I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN TH BCH PHìẹNG TP HểT TON CệC ẩI VẻI MậT LẻP PHìèNG TRNH PARABOLIC PHI TUYN CHA TON T CAFFARELLI-KOHN-NIRENBERG LUN VN THC Sò TON HC ThĂi Nguyản - Nôm 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM TP HểT TON CệC ẩI VẻI MậT LẻP PHìèNG TRNH PARABOLIC PHI TUYN CHÙA TON TÛ CAFFARELLI-KOHN-NIRENBERG Chuy¶n ng nh: GII TCH M số: 60.46.01.02 LUN VN THC Sò TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc TS NGUYN NH BNH ThĂi Nguyản - N«m 2014 Líi cam oan Tỉi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh nghiản cựu cừa tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn ẳnh Bẳnh CĂc kát quÊ luên vôn ữủc nghiản cựu v trẳnh by dỹa trản cĂc kát quÊ nghiản cựu cừa giĂo viản hữợng dăn ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2014 TĂc giÊ Nguyạn Th BÔch Phữủng XĂc nhên cừa khoa chuyản mổn XĂc nhên cừa GV hữợng dăn Lới cÊm ỡn Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn v nhiằt tẳnh ch bÊo cừa Tián sắ Nguyạn ẳnh Bẳnh, Bở Khoa håc v Cỉng ngh» Em xin ÷đc b y tä lỏng biát ỡn sƠu sưc v lỏng quỵ mán ối vợi thƯy TĂc giÊ cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn thnh án Ban giĂm hiằu, Khoa Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn trữớng Ôi hồc sữ phÔm- Ôi hồc ThĂi Nguyản, Trung tƠm hồc liằu - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tÔo iÃu kiằn thuên lủi suốt quĂ trẳnh tĂc giÊ hồc têp tÔi trữớng TĂc giÊ xin chƠn thnh cÊm ỡn gia ẳnh, bÔn b ỗng nghiằp v cĂc thnh viản lợp cao hồc toĂn K20  luổn quan tƠm, ởng viản, giúp ù tĂc giÊ suốt thới gian hồc têp v quĂ trẳnh lm luên vôn giúp tĂc giÊ hon thnh luên vôn ny Tuy câ nhi·u cè gng, song thíi gian v n«ng lüc cừa bÊn thƠn cõ hÔn nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt RĐt mong ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc thƯy cổ ton th bÔn ồc ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2014 TĂc giÊ Nguyạn Th BÔch Phữủng i Mửc lửc Mé U KIN THÙC CHUN BÀ C¡c khæng gian h m: Khæng gian h m phư thc thíi gian: Tªp hót to n cưc: 1.1 1.2 1.3 1.3.1 Mët sè kh¡i ni»m: 1.3.2 Tªp hót to n cöc: 11 1.3.3 Sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc: 13 1.4 15 1.5 19 Têp hút Ãu cừa quĂ trẳnh ỡn tr: Mởt số bĐt ng thực thữớng dũng: Sĩ TầN TI CếA NGHIM YU nh nghắa nghiằm yáu cừa bi toĂn: Sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bi toĂn: Sĩ TầN TI TP HểT TON CệC Trữớng hđp ỉtỉnỉm: Tr÷íng hđp khỉng ỉtỉnỉm: KT LUN TI LIU THAM KHO 22 2.1 22 2.2 23 28 3.1 28 3.2 31 38 39 MÐ U Làch sỷ phĂt trin v lỵ chồn à ti: CĂc phữỡng trẳnh Ôo hm riảng tián hõa phi tuyán xuĐt hiằn nhiÃu cĂc quĂ trẳnh cừa vêt lẵ, hõa hồc v sinh hồc, chng hÔn cĂc quĂ trẳnh truyÃn nhiằt v khuách tĂn, quĂ trẳnh truyÃn sõng cỡ håc ch§t läng, c¡c ph£n ùng hâa håc, c¡c mỉ hẳnh quƯn th sinh hồc, Viằc nghiản cựu nhỳng lợp phữỡng trẳnh ny cõ ỵ nghắa quan trồng khoa hồc v cổng nghằ Chẵnh vẳ vêy nõ  v ang thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh khoa hồc trản thá giợi CĂc vĐn à t l nghiản cựu tẵnh t úng cừa bi toĂn (sỹ tỗn tÔi nhĐt nghiằm, sỹ phử thuởc liản tưc cõa nghi»m theo dú ki»n ¢ cho) v c¡c tẵnh chĐt nh tẵnh cừa nghiằm (tẵnh trỡn, dĂng iằu tiằm cên cừa nghiằm, ) Sau nghiản cựu tẵnh °t óng cõa b i to¡n, vi»c nghi¶n cùu d¡ng i»u ti»m cªn cõa nghi»m thíi gian vỉ cịng rĐt quan trồng vẳ nõ cho php ta hiu v dü o¡n xu th¸ ph¡t triºn cõa h» ëng lüc t÷ìng lai, tø â ta câ thº câ nhúng iÃu chnh thẵch hủp Ôt ữủc kát quÊ mong muèn V· m°t to¡n håc, i·u n y l m n£y sinh mởt hữợng nghiản cựu mợi, ữủc phĂt trin mÔnh m khoÊng ba thêp k gƯn Ơy l Lẵ thuyát cĂc hằ ởng lỹc vổ hÔn chiÃu Lẵ thuyát ny nơm giao cừa chuyản ngnh l Lẵ thuyát hằ ởng lỹc, Lẵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn Ôo hm riảng v Lẵ thuyát phữỡng trẳnh vi phƠn thữớng (xem BÊng phƠn loÔi toĂn hồc nôm 2010) Bi toĂn cỡ bÊn cừa lẵ thuyát ny l nghiản cựu sỹ tỗn tÔi v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp hút, chng hÔn Ănh giĂ số chiÃu fractal hoc số chiÃu Hausdorff, sỹ phử thuởc liản tửc cừa têp hút theo tham bián, tẵnh trỡn cừa têp hút, xĂc nh c¡c modes Tªp hót to n cưc cê iºn l mởt têp compact, bĐt bián, hút tĐt cÊ cĂc qu Ôo cừa hằ v chựa ỹng nhiÃu thổng tin và dĂng iằu tiằm cên cừa hằ Cử th vợi mội qu Ôo cho trữợc cừa hằ v mởt khoÊng thới gian T tũy ỵ, ta Ãu tẳm ữủc mởt qu Ôo nơm trản têp hút ton cửc m dĂng iằu thới gian ừ lợn cừa hai qu Ôo n y sai kh¡c õ nhä tr¶n mët kho£ng câ ë di T Tuy nhiản, têp hút ton cửc ch Ăp dửng cho cĂc trữớng hủp ổtổnổm, rĐt nhiÃu quĂ trẳnh cõ ngoÔi lỹc phử thuởc vo thới gian Do õ cƯn phÊi m rởng khĂi niằm têp hút cho c¡c h» ëng lüc khæng ætænæm Vi»c mð rëng nghiản cựu và têp hút  dăn án khĂi niằm têp hút Ãu cho trữớng hủp qu Ôo nghiằm b chn thới gian t tián vổ hÔn Trong ba thêp k gƯn Ơy, nhiÃu nh toĂn hồc  nghiản cựu v thu ữủc nhiÃu kát quÊ và lẵ thuyát têp hút ối vợi nhiÃu lợp phữỡng trẳnh vi phƠn Ôo hm riảng (xem,chng hÔn, chuyản khÊo [4] v bi tờng quan [3]) Mởt nhỳng lợp phữỡng trẳnh Ôo hm riảng ữủc nghiản cựu nhiÃu nhĐt l lợp phữỡng trẳnh parabolic Lợp phữỡng trẳnh ny mổ tÊ nhiÃu quĂ trẳnh vêt lẵ, hõa hồc v sinh hồc nhữ quĂ trẳnh truyÃn nhiằt, quĂ trẳnh phÊn ựng khuách tĂn, mổ hẳnh toĂn hồc sinh hồc quƯn th, Sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc ối vợi phữỡng trẳnh v hằ phữỡng trẳnh parabolic nỷa tuyán tẵnh khổng suy bián  ữủc nghiản cựu bi nhiÃu t¡c gi£, c£ mi·n bà ch°n v khæng bà chn (xem [10], [15]) Tẵnh liản tửc cừa têp hút ton cửc ối vợi cĂc bi toĂn parabolic ữủc nghiản cùu c¡c cỉng tr¼nh [3], [9], [10], [14] Sü hiu biát và cĂc tẵnh chĐt liản quan án hằ ëng lüc l mët nhúng v§n · quan trång cừa vêt lỵ toĂn hồc hiằn Ôi ối vợi cĂc phữỡng trẳnh cỡ bÊn lỵ thuyát tối ữu vctỡ bao gỗm quan trồng hằ thống nõi trản tứ quan iºm cõa c¡c thuy¸t ð h» thèng ëng lüc, nõ cƯn thiát phĂt trin mởt lỵ thuyát tữỡng ữỡng cho nỷa quĂ trẳnh a tr Trong nhỳng nôm qua,  cõ mởt số lỵ thuyát m ngữới ta cõ th nghiản cựu nhiÃu giĂ tr bián thiản v cĂc hm cừa chúng, bao gỗm cÊ lỵ thuyát tờng quĂt cừa Ball, lỵ thuyát và lỹc hút qu Ôo cừa Cheppuzhov v Vishik [8] v lẵ thuyát và nỷa qu¡ tr¼nh a trà cõa Melnik v Valero [19],[21] Nhớ nhỳng lỵ thuyát õ, mởt số kát quÊ liản quan án têp hút gƯn Ơy ữa sỹ khĂc biằt trữớng hủp phữỡng trẳnh thổng thữớng [20], [21], phữỡng trẳnh parabolic [16], [27] Trong luên vôn ny chúng tổi giÊ thiát cõ biản l l mi·n bà ch°n RN , N ≥ v x²t b i to¡n sau: ∂u − div(|x|−pγ |∇u|p−2 ∇u) + f (t, u) = g(x, t), x ∈ Ω, ∂t u|t=τ = uτ (x), x ∈ Ω, u|∂Ω = 0, τ ∈ R, uτ ∈ L2 (Ω), t > τ, (1.1) p, γ thäa g ∈ L2c (R; L2 (Ω)) õ L2c (R; L2 ()) l têp tĐt cÊ c¡c 2 compact Lloc (R; L (Ω)) ÷đc ữa nh nghắa 1.4.1 hm õ f phi tuyán, ngoÔi lỹc g, cĂc số mÂn nhỳng iÃu kiằn sau: (H1): vợi f :RìRR l hm liản tửc thäa m¢n: |f (t, u)| ≤ C1 |u|q−1 + k1 (1.2) uf (t, u) ≥ C2 |u|q − k2 (1.3) q ≥ 2, C1 , C2 , k1 , k2 l cĂc số dữỡng; (H2): dữợi Ơy; (H3): 2N p2 N +2 v N N N − ≤γ+1< p p Ta ữa giÊ thiát (H1)-(H3) Phi tuyán f gi£ sû câ mët sü ph¡t triºn a thùc v thọa mÂn iÃu kiằn tiảu chuân Mởt vẵ dử in hẳnh cừa cĂc hm thọa mÂn iÃu kiằn (H1) l f (t, u) = |u|q−2 u.arctant, q ≥ (xem [7] chữỡng phƯn 3.3 v 3.5) dch gồn cĂc Ôi lữủng kẵ hiằu L2loc (R; L2 ()) (H3) l i·u ki»n £m b£o 1,p D0,Ω (Ω) l khổng gian nông lữủng tỹ nhiản cõ liản quan án viằc giÊi bi toĂn (1.1), ữủc nh nghắa phƯn 1.1 cừa luên vôn Ơy l iÃu kiằn quan trồng chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bi toĂn (1.1) bơng cĂch sỷ dửng phữỡng phĂp compact Bi toĂn (1.1) cõ liản quan án bĐt ng thực Caffarelli-Kohn-Nirenberg [5], câ chùa mët sè v§n · quan trång cừa phữỡng trẳnh parabolic Chng hÔn nhữ phữỡng trẳnh nhiằt nỷa tuyán tẵnh (khi suy bián (khi p = 2), = 0, p = 2), phữỡng trẳnh parabolic cĂc phữỡng trẳnh p-Laplacian(khi = 0, p 6= 2) Sỹ tỗn tÔi v tẵnh chĐt cừa bi toĂn (1.1)  thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa cĂc nh ToĂn hồc nhỳng nôm gƯn Ơy [2], [12] Tuy nhiản sỹ hiu biát tốt nhĐt cừa chúng tổi, dữớng nhữ ẵt ữủc ữa khoÊng thới gian di giÊi bi toĂn (1.1.) Trong luên vôn ny, vợi mửc tiảu dỹa trản kát quÊ cừa cổng trẳnh [23], chúng tổi nghiản cựu v trẳnh by chi tiát cĂch giÊi bi toĂn (1.1) qua nhiÃu bữợc, thổng qua khĂi niằm và têp hút ton cửc thống nhĐt cho nỷa quĂ trẳnh a tr é Ơy khổng cõ hÔn chá sü x¡c ành cõa h m phi tuy¸n f v c¡c iÃu kiằn ối vợi f chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bi toĂn (1.1), khổng tối ữu Vẳ vêy, ữa cĂc giÊi phĂp cƯn sỷ dửng cĂc lẵ thuyát và têp hút cho quĂ trẳnh a tr i theo ữớng lối chung cõa ph÷ìng ph¡p n y ÷đc sû dưng [16], [17], [22], [27] cho phữỡng trẳnh parabolic khổng suy bián, chúng tổi chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc trữớng hủp ổtổnổm v khổng ổtổnổm CƯn lữu ỵ rơng phi tuyán f khổng phử thuởc vo thới gian t, sỹ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) ngữủc lÔi trữớng hủp suy bián nỷa tuyán tẵnh, cử th g=0 v p = 2,  ữủc nghiản cựu [16], [17] iÃu Ăng þ l câ i·u ki»n bê sung fu0 (t, u) ≥ −C3 cho t§t c£ t > τ , u ∈ R ho°c mët gi£ thi¸t (f (t, u) − f (t, v)).(u − v) ≥ −C |u − v|2 vỵi t > τ , u, v ∈ R, ta trản f, vẵ dử yáu hỡn cõ th chựng minh rơng sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm yáu cừa bi toĂn (1.1) Vợi nhỳng lẵ trản, chúng tổi lỹa chồn vĐn à nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bi toĂn (1.1), chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc cừa bi toĂn (1.1) hai tr÷íng hđp ỉtỉnỉm v khỉng ỉtỉnỉm l m nởi dung nghiản cựu cừa Luên vôn vợi tản gồi : "Têp hút ton cửc ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic phi tuyán chựa toĂn tỷ CaffarelliKohn-Nirenberg" Mửc ẵch cừa luên vôn: Mửc ẵch cừa luên vôn nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bi toĂn (1.1) v sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc ối vợi mởt lợp phữỡng trẳnh parabolic phi tuyán chựa toĂn tỷ Caffarelli-Kohn-Nirenberg Nởi dung chẵnh: - Chúng tổi nghiản cựu bi toĂn (1.1)  nảu trản vợi hai nởi dung sau: ã Chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bi toĂn ã Chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc ối vợi bi toĂn hai trữớng hủp ổtổnổm v khổng ổtổnổm Phữỡng phĂp nghiản cựu: ã Sỷ dửng phữỡng phĂp xĐp x Galerkin v Ănh giĂ xĐp x nghiằm chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm yáu cừa bi toĂn (1.1) ã Sỷ dửng phữỡng phĂp compact v cĂc phữỡng phĂp lẵ thuyát cừa hằ ởng lỹc vổ hÔn chiÃu chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc cừa bi toĂn (1.1) tr÷íng hđp ỉtỉnỉm v khỉng ỉtỉnỉm Bè cưc cõa Luên vôn: Luên vôn bao gỗm: M Ưu, chữỡng nởi dung chẵnh, Kát luên v Ti liằu tham khÊo Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng ny chúng tỉi tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m v· khỉng gian 27 ∆p,γ º ch¿ r¬ng ψ = −∆p,γ u 1,p w ∈ V := Lp (τ, T ; D0,γ (Ω)), Ta sỷ dửng tẵnh nỷa liản tửc cừa toĂn tỷ v = u − λw, â λ > v RT câ: λ (ψ + ∆p,γ (u − λw), w)dt ≥ 0, °t Ta τ Do â: RT (ψ + ∆p,γ (u − λw), w)dt ≥ (2.17) τ Cho λ→0 (2.17), ZT ta câ: (ψ + ∆p,γ u, w)dt ≥ 0, ∀w ∈ V τ ψ = −∆p,γ u Do â u0 = ∆p,γ u − f (t, u) + g(t) V 1,p q Ta th§y u(τ ) = uτ Chån v i ϕ ∈ C ([τ, T ]; D0,γ (Ω) ∩ L (Ω)) vỵi φ(T ) = 0, φ ∈ V, sû dửng nh lỵ trởi Lebesgue, ta cõ th Vêy kim tra r¬ng: RT − (u, ϕ )dt + τ RT R −pγ |x| p−2 |∇u| ∇u∇ϕdxdt + τ Ω RT R f (t, u)ϕdxdt τ Ω = (u(τ ), ϕ(τ )) + RT R gϕdxdt τ Ω Sû döng phữỡng phĂp xĐp x Galerkin ta cõ: RT (un , ϕ )dt + τ RT R −pγ |x| p−2 |∇un | ∇un ∇ϕdxdt + τ Ω RT R f (t, un )ϕdxdt τ Ω = (un (τ ), ( )) + RT R gdxdt LĐy giợi hÔn n , ta cõ: R RT R −pγ p−2 |x| |∇u| ∇u∇ϕdxdt + f (t, u)ϕdxdt RT RT τ τ Ω − (u, ϕ0 )dt + = (uτ , ϕ(τ )) + τ Ω RT R gϕdxdt τ Ω u l nghi»m cõa b i to¡n (1.1) tr¶n (τ, T ) Ci cịng ta d¹ d ng kiºm tra nghiằm u thọa mÂn bĐt ng thực (2.3) v iÃu ny cho ta thĐy nghiằm u tỗn tÔi trản ton (τ, +∞) Do â u(τ ) = uτ v Vªy kát luên tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt nghiằm yáu cừa bi toĂn (1.1) 28 Chữỡng Sĩ TầN TI TP HểT TON CệC Trong chữỡng ny ta nghiản cựu bi toĂn (1.1) hai trữớng hủp ổtổnổm v khổng ổtổnổm ã Bi toĂn (1.1) trữớng hủp ỉtỉnỉm: thíi gian • f v g t B i to¡n (1.1) tr÷íng hđp khỉng ỉtỉnỉm: thíi gian khỉng phư thuëc v o f v g phö thuëc v o t 3.1 Tr÷íng hđp ỉtỉnỉm: X²t tr÷íng hđp f v g khỉng phư thc v o thíi gian t v chóng ta nhc lÔi nh nghắa cừa cĂc dỏng a tr nh nghắa 3.1.1 [20] Gi£ sû E l khæng gian Banach nh xÔ G :[ 0; + ) ìE 2E ữủc gồi l nỷa dỏng a tr náu thọa mÂn nhỳng i·u ki»n sau: G(0, w) = w, ∀w ∈ E; + (2) G(t1 + t2 , w) ⊂ G(t1 , G(t2 , w)), ∀w ∈ E, t1 , t2 ∈ R , S â G(t, B) = G(t, x), B ⊂ E (1) x∈B Nâ ÷đc gåi l nûa dáng a trà ng°t n¸u: G(t1 + t2 , w) = G(t1 , G(t2 , w)), ∀w ∈ E, t1 , t2 ∈ R+ 29 Ta x²t b i to¡n (1.1) vợi = Sỷ dửng nh lỵ 2.2.1 ta xƠy dỹng mởt Ănh xÔ xĂc nh nhữ sau: G(t, u0 ) = u(t)|u(.) l nghi»m y¸u to n cưc cõa (1.1) thäa m¢n u(0) = u0 Bê · 3.1.2 G l nûa dáng a trà ng°t theo ành ngh¾a 3.1.1 Chùng minh ξ ∈ G(t1 + t2 , u0 ), th¼ ξ = u(t1 + t2 ) â u(t) l mët nghi»m cõa (1.1) K½ hi»u v(t) = u(t1 + t2 ), ta thĐy rơng v(.) cụng thuởc têp nghiằm cừa (1.1) vợi iÃu kiằn ban ¦u v(0) = u(t2 ) Do â ξ = v(t1 ) ∈ G(t1 , u(t2 )) ⊂ G(t2 , G(t2 , u0 )) Vªy G(t1 , G(t2 , u0 )) ⊂ G(t1 +t2 , u0 ) N¸u ξ ∈ G(t1 , G(t2 , u0 )) th¼ ξ = v(t1 ), â v(0) ∈ G(t2 , u0 ) Ta câ thº gi£ sû r¬ng v(0) = u(t2 ), â v(0) ∈ G(t2 , u0 ), u(0) = u0 u(τ ), ≤ τ < t2 Tªp hđp w(τ ) = v(τ − t ), τ ≥ t2 Tø u v v l nghi»m cõa (1.1) ta thĐy w cụng l mởt nghiằm cừa (1.1) vợi w(0) = u(0) = u0 Do ξ = v(t1 ) = w(t1 + t2 ), ta câ ξ ∈ G(t1 + t2 , u0 ) Gi£ sû r¬ng ành nghắa 3.1.3 [20] Têp A l têp hút ton cửc cừa dỏng a tr G náu thọa mÂn nhỳng iÃu kiằn sau: * A l têp hĐp thử, tực l dist(G(t, B), A) → t → ∞, ∀B ⊂ E, bà ch°n A ⊂ G(t, A), ∀t ≥ * Náu B l mởt têp hĐp thử cõa G , th¼ A ⊂ B â dist(C, A) = sup inf ||c − a|| l nûa kho£ng * A l nỷa bĐt bián Ơm cC aA Hausdorff nh lẵ sau chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hót to n cưc cho nûa dáng a trà G ành lỵ 3.1.4 [[19], [20]] GiÊ sỷ nỷa dỏng a tr ngt G thọa mÂn: (1) G l tiảu hao im, tực l tỗn tÔi K > cho u0 ∈ E, u(t) ∈ 30 G(t, u0 ) ta câ: ||u(t)||E ≤ K n¸u t ≥ t0 (||u0 ||E ); G(t, ) l mởt Ănh xÔ õng vợi bĐt kẳ t ≥ 0, tùc l n¸u ξn → ξ, ηn → η; ξn ∈ G(t, ηn ) th¼ ξ ∈ G(t, ); (3) G l nỷa compact trản tiằm cên, tực l náu B l mởt têp b chn S + E cho: T (B), γT (B) (B) := G(t, B) b chn, vợi mồi dÂy (2) tT (B) ξn ∈ G(tn , B) vỵi tn → ∞ l ti·n compact E Khi â G câ mët têp hút compact ton cửc A bián, tực G(t, A) = A, vỵi ∀t ≥ E Hìn núa A l bĐt Bờ à 3.1.5 G(t, )l Ănh xÔ compact vỵi méi t∗ ∈ (0, T ] Chùng minh: Bê · n y l mët tr÷íng hđp cõa bê · 3.2.6 dữợi Ơy Sau Ơy, ta chựng minh sỹ tỗn tÔi têp hút ton cửc nh lỵ 3.1.6 Dữợi cĂc gi£ thi¸t (H1) - (H3), â f v g khỉng phư thc v o t, nûa dáng a trà ch°t G ÷đc sinh bði b i to¡n (1.1) câ mët têp hút ton cửc compact bĐt bián L () Chùng minh: Ta s³ kiºm tra c¡c gi£ thi¸t cõa nh lẵ 3.1.4 Trữợc hát giÊ sỷ u(t) G(t, u0 ), ta câ: R R 1d ||u(t)||2L2 (Ω) + |x|−pγ |∇u|p dx + C2 ||u||qLq (Ω) ≤ k2 |Ω| + ugdx dt Ω Ω ≤ k2 |Ω| + ||u||2L2 () + C ||g||2L2 () Chú ỵ rơng C2 ||u||qLq (Ω) ≥ λ ||u||2L2 (Ω) − C, C = C(q, |Ω|) > ta câ 1d ||u||2L2 (Ω) + λ||u||2L2 (Ω) ≤ C(q, |Ω|, ||g||L2 (Ω) ) dt Tø â ta câ: ||u(t)||2L2 (Ω) ≤ ||u(0)||2L2 (Ω) e−2λt + C(q, |Ω|, ||g||L2 (Ω) ) Do â ta cõ G l tiảu hao im BƠy giớ ta kim tra giÊ thiát (2) cừa nh lỵ 3.1.4 (3.1) 31 ξn ∈ G(t, ηn ), ξn → ξ, ηn → η L2 (Ω) {un } cho un (t) = ξn , un (0) = ηn Gi£ sû dÂy Khi õ tỗn tÔi mởt Lỵ luên nhữ phƯn chựng minh cừa nh lỵ 2.2.1, ta cõ: un → u L2 (Q0,T ), * un (t) * u(t) L (Ω) vỵi t ∈ [0, T ] v u(0) = η , p0 * f (un ) * f (u) L (Q0,T ), dun du * * V, dt dt −1,p0 p0 *−∆p,γ un * −∆p,γ u L (0, T ; D−γ (Ω)), * Do õ chuyn qua giợi hÔn ng thực ZT < u0n , v > + ZT Z dt 0 Ω u(t) l nghi»m ξ ∈ G(t, η) ta câ â ZT Z ZT Z |x|−pγ |∇un |p−2 ∇un ∇v+ dt f (un )v = dt gv yáu cừa (1.1) vợi iÃu kiằn ban Ưu u(0) = Do Vợi giÊ thiát (3) ta thĐy vợi n ừ lợn, G(tn , B) = G(t∗ + tn − t∗ , B) ⊂ G(t∗ , G(tn − t∗ B)) ⊂ G(t∗ , B ∗ ), t∗ > v B ∗ l mët tªp bà ch°n L2 (Ω) Sû döng bê · 3.1.5, náu n G(tn , B) thẳ {n } l ti·n compact L (Ω) Theo ành l½ 3.1.4 chóng ta kát luên nỷa dỏng a tr ngt G ữủc sinh â bði b i to¡n (1.1) tr÷íng hđp ổtổnổm cõ mởt têp hút ton cửc compact bĐt bián L2 (Ω) 3.2 Tr÷íng hđp khỉng ỉtỉnỉm: Chóng ta nhưc lÔi mởt số nh nghắa v mởt số kát qu£ l°p cõa c¡c h m (f (s, ), g(., s)) = σ(s) ÷đc gåi l mët °c tr÷ng cõa (1.1) Ta σ(s + h) = (f (s + h, ), g(., s + h)) v giợi hÔn cừa dÂy (s + hn ) khæng gian tæpæ Σ Hå cõa mội nN dÔng nhữ vêy ữủc gồi l bao cừa v ữủc kẵ hiằu H(), tực l: x²t b i to¡n (1.1) vỵi mët hå 32 H(σ) = clΣ {σ( + h)|h ∈ R} N¸u bao H(σ) l mët tªp compact Σ Rd = (t, τ ) ∈ R2 |τ ≤ t Σ, ta nõi rơng l compact dch chuyn Kẵ hi»u: Gåi X l khỉng gian metric ¦y õ, P(X) v B(X) l têp tĐt cÊ cĂc têp khĂc rộng v têp tĐt cÊ cĂc têp kẵ Cϕ > , kh¡c réng bà ch°n cõa X Gi£ sû Z l khæng gian cõa Z = ϕ ∈ C(R; R) : |ϕ(u)| ≤ Cϕ (1 + |u|q−1 ), |ϕ(u)| ||ϕ||Z = sup q−1 u∈R + |u| Khi â Z l mët khæng gian Banach Ta câ vỵi fn → f hi»u: khỉng gian C(R; Z) n¸u: lim sup ||fn (s, ) − f (s, )||Z = (3.2) n→∞ s∈[t,t+r] t ∈ R, r > f0 ∈ C(R; Z), g0 ∈ L2,w loc (R; L (Ω)) vỵi måi Gi£ sû v H(f0 ) = clC(R;Z) {f0 ( + h)|h ∈ R} , H(g0 ) = clL2,w (R;L2 (Ω)) {g0 ( + h)|h ∈ R} , loc L2,w loc (R; L (Ω)) ÷đc trang bà gn → g L2,w loc (R; L (Ω)) n¸u â tỉpỉ to n cöc, tùc l : Zt+rZ lim n→∞ t vỵi måi t ∈ R, r > bði tành hëi tư y¸u (gn (s, x) − g(s, x))φ(x, s)dsdx = Ω v ϕ ∈ L2 (Qt,t+r ) Ta kẵ hiằu = H(f0 ) ì H(g0 ) Mằnh · 3.2.1 [8] H m f ∈ C(R; Z) l compact dàch chuyºn n¸u v ∀R > ta câ: (1) |f (t, v)| ≤ C(R), ∀t ∈ R, v ∈ [−R, R], (2) |f (t1 , v1 ) − f (t2 , v2 )| ≤ α(|t1 − t2 | + |v1 − v2 |, R), ∀t1 , t2 ∈ R, v1 , v2 ∈ [−R, R], vỵi C(R) > v α(., ) l mët h m thäa m¢n α(s, R) → s → 0+ ch¿ n¸u 33 Tø b¥y gií ta ln gi£ sû g f l h m compact dàch chuyºn Cịng vỵi l h m compact dàch chuyºn tªp compact L2,w loc (R; L (Ω)), T (h) : Σ → Σ L2,w loc (R; L ()) , ta thĐy rơng l â tø [8] ta câ: l li¶n tưc v T (h)Σ ⊂ Σ, ∀h ∈ R ành ngh¾a 3.2.2 [21] nh xÔ U : Rd ì X P(X)ữủc gồi l nûa dáng a trà (MSP) n¸u (1)U (τ, τ, ) = Id ( nh xÔ ỗng nhĐt ) (2)U (t, τ, x) ⊂ U (t, s, U (s, τ, x)), ∀x ∈ X, t, sτ ∈ R, τ ≤ s t U ữủc gồi l nỷa quĂ trẳnh a trà ng°t n¸u U (t, τ, x) = U (t, s, U (s, τ, x)) Dτ,σ (uτ )l tªp tĐt cÊ cĂc nghiằm yáu ton cửc (ữủc nh nghắa vỵi ∀t ≥ τ ) cõa b i to¡n (1.1) vỵi (fσ , gσ ) thay cho (f, g) cho u(τ ) = uτ Vỵi méi σ = (f, g) ∈ Σ ta x²t hå MSP {Uσ : σ } Ta kẵ hiằu têp ữủc nh nghắa bi Uσ (t, τ, uτ ) = {u = u(t)|u(.) ∈ Dτ,σ (uτ )} Bê · 3.2.3 Uσ (t, τ, uτ ) l mët nûa qu¡ tr¼nh a trà Hìn núa Uσ (t + s, τ + s, uτ ) = UT (s)σ (t, τ, uτ ), ∀uτ ∈ L2 (Ω), (t, τ ) ∈ Rd , s ∈ R z ∈ Uσ (t, τ, uτ ) ta ph£i chùng minh r¬ng: z ∈ Uσ (t, s, Uσ (s, τ, uτ )) Gåi y(.) ∈ Dτ,σ (uτ ) cho y(τ ) = uτ v y(t) = z Rã r ng y(s) ∈ Uσ (s, τ, uτ ) Khi â náu ta nh nghắa z(t) = y(t) vợi t s ta thĐy rơng z(s) = y(s) v hin nhiản z(.) ∈ Ds,σ (y(s)) Do dâ z(t) ∈ Uσ (t, s, Uσ (s, τ, uτ )) °t z ∈ Uσ (t + s, τ + s, uτ ) Khi â tỗn tÔi u(.) D +s, (u ) cho z = u(t+s) v v(.) = u(.+s) ∈ Dτ,T (s)σ (uτ ), â z = v(t) ∈ Uτ,T (s)σ (u ) Ngữủc lÔi , z U,T (s) (u ) tø â z ∈ Dτ,T (s)σ (uτ ) cho z = u(t) v v(.) = u(−s + ) D +s, (u ) vẳ vêy z = v(t + s) ∈ Uσ (t + s, τ + s, uτ ) S K½ hi»u UΣ (t, τ, x) = Uσ (t, τ, x) Chùng minh Cho σ∈Σ ành ngh¾a 3.2.4 [21] Têp hủp A ữủc gồi l têp hút ton cửc Ãu ối vợi cĂc nỷa quĂ trẳnh a tr U náu: (1)A l nỷa bĐt bián Ơm, tực l A ⊂ UΣ (t, τ, A), ∀t ≥ τ ; (2)A l hót ·u, tùc l : dist(UΣ (t, τ, B), A) → t → ∞, ∀B ∈ B(X) 34 τ ∈ R; v (3) vỵi måi têp hút õng Ãu Y, ta cõ AY (tẵnh cỹc tiu) nh lỵ 3.2.5 [21] GiÊ sỷ rơng hồ cĂc nỷa quĂ trẳnh a tr U thọa mÂn nhỳng iÃu ki»n sau: (1) Tr¶n Σ câ mët to¡n tû dàch chuyºn li¶n tưc T (s)σ(t) = σ(t + s), ∀s ∈ R cho T (h)Σ ⊂ Σ v vỵi méi (t, τ ) ∈ Rd , σ ∈ Σ, s ∈ R, x ∈ X ta câ: Uσ (t + s, τ + s, x) = UT (s)σ (t, , x); (2)U l nỷa compact tiằm cên trản Ãu; (3)U l tiảu hao im; (4) nh xÔ (x, ) 7→ Uσ (t, 0, x) câ gi¡ trà âng l w - nûa li¶n tưc tr¶n Khi â, hå c¡c nỷa quĂ trẳnh a tr U cõ têp hút compact to n cưc ·u A Bê · 3.2.6 N¸u c¡c i·u kiằn (H1) - (H3) ữủc thọa mÂn v {un}n N l mởt dÂy nghiằm yáu cừa (1.1) vợi nhỳng c trững liản quan dÂy {n } cho: (1)un (τ ) → uτ L2 (Ω)) (2)σn → Khi õ tỗn tÔi mởt nghiằm u cừa bi toĂn (1.1) vợi c trững cho u( ) = uT v un (t∗ ) → u(t∗ ) L2 (Ω)) vỵi méi σ t∗ > τ σn = (fn , gn ) Vẳ f thọa mÂn (H1), ∀t ∈ R v fn ∈ H(f ) ta th§y rơng fn cụng thọa mÂn (H1) Mt khĂc, ỵ r¬ng {un (τ )} bà ch°n L2 (Ω)) v ||gn ||L2b |g||L2b Do õ, lỵ luên tữỡng Chựng minh : GiÊ sỷ tỹ nhữ nh lẵ 2.2.1, ta câ: 1,p {un } bà ch°n V = Lp (τ, T, D0,γ (Ω)) ∩ Lq (τ, T ; Lq (Ω)), 0 −1,p0 {u0n } bà ch°n V = Lp (τ, T, D−γ (Ω)) + Lq (τ, T ; Lq (Ω)), {un } bà ch°n C([τ, T ]; L2 (Ω)), {fn (t, un )} bà ch°n Lq (Qτ,T ), −1,p0 {−∆p,γ un } bà ch°n Lp (τ, T ; D−γ (Ω)) Tø â ta câ: un (t) * u(t) L2 (Ω), ∀t ∈ [τ, T ], °t σn → σ = (f¯, g ¯) Σ, ta th§y rơng u l mởt nghiằm cừa bi toĂn (1.1) vợi °c tr÷ng σ cho u(τ ) = uT , lĐy giợi hÔn ng thực sau ta 35 ữủc: ZT Z τ (u0n v + |x|−pγ |∇un |p−2 ∇un ∇v + fn (t, un )v)dxdt = ZT Z gn vdxdt τ Ω Ω ∀v ∈ V Do gn * g¯ L2 (τ, T ; L2 (Ω)) n¶n fn (t, un ) * f¯(t, u) 0 Lq (Q,T ) Ưu tiản ta ch rơng fn (t, un ) → f¯(t, u) Lq (Qτ,T ) Thªt vªy: RT R |fn (t, un ) − f¯(t, un )|q dxdt τ Ω RT R |fn (t, un ) − f¯(t, un )|q q−1 q = (1 + |u | ) dxdt n (1 + |un |q−1 )q τ Ω q T RR ≤ sup ||fn − f¯||Z (1 + |un |q )dxdt → τ Ω [τ,T ] fn → f¯ Z v {un } bà ch°n Lq (Qτ,T ) M°t kh¡c, f¯(t, un ) bà ch°n Lq (Qτ,T ), sû döng bê · 1.3 [[18] chữỡng 1] v tẵnh liản tửc cừa f nhữ chựng minh nh lỵ 2.2.1, ta thĐy Vẳ rơng f¯(t, un ) → f¯(t, u) Lq (Qτ,T ) y¸u Do â ta câ: fn (t, un )−f¯(t, u) = (fn (t, un )−f¯(t, un ))+(f¯(t, un )−f¯(t, u)) BƠy giớ ta ch rơng un u(t ) L2 () vợi mội yáu t∗ > τ º câ ÷đc un (t) * u(t) ta ph£i kiºm tra r¬ng L2 (Ω), ∀t ∈ [τ, T ], ||un (t∗ )||L2 (Ω) → ||u(t∗ )||L2 (Ω) °t: Jn (t) = ||un (t)||2L2 (Ω) − Zt (gn (s), un (s))ds − (2k2 |Ω| + 2λ)(t − τ ), τ J(t) = ||u(t)||2L2 (Ω) − Zt (g(s), u(s))ds − (2k2 |Ω| + 2λ)(t ) Dạ dng kim tra ữủc cĂc hm Jn (t), J(t) l liản tửc v khổng tông trản Lq (Q,T 36 [, T ] Ưu tiản ta ch rơng:Jn (t) J(t) hƯu khưp nỡi vợi t [, T ], Thêt vêy, |Jn (t) − J(t)| ≤