Một số phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ ÁNH HỒNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN SONG ĐIỀU HỊA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Các kiến thức 1.1 Các kiến thức không gian hàm ¯ 1.1.1 Không gian C k (Ω) 1.1.2 Không gian Lp (Ω) 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) 1.1.4 Khái niệm vết hàm 1.2 Lý thuyết phương trình elliptic 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình 1.2.2 Phát biểu toán biên 1.3 Phương pháp lặp sơ đồ lặp 4 5 10 10 12 13 Một số phương pháp giải toán elliptic với biên kì dị 2.1 Phương pháp chia miền giải toán biên elliptic cấp với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 2.1.1 Cơ sở phương pháp 2.1.2 Sự hội tụ phương pháp 2.2 Phương pháp lặp giải toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp 2.2.1 Mơ hình tốn 2.2.2 Phương pháp lặp 15 Bài tốn Crack số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 3.1 Phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho tốn song điều hịa với điểm đứt gãy kì dị 3.1.1 Mơ hình tốn 3.1.2 Phương pháp tích phân biên kì dị 27 i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 15 17 22 22 22 27 28 30 MỤC LỤC 3.2 3.1.3 Kết số Phương pháp chia miền giải toán crack 3.2.1 Sơ đồ lặp chia miền 3.2.2 Các kết thực nghiệm Tài liệu tham khảo ii Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 37 37 39 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Vũ Vinh Quang Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, TS Vũ Vinh Quang, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Chu Văn An - Thái Nguyên bạn lớp Cao học K4A, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Khi nghiên cứu toán học vật lý kỹ thuật, thơng qua việc mơ hình hóa, tốn thường dẫn đến dạng phương trình elliptic cấp dạng phương trình song điều hịa với hệ số điều kiện biên khác Trong trường hợp điều kiện biên toán xét khơng tồn điểm kì dị có nhiều phương pháp tác giả giới tìm nghiệm gần tốn tương ứng phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên, trường hợp biên tồn điểm kì dị điểm phân cách loại điều kiện biên hàm đạo hàm, điều thường xảy mô hình tốn học vật liệu đàn hồi gặp tốn elliptic tốn song điều hịa với điều kiện biên kì dị Khi phương pháp thơng thường gặp nhiều khó khăn Đối với tốn này, để tìm nghiệm xấp xỉ, người ta thường sử dụng phương pháp phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dạng khai triển thông qua hệ hàm sở Một hướng nghiên cứu thứ hai xây dựng sơ đồ lặp dựa tư tưởng chia miền Mục đích luận văn tìm hiểu tốn vết nứt hay cịn gọi tốn crack tác giả giới đưa Mơ hình tốn học tốn tốn song điều hồ với điều kiện biên kì dị Trình bày sở phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải toán đồng thời xây dựng sơ đồ lặp dựa tư tưởng chia miền tìm nghiệm xấp xỉ tốn Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận hội tụ phương pháp lặp so sánh tính hiệu hai phương pháp đưa Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức không gian hàm đặc biệt không gian Sobolev, bất đẳng thức quan trọng, khái niệm nghiệm yếu, lý thuyết sơ đồ lặp hai lớp định lý hội tụ sơ đồ lặp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Chương 2: Trình bày sở phương pháp chia miền để giải toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh sở phương pháp lặp giải toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp Chương 3: Nghiên cứu mơ hình tốn vết nứt, trình bày sở phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải toán Trên sở phương pháp chia miền giải phương trình cấp phương pháp lặp giải phương trình cấp 4, luận văn đưa sơ đồ lặp giải toán vết nứt, tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính đắn phương pháp đưa Từ đưa kết luận so sánh hai phương pháp Trong luận văn, chương trình thực nghiệm lập trình ngơn ngữ Matlab chạy máy tính PC Mặc dù cố gắng song nội dung luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến Thầy, Cơ bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức Trong chương này, luận văn trình bày kết lý thuyết quan trọng không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu định lý tồn nghiệm, bất đẳng thức Poincare, lý thuyết phương pháp lặp giải phương trình tốn tử 1.1 Các kiến thức không gian hàm 1.1.1 ¯ Không gian C k (Ω) ¯ Giả sử Ω miền bị chặn không gian Euclid n chiều Rn Ω ¯ bao đóng Ω Ta kí hiệu C k (Ω)(k = 0, 1, 2, ) tập hàm có đạo ¯ Ta đưa vào C k (Ω) ¯ chuẩn hàm đến cấp k kể k Ω, liên tục Ω X ||u||C k (Ω) max |Dα u(x)|, (1.1) ¯ = |α|=k ¯ x∈Ω α = (α1 , α2 , , αn ) gọi đa số véc tơ với tọa độ nguyên không âm, |α| = α1 + α2 + + αn , ∂ α1 + +αn u D u = α1 ∂x1 ∂xαn n α Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức ¯ hàm tất Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ Ω ¯ với chuẩn đạo hàm chúng đến cấp k kể k Rõ ràng tập C k (Ω) (1.1) không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp(Ω) Giả sử Ω miền Rn p số thực dương Ta kí hiệu Lp (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho Z |f (x)|p dx < ∞ (1.2) Ω Trong Lp (Ω ta đồng hàm hầu khắp Ω Như phần tử Lp (Ω) lớp tương đương hàm đo thỏa mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Ω Vì |f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x) + g(x)|)p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ) nên rõ ràng Lp (Ω) không gian véc tơ Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm hàm || · ||p xác định ||u||p =  Z  1.1.3 |u(x)|p dx Ω 1/p  (1.3)  Không gian W 1,p(Ω) Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω miền Rn Hàm u(x) gọi khả tích địa phương Ω u(x) hàm Ω với x0 ∈ Ω tồn lân cận ω x0 để u(x) khả tích Ω Định nghĩa 1.1.2 Cho Ω miền Rn Giả sử u(x), v(x) hai hàm khả tích địa phương Ω cho ta có hệ thức Z Z ∂kϕ k u k1 dx = (−1) vϕdx, ∂x1 ∂xknn Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức ϕ(x) ∈ C0k (Ω), k = k1 + + kn , ki ≤ 0(i = 1, 2, , n) Khi đó, v(x) gọi đạo hàm suy rộng cấp k u(x) Kí hiệu ∂ku v(x) = k1 ∂x1 ∂xknn Định nghĩa 1.1.3 Giả sử p số thực, < p < ∞, Ω miền Rn Không gian Sobolev W 1,p (Ω) định nghĩa sau: W 1,p (Ω) = {u|u ∈ Lp (Ω), ∂u ∈ Lp (Ω), i = 1, 2, , n}, ∂xi đạo hàm đaọ hàm suy rộng Với p = 2, ta kí hiệu W 1,p (Ω) = H (Ω), nghĩa H (Ω) = {u|u ∈ L2 (Ω), ∂u ∈ L2 (Ω), i = 1, 2, , n} ∂xi Bổ đề 1.1.4 i) Không gian W 1,p (Ω) không gian Banach với chuẩn ||u||W 1,p (Ω) n X ∂u = ||u||Lp (Ω) + || ||Lp (Ω) ∂x i i=1 ii) Không gian H (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng  n  X ∂u ∂v (u, v)H (Ω) = (u, v)L2 (Ω) + , , ∀u, v ∈ H (Ω) ∂xi ∂xi L2 (Ω) i=1 1.1.4 Khái niệm vết hàm Định nghĩa 1.1.5 Không gian Sobolev W 1,p (Ω) định nghĩa bao đóng khơng gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω tương ứng với chuẩn W 1,p (Ω) Không gian H01 (Ω) định nghĩa H01 (Ω) = W01,2 (Ω) Định lý 1.1.6 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khi đó: i) Nếu ≤ p < n W01,p (Ω) ⊂ Lq (Ω) là: 1 - Nhúng compact q ∈ [1, p∗ ), ∗ = − p p n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức - Nhúng liên tục với q = p∗ ii) Nếu p = n W01,n (Ω) ⊂ Lq (Ω) nhúng compact q ∈ [1, +∞) ¯ nhúng compact iii) Nếu p > n W01,p (Ω) ⊂ C (Ω) Định lý 1.1.7 (Định lý vết) Giả sử Ω tập mở Rn với biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khi tồn ánh xạ tuyến tính liên tục γ : H (Ω) → L2 (∂Ω) ¯ ta có γ(u) = u|∂Ω Hàm γ(u) cho với u ∈ H (Ω) ∩ C (Ω) gọi vết u ∂Ω Định nghĩa 1.1.8 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Không gian H 1/2 (∂Ω) gọi miền giá trị ánh xạ vết γ, tức H 1/2 (∂Ω) = γ(H (Ω)) Định lý 1.1.9 i) Kí hiệu H 1/2 (∂Ω) khơng gian Hilbert với chuẩn Z Z Z |u(x) − u(y)|2 2 ||u||H 1/2 (∂Ω) = |u(x)| dSx + dSx dSy |x − y|n+1 ∂Ω ∂Ω ∂Ω ii) Tồn số Cγ (Ω) cho: ||γ(u)||H 1/2 (∂Ω) ≤ Cγ (Ω)||u||H (Ω) , ∀u ∈ H (Ω) Khi đó, Cγ (Ω) gọi số vết Bổ đề 1.1.10 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khơng gian H 1/2 (∂Ω) có tính chất sau: i) Tập {u|∂Ω , u ∈ C ∞ (Rn )} trù mật H 1/2 (∂Ω) ii) Nhúng H 1/2 (∂Ω) ⊂ L2 (∂Ω) compact iii) Tồn ánh xạ tuyến tính liên tục g ∈ H 1/2 (∂Ω) → ug ∈ H (Ω) với γ(ug ) = g tồn số C1 (Ω) phụ thuộc vào miền Ω cho ||u||H (Ω) ≤ C1 (Ω)||g||H 1/2 (∂Ω) , ∀g ∈ H 1/2 (∂Ω) Bổ đề 1.1.11 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Khi H01 (Ω) = {u|u ∈ H (Ω), γ(u) = 0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Z ∂u dx ≤ a2 |∇u|2 dx, u2 dx ≤ a2 ∂xn Ω Ω Ω tức ||u||L2 (Ω) ≤ a||∇u||L2 (Ω) , ∇u ∈ C0∞ (Ω) Do đẳng thức với ∀u ∈ H01 (Ω) Nếu Ω tập mở giới nội bất kì, ln tồn khoảng I với cạnh phụ thuộc vào đường kính Ω thỏa mãn Ω ⊂ I Theo trên, định lý với khoảng I, kết hợp với (1.4) ta suy định lý với Ω Nhận xét 1.1.13 Bất đẳng thức Poincare có nghĩa rằng: ||u|| = ||∇u||L2 (Ω) chuẩn H01 (Ω), tương đương với chuẩn H (Ω) xác định ||u||2H (Ω) = ||u||2L2 (Ω) + ||∇u||2L2 (Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức Định lý 1.1.14 (Bất đẳng thức Poincare mở rộng) Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz, ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2 , Γ1 , Γ2 tập đóng, rời nhau, Γ1 có độ đo dương Khi đó, tồn số C(Ω) cho ||u||L2 (Ω) ≤ CΩ ||∇u||L2 (Ω) ∀u ∈ H (Ω), γ(u) = Γ1 1.1.4.1 Không gian Sobolev với số âm H −1 (Ω) H −1/2 (∂Ω) Định nghĩa 1.1.15 Kí hiệu H −1/2 (∂Ω) khơng gian Banach định nghĩa H −1 (∂Ω) = (H01 (Ω))0 , tức không gian đối ngẫu H01 (Ω) Chuẩn phần tử F ∈ H −1 (Ω) xác định sau ||F ||H −1 (Ω) = | < F, u >H −1 (Ω),H01 (Ω) | , ||u||H01 (Ω) H01 (Ω)\{0} sup Z < F, u >H −1 (Ω),H01 (Ω) = F udx Ω Bổ đề 1.1.16 Cho F ∈ H −1 (Ω) Khi tồn n + hàm f0 , f1 , , fn L2 (Ω) cho n X ∂fi (1.5) F = f0 + ∂x i i=1 Hơn ||F ||2H −1 (Ω) = inf n X ||fi ||2L2 (Ω) , i=1 infimum lấy tất véc tơ (f0 , f1 , , fn ) [L2 (Ω)]n+1 thỏa mãn điều kiện (1.5) Định nghĩa 1.1.17 Giả sử biên ∂Ω liên tục Lipschitz Kí hiệu H −1/2 (∂Ω) không gian Banach định nghĩa H −1/2 (∂Ω) = (H 1/2 (∂Ω))0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức tức không gian đối ngẫu không gian H 1/2 (∂Ω) Chuẩn phần tử F ∈ H −1/2 (∂Ω) xác định sau ||F ||H −1/2 (Ω) = | < F, u >H −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω) | ||u||H 1/2 (∂Ω) H 1/2 (∂Ω)\{0} sup Z < F, u >H −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω) = F udS ∂Ω 1.2 Lý thuyết phương trình elliptic 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình Xét phương trình − ∆u = f (1.6) Giả sử u ∈ C (Ω), f ∈ C(Ω) phương trình (1.6) thỏa mãn miền Ω Khi đó, u(x) gọi nghiệm cổ điển phương trình (1.6) Lấy hàm ϕ thuộc D(Ω) = C0∞ (Ω) nhân với hai vế (1.6) lấy tích phân ta Z Z − ∆uϕdx = f ϕdx (1.7) Ω Ω Áp dụng công thức Green vào (1.7) kết hợp với điều kiện ϕ|∂Ω = ta có Z X Z n ∂ϕ ∂u dx = f ϕdx, (1.8) ∂x ∂x i i i=1 Ω Ω hay Z Z ∇u∇ϕdx = Ω f ϕdx Ω Như vậy, u nghiệm phương trình (1.6) có (1.8) Nhưng ¯ C(Ω) phương trình (1.6) khơng có nghiệm cổ điển Vậy, ta cần f ∈ mở rộng khái niệm f ∈ L2 (Ω) 10 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức Định nghĩa 1.2.1 Giả sử u ∈ H (Ω), f ∈ L2 (Ω), u gọi nghiệm yếu phương trình (1.6) (1.8) thỏa mãn Mệnh đề 1.2.2 Nếu u nghiệm yếu phương trình (1.6) u ∈ C (Ω), f ∈ C(Ω) u nghiệm cổ điển, tức −∆u = f Chứng minh Giả sử u nghiệm yếu phương trình (1.6), tức u ∈ H (Ω) ta có (1.8) với hàm ϕ ∈ D(Ω), kết hợp với điều kiện u ∈ C (Ω) ta suy Z (∆u + f )ϕdx = 0, ∀u ∈ D(Ω) Ω Vì D(Ω) trù mật L2 (Ω), ∆u + f trực giao với ϕ ∈ D(Ω) nên ∆u + f = L2 (Ω) Nhưng ∆u liên tục nên ∆u + f ≡ C(Ω) Vậy u nghiệm cổ điển phương trình (1.6) Xét phương trình song điều hồ ∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u ∆ u = + 2 + = f ∂x ∂x ∂y ∂y (1.9) Giả sử u ∈ C (Ω), f ∈ C(Ω), ϕ ∈ D(Ω) Nhân hai vế phương trình với ϕ lấy tích phân tồn miền Ω ta thu Z Z ϕ∆ udx = f ϕdx (1.10) Ω Ω u gọi nghiệm yếu u thoả mãn (1.10) Tổng quát xét toán Au = f, P A = (−1)|i| Di (aij (x)Dj ) (1.11) |i|,|j|≤k Nếu u thoả mãn hệ thức X aij Dj ϕDj udx =< f, ϕ >, ∀ϕ ∈ D(Ω) |i|,|j|≤k gọi ngiệm yếu phươg trình 11 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.12) Chương Các kiến thức 1.2.2 Phát biểu toán biên Bài toán Dirichlet Xét toán   −∆u = f,  u = ϕ, x∈Ω (1.13) x ∈ ∂Ω f ∈ L2 (Ω) Hàm u ∈ H (Ω) gọi nghiệm yếu toán (1.13) u − ω ∈ H01 (Ω) (1.14) ω hàm thuộc H (Ω), có vết ϕ Z Z ∇u∇vdx = f vdx, ∀v ∈ H01 (Ω) Ω (1.15) Ω Nhận xét 1.2.3 i) Nghiệm yếu toán (1.13) nghiệm yếu phương trình −∆u = f ta định nghĩa nghiệm yếu phương trình hàm u ∈ H (Ω) thỏa mãn (1.15) với v ∈ C0∞ (Ω) ⊂ H01 (Ω) ii) Nếu u nghiệm yếu toán (1.13) đặt u, f, ϕ đủ trơn nghiệm theo nghĩa cổ điển Bài tốn Neumann Xét toán   −∆u = f, x ∈ Ω (1.16)  ∂u = h, x ∈ ∂Ω ∂ν ¯ u ∈ C (Ω) ¯ nghiệm cổ điển h ∈ C(∂Ω), f ∈ C(Ω), Nhân hai vế phương trình −∆u = f với v ∈ H (Ω) lấy tích phân ta Z Z − v∆udx = Ω vf dx Ω Áp dụng cơng thức Green vào (1.17) ta có Z Z Z ∂Ω − v dS + ∇u∇vdx = vf dx ∂ν ∂Ω Ω 12 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.17) Chương Các kiến thức Kết hợp với (1.16) ta suy Z Z Z ∇u∇vdx = f vdx + hvdS, ∀v ∈ H (Ω) Ω Ω (1.18) ∂Ω Định nghĩa 1.2.4 Nếu h ∈ L2 (∂Ω), f ∈ L2 (Ω) nghiệm yếu tốn Neumann (1.16) hàm u ∈ H (Ω) thỏa mãn (1.18) 1.3 Phương pháp lặp sơ đồ lặp Xét toán Au = f, (1.19) A : H → H tốn tử tuyến tính p khơng gian Hilbert thực N chiều H với tích vơ hướng (, ) chuẩn ||y|| = (y, y) Giả sử A toán tử đối xứng, xác định dương, f ∈ H véc tơ tùy ý Trong phương pháp lặp, xuất phát từ y0 thuộc H, người ta đưa cách xác định nghiệm xấp xỉ y1 , y2 , , yk , phương trình (1.19) Các xấp xỉ biết giá trị lặp với số lặp k = 1, 2, chất phương pháp giá trị yk+1 tính thơng qua giá trị lặp trước: yk , yk+1 , Phương pháp lặp gọi là phương pháp lặp bước hai bước xấp xỉ yk+1 tính thơng qua hai giá trị trước Dạng tắc lược đồ lặp hai lớp Bk yk+1 − yk + Ayk = f, k = 0, 1, 2, θk+1 (1.20) Lước đồ lặp (1.20) cho ta xấp xỉ xác nghiệm u phương trình Au = f với tốn tử Bk cách chọn tham số θk+1 +) Nếu Bk = E lược đồ lặp (1.20) gọi lược đồ lặp hiển yk+1 − yk + Ayk = f, k = 0, 1, 2, θk+1 (1.21) Trong trường hợp θk = θ số lược đồ lặp (1.21) gọi lược đồ lặp đơn giản +) Nếu Bk 6= E lược đồ lặp (1.20) gọi lược đồ ẩn Lược đồ dừng, định lý hội tụ phép lặp 13 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức Lược đồ lặp (1.20) với toán tử Bk = B, tham số θk+1 = θ không đổi (k = 0, 1, 2, ) gọi lược đồ lặp dừng B yk+1 − yk + Ayk = f, k = 0, 1, 2, θ (1.22) Định lý 1.3.1 Nếu A toán tử đối xứng, xác định dương 1 B > θA hay (Bx, x) > θ(Ax, x), ∀x ∈ H 2 (1.23) điều kiện đủ cho hội tụ lược đồ lặp (1.22) không gian HA với tốc độ hội tụ cấp số nhân ||zk+1 ||A ≤ ρ||zk ||A , k = 0, 1, 2, , ρ <  ρ = 2θδ∗ δ 1− ||B||2 1/2 (1.24) , δ = λk (A), δ∗ = λk (B0 − θA), k k B + B∗ B0 = phần tử đối xứng toán tử B Nhận xét 1.3.2 Với Bk = B cố định, định lý đưa quy tắc lựa chọn giá trị θ để lược đồ lặp hội tụ Trong trường hợp B = E, điều kiện hội tụ đảm bảo tất giá trị riêng thỏa mãn   1 λk E − θA = − θλk (A) > 2 Hay 1 − θ||A|| > 2 Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với θ < ||A|| 14 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp giải tốn elliptic với biên kì dị 2.1 Phương pháp chia miền giải toán biên elliptic cấp với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 2.1.1 Cơ sở phương pháp Cho Ω ⊂ R2 miền với biên Lipschitz ∂Ω, xét toán   −∆u(x) = f (x), ∀x ∈ Ω,  lu(x) = g(x), x ∈ ∂Ω Giả sử f (x) ∈ L2 (Ω), g(x) ∈ H (∂Ω) Ta xét trường hợp tổng quát điều kiện biên lu(x) = g(x) điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức phân biên trơn gồm hai điều kiện biên Dirichlet (l tốn tử 15 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp giải toán elliptic với biên kì dị hàm) Neumann (l tốn tử đạo hàm hướng) Đây toán nhiều tác giả giới quan tâm Trong phần luận văn trình bày phương pháp chia miền để giải toán biên hỗn hợp mạnh Sự hội tụ phương pháp trường hợp có điểm phân cách điều kiện biên nghiên cứu lý thuyết Giả sử Ω cho Hình 2.1 xét toán   −∆u = f, x ∈ Ω,    u = ϕ, x ∈ ∂Ω\Γn ,     ∂u = ψ, x ∈ Γn ∂ν Hình 2.1: Chia miền Ω thành hai miền Ω1 , Ω2 với biên trơn Γ, Ω = Ω1 ∪ Ω2 , Ω1 ∩ Ω2 = ∅ Kí hiệu Γ1 = ∂Ω1 \{Γd ∪ Γ}, Γ2 = ∂Ω2 \{Γn ∪ Γ}, ui nghiệm miền Ωi (i = 1, 2) Tư tưởng phương pháp tìm xấp xỉ ∂u1 g = |Γ để chuyển toán xét hai toán hai miền ∂ν1 Ở νi véc tơ pháp tuyến miền Ωi (i = 1, 2) • Mơ tả thuật toán chia miền Bước Cho trước g (0) ∈ L2 (Γ), chẳng hạn g (0) = 0, x ∈ Γ 16 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn