ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THU HẰNG TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG KIỂU Đ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THU HẰNG TẬP HÚT TỒN CỤC CỦA BÀI TỐN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG KIỂU ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— NGUYỄN THU HẰNG TẬP HÚT TỒN CỤC CỦA BÀI TỐN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG MIỀN BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG KIỂU ĐA THỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS PHẠM THỊ THỦY Thái Nguyên - Năm 2017 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn không trùng lặp với luận văn khác Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Thu Hằng Xác nhận Xác nhận Trưởng (phó) khoa chun mơn người hướng dẫn khoa học TS Phạm Thị Thủy i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Thị Thủy Nhân dịp em xin cảm ơn Cơ hướng dẫn nhiệt tình truyền thụ kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Rất mong góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thu Hằng ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Một số tính chất tập hút tồn cục 10 1.3 Một số bất đẳng thức thường dùng 17 Tập hút toàn cục lớp phương trình Parabolic suy biến miền bị chặn 19 2.1 Đặt toán 19 2.2 Sự tồn nghiệm yếu 20 2.3 Sự tồn tập hút toàn cục L2 (Ω) 27 2.4 Sự phụ thuộc nửa liên tục tập hút toàn cục vào số hạng 2.5 phi tuyến 29 Tính trơn tập hút tồn cục 31 Sự tồn tập hút toàn cục L2p−2 (Ω) 31 2.5.1 iii Sự tồn tập hút toàn cục D02 (Ω, σ) 38 Đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục 40 2.5.2 2.6 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iv Mở đầu Lý chọn đề tài Sự tồn tập hút tồn cục phương trình hệ phương trình parabolic nửa tuyến tính khơng suy biến nghiên cứu nhiều tác giả, miền bị chặn khơng bị chặn Tính liên tục tập hút tồn cục tốn parabolic nghiên cứu cơng trình lớn Cho đến nay, kết lí thuyết tập hút lớp phương trình parabolic khơng suy biến phong phú hoàn thiện Tuy nhiên kết tương ứng trường hợp phương trình suy biến cịn nhiều vấn đề mở Việc nghiên cứu tồn tính chất tập hút lớp phương trình parabolic suy biến vấn đề thời sự, có ý nghĩa khoa học hứa hẹn nhiều ứng dụng toán thực tế Do chúng tơi lựa chọn vấn đề làm nội dung nghiên cứu luận văn với tên gọi “ Tập hút toàn cục tốn parabolic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức.” Mục đích đề tài Tìm hiểu nghiên cứu tồn tại, số tính chất tập hút tồn cục (bao gồm tính trơn, phụ thuộc liên tục theo tham biến, đánh giá số chiều fractal, ) toán parabolic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh tồn tập hút tính trơn tập hút, chúng tơi sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều, nói riêng phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận phương pháp đánh giá phần đuôi nghiệm Để đánh giá số chiều tập hút tồn cục, chúng tơi sử dụng phương pháp Ladyzhenskaya Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 46 trang có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tham khảo Chương 1: Trình bày khái niệm kết tổng quát tập hút toàn cục kết khơng gian hàm tốn tử sử dụng chương Chương 2: Là nội dung luận văn Trình bày kết tồn tập hút toàn cục L2 (Ω), L2p−2 (Ω), D02 (Ω, σ) đánh giá số chiều tập hút toàn cục Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức không gian hàm, kết tổng quát tập hút toàn cục số khái niệm xét tính chất tập hút tồn cục Các nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [5], [6], [8], [9], [10] 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 (Không gian metric) Cho X tập khác rỗng, X ta trang bị hàm số ρ:X ×X →R (x, y) → ρ(x, y) thỏa mãn điều kiện sau a) ρ(x, y) ≥ ∀x, y ∈ X; ρ(x, y) = ⇔ x = y; b) ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X; c) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X Khi ρ gọi metric hay khoảng cách X Cặp (X, ρ) gọi không gian metric Mỗi phần tử X gọi điểm, ρ(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y X Ta thường gọi điều kiện (a) tiên đề đồng nhất, điều kiện (b) tiên đề đối xứng, điều kiện (c) tiên đề tam giác Định nghĩa 1.1.2 (Không gian metric đầy đủ) Giả sử (X, ρ) không gian metric Dãy {xn } phần tử X gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) lim ρ(xm , xn ) = m,n→∞ Nghĩa là, với ε > , tồn số n0 ∈ N∗ , cho với n ≥ n0 ta ln có ρ(xm , xn ) < ε Không gian metric X gọi không gian metric đầy đủ dãy Cauchy phần tử X hội tụ Định nghĩa 1.1.3 Một tập hợp E gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn trường K (K trường số thực phức) nếu: a) E khơng gian tuyến tính trường K; b) Mỗi phần tử u ∈ E đặt tương ứng với số thực gọi chuẩn u kí hiệu kuk thỏa mãn tiên đề: kuk ≥ 0, kuk = ⇔ u = 0; ku + vk ≤ ku + vk ≤ kuk + kvk ; đó, d kvk2L2 (Ω) ≤ 2C3 kvk2L2 (Ω) dt (2.18) Mặt khác, từ Bổ đề 2.3.1, tồn số R thời điểm t0 ku0 kL2 (Ω) cho ku (t)kD01 (Ω,σ) + ku (t)kLp (Ω) ≤ R với t ≥ t0 ku0 kL2 (Ω) (2.19) Nhân vơ hướng phương trình (2.1) với ut , ta có Z Z 1d 2 kukD01 (Ω,σ) + F (u) dx = − gut dx ku (t)k L2 (Ω) + dt Ω Ω ≤ F (u) = 1 kgk2L2 (Ω) + kut k2L2 (Ω) 2 (2.20) Ru f (ξ) dξ Vì vậy, Z d 2 ku (t)k L2 (Ω) + kukD01 (Ω,σ) + F (u) dx ≤ kgk2L2 (Ω) dt Ω (2.21) Từ điều kiện (F) ta thu C4 (|u|p − 1) ≤ F (u) ≤ C5 (|u|p + 1) (2.22) Lấy tích phân (2.21) từ t với t + sử dụng (2.22) , ta có Z t+1 ku (t)k2 L2 (Ω) dt ≤ kgk2L2 (Ω) + 2C5 |Ω| + ku (t)k2D01 (Ω,σ) + 2C5 ku (t)kp Lp (Ω) t Từ (2.19), tồn số C6 phụ thuộc vào kgkL2 (Ω) , C4 , C5 R cho Z t+1 (2.23) kut k L2 (Ω) dt ≤C6 , với t ≥ t0 ku0 kL2 (Ω) , t so sánh (2.18) với (2.23) dùng bất đẳng thức Gronwall đều, ta thu kut k L2 (Ω) ≤C kgkL2 (Ω) , |Ω| , 32 với t đủ lớn Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.5.2 Nửa nhóm {S (t)}t≥0 có tập hấp thụ bị chặn L2p−2 (Ω), nghĩa là, tồn số dương ρ2p−2 , cho với tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω), tồn số T = T (B) ≥ cho ku (t)kL2p−2 (Ω) ≤ ρ2p−2 với t ≥ T, u0 ∈ B Bổ đề 2.5.3 Với ≤ r < ∞ tập bị chặn B ⊂ L2 (Ω), tồn số dương T , phụ thuộc vào r chuẩn L2 B , cho Z |ut (s)|r dx ≤ M với u0 ∈ B, s ≥ T, Ω số dương M phụ thuộc vào r không phụ thuộc vào B , d ut (s) = (S (t) u0 ) |t=s dt Chứng minh Ta chứng minh qui nạp tồn dãy Tk , k (k = 0, 1, 2, ), phụ thuộc vào k B , cho Z k N 2( N −2+α ) |ut (s)| dx ≤ Mk với u0 ∈ B, s ≥ Tk , (Ak ) Ω Z t t+1 Z |ut (s)|2( k+1 N N −2+α ) N −2+α N dxds ≤ Mk với u0 ∈ B, s ≥ Tk , (Bk ) Ω Mk phụ thuộc vào k không phụ thuộc vào B a) Trường hợp k = : (A0 ) chứng minh Bổ đề 2.5.1 b) Trường hợp tổng quát: Giả sử (Ak ) (Bk ) k , ta phải chứng minh điều với k + 33 Đạo hàm hai vế (2.1) theo thời gian kí hiệu v = ut , ta có vt − div (σ (x) ∇v) + f (u) v = (2.24) k+1 Nhân (2.24) với |v|2( N −2+α ) −2 v lấy tích phân Ω, ta có Z Z k+1 k+1 N N d 2( N −2+α ) ) ( dx C dx + C σ (x) ∇(v) N −2+α |v| dt Ω Ω N ≤ C3 Z k+1 N 2( N −2+α ) |v| dx, (2.25) Ω số C phụ thuộc vào số chiều không gian N k Dùng (Bk ) bất đẳng thức Gronwall đều, (2.25) trở thành Z k+1 N |v|2( N −2+α ) dx ≤ Mk+1 với t ≥ Tk , (2.26) Ω (Ak+1 ) Đối với (Bk+1 ), lấy tích phân (2.25) từ t tới t + dùng (2.26) ta có Z t t+1 Z Ω k+1 N ) (