Phương pháp phương trình tích phân biên giải các bài toán biên của phương trình điều hòa và song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ SONG ĐIỀU HỊA LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ SONG ĐIỀU HỊA Chun ngành : TOÁN ỨNG Mã số : 60 46 01 12 DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - 2013 Mục lục Mở đầu KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Các không gian hàm khả vi khả tổng 1.1.1 Hàm liên tục hàm khả vi 1.1.2 Các không gian hàm khả tổng 1.2 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev 1.2.2 Không gian Sobolev H k (Q) 1.2.3 Khái niệm vết hàm số mặt 1.2.4 Không gian Hok (Q) 1.3 Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) 1.3.1 Không gian H s (Rn ) 1.3.2 Không gian Hos (Ω) không gian H s (Ω) 1.4 Các không gian Sobolev đối ngẫu định lý nhúng 1.4.1 Các không gian đối ngẫu 1.4.2 Các định lý nhúng PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA TRONG MẶT PHẲNG 2.1 Phương trình điều hịa cơng thức Green 2.1.1 Phương trình điều hịa 2.1.2 Cơng thức tích phân phần 2.1.3 Các công thức Green 2.1.4 Một số tính chất hàm điều hịa 5 7 7 8 11 12 12 13 14 14 14 15 15 16 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Hàm 2.2.1 Hàm hàm điều hòa 2.2.2 Biểu diễn tích phân hàm điều hịa Phát biểu tốn biên phương trình điều hịa miền bị chặn Công thức biểu diễn hàm điều hòa mặt phẳng điều kiện biên Phương pháp phương trình tích phân biên 2.5.1 Bài toán Dirichlet 2.5.2 Bài toán Neumann 2.5.3 Bài toán hỗn hợp Bài toán biên phương trình điều hịa miền ngồi 2.6.1 Phát biểu toán 2.6.2 Phương trình tích phân biên 18 18 19 21 PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HỊA 3.1 Phát biểu toán hỗn hợp phương trình song điều hịa 3.1.1 Phương trình song điều hòa 3.1.2 Phát biểu toán 3.2 Tính nghiệm 3.3 Hệ phương trình tích phân biên 22 23 23 23 24 24 24 25 26 26 26 27 28 30 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Trên thực tế, nhiều toán khoa học kỹ thuật thơng qua mơ hình tốn học đưa đến việc giải toán biên phương trình đạo hàm riêng Trong tốn trường hợp đơn giản tìm thấy nghiệm tường minh phương pháp giải tích Cịn đại đa số trường hợp khác nghiệm tường minh khơng có phức tạp Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu phương trình điều hịa song điều hịa lớp phương trình cịn thu hút quan tâm lớn nhà khoa học, kỹ sư nhà tốn học Việc nghiên cứu phương pháp tích phân biên giải tốn điều hịa song điều hòa lĩnh vực cần nghiên cứu Nội dung luận văn trình bày kết lý thuyết phương pháp phương trình tích phân biên giải phương trình điều hịa song điều hòa Luận văn bao gồm ba chương mang lại cách nhìn khái qt phương trình điều hịa phương trình song điều hịa Trong chương một, chúng tơi dành cho việc trình bày số kiến thức bổ trợ không gian hàm khả vi khả tổng, không gian Sobolev cấp nguyên dương H k (Q), H0k (Q), không gian Sobolev cấp thực H s (Rn ), H s (Ω), không gian Sobolev đối ngẫu định lý nhúng Đây tảng cho kết trình bày chương luận văn Chương hai giới thiệu phương pháp phương trình tích phân biên phương trình điều hịa mặt phẳng, cơng thức biểu diễn hàm điều hịa mặt phẳng, cơng thức Green hàm Đồng thời trình bày phương pháp phương trình tích phân biên dối với toán Dirichlet, toán Newmann tốn hỗn hợp Chương ba luận văn chúng tơi giới thiệu phương trình song điều hịa hệ phương trình tích phân biên để giải nghiệm tốn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa Học Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phịng Đào nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013 Người thực Trần Đức Anh Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chuong trình bày số khái niệm bổ trợ cần thiết hàm khả tổng, khả vi, hàm suy rộng không gian Sobolev Nội dung chương chủ yếu hình thành từ tài liệu [7], [8] 1.1 1.1.1 Các không gian hàm khả vi khả tổng Hàm liên tục hàm khả vi • Giả sử Ω miền mở không gian Euclid Rn Ký hiệu C(Ω) lớp hàm liên tục Ω Giả sử Ω miền bị chặn Rn , ta kí hiệu Ω bao đóng Ω, tức Ω = Ω ∪ ∂Ω Khi C(Ω) khơng gian định chuẩn với chuẩn: f C = max|f (x)| (1.1) x∈Ω • Giá hàm f (x) ∈ C(Rn ) kí hiệu suppf bao đóng tập hợp tất điểm x ∈ Rn mà f (x) = Vậy suppf := {∀x ∈ Rn , f (x) = 0} tập đóng Rn Nếu suppf tập bị chặn Ω ta nói f hàm có giá compact Ω • Ký hiệu C m (Ω) tập hợp tất hàm f (x) liên tục Ω với đạo hàm Dα f (x), |α| ≤ m Như vậy, C (Ω) = C(Ω) Tập hợp hàm C m (Ω) có đạo hàm Dα f (x), |α| ≤ m thác triển liên tục vào Ω ký hiệu C m (Ω) Chuẩn C m (Ω) xác định theo công thức m f C m (Ω) |Dα f (x)| = sup Ω |α|=0 • Ký hiệu C ∞ (Ω) tập hợp hàm khả vi vô hạn Ω Tập hợp hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω ký hiệu Co∞ (Ω) Tập hợp hàm khả vi vơ hạn có giá compact Rn ký hiệu Co∞ Tập hợp hàm tiêu hạn Ω lớp C m (Ω) ký hiệu Com (Ω) Tập hợp hàm từ C m (Ω) không biên ∂Ω với tất đạo hàm cấp m ký hiệu Com (Ω) Cuối cùng, m ký hiệu C o lớp hàm thuộc C m (Rn ) không vô với tất đạo hàm cấp m 1.1.2 Các không gian hàm khả tổng • Tích phân Lebesgue hàm f tập Ω ký hiệu f (x)dx, Ω f (x)dx = f (x)dx Rn • Với ≤ p < ∞ ta ký hiệu Lp (Ω) = {f : Ω → C, f p Lp (Ω) |f (x)|p dx < +∞}, := Ω L∞ (Ω) = {f : Ω → C, f L∞ (Ω) := essupΩ |f (x)| < +∞}, essupΩ |f (x)| = inf K {|f (x)| ≤ K hầu khắp x ∈ Ω} • Nếu f ∈ Lp (Ω ) Ω Ω hàm f gọi p- khả tích tổng địa phương Ω Tập hợp tất hàm p- khả tích tổng địa phương Ω ký hiệu Lploc (Ω) • Hàm f (đo được) gọi có hạn Ω khơng hầu khắp ngồi Ω Ω Tập hợp hàm tiêu hạn Ω thuộc Lp (Ω) ký hiệu Lpo (Ω) 1.2 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 1.2.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev Định nghĩa 1.1 Giả sử Q miền bị chặn Rn với biên trơn mảnh ∂Q α = (α1 , α2 , · · · , αn ) đa số Hàm f (α) ∈ L1loc (Q) gọi đạo hàm suy rộng cấp α hàm f ∈ L1loc (Q), f (x)Dα g(x)dx = (−1)|α| < f, Dα g > := Q =< f f (α) (x)g(x) dx Q (α) , g >, ∀g ∈ Co|α| (Q) Nếu f ∈ C |α| (Q), đạo hàm suy rộng f (α) tồn f (α) = Dα f (x) hầu khắp, nên ký hiệu đạo hàm suy rộng cấp α hàm f Dα f 1.2.2 Không gian Sobolev H k (Q) Định nghĩa 1.2 Tập hợp hàm f ∈ L2 (Q) có đạo hàm suy rộng cấp k thuộc L2 (Q) gọi không gian Sobolev cấp k ký hiệu H k (Q) H k (Q) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng chuẩn Dα f Dα g dx, (f, g) = Q |α|≤k |Dα f |2 dx f = Q 1/2 |α|≤k Rõ H (Q) = L2 (Q) Các tính chất quan trọng khơng gian Sobolev: 1) C ∞ (Q) trù mật H k (Q) theo tiêu chuẩn H k (Q) 2) H m+1+[n/2] (Q) ⊂ C m (Q) 1.2.3 Khái niệm vết hàm số mặt Định nghĩa 1.3 Giả sử Q miền giới nội Rn S mặt n − chiều chứa Q Nếu Q cho hàm f (x) xác định điểm Q, ta xem giá trị hàm S hàm f |x∈S xác định điểm S Nếu xét Q hàm xác định hầu khắp nơi, giá trị f mặt S xác định khơng đơn trị mesS = Tuy nhiên, nghĩa hoàn toàn xác định nói đến giá trị hàm số mặt n − chiều xác định hầu khắp nơi Giả sử f ∈ H (Q) fk ∈ C (Q), (k = 1, 2, ) hội tụ đến f H (Q) Đối với mặt trơn mảnh (mỗi mảnh chiếu đơn trị xuống mặt phẳng tọa độ) Q tồn C = const > 0, cho |fk − fm |2 dx ≤ C fk − fm H (Q) S Vì L2 (S) không gian định chuẩn đầy đủ, nên tồn phần tử fS ∈ L2 (S) giới hạn L2 (S) dãy fk (xS ), xS = x ∈ S Hàm fS không phụ thuộc vào việc chọn dãy fk hội tụ đến f H (Q) gọi vết hàm f mặt S 1.2.4 Không gian Hok (Q) Định nghĩa 1.4 Tập hợp hàm H k (Q) có vết biên Γ khơng ký hiệu Hok (Q) Chuẩn Hok (Q) sinh chuẩn H k (Q) Khi Hok (Q) khơng gian đóng H k (Q) 1.3 Không gian Sobolev cấp thực (Sobolev - Slobodeskii) 1.3.1 Không gian H s (Rn ) Định nghĩa 1.5 Giả sử s số thực tùy ý Không gian Sobolev-Slobodeski H s (Rn ) theo định nghĩa gồm tất hàm suy rộng u ∈ S = S (Rn ), có biến đổi Fourier u ˆ(ξ) thỏa mãn điều kiện: u s (1 + |ξ|)2s |ˆ u(ξ)|2 dξ < ∞ = Rn (1.2) Bổ đề 3.1 Giả sử −3 < ν < Khi dạng song tuyến tính a(·, ·) xác định (3.9) thỏa mãn bất đẳng thức Garding có dạng a(v, v)Ω ≥ c0 ||v||2H (Ω) − λ0 ||v||2L2 (Ω) với v ∈ H (Ω), c0 > λ0 ≥ số Để công thức tốn biên (3.3)-(3.5) xác cần xác định không gian vết sau cung mở Γ0 ⊂ Γ Với s ∈ R, s ≥ 0, ta định nghĩa H s (Γ0 ) := {u Γ0 : u ∈ H s (Γ)}, H s (Γ0 ) := {u ∈ H s (Γ) : suppu ⊆ Γ0 } Với s > kí hiệu H −s (Γ0 ) khơng gian đối ngẫu H s (Γ0 ) H −s (Γ0 ) không gian đối ngẫu H s (Γ0 ) với L2 (Γ0 ) trục không gian Chú ý H −s (Γ0 ) xác định với không gian phân chia H −s (Γ0 ) Γ0 Ta thu chuỗi sau H s (Γ0 ) ⊂ H s (Γ0 ) ⊂ L2 (Γ0 ) ⊂ H −s (Γ0 ) ⊂ H −s (Γ0 ), s > Bây sẵn sàng để xác định công thức xác tốn biên hỗn hợp phương trình song điều hịa: Cho f ∈ H (ΓD ), g ∈ H (ΓD ), p ∈ H − (ΓN ) q ∈ H − (ΓN ), tìm u ∈ H (Ω) thỏa mãn phương trình (3.3)-(3.5) Chúng ta kí hiệu tốn (MBP) Định lý 3.2 Bài tốn biên hỗn hợp (MBP) có tối đa nghiệm với ≤ ν ≤ Chứng minh Lấy u nghiệm MBP với f = g = p = q = Sau sử dụng cơng thức Green cho u u ta có cơng thức sau ν|∆u|2 + (1 − ν) Ω ∂ 2u ∂x21 +2 ∂ 2u ∂ 2u + ∂x1 ∂x2 ∂x22 dx = ∂ 2u ∂ 2u = = Ω kéo theo ∂x21 ∂x22 ∂u u = ax1 + bx2 + c điều kiên biên lúc u ΓD = ∂n = Suy với ≤ ν < có ΓD kết luận u = Ω 29 ∂u = ∂n ΓD Giờ ta lấy Bρ hình cầu bán kính ρ với tâm ΓD cho Bρ ∩ ΓN = kí hiệu v = u miền giao Ω ∩ Bρ , v = (R2 \Ω) ∩ Bρ Do v thỏa mãn ∆v = Bρ thực giải tích Bρ Bây kết luận u ≡ Bρ suy hàm u ≡ Ω Trong trường hợp ν = có ∆u = Ω u = 3.3 Hệ phương trình tích phân biên Để tính tồn nghiệm tốn biên hỗn hợp cho công thức nghiệm xây dựng toán hệ thống phương trình tích phân biên loại Chúng ta bắt đầu với công thức Green cho nghiệm yếu không gian H (Ω) [8] u(x) = V(M u, N u)(x) − W(u, ∂u )(x), ∂n x∈Ω (3.10) theo vị đơn vị hai lớp suy 3 V : H − (Γ) × H − (Γ) → H (Ω), W : H (Γ) × H (Γ) → H (Ω) toán tử liên tục xác định V(σ1 , σ2 )(x) := E(x, y)σ2 (y) + ∂E(x, y) σ1 dsy , ∂ny x ∈ R2 \Γ, Γ W(φ1 , φ2 )(x) := {My E(x, y)φ2 (y) + Ny E(x, y)φ1 (y)}dsy , x ∈ R2 \Γ Γ |x − y|2 log |x − y| 8π nghiệm phương trình song điều hịa Cho x → Γ từ bên Ω theo phân phối chuẩn lý thuyết tiềm liên quan đến E(x, y) := 30 hệ nhảy, thu phương trình tích phân Γ, u(x) Γ := E(x, y)N u(y) + ∂E(x, y) M u(y) dsy ∂ny Γ − My E(x, y) ∂u (y)dsy + u(x) − ∂n Ny E(x, y)u(y)dsy Γ Γ (3.11) ∂u (x) ∂n Γ ∂ E(x, y) ∂E(x, y) N u(y) + M u(y) dsy ∂nx ∂nx ∂ny := Γ ∂u (x) − ∂n + ∂u ∂ My E(x, y) (y)dsy ∂nx ∂ny (3.12) Γ ∂ Ny E(x, y)u(y)dsy ∂nx − Γ M u(x) Γ := Mx E(x, y)N u(y)dsy + M u(x) − ∂E(x, y) M u(y)dsy ∂ny Γ Γ − Mx Mx My E(x, y) ∂u (y) + Mx Ny E(x, y)u(y) dsy ∂ny Γ (3.13) N u(x) Γ := N u(x) + Nx E(x, y)N u(y)dsy + Γ − Nx My E(x, y) Nx ∂E(x, y) M u(y)dsy ∂ny Γ ∂u (y) + Nx Ny E(x, y)u(y) dsy ∂ny Γ (3.14) Để hiểu tính chất tạo ảnh 16 tốn tử tích phân biên viết lại công thức (3.11)-(3.14) dạng     u u I − K11 V12 V13 V14  ∂u      ∂u   D I + K V V  21 22 23 24  ∂n  =       ∂n  D D I − K V 31 32 33 34  Mu   Mu D41 D42 D43 I + K44 Nu Nu 31     ,   |Γ tốn tử xác định phương pháp rõ ràng Ma trận tốn tử tích phân tương đồng với máy chiếu Calderón phương trình song điều hịa tương ứng với miền Ω ký hiệu CΩ := (CΩij )4×4 Phép chiếu Calderón thực chất gồm toán tử giả vi phân Γ nghiên cứu chi tiết [8] Trong trường hợp đặc biệt 1 ánh xạ H (Γ) × H (Γ) × H − (Γ) × H − (Γ) vào liên tục Tính chất tạo ảnh tốn tử xuất CΩ dễ dàng rút từ kí hiệu chủ yếu sau   −1 −3 −3  +1 −1 −3    Ord(CΩ ) :=    +1 +1 −1  +3 +1 +1 Chúng ta ý cấp đặc biệt toán tử CΩij ma trận CΩ tính tốn từ sai phân số i − j (hoặc i − j − 1, |i − j| = 2) Toán tử cấp âm tốn tử trơn tốn tử cấp dương kì dị giá trị tuyệt đối cấp biểu diễn cho quy lấy hay ánh xạ Ví dụ toán tử CΩ13 = V1,3 xác định ∂E(x, y) ϕ(y)dsy ∂ny (V13 ϕ)(x) := Γ cấp −2 (mà thực tế cấp −2 − 1) suy ánh xạ liên tục Γ ∈ C ∞ từ H − (Γ) đến H (Γ)(H (Γ)), tốn tử CΩ42 = D42 , (D42 ϕ)(x) := Nx My E(x, y)ϕ(y)ds Γ cấp (hoặc − 1) ánh xạ từ H (Γ) đến H − (Γ)(H − (Γ)) liên tục Bây quay lại toán biên hỗn hợp (3.3)-(3.5) Chúng 1 ta ký hiệu hàm f˜ ∈ H (Γ), g˜ ∈ H (Γ), p˜ ∈ H − (Γ) q˜ ∈ H − (Γ) mở rộng hạn chế cho toàn Γ kiện biên tương ứng f, g, q q Khi ta viết u Γ ∂u ∂n = φN + f˜ 32 Γ = ψN + g˜ (3.15) Mu Γ = σD + p˜ Nu Γ = τD + q˜ (3.16) Hiển nhiên φN ∈ H (ΓN ), ψN ∈ H (ΓN ), σD ∈ H − (ΓD ) τD ∈ H − (ΓD ) suy φN = ψN = ΓD σD = τD = ΓN Bởi tính hạn chế (3.11) (3.12) ΓD (3.13), (3.14) ΓN nên thu hệ phương trình tích phân loại sau với φN , ψN , σD , τD ∂E(x, y) σD (y)ds − ∂ny E(x, y)τD (y)ds + ΓD ΓN ΓD − My E(x, y)ψN (y)ds Ny E(x, y)φN (y)ds = F1 (x), x ∈ ΓD ΓN (3.17) ∂ E(x, y) σD (y)ds − ∂nx ∂ny ∂E(x, y) τD (y)ds + ∂ny ΓD ΓD ∂ My E(x, y)ψN (y)ds ∂nx ΓN ∂ Ny E(x, y)φN (y)ds = F2 (x), ∂nx − x ∈ ΓD ΓN (3.18) Mx E(x, y)τD (y)ds + ΓD Mx ∂E(x, y) σD (y)ds − ∂ny ΓD − Mx My E(x, y)ψN (y)ds ΓN Mx Ny E(x, y)φN (y)ds = F3 (x), x ∈ ΓN ΓN (3.19) Nx E(x, y)τD (y)ds + ΓD Nx ∂E(x, y) σD (y)ds − ∂ny ΓD − Nx My E(x, y)ψN (y)ds ΓN Nx Ny E(x, y)φN (y)ds = F4 (x), x ∈ ΓN ΓN (3.20) 33 F1 (x) = − Γ + ∂E(x, y) p˜(y)ds ∂ny E(x, y)˜ q (y)ds − Γ My E(x, y)˜ g (y)ds + 1˜ f (x) + Γ x ∈ ΓD Γ ∂ E(x, y) p˜(y)ds ∂nx ∂ny ∂E(x, y) q˜(y)ds − ∂ny F2 (x) = − Γ + Ny E(x, y)f˜(y)ds , ΓD g˜(x) + ∂ My E(x, y)˜ g (y)ds + ∂nx ∂ Ny E(x, y)f˜(y)ds, ∂nx Γ F3 (x) = − Γ Mx E(x, y)˜ q (y)ds p˜(x) − Mx Ny E(x, y)f˜(y)ds, Mx My E(x, y)˜ g (y)ds + Γ Nx E(x, y)˜ q (y)ds − Γ + x ∈ ΓN Γ q˜(x) − F4 (x) = ∂E(x, y) p˜(y)ds ∂ny Γ Γ + Mx ∂E(x, y) p˜(y)ds ∂ny Γ Nx Ny E(x, y)f˜(y)ds, Nx My E(x, y)˜ g (y)ds + Γ Dãy phương trình ma trận sau    DD V14 τD  σ   V DD   D  A  :=  24DD  ψN   V34 ND φN K44 Nx x ∈ ΓN Γ từ (3.17)-(3.20) viết lại dạng V13DD V23DD ND −K33 ND D43 DN V12DD −K11 DN DN K22 D21 NN NN D32 D31 NN NN D42 D41      τD σD ψN φN    =F  (3.21) với F = [F1 , F2 , F3 , F4 ] Ở Vij , Dij , Kij , i = 1, , 4, j = 1, , toán tử xuất tốn tử Calderón, V24DN viết tắt toán tử V24 áp dụng cho hàm với giá ΓN giá trị nằm ΓD , tương 34 x ∈ ΓD tự định nghĩa với tốn tử khác Từ tính chất tạo ảnh tốn tử Calderón thấy tốn tử A xác định ánh xạ 1 liên tục A : H → H∗ với H = H − (ΓD ) × H − (ΓD ) × H (ΓN ) × H (ΓN ) 1 3 H∗ := H (ΓD ) × H (ΓD ) × H − (ΓN ) × H − (ΓN ) không gian đối ngẫu H Chúng ta nhắc lại φN , ψN , σD , τD thỏa mãn (3.21) sau ∂u xác định hàm u, , M u, N u Γ (3.15) (3.16), biểu ∂n diễn công thức (3.10) nghiệm toán biên hỗn hợp (MBP) mà từ Định lý (3.2) tính tồn nghiệm Suy cần nghiên cứu tính giải hệ thống phương trình tích phân loại Với giả thiết giới thiệu toán tử ma trận 3 V : H − (Γ) × H − (Γ) → H (Γ) × H (Γ) xác định V14 V13 V24 V23 V := (3.22) Được chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3.3 Tồn toán tử compact CV : H − (Γ) × H − (Γ) → H (Γ) × H (Γ) cho (V + CV )Θ, Θ ≥ C||Θ||2 − 32 H (Γ)×H −1 (Γ) với Θ ∈ H − (Γ) × H − (Γ) với toán tử ký hiệu ngoặc ·, · L2 (Γ) không gian ghép 3 khơng gian H − (Γ) × H − (Γ) H (Γ) × H (Γ) Chứng minh Chứng minh theo Hsiao Wendland [6] Costabel Wendland [5] Với Θ = (θ1 , θ2 ) ∈ H − (Γ) × H − (Γ), lấy u(x) = E(x, y)θ1 (y) + ∂E(x, y) θ2 dsy , ∂ny x ∈ R2 \Γ Γ Do u ∈ H (Ω, ∆2 ), u ∈ Hloc (Ωc , ∆2 ) Ωc := R2 \Ω Hơn (3.11)-(3.14) ta có [u]Γ = 0, [ ∂u ]Γ = 0, [M u]Γ = θ2 , [N u]Γ = θ1 ∂n 35 Trong [·]Γ ký hiệu bước nhảy qua biên Γ Tiếp theo ta giới thiệu điểm cố định C0∞ (R2 ) hãm hàm χ với χ Ω = Do từ tính chất bước nhảy (3.11)-(3.14) cơng thức Green (3.8) ta viết ∂u [M u] + u[N u] ds = aΩ (u, u) + aΩc (χu, χu), ∂n V Θ, Θ = Γ aΩ (·, ·) aΩc (·, ·) dạng song tuyến tính từ tương ứng từ Ω đến Ωc Ta ý aΩc (χu, χu) xác định χu có giá compact Do từ kết Bổ đề 3.1 cho ta H compact nhúng L2 định lý biểu diễn Riez Điều quan trọng χu = u lân cận Γ bất đẳng thức Garding Bổ đề 3.1 cho aΩc (·, ·) từ tích phân chứa χ compact đơn lệch (để xem chi tiết chứng minh Định lý 3.7 [7] cho trường hợp phương trình Laplace ) 3 Tiếp theo lấy D : H (Γ) × H (Γ) → H − (Γ) × H − (Γ) ánh xạ liên tục xác định D := D32 D31 D42 D41 (3.23) Tương tự, có bổ đề sau Bổ đề 3.4 Tồn toán tử compact CD : H (Γ)×H (Γ) → H − (Γ)× H − (Γ) cho (D + CD )Ψ, Ψ ≥ C||Ψ||2 H (Γ)×H (Γ) với Ψ ∈ H (Γ) × H (Γ) ngoặc ·, · xác định L2 (Γ) không gian đối ngẫu ghép đôi 3 H (Γ) × H (Γ) H − (Γ) × H − (Γ) Chứng minh Với Ψ = (ψ1 , ψ2 ) ∈ H (Γ) × H (Γ), lấy {My E(x, y)ψ1 (y) + Ny E(x, y)ψ2 }dsy , u(x) = x ∈ R2 \Γ Γ Khi u ∈ H (Ω, ∆2 ), u ∈ Hloc (Ωc , ∆2 ) từ (3.11)-(3.14) ta có cơng thức ∂u [u]Γ = ψ2 , [ ]Γ = ψ1 , [M u]Γ = 0, [N u]Γ = ∂n 36 Ta viết DΨ, Ψ = Nx [u] + Mx u ∂u ∂n ds = aΩ (u, u) + aΩc (χu, χu), Γ kết thu argument giống Bổ đề 3.3 χ hàm cắt giới thiệu Bổ đề 3.3 3 Định lý 3.5 Lấy H = H − (ΓD )×H − (ΓD )×H (ΓN )×H (ΓN ) khơng 1 gian đối ngẫu không gian H∗ := H (ΓD ) × H (ΓD ) × H − (ΓN ) × H − (ΓN ) Khi tốn tử A : H → H∗ tốn tử Fredholm với số khơng Chứng minh Từ Bổ đề 3.3 3.4, lấy V0 = V + CV D0 = D + CD , V D định nghĩa cơng thức (3.22) (3.23) Chúng ta biết V0 D0 bị chặn dương Từ công thức Ξ := 1 (τD , σD , ψN , φN ) ∈ H − (ΓD )× H − (ΓD )× H (ΓN )× H (ΓN ) mở rộng khơng đến hàm Ξ := (τD , σD , ψN , φN ) H − (Γ) × 1 H − (Γ) × H (Γ) × H (Γ) Do ta viết A dạng V0 MDN MN D D0 A = A0 + CA := + CA với CA compact, MDN := DN V12DN −K11 DN DN K22 D21 MN D := ND V34N D −K33 ND DN K44 D43 Hơn từ (3.17)-(3.20) ta có V12DN ψN , τD = τD (x) ΓD My E(x, y)ψN (y)ds(y)ds(x) ΓN = My E(x, y)ψ˜N (y)ds(y)ds(x) τ˜D (x) Γ Γ ψ˜N (y) =− Γ =− ΓN Mx E(x, y)˜ τD (x)ds(x)ds(y) Γ ψN (y) Mx E(x, y)τD (x)ds(x)ds(y) ΓD = − V34N D τD , ψN 37 Theo cách tương tự người ta biểu diễn DN ND K11 φN , τD = K44 τD , φN DN ND K22 ψN , σD = K33 σD , ψN DN ND D21 φN , σD = − D43 σD , φN Cuối kết hợp phương trình sử dụng Bổ đề 3.3 3.4 ta có A0 Ξ, Ξ H,H∗ = V0 (τD , σD ), (τD , σD ) + D0 (ψN , φN ), (ψN , φN ) ≥ c1 ||(τD , σD )||2 − 23 H ×H −1 + c2 ||(ψN , φN )||2 H ×H ≥ c||Ξ||2H với Ξ ∈ H với c > số Suy A toán tử Fredholm có số khơng Đặc biệt tính phương trình (3.21) kéo theo tính tồn nghiệm (3.21) Định lý thiết lập tính (3.21) Định lý 3.6 Hạt nhân toán tử A : H → H∗ 1 Chứng minh Lấy Ξ := (τD , σD , ψN , φN ) ∈ H − (ΓD )×H − (ΓD )×H (ΓN )× τD , σ ˜D , ψ˜N , φ˜N ) H (ΓN ) nghiệm phương trình AΞ = 0, Ξ := (˜ 1 3 H − (Γ) × H − (Γ) × H (Γ) × H (Γ) mở rộng Do vị w xác định w(x) = V(˜ σD , τ˜D )(x) − W(φ˜N , ψ˜N )(x) , x ∈ R2 \Γ ∂E(x, y) = E(x, y)˜ τD + σ ˜D dsy ∂ny Γ (3.24) My E(x, y)ψ˜N (y) + Ny E(x, y)φ˜N (y) dsy − Γ H (Ω, ∆2 ) Hloc (Ωc ) thỏa mãn phương trình song điều hịa Bây ta lấy x → Γ từ Ω, sử dụng quan hệ nhảy từ (3.11)-(3.12) ta w|Γ = V14 τ˜D + V13 σ ˜D + V12 ψ˜N + 38 1˜ φN − K11 φ˜N ∂w ∂n 1˜ ψN + K22 ψ˜N + D21 φ˜N Γ M w|Γ = V34 τ˜D + σ ˜D − K33 σ ˜D + D32 ψ˜N + D31 φ˜N N w|Γ = τ˜D + K44 τ˜D + D43 σ ˜D + D42 ψ˜N + D41 φ˜N Sử dụng tính chất suppσD , suppτD ΓD suppφN , suppψN ΓN , phương trình tích phân AΞ = kéo theo = V24 τ˜D + V23 σ ˜D + w|ΓD = 0, ∂w ∂n = 0, ΓD M w|ΓN = 0, N w|ΓN = Sau có nghĩa (3.24) nghiệm yếu cho tốn biên hỗn hợp điểm cho phương trình song điều hòa, từ Định lý 3.2, suy w = Ω Bây sử dụng công thức biểu diễn Green (3.10) với w ∈ H (Ω) ta có = V(M w, N w)(x) − W(w, ∂w )(x), ∂n x ∈ Ω, (3.25) Khi mà từ điều kiện biên bị chặn Ξ := (τD , σD , ψN , φN ) ∈ H − (ΓD ) × 1 H − (ΓD ) × H (ΓN ) × H (ΓN ) hạt nhân A thỏa mãn 0= E(x, y)τD (y) + ∂E(x, y) σD dsy ∂ny ΓD − (3.26) {My E(x, y)ψN (y) + Ny E(x, y)φN (y)}dsy , x ∈ Ω ΓN Bây ta định nghĩa {My E(x, y)ψN (y) + Ny E(x, y)φN (y)}dsy h(x) = (3.27) ΓN Từ tính chất tạo ảnh phép vị ta có h ∈ H (R2 \Γ) từ xử lý tiệm cận phương trình song điều hòa vị hai lớp h(x) = O(r) r = |x| → ∞ Do từ tính chất tốn Dirichlet ngồi cho phương trình song điều hòa với đòi hỏi điều kiện tăng Chúng ta biểu diễn h theo dạng phép vị đơn h(x) = E(x, y)κ(y) + Γ 39 ∂E(x, y) ξ(y) dsy ∂ny (3.28) với mật độ ξ ∈ H − (Γ) κ ∈ H − (Γ) chịu ràng buộc κ(y)dsy = 0, Γ yi κ(y) + ni ξ(y)dsy = 0, i = 1, (3.29) Γ Quan hệ bước nhảy kéo theo ξ = M h+ − M h− , κ = N h+ − N h− Γ dấu ∓ tương ứng cho điểm điểm Từ định nghĩa h cho (3.27) ta thấy ξ = κ = ΓD nghĩa giá ΓN Chèn (3.28) vào (3.26) ta có V(ξ, κ) = −V(˜ σD , τ˜D ) Ω kéo theo ξ = −˜ σD κ = −˜ τD Γ ˜D ∈ H − (Γ) là nghiệm (3.29), τ˜D ∈ H − (Γ) σ mở rộng khơng tồn Γ τD σD Nhưng từ giá σ ˜D τ˜D giao nên giá ξ κ xét tập hữu hạn điểm biên, kết luận σ ˜D = τ˜D = ξ = κ = Suy {My E(x, y)ψN (y) + Ny E(x, y)φN (y)}dsy = h(x) = Ω ΓN Quan hệ bước nhảy ta có AΞ = 0, Ξ := (˜ τD , σ ˜D , ψ˜N , φ˜N ) = (0, 0, ψ˜N , φ˜N ) kéo theo 1 = V12 ψ˜N + φ˜N − K11 φ˜N = φ˜N 2 1˜ 0= ψN + K22 ψ˜N + D21 φ˜N = ψ˜N 2 Vậy ta kerA = 0, định lý chứng minh Tóm tắt điều giải thích chứng minh kết sau 40 3 Định lý 3.7 Giả sử < ν < lấy f ∈ H (ΓD ), f ∈ H (ΓD ), g ∈ H (ΓD ), p ∈ H − (ΓN ) q ∈ H − (ΓN ) cho trước Sau tốn biên hỗn hợp (3.3)-(3.5) có nghiệm yếu không gian H (Ω, ∆2 ) Hơn nghiệm yếu thỏa mãn đánh giá ||u||H (Ω) ≤ c(||f ||H 23 (Γ D) + ||g||H 21 (Γ D) + ||p||H − 21 (Γ N) + ||q||H − 23 (Γ ) ) N với c số dương Chú ý: Trong cách người ta xử lý nhiều kiểu toán biên hỗn hợp cho phương trình song điều hịa mà tương ứng phương trình vật lý vi phân kết hợp điều kiện biên 41 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kiến thức không gian hàm khả vi khả tổng, không gian Sobolev H k (Q), H0k (Q), H s (Rn ), , không gian đối ngẫu chúng Đồng thời giới thiệu phương trình điều hịa, phương trình song điều hịa phương pháp phương trình tích phân biên để giải phương trình Do thời gian kiến thức nhiều hạn chế nên đề tài tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý q thầy để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013 Người thực Trần Đức Anh 42 Tài liệu tham khảo [1] S.Agmon, Lectures on Elliptic Boundary Value Problems D.Van Nostrand Co., Inc., 1965 [2] Blue J.L Boundary Integral Solutions of Laplace’s Equation American telephone and telegraph company, Vol.57, No.8, 1978 [3] G.Chen and Press,1992 J.Zhou, Boundary Element Methods Academic [4] M.Costabel, E.Stephan and W.L Wendland, On boundary integral equations of the first kind for the bi-Laplacian in a polygonal plane domain, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci (4), 10, (1986) 197-241 [5] M.Costabel and E.Stephan, An improved boundary element Galerkin method for three dimensional crack problems,Int Eqs Operator Theory 10, (1987) 467-505 [6] G C Hsiao and W.L Wendland, Boundary element methods: foundation and error analysis in Encyclopedia of Computation Machanics E.Stein, R.deBorost and T.J.R.Hughes, John Wiley & Sons 2004 [7] G C Hsiao and W.L Wendland, Boundary Integral Equation: Variational Methods, Springer-Verlag: Heidelberg, to appear [8] G I Eskin Boundary Problems for Elliptic Pseudo-Differential Operators, Transl of Math Mon., American Math Soc., Providence, 1981 [9] Fioralba Cakoni, George C Hsiao and Wolfgang L Wendland, On the boundary Integral Equation Method for a Mixed Boundary value problem of the biharmonic Equation, Complex Variables and Elliptic Equations, 50(7)(2005), pp 681-696 43 ... const, Chương PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA TRONG MẶT PHẲNG Chương giới thiệu phương trình điều hịa phương pháp phương trình tích phân biên để giải nghiệm... trình bày phương pháp phương trình tích phân biên dối với tốn Dirichlet, toán Newmann toán hỗn hợp Chương ba luận văn giới thiệu phương trình song điều hịa hệ phương trình tích phân biên để giải. .. TRẦN ĐỨC ANH PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN BIÊN GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐIỀU HỊA VÀ SONG ĐIỀU HỊA Chun ngành : TỐN ỨNG Mã số : 60 46 01 12 DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo