Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TỒN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở Đầu Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna đ-ợc đánh giá thành tựu sâu sắc toán học kỷ hai m-ơi Đ-ợc hình thành từ năm đầu kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ công trình Hadamard, Borel vµ ngµy cµng cã nhiỊu øng dơng lĩnh vực khác toán học Vào năm 1925, Nevanlinna đà phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm công thức tiếng Jensen Lý thuyết có nội dung chủ yếu định lý thứ nhất, định lý thứ quan hệ số khuyết Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng: Ch-ơng I: Trình bày sở lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna Ch-ơng II: Trình bày số kết nghiệm toàn cục ph-ơng trình vi phân phức dựa báo nghiệm toàn cục số lớp ph-ơng trình vi phân phức tác giả Ping Li Kết luận văn: Cho P(f) đa thức vi phân f có đạo hàm ( với hàm nhỏ cđa f z coi nh- lµ hƯ sè) cã bËc không lớn n - , p1, p2 hµm nhá cđa e vµ 1 ,  số khác không Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna để tìm nghiệm toàn cục siêu việt ph-ơng trình vi phân phi tuyÕn tÝnh kh«ng gian phøc: f n  z   P  f   p1e1z  p2e2 z Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn bảo tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính đến S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ThÇy, ThÇy không h-ớng dẫn nghiên cứu khoa học mà Thầy thông cảm, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học tr-ờng Đại học S- phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy cô Viện Toán học Việt Nam đà giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa học luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt đồng nghiệp khoa KHCB, gia đình, bạn bè đà quan tâm, giúp đỡ trình học hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên L-u Thị Minh Tâm S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ch-¬ng I Cơ sở lý thuyết Nevanlinna 1.1 Hàm phân hình 1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi điểm bất th-ờng cô lập hàm f(z) hàm f(z) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm 1.1.2 Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a hàm f(z) đ-ợc gọi f z cực điểm f(z) lim z a 1.1.3 Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình toàn mặt phẳng phức đ-ợc gọi hàm nguyên Nh- vậy, hàm nguyên hàm điểm bất th-ờng hữu hạn 1.1.4 Định nghĩa: Hàm f(z) đ-ợc gọi hàm phân hình miền D hàm chỉnh hình D, trừ số điểm bất th-ờng cực điểm Nếu D = ta nói f(z) phân hình , hay đơn giản, f(z) hàm phân hình *Nhận xét: Nếu f(z) hàm phân hình D lân cận điểm z  D, f  z  cã thÓ biÓu diễn đ-ợc d-ới dạng th-ơng hai hàm chỉnh hình 1.1.5 Định nghĩa: Điểm z0 gọi cực điểm cấp m>0 hàm f(z) lân cận z0 , hµm f  z    z  z0  m h  z  , h(z) hàm chỉnh hình lân cận z0 vµ h  z0   1.1.6 Tính chất: Nếu f(z) hàm phân hình D f(z) hàm phân hình D Hàm f(z) f(z) có cực điểm ®iĨm nhSố hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đồng thời, z0 cực điểm cấp m>0 hàm f(z) z0 cực ®iĨm cÊp m+1 cđa hµm f’(z) *NhËn xÐt: Hµm f(z) đếm đ-ợc cực điểm D 1.1.7 Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình , điều kiện cần đủ để f(z) điểm bất th-ờng khác cực điểm f(z) hàm hữu tỷ 1.2 Định lý thứ nhÊt 1.2.1 C«ng thøc Poisson-Jensen f  z   hàm phân hình hình tròn Định lý: Gi¶ sư  z  R víi  R   Gi¶ sư a    1, 2, M không điểm, không điểm đ-ợc kể số lần bội nó, bv(v = 1,2,N) cực điểm f hình tròn đó, cực điểm đ-ợc kể số lần bội Khi z r.ei ,   r  R  , f  z   0; f  z    th×: log f  z   2 2  log f  Re  M R  z  a   1 R  a z   log i R2  r d R  Rrcos      r N R  z  bv  v 1 R  bv z   log (1.1) Chứng minh *Tr-ờng hợp Hàm f(z) không điểm cực điểm z R Khi ta cần chứng minh: log f  z   2 2  log f  Re  i R2  r d R  Rrcos      r (1.1a) + Tr-íc hÕt ta chøng minh công thức z = 0, nghĩa cÇn chøng minh: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com log f    2 2   log f  Re d i Do f(z) không điểm cực điểm hình tròn nên hàm log f(z) chỉnh hình hình tròn Theo định lý Cauchy ta cã: log f    2 i 2   log f  Re  d dz log f z     z 2 z R i LÊy phÇn thùc ta thu đ-ợc kết z = log f    2 2   log f  Re  d i + Víi z tïy ý, xét ánh xạ bảo giác biến  R thµnh   vµ biÕn   z thành Đó ánh xạ:  R   z  R  z Nh- vËy   R t-¬ng øng víi   Trªn   R , ta cã: log   log Nªn R   z  R  z  d R z d zd       z R  z R  z  Do log f(z) chỉnh hình log f z   log R  log  z   log R  z  d    z  (1*) z  R , theo định lý Cauchy ta có: d log f    2 i   R  z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2*) http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác zd d  log f   log f      R2 2 i   R R  z 2 i   R  z Do z  z  R suy   R , nên hàm log f R2 R2 R nghĩa điểm z z (3*) nằm vòng tròn R hàm chỉnh hình Nh- tích phân z vế phải (3*) Kết hợp với (1*) (2*) ta có: log f  z   R z log f   2 i   R R  z    d   z (1.2) i i Hơn nữa,  R ,   R.e , d  iRe d vµ R    z   R  R  re     Re i    z i  rei    Rei R  Rrcos      r  KÕt hỵp víi (1.2) ta thu đ-ợc: log f Re R log f  z   2 R i 2  r  d  Rrcos      r (1.3) Lấy phần thực hai vế đẳng thức (1.3) ta ®-ỵc: log f  z   2 2  log f  Re  R R i 2  r  d  Rrcos r Đây điều cần phải chứng minh S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Tr-êng hỵp 2: Hàm f(z) không điểm cực điểm bên z R , nh-ng có hữu hạn không điểm cực điểm cj biên  R Víi   nhá tïy ý, ta đặt: D z R  U j   c j    Gäi  D lµ chu tun cđa D vµ cung lõm vào D bao gồm phần đ-ờng tròn R với phần lõm vào đ-ờng tròn nhỏ bán kính tâm không điểm cực điểm f(z) R Giả i sử z  re miÒn z  R , tån đủ nhỏ cho R2 z log f  z   log f   2 i D R  z  z  D Khi ®ã:  d    z (1.2a) Giả sử z0 không điểm hay cực điểm f(z) R cung tròn ứng với z0 D Khi , f z  c  z  z0   m m > z0 không điểm m < z0 cực điểm Suy 1  log f  z   O  log      Nh- vËy:  2    1   O  log  M  ,   M đại l-ợng bị chặn Ta thÊy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1  O  log  M       Cho công thức (1.2a), tính tích phân thứ dần đến tích phân vế phải (1.3), tích phân thứ hai dần đến Nh- ta thu đ-ợc công thức (1.3) tr-ờng hợp từ suy (1.1) *Tr-ờng hợp Bây ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức f(z) có không điểm cực ®iĨm z  R ®Ỉt:     f   R    a  M   N R   bv  v 1 R  bv  (1.4) R a Hiển nhiên không điểm cực điểm z R Nhvậy áp dụng công thức (1.1a) cho hàm Hơn nữa, i nÕu   Re th× : R   a  R  a  R   a      a   1, R   bv  vµ R  bv  R   bv      bv   1, f       nªn VËy log   z   2  2 2 2  log   Re  R  log f  Re  R R i R i 2 2  r  d  Rrcos      r  r  d  Rrcos      r (1.5) Mặt khác: S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.4.1 Định lý A: Cho n số nguyên, P(f) đa thức vi phân f cã bËc  n ’ 3, p1, p2 lµ đa thức khác 0, số khác với hữu tỷ Khi ph-ơng trình vi phân f n z   P  f   p1e1z  p2e2 z nghiệm nguyên siêu việt 2.4.2 Định lý B: Cho n số nguyên, P(f) đa thức vi phân đối víi f cã bËc  n ’ 3, b(z) lµ hàm phân hình, , c1, c2 số khác Khi ph-ơng trình vi phân f n  z   P  f   b  z   c1e z  c2e z , nghiệm nguyên siêu việt thỏa mÃn T(r,b) = S(r, f) Đó giả thiết [10] kết luận định lý A bậc ph-ơng trình vi phân P(f) n n Sau chứng minh kết cho hoàn thiện định lý A B 2.4.3 Định lý 1: Cho n số nguyên d-ơng Cho f hàm nguyên siêu việt, P(f) đa thức vi phân f có bậc n NÕu f n  z   P  f   p1e1z  p2e z , (2.1) pi (i =1,2) hàm nhỏ không triệt tiêu cña ez ,  i  i  1, 2 số d-ơng làm thỏa mÃn n n1 , tồn hµm nhá  cđa f cho:  f   n  p2e2 z (2.2) Chøng minh : n Đầu tiên , viết Pn1 f  nh- sau: P  f    b j M j  f  , j 0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 (2.3) http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com bj hàm nhỏ f , M0(f) = 1, Mj(f) (j = 1,2,…,n-1) lµ đơn thức vi phân f có bậc j Không tính tổng quát, giả thiết b0 , ra, làm biến đổi f = f1 + c cho phï hỵp h»ng sè c Tõ (2.1), chóng ta cã: n 1 bj Mj  f          p1e1z  p2e z  b0 j 1 p1e1z  p2e z  b0 fj f  f  n Chó ý m  r , M j  f  / f j   S  r, f  (2.4) bổ đề có: 1 z 2 z m  r , 1z   S  r , p1e  p2e   S  r , f  2 z  p1e  p2e  b0  Bëi vËy, vÕ trái (2.4) đa thức 1/f có bậc nhiỊu nhÊt b»ng n ’ víi hƯ sè trë thành hàm gần 1/f Từ đó: 1 m  r ,   S  r , f (2.5) f Đạo hàm hai vÕ cña (2.1) cho: nf n1 f '  P  f   '   p1'  1 p1  e1z   p2'   p2  e2 z 1z Khö e p ' e2 z , tách từ (2.1) công thức trên, đ-ợc: p2 f n  p2 nf n1 f '  p2'   p2  P  f   p2  P  f   '   e1z  p  p  f ' n 1 Trong (2.6) p1nf n1 f '  p1'  1 p1  P  f   p1  P  f   '    e2 z (2.7) (2.8)   p1 p2'  p2 p1'    p1 p2 , hàm nhỏ f Chóng ta chó ý r»ng  kh«ng thĨ triệt tiêu cách đồng nhất, cách khác, phép lấy tích phân đ-ợc e z C p1 cho số C, đ-ợc Từ p2 (2.7) (2.8) đ-ợc: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com   jz m r, e   nT  r, f   S  r, f  , j = 1,2 (2.9) Tõ (2.1) chóng ta cã: nT  r , f   m  r , f n   m  r , f n  P  f    T  r , p1e1z  p2e2 z   S  r , f  (2.10) Bëi vËy, S  r , e1z   S  r , e2 z   S  r , f  : S  r  Tõ (2.4) chóng ta cã n 1 b j ei z Mj   ei z     p1e1z  p2e z  b0 j 1 p1e1z  p2e z  b0 f j  f  n j ei z  n , i  1, f Sau ®ã:  ei z  m  r , n   S  r  , i  1,  f  (2.11) Sau ®ã chóng ta chøng minh  e1z  m  r , n1   S  r  , i  1, f (2.12) i Cố định r>0, cho z  re Cho kho¶ng më [0, 2 ) biểu thị hợp cho tập hỵp rêi nh- sau:   f z   E1     0, 2     z  1 e     f  z   z E2     0, 2     z  1, e  1 e     f  z   z E3     0, 2     z  1, e  1 e Do định nghĩa hàm gần đúng, chóng ta cã: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  ei z  m  r , n 1    f  2 2  log ei z  f n 1  z  d  I1  I  I Trong ®ã Ii  2 2  log  ei z f n 1  z  d , i  1, 2,3  Víi   E1 , chóng ta cã: f  z   e  1  z f  z e z  n , chóng ta đ-ợc: n f z f z  e 1  z e1z Tõ  e2 z I1  m  r , n  f Víi   E2 , chóng ta cã 1z e e1z  , vµ nh- vËy n 1 f  z  f n 1 z Sau   I1  m  r , n 1   S  r   f từ (2.5) thì: Với E3 , chóng ta cã e1z f n 1  z  Do gi¶ thiÕt:    S r   f  z   e2 1  z V× vËy:  e1z e n 1 1  z  n  1   n1 , đ-ợc e n z  n1 z e1z f n 1  z   V× vËy chóng ta có I3 = Từ cố định (2.10) Sau ®ã tõ (2.7) th×: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com f n 1   Trong e1z n 1 f  R  f  f n 1 (2.13)    p2'   p2  f  np2 f ' , R f p2'   p2  P  f   p2  P  f   ' , lµ ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc lín n-1 Do bổ đề 1, đ-ợc m  r ,    S  r  , chó ý r»ng  lµ toµn cơc, chóng ta cã N  r ,    S  r  Tõ ®ã: T  r,    S r ,i, e ,  lµ hµm nhá f Bằng định nghĩa , ®-ỵc: p2'   p2  f ' f np2 np2 Thế công thức vào (2.8) cho: f  n np1  f n 1  p2  p1'  1 p1   P f Do bổ đề 2, nhìn thấy sù tån t¹i  f   n p1 p2   P  f   '  p e 2z hµm nhá  cđa f p2e2 z Đây điều phải chứng minh định lý 2.4.4 Định lý 2: Cho n số nguyên d-ơng, i i  1,  lµ sè thùc vµ 1    Cho p1,p2 lµ hµm nhá ez Nếu tồn hàm nguyên siêu việt f thỏa mÃn ph-ơng trình vi phân (2.1), P(f) đa thức vi phân f có bậc không lớn n 2, , tồn số c1,c2 vµ hµm nhá 1 ,  víi f  p  p  f ' 1 n  p1nf n1 f '  p1'  1 p1  P  f   p1  P  f   '    e2 z f  c11e1z / n  c2 2e2 z / n (2.14) Hơn nữa, in pi , i  1, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chøng minh: 1  Còn tr-ờng hợp Chúng ta thảo luận cho tr-ờng hợp làm t-ơng tự Giả sử f nghiệm nguyên siêu việt (2.1) Chứng minh t-ơng tự định lý 1, lấy (2.5) (2.11) Cố định r>0, i cho z re Cho khoảng mở [0, ) biểu thị hỵp nhÊt cho tËp hỵp rêi nhsau:   E1     0, 2     E2     0, 2     E3     0, 2   f  z e 1  z f  z e 1  z f  z e  1  z    1     1, e  1    z  1, e z Từ định nghĩa hàm gần đúng, có: e1  z m  r , n  f      2 2  log  e  d  I1  I  I , f n2  z    z ®ã Ij  2  log Ej  e  d , j  1, 2,3 f 2n2  z    z f  z e1   z e 2 z e z   Víi   E1 , chóng ta cã: n 2 f  z  f n  z  e2 1  z f n  z  Nh- vËy (2.11), chóng ta đ-ợc I1 S r S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com e z  , vµ Víi   E2 , tõ 1    th× e1 2  z  e1   z  f 2n2  z  f 2n2  z  V× vËy I2  S r Sau từ (2.5) thì: Với   E3 , chóng ta cã f  z   e2 1  z V× vËy: e1 2  z 1   z e   1 2n2 n 1 1  z n   z  n1 z   f  z e e  e1   z Do ®ã: I  S  r  Tõ ®ã chóng ta cã m  r , n  f  Nh©n (2.7) víi (2.8) cho:    S  r , f   f 2n2  Q  f    2e1 2  z (2.15) (2.16) Trong Q(f) đa thức vi phân f cã bËc lín nhÊt 2n ’2, vµ     p1'  1 p1  f  p1nf '   p   p  f ' 2 Từ (2.16) bổ đề 1, ®-ỵc   p2 nf ' (2.17) m  r ,    S  r , f  V× vËy, T  r,   S  r, f  NÕu  p   p  f  np f '  , phép lấy tích phân đ-ợc ' 1 1  z/n f n  cp1e1z , c số khác Vì vậy, f  ae , víi a lµ hµm nhá f Chúng ta thấy vế trái (2.1) đa thức Mặt khác vế phải (2.1) không ®a thøc e1z / n cã bËc n e1z / n Tõ ®ã  p   p  f  np f '  ' 1 1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com T-¬ng tù, chóng ta cã Cho p ' p '   p2  f  np2 f '  V× vËy     p2  f  np2 f '  h , (2.18) ®ã chóng ta cã :  p   p  f  np f '  h ' 1 (2.19) B»ng c¸ch khư f f , tách từ (2.18) (2.19) đ-ợc: f p1 h p2  h (2.20)   p2   p2  p'   p f ' 1 h n n h ' Vµ (2.21) ' ' Trong ®ã :   p1 p2  p2 p1    1  p1 p2 hàm nhỏ f triệt tiêu cách đồng Từ (2.20) thấy: 2T  r , h   T  r , f   S  r , f  Vì vậy, hàm nhỏ f hàm nhỏ h Và từ vi phân chóng ta thÊy h lµ mét hµm A Nh- h/h hàm nhỏ f Bằng cách đạo hàm vế (2.20) , đ-ợc:  p  p h'    p   p h'  f '     '  h     '   h h     h     (2.22) So s¸nh hệ số vế phải (4.7) (4.8), suy p1'  1 p1  p1  p1 h '    ' n    h p '   p2   n (2.23)  p   p h'    '  h    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.24) 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bằng phép lấy tích phân (2.23) (2.24), tách ra, đ-ợc: n n z p1e p   d1  h  ;   2 z p2 e  p 1  d2   ,   h (2.25) ®ã d1 d2 số khác Từ công thức trên, tồn hàm n nhỏ 1 ,  cña ez tháa m·n pi  i , i  1, Vµ p1 p2e 1   z n  p p  d1d  22     (2.26) Vế phải công thức hàm nhá cđa f, nh- vËy lµ hµm nhá cđa ez Vì công thức    Ngoµi ra, chóng ta thấy tồn số khác không c1 c2 cho: p1  h  c11e1z / n ; p2  c2 2e2 z / n  h (2.27) Cuối cùng, từ (2.20), đ-ợc (2.3) Hệ 1: Cho ph-ơng trình vi phân: f  f  f ''  2cos3 z, cã ®óng nghiƯm nguyªn: f1  z   2cosz f  z    cos z  f3  z    cos z  sin z sin z 2.4.5 Định lý 3: Giả sử n số nguyên d-ơng, cho p1, p2 hàm nhỏ cđa ez, vµ  i  i  1, số d-ơng thỏa mÃn n   n1  NÕu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 số vô tỷ, http://www.lrc-tnu.edu.vn LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ph-ơng trình vi phân (2.1) nghiệm nguyên, P(f) ®a thøc vi ph©n ®èi víi f cã bËc  n-1 Chứng minh: Nếu f nghiệm nguyên siêu việt (2.1), định lý 1, tồn hàm  nhá i,e,  cña f cho (2.2) cè định Và nh- N r,1 / f      S r, f , lµ hàm nhỏ ngoại lệ f Công thức (2.2) chứng tỏ tồn hàm nhỏ , 2 cña f cho f '  1 f  2 B»ng phÐp thÕ c«ng thøc (2.1), z thấy p1e đa thức đối víi f cã bËc k