Phơng pháp Gauss - Seidel v công thức nhiệt trở phân tố giải các bi toán nhiệt kết cấu công trình PGS. TS. Trịnh văn quang KS. Trơng Minh thắng Bộ môn Kỹ Thuật Nhiệt Khoa Cơ khí - Trờng Đại học GTVT Tóm tắt: Bi báo trình by một phơng pháp giải các bi toán nhiệt phức tạp khi phơng pháp ma trận nghịch đảo trở nên bất lực, đó l phơng pháp Gauss - Seidel v công thức nhiệt trở phân tố. Summary: The paper presents the method of Gauss - Seidel Iteration to solve the complicated thermal problems instead of the inverse matrix method becoming powerless. i. đặt vấn đề Một trong các phơng pháp có hiệu lực để giải các bài toán nhiệt của các vật thể có hình dáng và điều kiện biên phức tạp là phơng pháp số dùng ma trận nghịch đảo. Khi đó các nhiệt độ phải tìm nằm trong một hệ phơng trình tuyến tính, và đợc giải bằng thuật toán ma trận [3]. Tuy nhiên khi số phơng trình quá lớn thì phơng pháp ma trận nghịch đảo cũng hết sức phức tạp. Đặc biệt trờng hợp điều kiện biên không tuyến tính, nh vật thể có trao đổi bức xạ với nguồn có nhiệt độ xác định, thì hệ phơng trình các nhiệt độ cần tìm không còn là tuyến tính nữa nên phơng pháp ma trận nghịch đảo cũng trở nên bất lực. Vậy có thể giải các bài toán trong trờng hợp này nh thế nào. Bài báo trình bày phơng pháp Gauss - Seidel và công thức nhiệt trở phân tố để giải các bài toán phức tạp thuộc loại này. ii. công thức nhiệt trở phân tố, phơng pháp gauss - seildel A. Công thức nhiệt trở phân tố Khi xác định nhiệt độ trong vật thể bằng phơng pháp cân bằng năng lợng phân tố cần tính các dòng nhiệt đến phân tố, trong đó luôn có mặt các nhiệt trở thành phần. Để thuận tiện cho tính toán có thể xây dựng công thức nhiệt trở thành phần dạng tổng quát sau. 1. Bi toán ổn định a. Điều kiện biên loại 1 Xét một hình phẳng dày 1m cho biết nhiệt độ tại biên giới (hình 1). Hình 1. Mạng các điểm nút Chia hình phẳng bởi một mạng các đờng vuông góc có bớc mạng x, y, ứng với hai chiều x, y. Do ổn định, nhiệt độ tại mọi điểm trong vật không thay đổi theo thời gian nên tổng dòng nhiệt phân tố nhận đợc do dẫn nhiệt từ xung quanh đến bằng không (hình 2). Khi đó phơng trình năng lợng tại mỗi phân tố tại điểm nút i: q i = 0 (1) Hình 2. Các nhiệt trở thnh phần tại nút i dẫn tới: + + 1.y)tt( x 1.y)tt( x i3i1 01.x)tt( y 1.x)tt( y iJi2 = + + (2) Hay: 0 x. y tt x. y tt y. x tt y. x tt iJi2i3i1 = + + + (3) Viết ở dạng tổng quát: = j iJ iJ 0 R tt (4) Nhiệt trở thành phần trong bài toán ba chiều trong toạ độ xyz sẽ có J = 1 ữ 6 (hình 3): Trong đó t J là nhiệt độ các điểm xung quanh, t i là nhiệt độ phải tìm tại nút i; R iJ đợc gọi là công thức nhiệt trở phân tố. Từ đó tính đợc nhiệt độ t i : = J iJ J iJ J i R 1 R t t (6) b. Điều kiện biên loại 2, 3: Tại nút ở biên có các dòng nhiệt đối lu hoặc bức xạ và dẫn nhiệt từ các phân tố bên (hình 4): 0 R tt q J iJ iJ i i = + (7) Hình 3. Mạng 3 chiều Hình 4. Các nhiệt trở thnh tại nút i tại biên trong đó: - i i q là tổng các dòng nhiệt bức xạ hoặc đối lu tới phân tố. - J iJ iJ R tt là tổng các dòng nhiệt dẫn từ phân tố bên cạnh tới. Nếu theo hớng x, tại biên có dòng nhiệt đối lu và bức xạ, thì dòng nhiệt đối lu là: q i = (t K -t i )yz; Nhiệt trở đối lu là: R i =1/ yz Dòng nhiệt bức xạ là: q i = . 0 . ( ) 4 i 4 R TT yz; R i1 R i2 R i3 R i4 R i5 R i6 Nhiệt trở bức xạ là: R i = 1/ [ . 0 . ( ) 2 i 2 R TT + ( ) iR TT + yz] trong đó: - t K , t i là nhiệt độ môi trờng và tại nút i; - T R , T l là nhiệt độ tuyệt đối của nguồn .z.y x .z.x y .z.y x .z.x y .y.x z .y.x z ( 5 ) bức xạ và của nút i; - độ đen của vật; - 0 = 5,669.10 - 8 Nhiệt độ tại nút i sẽ là: + = J iJ J iJ J i i i R 1 R t q t (8) Nh vậy thấy rằng công thức nhiệt trở phân tố luôn có mặt khi tính nhiệt độ. 2. Bài toán không ổn định a. Điều kiện biên loại 1 Với bài toán không ổn định tại mỗi nút i sẽ có: Tổng năng lợng phân tố nhận đợc từ xung quanh bằng độ tăng nội năng của phân tố trong một đơn vị thời gian: = + j p i 1p i i iJ p i p j tt .C R tt (9) trong đó: - p là số chỉ thứ tự bớc thời gian - j iJ p i p j R tt là tổng các dòng nhiệt tới phân tố tại thời điểm p; C i là nhiệt dung phân tố: C i =c xyz (j/độ); - R iJ là nhiệt trở thành phần của phân tố; j số thứ tự các nút kề bên. Từ đó rút ra nhiệt độ tại mỗi nút tại thời điểm p +1: P i J iJii J iJ P J 1P i t. R 1 C 1 CR t t + = + (10) Công thức (9) tính nhiệt độ ở dạng hàm tờng, để nghiệm ổn định cần điều kiện số hạng sau vế phải của (9) phải không âm, từ đó phải chọn bớc thời gian thoả mãn điều kiện: J iJ i R 1 C (11) b. Điều kiện biên loại 2, 3 Tại biên có đối lu hoặc bức xạ kết hợp (7) và (9) sẽ có phơng trình năng lợng tại phân tố thuộc nút i: = + + j p i 1p i i iJ p i p j i i tt .C R tt q (12) Từ đó rút ra đợc nhiệt độ tại nút i ở thời điểm p + 1: P i J iJii J iJ P J i i 1P i t. R 1 C 1 CR t qt + += + (13) Điều kiện ổn định cũng nh công thức (11) trên. Nh vậy có thể thấy trong mọi trờng hợp để tính nhiệt độ luôn cần tới công thức nhiệt trở phân tố, và khi đó việc tính toán sẽ trở nên thuận tiện và gọn gàng hơn. B. Phơng pháp Gauss - Seidel Nội dung cơ bản của phơng pháp này là cách tính lặp. Từ các phơng trình tính nhiệt độ trong các trờng hợp trên, thấy rằng nhiệt độ tại mỗi nút ở dạng hàm tờng cuả nhiệt độ của các nút còn lại đối với bài toán ổn định, và là hàm tờng của nhiệt độ của các nút còn lại ở thời điểm trớc đối với bài toán không ổn đinh. Nghĩa là có n phơng trình để tính n nhiệt độ phải tìm. Bởi vậy phơng pháp Gaus- Seidel bao gồm các bớc sau: 1. Lập hệ phơng trình nhiệt độ dạng hàm tờng cho các nút. 2. Trừ một nhiệt độ tại nút 1 (hoặc nút m nào đó định tính trớc tiên), tất cả nhiệt độ tại các nút còn lại cho giá trị ban đầu t io bất kỳ, cũng có thể cho bằng không (t io = 0). 3. Thay các giá trị t io đã cho vào để tính ra nhiệt độ t 1 tại nút 1 (hoặc m). 4. Thay t 1 mới nhận đợc vào các phơng trình còn lại, tính dần ra các nhiệt độ ở các nút tiếp theo. Khi đợc một giá trị nhiệt độ mới phải sử dụng ngay trong các phơng trình còn lại. Nghĩa là mọi phơng trình luôn phải nhận đợc giá trị mới nhất nếu có, cho đến phơng trình cuối cùng. 5. Quá trình tính đợc tính lặp lại lần 2, lần 3 với các giá trị nhiệt độ mới nhất. 6. Quá trình tính lặp sẽ đợc dừng khi nào chênh lệch nhiệt độ tại mọi điểm ở hai lần tính sát nhau nhỏ tới mức đủ chấp nhận. Với sự trợ giúp của các phần mềm tính toán hiện nay, việc tính theo phơng pháp Gauss - Seidel rất thuận tiện. C. Thí dụ minh hoạ + Thí dụ 1: Giải bài toán ổn định hai chiều điều kiện biên loại 1: Một dầm bêtông, tiết diện ngang có hình dạng nh hình bên có x = y. Biết nhiệt độ tại các cạnh và góc của tiết diện nh trên hình vẽ. Xác định nhiệt độ tại các điểm bên trong 1, 2, 3, 4, 5, 6. Giải: Do x = y, theo (4) các nhiệt trở thành phần của mọi phân tố đều bằng nhau là R ij = 1/, nên từ (5) sẽ có: t ij = () 4i3i2i1i tttt 4 1 +++ Bớc 1: Tại các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6 viết đợc 6 phơng trình nhiệt độ dạng hàm tờng sau: t 1 = (t 2 + 60 + 100 +50 ) / 4 (a) t 2 = (t 1 + t 3 + t 5 + 100 ) / 4 (b) t 3 = (t 2 + t 4 + t 6 + 100 ) / 4 (c) t 4 = (t 3 + 100 + 80 +70 ) / 4 (d) t 5 = (t 2 + t 6 + 50 + 40 ) / 4 (e) t 6 = (t 3 + t 5 + 70 + 40 ) / 4 (g) Bớc 2: Cho t 2 = 0; t 3 = 0; t 4 = 0; t 5 = 0; t 6 = 0; Bớc 3: Thay t 2 = 0 vào (a) tính đợc t 1 = 52, 50. Bớc 4: Thay t 1 = 52,5 (giá trị mới) và t 3 = 0; t 5 = 0 vào (b) tính đợc t 2 = 38,125 tiếp tục nh vậy sẽ tính đợc t 3 ; t 4 ; t 5 ; t 6 thứ tự nh sau: 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406. Bớc 5: Kết quả tính lặp sau 8 lần viết theo ma trận hàng t = [t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 ] nh sau: (1) 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406 (2) 62.0313 57.1484 68.1055 79.5264 47.8223 56.4819 Hình 5. Chia mạng tiết diện ngang dầm bêtông (3) 66.7871 70.6787 76.6718 81.6679 54.2902 60.2405 (4) 70.1697 75.2829 79.2978 82.3245 56.3808 61.4197 (5) 71.3207 76.7498 80.1235 82.5309 57.0424 61.7915 (6) 71.6875 77.2133 80.3839 82.5960 57.2512 61.9088 (7) 71.8033 77.3596 80.4661 82.6165 57.3171 61.9458 (8) 71.8399 77.4058 80.4920 82.6230 57.3379 61.9575 Bớc 6: Sai số tuyệt đối 2 lần cuối tơng ứng là: 0.0366 0.0462 0.0259 0.0065 0.0208 0.0117 là quá nhỏ nên có thể dừng phép tính lặp. Nếu tính theo phơng pháp ma trận nghịch đảo, nhiệt độ các điểm tơng ứng sẽ là: 7 1.8630 77.4380 80.5120 82.6310 57.3340 61.9500. Các bài toán thực tế có số nhiệt độ phải tìm lên tới hàng trăm thì phơng pháp ma trận nghịch đảo rất phức tạp, khi đó phơng pháp Gauss - Seidel tỏ rõ u thế hơn rất nhiều. + Thí dụ 2: Giải bài toán không ổn định tại biên có nguồn bức xạ với nhiệt độ xác định. Tờng một căn phòng làm việc có bề dày 30 cm, chiều cao khá lớn 6m. Tờng có các thông số nhiệt: hệ số dẫn nhiệt = 2,5 W/m độ, nhiệt dung riêng c = 800 J/kg độ, khối lợng riêng = 1800 kg/m 3 , độ đen = 0,65. Nhiệt độ ban đầu mặt tờng bên trong phòng là 27 0 C, bên ngoài tiếp xúc với không khí mặt tờng có nhiệt độ 35 0 C. Hệ số toả nhiệt của tại mặt ngoài tờng = 25 W/m 2 độ. Bỗng căn phòng đột ngột bị cháy, nhiệt độ ngọn lửa trong phòng lên tới 1000 0 C. Để đánh giá trạng thái phá huỷ của tờng phòng, cần phải xác định diễn biến phân bố nhiệt độ của tờng. Đây cũng là bài toán cháy cơ bản trong công trình xây dựng. Hình 6. Chia lớp tờng phòng Giải: Do chiều cao tờng rất lớn so với bề dày nên dòng nhiệt truyền theo hớng bề dày x là chính. Khi đó bài toán là một chiều không ổn định t = f(x,). Chia bề dày tờng thành 6 lớp, mỗi lớp có x = 0,05m. Bên trái là trong phòng có nhiệt độ cao, tờng nhận bức xạ q R là chính, bỏ qua đối lu. Bên phải là ngoài trời nhiệt độ thấp nên chỉ kể đến đối lu q K mà không tính bức xạ. áp dụng điều kiện ổn định (10), tính tại các điểm 1 ữ 7 nh sau: Tính C i : C i = C V i ; C 1 = 800.1800.0,05/2 = 36000; C 2 = 800.1800.0,05 = 72000; C 3 = C 4 = C 5 = C 6 ; C 7 = C 1 ; Tính i : Điểm 1: (1/R 1j ) = . 0 . ( ) 2 1 2 R TT + ( ) 1R TT + + /x = 0,65ì5,67ì10 -8 ì(12732+3002)ì ì (1273 + 300)+2,5/0,05 = 149,1643; vậy 1 3600/149,1643 = 241,3446s; Điểm 2, , 6: (1/R 2j ) = /x + /x = 2ì(2,5/0,05) = 100; Vậy 2 7200/100 = 720s; 3 = 4 = 5 = 6 = 2 = 720s. Điểm 7: (1/R 7j ) = + /x = 25 + 50 = 75; có 7 3600/75 = 480s; Nh vậy chỉ cần chọn max = 240 s là đủ. Tuy nhiên để phép tính có mức chính xác đủ cao, chọn max = 120 s. Từ (13) xác định đợc phơng trình nhiệt độ tuyệt đối tại các điểm: Điểm 1: ++= + p 2 4P 1 101P 1 T.16666,0)T.(10.2285,1T (14) 6181,322T.8334,0 P 1 ++ Điểm 2, 3, ,6 (i = 2 6): p 1i P i p 1i 1P i T.08333,0T.8333,0T.08333,0T + + ++= (15) Điểm 7: 6564,25T.75001,0T.16666,0T P 7 p 6 1P 7 ++= + (16) Sau khi lấy giá trị nhiệt độ ban đầu (p = 1) nằm trên đờng thẳng giữa hai nhiệt độ 300K và 308K, thay vào các phơng trình (14), (15), (16), tính đợc nhiệt độ tại các vị trí sau 50 thời điểm. Phân bố nhiệt độ trong tờng tại các thời điểm trên đợc biểu diễn trên đồ thị, hình 7. P i T (Xem tiếp trang 39) . Bài báo trình bày phơng pháp Gauss - Seidel và công thức nhiệt trở phân tố để giải các bài toán phức tạp thuộc loại này. ii. công thức nhiệt trở phân tố, phơng pháp gauss - seildel A. Công. Phơng pháp Gauss - Seidel v công thức nhiệt trở phân tố giải các bi toán nhiệt kết cấu công trình PGS. TS. Trịnh văn quang KS. Trơng Minh thắng Bộ môn Kỹ Thuật Nhiệt Khoa Cơ khí - Trờng. Tóm tắt: Bi báo trình by một phơng pháp giải các bi toán nhiệt phức tạp khi phơng pháp ma trận nghịch đảo trở nên bất lực, đó l phơng pháp Gauss - Seidel v công thức nhiệt trở phân tố. Summary: