Phương pháp phương trình tích phân biên giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và phương điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ SONG ĐIỀU HỊA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ SONG ĐIỀU HỊA Chun ngành : TỐN ỨNG Mã số : 60 46 01 12 DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Các không gian hàm khả vi khả tổng 1.1.1 Hàm liên tục hàm khả vi 1.1.2 Các không gian hàm khả tổng 1.2 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev 1.2.2 Không gian Sobolev H k (Q) 1.2.3 Khái niệm vết hàm số mặt 1.2.4 Không gian Hok (Q) 1.3 Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) 1.3.1 Không gian H s (Rn ) 1.3.2 Không gian Hos (Ω) không gian H s (Ω) 1.4 Các không gian Sobolev đối ngẫu định lý nhúng 1.4.1 Các không gian đối ngẫu 1.4.2 Các định lý nhúng PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA TRONG MẶT PHẲNG 2.1 Phương trình điều hịa cơng thức Green 2.1.1 Phương trình điều hịa 2.1.2 Cơng thức tích phân phần 2.1.3 Các công thức Green 2.1.4 Một số tính chất hàm điều hịa Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 7 7 8 11 12 12 13 14 14 14 15 15 16 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Hàm 2.2.1 Hàm hàm điều hòa 2.2.2 Biểu diễn tích phân hàm điều hòa Phát biểu tốn biên phương trình điều hịa miền bị chặn Công thức biểu diễn hàm điều hòa mặt phẳng điều kiện biên Phương pháp phương trình tích phân biên 2.5.1 Bài toán Dirichlet 2.5.2 Bài toán Neumann 2.5.3 Bài toán hỗn hợp Bài tốn biên phương trình điều hịa miền ngồi 2.6.1 Phát biểu toán 2.6.2 Phương trình tích phân biên 18 18 19 21 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA 3.1 Phát biểu tốn hỗn hợp phương trình song điều hịa 3.1.1 Phương trình song điều hòa 3.1.2 Phát biểu toán 3.2 Tính nghiệm 3.3 Hệ phương trình tích phân biên 22 23 23 23 24 24 24 25 26 26 26 27 28 30 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Trên thực tế, nhiều toán khoa học kỹ thuật thơng qua mơ hình tốn học đưa đến việc giải toán biên phương trình đạo hàm riêng Trong tốn trường hợp đơn giản tìm thấy nghiệm tường minh phương pháp giải tích Cịn đại đa số trường hợp khác nghiệm tường minh khơng có phức tạp Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu phương trình điều hịa song điều hịa lớp phương trình cịn thu hút quan tâm lớn nhà khoa học, kỹ sư nhà tốn học Việc nghiên cứu phương pháp tích phân biên giải tốn điều hịa song điều hòa lĩnh vực cần nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày kết lý thuyết phương pháp phương trình tích phân biên giải phương trình điều hịa song điều hòa Luận văn bao gồm ba chương mang lại cách nhìn khái qt phương trình điều hịa phương trình song điều hịa Trong chương một, chúng tơi dành cho việc trình bày số kiến thức bổ trợ không gian hàm khả vi khả tổng, không gian Sobolev cấp nguyên dương H k (Q), H0k (Q), không gian Sobolev cấp thực H s (Rn ), H s (Ω), không gian Sobolev đối ngẫu định lý nhúng Đây tảng cho kết trình bày chương luận văn Chương hai giới thiệu phương pháp phương trình tích phân biên phương trình điều hịa mặt phẳng, cơng thức biểu diễn hàm điều hịa mặt phẳng, cơng thức Green hàm Đồng thời trình bày phương pháp phương trình tích phân biên dối với toán Dirichlet, toán Newmann tốn hỗn hợp Chương ba luận văn chúng tơi giới thiệu phương trình song điều hịa hệ phương trình tích phân biên để giải nghiệm tốn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa Học Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đại học Thái Ngun Qua tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phịng Đào nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013 Người thực Trần Đức Anh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chuong trình bày số khái niệm bổ trợ cần thiết hàm khả tổng, khả vi, hàm suy rộng không gian Sobolev Nội dung chương chủ yếu hình thành từ tài liệu [7], [8] 1.1 1.1.1 Các không gian hàm khả vi khả tổng Hàm liên tục hàm khả vi • Giả sử Ω miền mở không gian Euclid Rn Ký hiệu C(Ω) lớp hàm liên tục Ω Giả sử Ω miền bị chặn Rn , ta kí hiệu Ω bao đóng Ω, tức Ω = Ω ∪ ∂Ω Khi C(Ω) khơng gian định chuẩn với chuẩn: kf kC = max|f (x)| (1.1) x∈Ω • Giá hàm f (x) ∈ C(Rn ) kí hiệu suppf bao đóng tập hợp tất điểm x ∈ Rn mà f (x) 6= Vậy suppf := {∀x ∈ Rn , f (x) 6= 0} tập đóng Rn Nếu suppf tập bị chặn Ω ta nói f hàm có giá compact Ω • Ký hiệu C m (Ω) tập hợp tất hàm f (x) liên tục Ω với đạo hàm Dα f (x), |α| ≤ m Như vậy, C (Ω) = C(Ω) Tập hợp hàm C m (Ω) có đạo hàm Dα f (x), |α| ≤ m thác triển Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ liên tục vào Ω ký hiệu C m (Ω) Chuẩn C m (Ω) xác định theo công thức m X kf kC m (Ω) = sup |Dα f (x)| Ω |α|=0 • Ký hiệu C ∞ (Ω) tập hợp hàm khả vi vô hạn Ω Tập hợp hàm khả vi vô hạn có giá compact Ω ký hiệu Co∞ (Ω) Tập hợp hàm khả vi vô hạn có giá compact Rn ký hiệu Co∞ Tập hợp hàm tiêu hạn Ω lớp C m (Ω) ký hiệu Com (Ω) Tập hợp hàm từ C m (Ω) không biên ∂Ω với tất đạo hàm cấp m ký hiệu Com (Ω) Cuối cùng, m ký hiệu C o lớp hàm thuộc C m (Rn ) không vô với tất đạo hàm cấp m 1.1.2 Các khơng gian hàm khả tổng • Tích phân Lebesgue hàm f tập Ω ký hiệu Z Z Z f (x)dx, f (x)dx = f (x)dx Ω Rn • Với ≤ p < ∞ ta ký hiệu p L (Ω) = {f : Ω → C, kf kpLp (Ω) Z := |f (x)|p dx < +∞}, Ω L∞ (Ω) = {f : Ω → C, kf kL∞ (Ω) := essupΩ |f (x)| < +∞}, essupΩ |f (x)| = inf K {|f (x)| ≤ K hầu khắp x ∈ Ω} • Nếu f ∈ Lp (Ω0 ) Ω0 b Ω hàm f gọi p- khả tích tổng địa phương Ω Tập hợp tất hàm p- khả tích tổng địa phương Ω ký hiệu Lploc (Ω) • Hàm f (đo được) gọi có hạn Ω khơng hầu khắp ngồi Ω0 b Ω Tập hợp hàm tiêu hạn Ω thuộc Lp (Ω) ký hiệu Lpo (Ω) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2 Khơng gian Sobolev cấp nguyên dương 1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev Định nghĩa 1.1 Giả sử Q miền bị chặn Rn với biên trơn mảnh ∂Q α = (α1 , α2 , · · · , αn ) đa số Hàm f (α) ∈ L1loc (Q) gọi đạo hàm suy rộng cấp α hàm f ∈ L1loc (Q), Z Z α α |α| < f, D g > := f (x)D g(x)dx = (−1) f (α) (x)g(x) dx Q =< f Q (α) , g >, ∀g ∈ Co|α| (Q) Nếu f ∈ C |α| (Q), đạo hàm suy rộng f (α) tồn f (α) = Dα f (x) hầu khắp, nên ký hiệu đạo hàm suy rộng cấp α hàm f Dα f 1.2.2 Không gian Sobolev H k (Q) Định nghĩa 1.2 Tập hợp hàm f ∈ L2 (Q) có đạo hàm suy rộng cấp k thuộc L2 (Q) gọi không gian Sobolev cấp k ký hiệu H k (Q) H k (Q) khơng gian Hilbert với tích vô hướng chuẩn Z X  α α (f, g) = D f D g dx, Q kf k = |α|≤k hZ  X Q  i1/2 |Dα f |2 dx |α|≤k Rõ H (Q) = L2 (Q) Các tính chất quan trọng khơng gian Sobolev: 1) C ∞ (Q) trù mật H k (Q) theo tiêu chuẩn H k (Q) 2) H m+1+[n/2] (Q) ⊂ C m (Q) 1.2.3 Khái niệm vết hàm số mặt Định nghĩa 1.3 Giả sử Q miền giới nội Rn S mặt n − chiều chứa Q Nếu Q cho hàm f (x) xác định Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ điểm Q, ta xem giá trị hàm S hàm f |x∈S xác định điểm S Nếu xét Q hàm xác định hầu khắp nơi, giá trị f mặt S xác định không đơn trị mesS = Tuy nhiên, nghĩa hồn tồn xác định nói đến giá trị hàm số mặt n − chiều xác định hầu khắp nơi Giả sử f ∈ H (Q) fk ∈ C (Q), (k = 1, 2, ) hội tụ đến f H (Q) Đối với mặt trơn mảnh (mỗi mảnh chiếu đơn trị xuống mặt phẳng tọa độ) Q tồn C = const > 0, cho Z |fk − fm |2 dx ≤ Ckfk − fm kH (Q) S Vì L2 (S) khơng gian định chuẩn đầy đủ, nên tồn phần tử fS ∈ L2 (S) giới hạn L2 (S) dãy fk (xS ), xS = x ∈ S Hàm fS không phụ thuộc vào việc chọn dãy fk hội tụ đến f H (Q) gọi vết hàm f mặt S 1.2.4 Không gian Hok (Q) Định nghĩa 1.4 Tập hợp hàm H k (Q) có vết biên Γ khơng ký hiệu Hok (Q) Chuẩn Hok (Q) sinh chuẩn H k (Q) Khi Hok (Q) khơng gian đóng H k (Q) 1.3 Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) 1.3.1 Không gian H s (Rn ) Định nghĩa 1.5 Giả sử s số thực tùy ý Không gian Sobolev-Slobodeski H s (Rn ) theo định nghĩa gồm tất hàm suy rộng u ∈ S = S (Rn ), có biến đổi Fourier u ˆ(ξ) thỏa mãn điều kiện: Z kuk2s = (1 + |ξ|)2s |ˆ u(ξ)|2 dξ < ∞ (1.2) Rn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mặt khác, từ cơng thức (1.11) ta có Z Z ∂E(x0 , ξ) ∂E(x0 , ξ) − u(ξ) dsξ = − [u(x0 ) + u(ξ) − u(x0 )] dsξ ∂νξ ∂νξ Sε (x0 ) Sε (x0 ) Z Z 1 = u(x ) n−1 dsξ + [u(ξ) − u(x0 )] n−1 dsξ ε ε Sε (x0 ) Sε (x0 ) Z = ωn u(x0 ) + n−1 [u(ξ) − u(x0 )]dsξ ε Sε (x0 ) (2.22)
Do u(x) hàm liên tục x0 , nên u (ξ) − u x0 < δ Z 1 | n−1 [u(ξ − u(x0 )]dsξ | ≤ n−1 ωn εn−1 δ = ωn δ ε ε Sε (x0 ) số hạng thứ hai vế phải (13) tiến tới ε → 2.3 Phát biểu tốn biên phương trình điều hịa miền bị chặn Trong mục trình bày phương pháp đưa tốn biên hỗn hợp hai chiều phương trình tích phân biên chiều Xét phương trình Laplace hai chiều ∂ 2Φ ∂ 2Φ Φ(x, y) = + = 0, (x, y) ∈ Ω+ , ∂x ∂y (2.23) Ω+ ⊂ Rn miền bị chặn giới hạn biên Γ trơn khúc Ký hiệu (xs , ys ) điểm Γ cung nguyên tố chiều dài s ký hiệu φ(s) = Φ(xs , ys ) (2.24) Ký hiệu νs vectơ pháp tuyến đơn vị s ∈ Γ Ta định nghĩa đạo hàm pháp tuyến s ∈ Γ: ψ(s) = ∂Φ(s) = lim νs Φ(x, y) (x,y)→(xs ,ys ) ∂νs (2.25) Giả sử Γj ⊂ Γ (j = 1, 2), Γ1 ∩ Γ2 = ∅, Γ1 ∪ Γ2 = Γ Trên Γ xét điều kiện biên hỗn hợp đây: Φ(s) = b1 (s), s ∈ Γ1 , (2.26) 21 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ψ(s) = b2 (s), s ∈ Γ2 2.4 (2.27) Công thức biểu diễn hàm điều hòa mặt phẳng điều kiện biên Đối với điểm cố định F = (xF , yF ) ∈ Ω, hàm Green, hay nghiệm phương trình Laplace hai chiều cho cơng thức G(x, y, xF , yF ) = − ln[(x − xF )2 + (y − yF )2 ] Ta biết rằng, điểm F 52 G(x, y, xF , yF ) = Tại điểm (x, y) ∈ Ω ta có cơng thức Z h ∂G(xs , ys ; x, y) i 2πΦ(x, y) = ψ(s)G(xs , ys ; x, y) − φ(s) ds ∂νs (2.28) Γ Nếu công thức (2.28) chuyển qua giới hạn (x, y) → t ∈ Γ ý tới (2.24) ta có cơng thức Z h ∂G(s; t) i πφ(t) = ψ(s)G(s; t) − φ(s) ds, t ∈ Γ, (2.29) ∂νs Γ tích phân hiểu theo nghĩa Cauchy s = t Tại điểm t cung trơn Γ có cơng thức: Z  ∂G(s; t) ∂ G(s; t)  πψ(t) = ψ(s) − [φ(s) − φ(t)] ds, t ∈ Γ, (2.30) ∂νt ∂νs ∂νt Γ Giả sử r véctơ từ điểm t đến điểm s, r = |t − s| độ dài véctơ r Khi cơng thức (2.29) viết lại dạng: Z h i ν s r πφ(t) = φ(s) − ψ(s) ln(r) ds, t ∈ Γ, (2.31) r Γ Tương tự, cơng thức (2.30) viết lại dạng Z n 2(ν s r)(ν t r) − r2 ν t ν s ν t r o πψ(t) = [φ(s)−φ(t)]× +ψ(s) ds, t ∈ Γ r4 r Γ (2.32) 22 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.5 Phương pháp phương trình tích phân biên 2.5.1 Bài toán Dirichlet Giả sử φ(s) = b1 (s) cho tồn Γ Khi từ (2.31) ta có phương trình tích phân hàm ψ(s): Z Z ν.r ψ(s) ln(r) ds = −πb1 (t) + b1 (s) ds, t ∈ Γ (2.33) r Γ Γ Trong trường hợp giả thiết b1 (t) ∈ H 1/2 (Γ) tìm hàm ψ(t) lớp H −1/2 (Γ) Nhận xét phương trình (2.33) phương trình tích phân loại một, đặt chỉnh (ill-posed) nghiệm thường khơng ổn định theo vế phải Để tìm nghiệm ổn định phương trình tích phân loại thường vận dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov [7] Nếu sử dụng công thức (2.32) ta có phương trình tích phân: Z Z n ν t r 2(ν s r)(ν t r) − r2 ν s ν t o πψ(t)− ψ(s) = [b1 (s)−b1 (t)] ds, t ∈ Γ, r r4 Γ Γ (2.34) Phương trình (2.34) phương trình tích phân Fredholm loại hai phương trình đặt chỉnh 2.5.2 Bài toán Neumann Giả sử ψ(s) = b2 (s) ∈ H −1/2 (Γ) cho tồn Γ Khi từ (2.31) ta có phương trình tích phân hàm φ(s) ∈ H 1/2 (Γ) : Z Z ν.r πφ(t) − φ(s) ds = − b2 (s) ln(r) ds, t ∈ Γ (2.35) r Γ Γ Phương trình (2.35) phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng với phương trình (2.34) Để tốn Neumann miền bị chặn Ω+ giải phải có điều kiện Z Z ψ(s) ds = b2 (s) ds = (2.36) Γ Γ 23 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.5.3 Bài tốn hỗn hợp Giả sử φ(t) = b1 (t), t ∈ Γ1 ; ψ(t) = b2 (t), t ∈ Γ2 , Γ1 ∩ Γ2 = ∅, Γ1 ∪ Γ2 = Γ Khi ta có hệ phương trình tích phân sau đây: R R ν.r   = f1 (t), t ∈ Γ1 ,  φ(s) r2 ds − ψ(s) ln(r) ds Γ2 Γ1 R R ν.r  φ(s) ds − ψ(s) ln(r) ds − πφ(t) = f2 (t), t ∈ Γ2   r2 Γ2 Γ1 (2.37) f1 (t) = πb1 (t) − Z ν.r b1 (s) ds + r Γ1 f2 (t) = − Z Z b2 (s) ln(r) ds, (2.38) b2 (s) ln(r) ds (2.39) Γ2 ν.r b1 (s) ds + r Γ1 Z Γ2 Nhận xét hệ (2.37), để xác định hàm ψ(t) ta có phương trình tích phân loại Γ1 với nhân logarithm, cịn hàm φ(t) ta có phương trình Fredholm loại hai Γ2 2.6 Bài tốn biên phương trình điều hịa miền ngồi 2.6.1 Phát biểu tốn Xét phương trình điều hịa miền Ω− phần bù mặt phẳng miền giới nội Ω+ có biên chung Γ Để đảm bảo tính nghiệm tốn biên hàm φ(s), ψ(s) xác định điểm Γ chưa đủ mà cần phải biết dáng điệu nghiệm Φ(x, y) vô p Để thuận tiện, sử dụng tọa độ cực (r, θ), r = x2 + y giả thiết lim Φ(x, y) = r→∞ Ψ∞ 1 ln + Φ∞ + 0( ) 2π r r (2.40) 24 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Φ∞ Ψ∞ số Trong [6] rằng, Ψ∞ xác định tốn có nghiệm Về ý nghĩa vật lý, số Ψ∞ thơng lượng tồn phần âm vơ [1] 2.6.2 Phương trình tích phân biên Trong trường hợp ta có cơng thức Z h ∂G(s; t) i πφ(t) = 2πΦ∞ − ψ(s)G(s; t) − φ(s) ds, t ∈ Γ, ∂νs (2.41) Γ số Φ∞ chưa biết cần phải xác định Điều thực cách sử dụng điều kiện số Ψ∞ : Z ψ(s) ds = Ψ∞ (2.42) Γ 25 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA Nội dung chương hình thành từ tài liệu [7], [8], [9] 3.1 Phát biểu tốn hỗn hợp phương trình song điều hịa 3.1.1 Phương trình song điều hịa Phương trình song điều hịa phương trình có dạng ∆ u = ∆(∆u) = n X n X uxj xk xj xk = (3.1) k=1 j=1 Trong trường hợp hai biến (x1 , x2 ) ∈ R2 , phương trình (3.1) có dạng ∆2 u = ∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u + = + ∂x41 ∂x21 ∂x22 ∂x42 26 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (3.2) 3.1.2 Phát biểu toán Lấy Ω ⊂ R2 biên đơn giản kết nối miền C 1,1 - biên Γ Chúng ta giả sử biên Γ có phân chia Γ = ΓD ∪ ΓC ∪ ΓN , ΓD ΓN tập rời nhau, tương ứng tập mở Γ, ΓC tập hợp điểm biên chung Γ Chúng ta kí hiệu n = (n1 , n2 ) véc tơ chuẩn tắc đơn vị Γ Lấy mỏng elastostatic trạng thái cân miền Ω Chúng ta giả sử phần ΓD biên cố định phần ΓN tự Nếu ký hiệu u trạng thái cân thu toán biên hỗn hợp sau cho phương trình song điều hịa 42 u = Ω (3.3) ∂u = g ΓD (3.4) ∂n M u = p N u = q ΓN , (3.5) tốn tử biên M Γ N Γ tương ứng hạn chế ΓD ΓN D N toán tử vi phân biên sau u = f M u = ν∆u + (1 − ν)M0 u (3.6) ∂ ∂ ∆u − (1 − ν) N0 u (3.7) ∂n ∂s Với ν tỉ số Poisson, hàm số thực ví dụ (đặc biệt định lý tính đàn hồi) có ≤ ν < Chuẩn dẫn xuất tiếp tuyến cho Nu = − ∂ ∂ ∂ = n1 + n2 ∂n ∂x1 ∂x2 ∂ ∂ ∂ = −n1 + n2 , ∂s ∂x2 ∂x1 toán tử biên M0 u N0 u xác định ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u M0 u := n1 + n1 n2 + n2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2 n ∂ u ∂ u  o ∂ 2u 2 N0 u := − − n1 n2 − (n − n2 ) ∂x21 ∂x22 ∂x1 ∂x2 27 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/