Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở Đầu Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna đ-ợc đánh giá thành tựu sâu sắc toán học kỷ hai m-ơi Đ-ợc hình thành từ năm đầu thÕ kû, lý thuyÕt Nevanlinna cã nguån gèc tõ nh÷ng công trình Hadamard, Borel ngày có nhiều øng dơng c¸c lÜnh vùc kh¸c cđa to¸n học Vào năm 1925, Nevanlinna đà phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm công thøc nỉi tiÕng Jensen Lý thut cã néi dung chđ yếu định lý thứ nhất, định lý thứ quan hệ số khuyết Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng: Ch-ơng I: Trình bày sở lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna Ch-ơng II: Trình bày số kết nghiệm toàn cục ph-ơng trình vi phân phức dựa báo nghiệm toàn cục số lớp ph-ơng trình vi phân phức tác giả Ping Li Kết luận văn: Cho P(f) đa thức vi phân f có đạo hàm ( víi hµm nhá cđa f z coi nh- lµ hƯ số) có bậc không lớn n - , p1, p2 lµ hµm nhá cđa e vµ 1 , số khác không Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna để tìm nghiệm toàn cục siêu việt ph-ơng trình vi phân phi tuyến tính không gian phức: f n  z   P  f   p1e1z p2e2 z Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn bảo tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính đến S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Thầy, Thầy không h-ớng dẫn nghiên cứu khoa học mà Thầy thông cảm, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học tr-ờng Đại học S- phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy cô Viện Toán học Việt Nam đà giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa học luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt đồng nghiệp khoa KHCB, gia đình, bạn bè đà quan tâm, giúp đỡ trình học hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên L-u Thị Minh T©m Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch-¬ng I C¬ së lý thuyết Nevanlinna 1.1 Hàm phân hình 1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi điểm bất th-ờng cô lập hàm f(z) hàm f(z) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm 1.1.2 Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a hàm f(z) đ-ợc gọi f z   cùc ®iĨm cđa f(z) nÕu lim z a 1.1.3 Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình toàn mặt phẳng phức đ-ợc gọi hàm nguyên Nh- vậy, hàm nguyên hàm điểm bất th-ờng hữu hạn 1.1.4 Định nghĩa: Hàm f(z) đ-ợc gọi hàm phân hình miền D hàm chỉnh hình D, trừ số điểm bất th-ờng cực điểm Nếu D = ta nói f(z) phân hình , hay đơn giản, f(z) hàm phân hình *Nhận xét: Nếu f(z) hàm phân hình D lân cận điểm z D, f z biểu diễn đ-ợc d-ới dạng th-ơng hai hàm chỉnh hình 1.1.5 Định nghĩa: Điểm z0 gọi cực điểm cấp m>0 hàm f(z) lân cận z0 , hàm f  z    z  z0  m h z , h(z) hàm chỉnh hình lân cận z0 h  z0   1.1.6 TÝnh chÊt: NÕu f(z) hàm phân hình D f(z) hàm phân hình D Hàm f(z) f(z) có cực điểm điểm nhS húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đồng thời, z0 cực điểm cấp m>0 hàm f(z) z0 cực điểm cấp m+1 hàm f(z) *Nhận xét: Hàm f(z) đếm đ-ợc cực điểm D 1.1.7 Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình , điều kiện cần đủ để f(z) điểm bất th-ờng khác cực điểm f(z) hàm hữu tỷ 1.2 Định lý thứ 1.2.1 C«ng thøc Poisson-Jensen f  z   hàm phân hình hình tròn Định lý: Gi¶ sư  z  R víi  R   Gi¶ sư a    1, 2, M không điểm, không điểm đ-ợc kể số lần bội nó, bv(v = 1,2,N) cực điểm f hình tròn đó, cực điểm đ-ợc kể số lần b»ng béi cđa nã Khi ®ã nÕu z  r.ei ,   r  R  , f  z   0; f  z    th×: log f  z   2 2  log f  Re  M R  z  a   1 R  a z   log i R2  r d R  Rrcos      r N R  z  bv  v 1 R  bv z   log (1.1) Chứng minh *Tr-ờng hợp Hàm f(z) không điểm cực điểm z R Khi ta cần chứng minh: log f  z   2 2  log f  Re  i R2  r d R  Rrcos      r (1.1a) + Tr-íc hÕt ta chøng minh công thức z = 0, nghĩa cần chøng minh: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn log f    2 2   log f  Re  d i Do f(z) kh«ng cã kh«ng điểm cực điểm hình tròn nên hàm log f(z) chỉnh hình hình tròn Theo định lý Cauchy ta cã: log f    2 i 2   log f  Re  d dz log f z     z 2 z R i LÊy phÇn thùc ta thu đ-ợc kết z = log f    2 2   log f  Re  d i + Víi z tùy ý, xét ánh xạ bảo giác biến   R thµnh   vµ biÕn  z thành Đó ánh x¹:  R   z  R  z Nh- vËy   R t-¬ng øng víi   Trªn   R , ta cã: log   log Nªn R   z  R  z  d R z d zd       z R  z R  z  Do log f(z) chỉnh hình log f z    log R  log  z   log R  z  d    z  (1*) z  R , theo định lý Cauchy ta có: d log f    2 i   R  z Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn (2*) http://www.lrc-tnu.edu.vn Mặt khác zd d  log f   log f      R2 2 i   R R  z 2 i   R  z Do z  z  R suy R , nên hàm log f R2 R2 R nghĩa điểm z z (3*) nằm vòng tròn R hàm chỉnh hình Nh- tích phân z vế phải (3*) Kết hợp với (1*) (2*) ta cã: log f  z   R z log f   2 i   R R  z    d   z  (1.2) i i H¬n nữa, R , R.e , d  iRe d vµ R    z   R  R  re     Re i    z i  rei    Rei R  Rrcos      r  KÕt hỵp với (1.2) ta thu đ-ợc: log f Re  R log f  z   2 R i 2  r  d  Rrcos      r Lấy phần thực hai vế đẳng thức (1.3) ta đ-ợc: log f z 2 2  log f  Re  R R i 2  r  d  Rrcos      r Đây điều cần phải chứng minh S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.3) * Tr-ờng hợp 2: Hàm f(z) không điểm cực điểm bên z R , nh-ng có hữu hạn không điểm cực ®iĨm cj trªn biªn   R Víi  nhỏ tùy ý, ta đặt: D   z  R  U j   c j    Gäi  D lµ chu tuyến D cung lõm vào D bao gồm phần đ-ờng tròn R với phần lõm vào đ-ờng tròn nhỏ bán kính tâm không điểm cực điểm f(z) R Gi¶  i sư z  re miỊn z R , tồn đủ nhỏ cho R2  z log f  z   log f   2 i D R  z  z  D Khi ®ã:  d    z  (1.2a) Gi¶ sư z0 không điểm hay cực điểm f(z) R cung tròn ứng với z0 D Khi , f  z   c  z  z0   m ®ã m > nÕu z0 không điểm m < z0 cực điểm Suy log f z   O  log      Nh- vËy:  2    1   O  log  M , M đại l-ợng bị chặn Ta thấy S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lµ 1  O  log  M       Cho  0 công thức (1.2a), tính tích phân thứ dần đến tích phân vế phải (1.3), tích phân thứ hai dần đến Nh- ta thu đ-ợc công thức (1.3) tr-ờng hợp từ suy (1.1) *Tr-ờng hợp Bây ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức f(z) có không điểm cực điểm z R đặt: f R    a  M   N R   bv  v 1 R  bv  (1.4) R  a  Hiển nhiên không điểm cực điểm z R Nhvậy áp dụng công thức (1.1a) cho hàm Hơn nữa, i  Re th× : R   a  R  a  R   a      a   1, R   bv  vµ R  bv  R   bv      bv   1, f       nªn VËy log   z   2  2 2 2  log   Re  R  log f  Re  R R i R i 2 2  r  d  Rrcos      r  r  d  Rrcos      r (1.5) Mặt khác: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4.1 Định lý A: Cho n số nguyên, P(f) đa thức vi phân f có bậc n 3, p1, p2 đa thức khác 0, số khác với hữu tỷ Khi ph-ơng trình vi phân f n z   P  f   p1e1z  p2e2 z nghiệm nguyên siêu việt 2.4.2 Định lý B: Cho n số nguyên, P(f) đa thức vi phân f cã bËc  n ’ 3, b(z) lµ hµm phân hình, , c1, c2 số khác Khi ph-ơng trình vi phân f n  z   P  f   b  z   c1e z  c2e  z , nghiệm nguyên siêu việt thỏa mÃn T(r,b) = S(r, f) Đó giả thiết [10] kết luận định lý A bậc ph-ơng trình vi phân P(f) n n Sau chứng minh kết cho hoàn thiện định lý A B 2.4.3 Định lý 1: Cho n số nguyên d-ơng Cho f hàm nguyên siêu việt, P(f) đa thức vi phân f có bậc n Nếu f n  z   P  f   p1e1z  p2e z , (2.1) ®ã pi (i =1,2) hàm nhỏ không triệt tiêu ez ,  i  i  1, 2 lµ số d-ơng làm thỏa mÃn n n1 , tồn hàm nhá  cña f cho:  f   n  p2e2 z (2.2) Chøng minh : n Đầu tiên , viết Pn1 f  nh- sau: P  f    b j M j  f  , j 0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.3) bj hàm nhỏ cña f , M0(f) = 1, Mj(f) (j = 1,2,…,n-1) đơn thức vi phân f có bậc j Không tính tổng quát, giả thiết b0  , ngoµi ra, chóng ta lµm biÕn ®ỉi f = f1 + c cho phï hỵp h»ng sè c Tõ (2.1), chóng ta cã: n 1 bj Mj  f          p1e1z  p2e z  b0 j 1 p1e1z  p2e z  b0 fj f  f  n Chó ý m  r , M j  f  / f j   S  r, f  (2.4) bổ đề có:  1 z 2 z m  r , 1z   S  r , p1e  p2e   S  r , f  2 z  p1e  p2e  b0  Bëi vËy, vế trái (2.4) đa thức 1/f có bËc nhiỊu nhÊt b»ng n ’ víi hƯ sè trở thành hàm gần 1/f Từ đó:  1 m  r ,   S  r , f (2.5) f Đạo hµm hai vÕ cđa (2.1) cho: nf n1 f '  P  f   '   p1'  1 p1  e1z   p2'   p2  e2 z 1z Khö e p ' e2 z , tách từ (2.1) công thức trên, đ-ợc: p2  f n  p2 nf n1 f '  p2'   p2  P  f   p2  P  f   '   e1z  p  p  f ' n 1 Trong (2.6) p1nf n1 f '  p1'  1 p1  P  f   p1  P  f   '    e2 z (2.7) (2.8)   p1 p2'  p2 p1'   p1 p2 , hàm nhỏ cđa f Chóng ta chó ý r»ng  kh«ng thể triệt tiêu cách đồng nhất, cách khác, phép lấy tích phân đ-ợc e 1  z C p1 cho h»ng sè C, lµ đ-ợc Từ p2 (2.7) (2.8) ®-ỵc: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn   jz m r, e   nT  r, f   S  r, f  , j = 1,2 (2.9) Tõ (2.1) chóng ta cã: nT  r , f   m  r , f n   m  r , f n  P  f    T  r , p1e1z  p2e2 z   S  r , f  (2.10) Bëi vËy, S  r , e1z   S  r , e2 z   S  r , f  : S  r  Tõ (2.4) chóng ta cã n 1 b j ei z Mj   ei z     p1e1z  p2e z  b0 j 1 p1e1z  p2e z  b0 f j  f  n j ei z  n , i  1, f Sau ®ã:  ei z  m  r , n   S  r  , i  1,  f  (2.11) Sau ®ã chóng ta chøng minh  e1z  m  r , n1   S  r  , i  1,  f  (2.12) i Cố định r>0, cho z re Cho khoảng mở [0, ) biểu thị hợp cho tËp hỵp rêi nh- sau:   f z   E1     0, 2     z  1 e     f  z   z E2     0, 2     z  1, e  1 e     f  z   z E3     0, 2     z  1, e  1 e Do định nghĩa hàm gần đúng, có: S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn  ei z  m  r , n 1    f  2 2  log ei z  f n 1  z  d  I1  I  I Trong ®ã Ii  2 2  log  ei z f n 1  z  d , i  1, 2,3  Víi   E1 , chóng ta cã: f  z   e  1  z f  z e z n , đ-ợc: n f  z  f  z  e 1  z e1z Tõ  e2 z I1  m  r , n  f Víi   E2 , chóng ta cã 1z e e1z  , vµ nh- vËy n 1 f  z  f n 1 z Sau   I1  m  r , n 1   S  r   f  ®ã tõ (2.5) th×: Víi   E3 , chóng ta cã e1z f n 1  z  Do gi¶ thiÕt:    S r   f  z   e2 1  z V× vËy:  e1z e n 1 1  z  n n1 , đ-ợc  e n 1 z  n1 z e1z f n 1  z   V× vËy chóng ta cã I3 = Tõ cố định (2.10) Sau từ (2.7) thì: S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn f n 1   Trong e1z n 1 f  R  f  f n 1 (2.13)    p2'   p2 f np2 f ' , R  f    p2'   p2  P  f   p2  P f ' , đa thức vi phân f có bậc lớn n-1 Do bổ đề 1, đ-ợc m r ,    S  r  , chó ý r»ng  lµ toµn cơc, chóng ta cã N  r ,    S  r  Tõ ®ã: T  r,    S r ,i, e ,  lµ hµm nhá cđa f B»ng định nghĩa , đ-ợc: p2'  p2  f ' f np2 np2 Thế công thức vào (2.8) cho: f n np1  f n 1  p2  p1'  1 p1   P f   Do bổ đề 2, nhìn thấy tồn  f   n p1 p2   P  f   '  p e 2z hµm nhá  cđa f  p2e2 z Đây điều phải chứng minh định lý 2.4.4 Định lý 2: Cho n số nguyên d-ơng, i i 1,  lµ sè thùc vµ 1    Cho p1,p2 lµ hµm nhá cđa ez NÕu tồn hàm nguyên siêu việt f thỏa mÃn ph-ơng trình vi phân (2.1), P(f) đa thức vi phân f có bậc không lớn n ’ 2, th× 1    , tồn số c1,c2 hàm nhỏ 1 ,  víi f  p  p  f ' 1 n  p1nf n1 f '  p1'  1 p1  P  f   p1  P  f   '    e2 z f  c11e1z / n  c2 2e2 z / n (2.14) Hơn nữa, in pi , i 1, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chøng minh: 1   Còn tr-ờng hợp Chúng ta thảo luận cho tr-ờng hợp làm t-ơng tự Giả sử f nghiệm nguyên siêu việt (2.1) Chứng minh t-ơng tự ®Þnh lý 1, chóng ta vÉn lÊy (2.5) – (2.11) Cố định r>0, i cho z re Cho khoảng mở [0, ) biểu thị hợp nhÊt cho tËp hỵp rêi nhsau:   E1     0, 2     E2     0, 2     E3     0, 2   f  z e 1  z f  z e 1  z f  z e  1  z    1     1, e  1    z  1, e z Từ định nghĩa hàm gần đúng, có: e1 z m  r , n  f      2 2  log  e  d  I1  I  I , f n2  z    z ®ã Ij  2  log Ej  e  d , j  1, 2,3 f 2n2  z    z f  z e1   z e 2 z e z   Víi   E1 , chóng ta cã: n 2 f  z  f n  z  e2 1  z f n  z  Nh- vËy (2.11), chóng ta ®-ỵc I1  S  r  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn e z  , vµ Víi   E2 , tõ 1    th× e1 2  z  e1   z  f 2n2  z  f 2n2  z  V× vËy I2  S r Sau từ (2.5) thì: Víi   E3 , chóng ta cã f  z   e2 1  z V× vËy: e1 2  z 1   z e   1 2n2 n 1 1  z n   z  n1 z   f  z e e  e1   z Do ®ã: I  S  r  Tõ ®ã chóng ta cã m  r , n  f  Nh©n (2.7) víi (2.8) cho:    S  r , f   f 2n2  Q  f    2e1 2  z (2.15) (2.16) Trong Q(f) đa thức vi phân f cã bËc lín nhÊt 2n ’2, vµ     p1'  1 p1  f  p1nf '   p   p  f ' 2 Từ (2.16) bổ đề 1, đ-ợc p2 nf ' (2.17) m  r ,    S  r , f  V× vËy, T  r,   S  r, f  NÕu  p   p  f  np f '  , phép lấy tích phân đ-ợc ' 1 1  z/n f n  cp1e1z , c số khác Vì vËy, f  ae , víi a lµ hµm nhá cđa f Chóng ta thÊy vÕ tr¸i cđa (2.1) đa thức Mặt khác vế phải (2.1) không đa thức e1z / n có bậc n e1z / n Tõ ®ã  p   p  f  np f '  ' 1 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn T-¬ng tù, chóng ta cã Cho p ' p '   p2  f  np2 f '  V× vËy     p2  f  np2 f '  h , (2.18) ®ã chóng ta cã :  p   p  f  np f '  h ' 1 (2.19) Bằng cách khử f f , tách từ (2.18) (2.19) đ-ợc: f p1 h  p2  h (2.20)   p2   p2  p'   p f ' 1 h n n h ' Và (2.21) ' ' Trong :  p1 p2  p2 p1    1  p1 p2 lµ hµm nhá cđa f nã triệt tiêu cách đồng Từ (2.20) chóng ta thÊy: 2T  r , h   T  r , f   S  r , f Vì vậy, hàm nhỏ f cịng lµ hµm nhá cđa h Vµ tõ vi phân thấy h hàm A Nh- vËy h’/h lµ hµm nhá cđa f Bằng cách đạo hàm vế (2.20) , đ-ợc: p p h'  p   p h'  f '     '  h     '   h h     h     (2.22) So sánh hệ số vế phải (4.7) (4.8), suy p1'  1 p1  p1  p1 h '    ' n    h p '   p2   n (2.23)  p   p h'    '  h    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.24) 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn B»ng phÐp lÊy tích phân (2.23) (2.24), tách ra, đ-ợc: n n 1 z p1e p   d1  h  ;   2 z p2 e  p 1  d2   ,  h (2.25) d1 d2 số khác Từ công thức trên, tồn hàm n nhỏ , ez tháa m·n pi  i , i  1, Vµ p1 p2e 1   z n  p p  d1d  22 (2.26) Vế phải công thức hàm nhỏ f, nh- hàm nhỏ ez Vì công thức Ngoài ra, thấy tồn số khác không c1 c2 cho: p1 h  c11e1z / n ; p2  c2 2e2 z / n  h (2.27) Cuèi cïng, tõ (2.20), đ-ợc (2.3) Hệ 1: Cho ph-ơng trình vi phân: f f f '' 2cos3 z, có nghiệm nguyên: f1  z   2cosz f  z    cos z  f3  z    cos z  sin z sin z 2.4.5 Định lý 3: Giả sử n số nguyên d-ơng, cho p1, p2 lµ hµm nhá cđa ez, vµ  i i 1, số d-ơng thỏa m·n  n  1   n1  NÕu Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn 52 số vô tỷ, http://www.lrc-tnu.edu.vn ph-ơng trình vi phân (2.1) nghiệm nguyên, P(f) đa thức vi phân f có bậc n-1 Chứng minh: Nếu f nghiệm nguyên siêu việt (2.1), định lý 1, tồn hàm nhỏ i,e, f cho (2.2) cố định Và nh- vËy N  r,1 /  f    S r, f , hàm nhỏ ngoại lƯ cđa f C«ng thøc (2.2) chøng tá sù tồn hàm nhỏ , f cho f '  1 f  2 B»ng phÐp thÕ c«ng thøc (2.1), z chóng ta thấy p1e đa thức f có bậc k