=1 H (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng  n  X ∂u ∂v (u, v)H (Ω) = (u, v)L2 (Ω) + , , ∀u, v ∈ H (Ω) ∂xi ∂xi L2 (Ω) i=1 ii) Kh«ng gian Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 2.1 với miền Toán tử Si gọi toán tử Steklov-Poincare tương ứng i (i = 1, 2) nÕu ∂Hi ξ , ∂ni Hi mở rộng điều hòa vµo Ωi , Si ξ = 1/2 ξ ∈ H00 () = {v| : v H01 ()} Phương trình (2.6) gọi phương trình Steklov-Poincare Ta sử dụng toán tử Si1 (i = 1, 2) gọi toán tử Poincare-Steklov Xuất phát từ công thức đa miền, phương trình Steklov-Poincare, toán tử Steklov-Poincare, số nhà toán học giới đà đề xuất phương pháp lặp sở để xét dÃy toán miền , với điều kiện biên Dirichlet Neumann tương ứng Các phương pháp thực sơ đồ lặp sau đây: * Các sơ đồ lặp bản: Sơ đồ Dirichlet-Neumann: Cho trước (0) , với k 0, giải liên tiếp hai toán (k+1) 4u1 = f, x ∈ Ω1 ,    (k+1) u1 = 0, x ∈ ∂Ω1 ∩ ∂Ω,     (k+1)  u1 = λ(k) , x ∈ Γ  (k+1)   −4u2 = f, x ∈ Ω2 ,    (k+1) u2 = 0, x ∈ ∂Ω2 ∩ ∂Ω,   (k+1) (k+1)  ∂u1   ∂u2 = , x ∈ Γ ∂n ∂n TÝnh l¹i giá trị (k+1) theo công thức: (k+1) (k+1) = u2 | + (1 )(k) tham số cần lựa chọn để dÃy lặp hội tụ 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Sơ đồ Neumann-Neumann: Xuất phát từ (0) , với k 0, giải to¸n:   (k+1)  −4u = f, x ∈ Ωi ,  i   (k+1) ui = 0, x ∈ ∂Ωi ∩ ∂Ω,     (k+1)  ui = λ(k) , x ∈ Γ  (k+1)   −4ψi = 0, x ∈ Ωi ,    (k+1) ψi = 0, x ∈ ∂Ωi ∩ ∂Ω,   (k+1) (k+1) (k+1)  ∂u1 ∂u2   ∂ψi = − , ∂n ∂n ∂n x ∈ Γ HiÖu chØnh: (k+1) λ(k+1) = λ(k) − θ(σ1 ψ1 ®ã (k+1) |Γ − σ2 ψ2 |Γ ) θ > tham số lặp, hai hệ số ước lượng trung bình dương Sơ đồ Robin: Trong trường hợp xuất phát từ      (k+1) = −4u1 (0) u2 với k 0, giải toán: f, x ∈ Ω1 , (k+1) = 0, x ∈ ∂Ω1 ∩ ∂Ω,   (k+1) (k)  ∂u2  (k+1) (k)  ∂u1 + γ1 u1 = + γ1 u2 , x ∈ Γ ∂n ∂n       u1 (k+1) −4u2 = f, x ∈ Ω2 , (k+1) = 0, x ∈ ∂Ω2 ∩ ∂Ω,   (k+1) (k+1)  ∂u1  (k+1) (k+1)  ∂u2 − γ2 u2 = − γ2 u1 , x ∈ n n , tham số gia tốc không âm thỏa mÃn + > u2 Xuất phát từ sở phương pháp chia miền sơ đồ lặp bản, nhiều tác giả giới đà đề xuất hàng loạt phương pháp lặp giải toán 32 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn biên elliptic Phần luận văn trình bày hai phương pháp khác tiếp cận đến việc giải toán biên cho phương trình elliptic với điều kiện biên Dirichlet nhóm tác giả Nhật Bản Việt Nam năm gần 2.2 Phương pháp chia miền Saito-Fujita Với tư tưởng hiệu chỉnh giá trị hàm biên phân chia, năm 2001, hai nhà toán học Nhật Bản Norikazu Saito Hiroshi Fujita dựa sở sơ đồ lặp Dirichlet-Neumann đà đề xuất phương pháp chia miền giải toán biên elliptic với điều kiện biên Dirichlet Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [20, 21] Cho miền R2 với biên Lipschitz Xét toán (2.1) 4u = f, x ∈ Ω,  u = ϕ, x ∈ ∂Ω, ®ã f ∈ L2 (Ω), ϕ ∈ H 1/2 (∂Ω) Cách chia miền kí hiệu đà trình bày phần đầu chương Kí hiệu (k) (k) {u1 }, {u2 } dÃy hàm hội tụ đến u1 , u2 cách tương ứng Tư tưởng phương pháp Saito-Fujita tìm xấp xỉ g = u| nhận sơ đồ lặp sau: Cho trước g (0) xác định Với g (k) xác định (k 0), tiến hành giải hai toán (k) 4u1 = f, x ∈ Ω1 ,    (k) u1 = ϕ, x ∈ Γ1 ,     (k)  u1 = g (k) , x ∈ Γ, 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (2.7)  (k)   −4u2    (k) u2   (k)   u2 n2 Hiệu chỉnh giá trị g (k) = f, x ∈ Ω2 , = ϕ, x ∈ Γ2 , = − (k) ∂u1 , ∂n1 x ∈ Γ theo c«ng thøc: (k) g (k+1) = (1 − θ)g (k) + θu2 , ®ã (2.8) (2.9) x , tham số cần lựa chọn ®Ĩ d·y lỈp héi tơ, < θ < Ta thấy rằng, điều kiện liên tục đạo hàm qua biên phân chia đà thỏa mÃn, điều kiện liên tục hàm qua biên phân chia phụ thuộc vào hội tụ dÃy lặp (2.9) Từ cách xác định Hi g Gi f (i = 1, 2) ë (2.4), (2.5) ta cã  (k)   −(4u2 − G2 f ) = 0, x ∈ Ω2 ,    (k) u2 − G2 f = 0, x ∈ Γ2 ,   (k) (k)    ∂(u2 − G2 f ) = − ∂u1 + ∂G2 f , ∂n2 ∂n1 ∂n1 V× x ∈ Γ (k) u1 = H1 g (k) + G1 f nªn suy (k) (k) u2 |Γ =(u2 − G2 f )|Γ = ! (k) ∂H [(u − G f )| ] 2 Γ =S2−1 = ∂n ! (k) u2 − G f =S2−1 = ∂n2 ! (k) ∂u ∂G2 f =S2−1 − 11 + = ∂n ∂n1    (k) ∂G f ∂G f ∂H g − + = =S2−1 − ∂n1 ∂n1 ∂n2 =S2−1 (−S1 g (k) + χ), x ∈ Γ 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn KÕt hỵp ®iỊu nµy víi (2.9) ta suy g (k+1) = (1 − θ)g (k) + θS2−1 (−S1 g (k) + ) (2.10) đặt (k) = g(k) u| thay vào (2.10) ta (k+1) + g = (1 − θ)(ξ (k) + g) + θS2−1 [−S1 (ξ (k) + g) + χ] Tõ ®ã suy ξ (k+1) =[(1 − θ)ξ (k) − θS2−1 S1 ξ (k) ] −θ(g + S2−1 S1 g − S2−1 χ), x (2.11) Theo phương trình Steklov-Poincare (2.6) ta có S2−1 χ = S2−1 Sg = S2−1 S1 g + g, thay vào (2.11) ta suy (k+1) = (1 − θ)ξ (k) − θS2−1 S1 ξ (k) VËy ξ (k+1) = Aθ ξ (k) , ®ã (2.12) Aθ = (1 − θ)E − θS2−1 S1 (2.12) sơ đồ lặp sai sè Ta cã ξ (k+1) − ξ (k) + (E + S21 S1 ) (k) = đẳng thức có dạng (1.31) với toán tử B E , toán tử A = E +S21S1 Ta phải tìm để sơ đồ lặp (2.12) hội tụ đặt H = S21S1 Như ta đà biết, toán tử Steklov-Poincare Si (i = 1, 2) xác định Si ξ = ∂Hi ξ , ∂ni 1/2 ξ ∈ Λ = H00 (Γ) = {v|Γ : v ∈ H01 (Ω)} 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ta cã Z hSi ξ, ηi = ∂Hi ξ ηdΓ = ∂ni ZΓ ∇Hi ξ∇Hi ηdx = = Ωi =(∇Hi ξ, ∇Hi η)L2 (Ω) , Từ ta suy , Si phiếm hàm tuyến tính liên tục: Si ξ : Λ → R víi ξ ∈ Λ Do đó, Si (i = 1, 2) toán tử tác động không gian hàm = 1/2 1/2 H00 () không gian đối ngẫu = H00 () Như vậy, với Si toán tử đối xứng toán tử xác định dương , áp dụng bất đẳng thøc Poincare ta cã kHi ξk2H (Ωi ) =kHi ξk2L2 (Ωi ) + k∇Hi ξk2L2 (Ωi ) ≤ ≤c2 k∇Hi ξk2L2 (Ωi ) + k∇Hi ξk2L2 (Ωi ) = =(1 + c2 )k∇Hi ξk2L2 (Ωi ) = =(1 + c2 )(∇Hi ξ, ∇Hi ξ)L2 (Ωi ) = =(1 + c2 )hSi ξ, ξi Nh­ vËy tån t¹i h»ng sè C1i cho hSi ξ, ξi ≥ C1i kHi k2H (i ) Theo định lý 1.7-ii ta cã 2 C1i kHi ξk2H (Ωi ) ≥ C2i kk2H 1/2 () Từ ta suy 2 hSi ξ, ξi ≥ C1i kHi ξk2H (i ) C2i kk2H 1/2 () Hơn nữa, áp dụng bổ đề 1.2-iii trường hợp g = ξ, ug = Hi ξ ta cã hSi ξ, ξi1/2 ≤ kHi ξkH (Ωi ) ≤ C3i kξkH 1/2 (Γ) 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.13) http://www.Lrc-tnu.edu.vn (2.14) Tõ (2.13), (2.14) ta nhận C2i kkH 1/2 () hSi ξ, ξi1/2 ≤ C3i kξkH 1/2 (Γ) Nh­ vËy, hSi , i (i = 1, 2) định nghĩa tích vô hướng , Kí hiệu tích vô hướng (, )Si (i = 1, 2) chuẩn sinh tích vô hướng tương đương với chuẩn thông thường chuẩn nµy lµ H 1/2 (Γ) KÝ hiƯu k.kSi (i = 1, 2) Ta cã kξkS2 = hS2 ξ, ξi1/2 (ξ, η)S2 = hS2 ξ, ηi, Trong tÝch v« h­íng nµy (Hξ, η)S2 = hS2 Hξ, ηi = hS2 (S2−1 S1 ), i = hS1 , i Vì S1 toán tử đối xứng nên H = S21 S1 toán tử đối xứng Do đó, A = E + S21 S1 = E + H toán tử đối xứng Định nghĩa 2.2 Cho m 1, l (, ) gọi thỏa mÃn điều kiện (Fm ) nÕu hS1 ξ, ξ) ≤ mhS2 ξ, ξi, Mặt khác, (, ) gọi thỏa mÃn điều kiÖn (F l ) nÕu hS2 ξ, ξ) ≤ lhS1 ξ, ξi, Bỉ ®Ị 2.1 ∀ξ ∈ Λ NÕu ∀ξ (, ) thỏa mÃn hai điều kiện (Fm ) (F l ) kk2S2 (Hξ, ξ)S2 ≤ mkξk2S2 , l ThËt vËy, nÕu ∀ξ (, ) thỏa mÃn hai điều kiện (Fm ) (F l ) tồn m ≥ 1, l ≥ cho hS1 ξ, ξi ≤ mhS2 ξ, ξi ≤ mlhS1 ξ, ξi, ∀ξ ∈ Λ suy hS2 (S2−1 S1 )ξ, ξi ≤ mhS2 ξ, ξi ≤ mlhS2 (S2−1 S1 )ξ, ξi, ∀ξ ∈ Λ 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn suy (Hξ, ξ)S2 ≤ mkξk2S2 ≤ ml(Hξ, ξ)S2 , kξk2S2 ≤ (Hξ, ξ)S2 ≤ mkξk2S2 , l Do ®ã VÝ dơ 2.1 ∀ξ ∈ Λ ∀ξ ∈ Λ  (Ω, Γ) tháa m·n ®iỊu kiƯn (Fm ) vµ (F l ): Cho Γ đoạn thẳng trục y , m 1, l ≥ 1, x  ,y , Tm : (x, y) 7−→ m x  Tl : (x, y) ,y , l Tm ảnh miền qua Tm , (Tm )0 ảnh Tm Ω2 qua phÐp ®èi xøng qua trơc y , Tl ảnh miền qua Tl , (Tl )0 ảnh Tl qua phép ®èi xøng qua trôc y NÕu (Tm Ω2 )0 ⊆ Ω1 , (Tl Ω1 )0 ⊆ Ω2 th× ®ã (Ω, T ) tháa m·n ®iỊu kiƯn (Fm ) (F l ) Như vậy, giả sử phép chia miền tồn số thành hai miỊn Ω1 vµ Ω2 cã m, l ≥ cho điều kiện (Fm ) (F l ) thỏa mÃn Khi đó, theo bổ đề ta cã ≤H≤m l suy 1+ Nh­ vËy 1+ ≤ E + H ≤ + m l ≤ A = E + H ≤ + m l Khi đó, theo lý thuyết tổng quát sơ đồ lặp hai lớp chương ta suy víi 0