ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN TẤN NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHỨA TOÁN TỬ LAPLACE PHÂN THỨ Ngành Toán giải tích Mã số 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN TẤN NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHỨA TỐN TỬ LAPLACE PHÂN THỨ Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THÌN THÁI NGUYÊN - 2019 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn "Nghiệm yếu toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ" cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Thìn Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi cịn sử dụng số kết quả, nhận xét tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Nguyễn Văn Tấn Xác nhận Xác nhận khoa chuyên môn người hướng dẫn TS Nguyễn Văn Thìn i Lời cảm ơn Để hồn thành đề tài luận văn kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Thái Ngun tạo điều kiện cho tơi có mơi trường học tập tốt suốt thời gian học tập, nghiên cứu trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS Nguyễn Văn Thìn giúp đỡ tơi suốt trình nghiên cứu trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành đề tài luận văn tốt nghiệp Đồng thời, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy Khoa Tốn, bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập hồn thiện luận văn tốt nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Nguyễn Văn Tấn ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Lời mở đầu 1 Không gian Sobolev thứ 1.1 Biến đổi Fourier không gian hàm tăng chậm 1.2 Không gian Sobolev thứ 1.2.1 Tính chất phép nhúng 1.2.2 Không gian Sobolev H s (Ω) 10 1.3 Toán tử Laplace phân thứ 10 1.3.1 Hằng số C(n, s): Một vài tính chất 13 1.3.2 Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier 17 Nghiệm yếu toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ 2.1 20 Nghiệm Mountain pass cho toán biên Dirichlet chứa toán Laplace phân thứ 2.2 20 Sự tồn nhiều nghiệm cho toán Laplace phân thứ với độ tăng tới hạn 42 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 iii Lời mở đầu Trong thời gian gần đây, nhà toán học dành quan tâm vào nghiên cứu toán tử khơng địa phương loại elliptic (bao gồm tốn tử Laplacian phân thứ) nghiên cứu toán học túy toán ứng dụng giới thực Các lớp toán tử phát sinh tự nhiên nhiều bối cảnh khác như: Tối ưu hóa, tốn tài chính, mặt cực tiểu, định luận bảo tồn, học lượng tử, khoa học vật liệu, sóng nước, phản ứng hóa học chất lỏng, động lực học dân số, động lực học chất lỏng địa vật lý Toán tử Laplacian phân thứ (fractional Laplacian) cung cấp mơ hình đơn giản để mơ tả q trình Lévy lý thuyết xác suất Toán tử Laplace phân thứ dạng mở rộng toán tử Laplace, định nghĩa thơng qua tích phân kỳ dị sau: Với s ∈ (0, 1) u ∈ L2 (R)n , n > 2s hàm tốn tử Laplace phân thứ (−∆)s u định nghĩa Z u(x) − u(y) s dy, (−∆) u(x) = C(n, s) |x − y|n+2s Rn \B(x,ε) Z C(n, s) = 1/ − cos ζ1 dζ, ζ = (ζ1 , ζ ), ζ ∈ Rn−1 n+2s |ζ| Rn Khi u hàm trơn vô hạn với giá compact, ta có lim(∆)s u = −∆u Hơn s→1 nữa, ta có s −(−∆) u(x) = C(n, s) lim Z ε→0 Rn \B(x,ε) u(x + y) + u(x − y) − 2u(x) dy, x ∈ Rn n+2s |y| Ngồi định nghĩa trên, tốn tử Laplace phân thứ (−∆)s cịn định nghĩa thơng qua phép biến đổi Fourier [6], s-mở rộng điều hòa giới thiệu Caffarelli-Silvestre [3] Như khái niệm toán tử Laplace phân thứ khái niệm toán học giàu cách tiếp cận Do đó, tốn nghiên cứu tốn tử Laplace phân thứ nhận quan tâm lớn nhà toán học giới thời gian gần Mục đích luận văn nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán biên Dirichlet cho tốn tử Laplace phân thứ có dạng (−∆)s u = f (x, u) Ω u = Rn \Ω, Ω miền bị chặn với biên Lipschitz Hàm phi tuyến có độ tăng ∗ 2n đại lượng tới hạn Sobolev chứa số hạng |u|2s −2 u 2∗s = n − 2s số mũ tới hạn Sobolev Trong trường hợp toán chứa số mũ tới hạn, ∗ khó khăn gặp phải phép nhúng X0 → L2s (Ω) liên tục, không compact Chương Không gian Sobolev thứ 1.1 Biến đổi Fourier không gian hàm tăng chậm Xét không gian Schwartz S hàm C ∞ (Rn ) tăng chậm có tơpơ xác định {pj }j∈N : X pj (ϕ) := sup (1 + |x|)j x∈Rn |Dα ϕ(x)|, |α|≤j ϕ ∈ S(Rn ) Nghĩa là, S chứa hàm ϕ thỏa mãn sup xα Dβ ϕ(x) F (x, uj (x)) − f (x, uj (x))uj (x) dx µ Ω∩{|uj |≤r} a1 a2 a2 ˜, ≤ a1 r + rq + r + rq |Ω| =: κ q µ µ (2.21) Giả sử λ ≤ Khi đó, từ (2.14) (2.21), với j ∈ N, ta có 1 JK,λ (uj ) − − (kuj k2X0 − λkuj k2L2 (Ω) J (uj ), uj = µ K,λ µ Z − (x, uj (x)) − f (x, uj (x))uj (x) dx µ Ω 1 ≥ − kuj k2X0 µ Z − (x, uj (x)) − f (x, uj (x))uj (x) dx µ Ω 1 ≥ − kuj k2X0 µ Z − (x, uj (x)) − f (x, uj (x))uj (x) dx µ Ω∩{|uj |≤r} 1 kuj k2X0 − κ ≥ − ˜ µ (2.22) Từ (2.19), (2.22) µ > có 1 − kuj k2X0 ≤ κ(1 + kuj kX0 ) + κ ˜ µ với j ∈ N, nghĩa {uj }j∈N bị chặn X0 Bây giờ, xét trường hợp λ > 0: Cố định σ ∈ (2, µ) với µ > theo (2.14) Lập luận có với j ∈ N, JK,λ (uj ) − JK,λ (uj ), uj ≤ κ(1 + kuj kX0 ) σ 26 (2.23) Z