Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http //www ltc tnu edu vn i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO MINH BẰNG MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN TUYẾN TÍNH THEO P[.]
i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐÀO MINH BẰNG MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN TUYẾN TÍNH THEO PHƢƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Thái Nguyên - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.ltc.tnu.edu.vn ii MỤC LỤC MỤC LỤC .i Mở đầu iv Chương BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN 1.1 Một số mơ hình thực tế thuộc dạng tốn quy hoạch ngun tuyến tính dạng chuẩn 1.1.1 Bài toán pha cắt vật liệu 1.1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 1.1.3 Bài toán túi 1.1.4 Mơ hình phân bố máy bay cực tiểu tổng chi phí tồn mạng đường bay hàng khơng 1.1.5 Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu: 1.2 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính dạng chuẩn phương pháp giải 1.2.1 Bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính 1.2.2 Thuật toán Land-Doig giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính 1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 15 1.3.1 Phương pháp nón xoay xấp xỉ ngồi tuyến tính 16 Thuật tốn xấp xỉ LP 16 1.3.2 Bảng lặp giải tốn quy hoạch tuyến tính thuật tốn nón xoay xấp xỉ ngồi tuyến tính 18 1.3.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính tái tối ưu hóa thuật tốn TTH 22 Chương THUẬT TỐN NHÁNH CẬN XẤP XỈ NGỒI GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 28 2.1 Thuật tốn nhánh cận xấp xỉ ngồi giải tốn quy hoạch ngun tuyến tính 28 2.2 Minh họa ứng dụng thuật toán nhánh cận xấp xỉ ngồi ILP giải tốn quy hoạch ngun tuyến tính có số chiều nhỏ với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính 31 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn iii Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn iv Mở đầu Như biết, nhiều toán thực tế dẫn đến phải giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính, phương pháp hiệu để giải phương pháp nhánh cận Land Doig Mỗi bước trung gian để giải toán quy hoạch ngun tuyến tính thơng thường phải tiến hành giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện ngun biến với ràng buộc bổ sung dạng bất phương trình cho thành phần biến Do việ c sử dụng thuật toán giải trực tiếp tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính ưu việt hiệu quả, thuật toán thuật tốn nón xoay tuyến tính xấp xỉ ngồi trình bày [4] Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương 1, trình bày số mơ hình tốn thực tế có dạng tốn quy hoạch ngun tuyến tính, phương pháp nhánh cận Land-Doig thuật tốn nón xoay xấp xỉ ngồi tái tối ưu hóa TTH giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Chương 2, trình bày việc xây dựng thuật tốn xấp xỉ ngồi ILP giải tốn quy hoạch ngun tuyến tính từ thuật tốn nhánh cận Land-Doig thuật tốn nón xoay xấp xỉ ngồi TTH Thuật toán dựa định lý làm cho bước để tìm cận toán nguyên, phải giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên có số chiều n - (n số chiều tốn) Tiếp minh họa ứng dụng thuật tốn trình bày giải cho số ví dụ có số tài liệu [2], [3] [5] để so sánh tính thuận lợi thuật tốn trường hợp tốn có sơ chiều hay số ràng buộc nhỏ Và trường hợp tốn quy hoạch ngun tuyến tính dạng chuẩn chiều việc giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên, bước để Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn v tìm cận tốn cịn việc kiểm tra tìm giá trị nhỏ hàm biến hai đầu mút (nếu có) Các thuật tốn trình bày luận văn xây dựng chi tiết, bước thuật tốn trình bày cho dễ dàng lập trình chuyển sang chương trình máy tính ngơn ngữ Pascal, C, Basis, Java, Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Chƣơng BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN Trong chương trình bày số tốn thực tế điển hình thuộc dạng tốn quy hoạch ngun tuyến tính, giới thiệu số phương pháp quan trọng thường dùng để giải tốn quy hoạch ngun tuyến tính Và q trình bước giải tốn cần phải giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trung gian thêm vào siêu phẳng cắt thêm vào ràng buộc dạng bất phương trình tuyến tính để chia nhỏ miền chấp nhận sau bước Chính thế, phần cuối chương trình bày thuật tốn xấp xỉ ngồi giải trực tiếp tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuật toán hiệu trường hợp tái tối ưu hóa 1.1 Một số mơ hình thực tế thuộc dạng tốn quy hoạch ngun tuyến tính dạng chuẩn 1.1.1 Bài toán pha cắt vật liệu Một phân xưởng có vật liệu (thanh thép, ống nhựa, ….) có độ dài cho trước, cần cắt chúng thành đoạn ngắn theo mẫu cho trước Vấn đề đặt ta nên cắt cho tổng phần dư thừa lại tốn nhất? Giả sử aij độ dài đoạn loại i theo mẫu j, bi số đoạn loại i cần có, cj rẻo thừa cắt theo mẫu j, gọi xj số cắt theo mẫu j (j= 1,2, …, n) Ta có tốn quy hoạch nguyên tuyến tính sau: n c j 1 j x j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn với điều kiện n a x j 1 j j bi , i 1, ,m x j nguyên, j 1, ,n Đây toán quy hoạch tuyến tính tắc ngun 1.1.2 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất Giả sử xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm sử dụng m loại nguyên liệu khác nhau, cj lãi suất (hay giá bán) đơn vị sản phẩm j (j =1,…, n), aij suất chi phí tài nguyên loại i để sản xuất đơn vị sản phẩm loại j, bi lượng dự trữ tài nguyên loại i (i = 1,…,m) Gọi xj lượng sản phẩm loại j (j = 1,…, n) mà xí nghiệp sản xuất Trong điều kiện cho, xác định giá trị x j (j = 1,…, n) cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hóa) lớn với số tài ngun có Mơ hình tốn học có dạng tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau: n c x j j 1 j max với điều kiện n a x j 1 j j xj , bi , i 1, ,m j 1, ,n Đây tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên 1.1.3 Bài toán túi Một người du lịch muốn đem theo túi đựng đồ vật nặng khơng q b kilogam Có n loại đồ vật mà dự định đem theo Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn Mỗi đồ vật loại j có khối lượng a j kilogam giá trị c j Người du lịch muốn chất vào túi đồ vật cho tổng giá trị đồ vật đem theo lớn Ký hiệu x j số đồ vật loại j chất vào túi Ta có tốn sau: n c j x j max j 1 n a jx j b j 1 x j 0, j 1, ,n x j - nguyên, j 1, ,n Đây toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn ngun 1.1.4 Mơ hình phân bố máy bay cực tiểu tổng chi phí tồn mạng đường bay hàng khơng Các tham số biến định toán: Giả sử khai thác sử dụng K loại máy bay (777, 767, A321, A330, A320, AT7, ), M k số máy bay loại k khai thác sử dụng (k=1,2, ,K), giả sử số sân bay (thành phố) tham gia vào mạng N Ta sử dụng ký hiệu sau đây: (i, j) chặng bay từ sân bay i đến sân bay j (i, j=1,2 ,N) Ta giả thiết chiều dài trung bình thực tế Dij chiều dài thương mại chặng bay Pij số lượng khách trung bình dự báo có thu nhập thực tế chuyên chở chặng bay (i, j) (trong tuần) Sk số ghế tương ứng (số ghế tối đa phép xếp khách cho chặng bay loại máy bay k) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn gij ghế suất (hệ số sử dụng ghế suất) trung bình chặng bay (i, j) hmax - số khai thác bay trung bình lớn cho phép k máy bay loại k tuần v - vận tốc bình quân thực tế máy bay loại k k min(ij ) max(ij ) tương ứng tần xuất bay nhiều (số F , F k k chuyến bay tuần) loại máy bay k chặng bay (i, j) Cijk chi phí theo chuyến bay (trong tuần) chặng bay (i, j) loại máy bay k fijk tần suất bay (số chuyến bay tuần) loại máy bay k chặng bay (i, j) (biến định) Hàm mục tiêu: Ta ký hiệu Cost tổng chi phí theo chuyến bay cho tất máy bay khai thác sử dụng thời kỳ phân tích (một tuần) tuyến bay tồn mạng Thời kỳ phân tích khoảng thời gian cần nghiên cứu cần phân tích mà ta quy định tuần, tháng, quý, sáu tháng, năm, Hàm mục tiêu Cost tổng chi phí cho chuyến bay tồn mạng xác định sau: k fk Cost C C ij ij ij k (I.1) Trong C (chi phí cố định) tổng chi phí khơng phát sinh thêm chuyến bay thực như: giá thuê máy bay, bảo hiểm máy bay, bảo dưỡng sửa chữa máy bay, khấu hao thiết bị máy bay, quản lí chung C ijk Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn chi phí biến đổi theo chuyến bay loại máy bay k xuất thực chuyến bay như: phục vụ hàng khách, bay, hàng hóa, nhiên liệu Các ràng buộc toán: Ràng buộc thương mại: min(ij ) max(ij ) 0 F fijk F k k (I.2) Ràng buộc có nghĩa tần suất bay fijk loại máy bay k chặng bay (i, j) khơng Fkmin(ij) không nhiều Fkmax(ij ) (ràng buộc hạn chế thương mại) Ràng buộc khai thác: Với vòng bay j (Pairing) ta có: k f ji = fijk i i (I.3) (j = 1,2, N, k = 1,2, ,K) Ràng buộc (I.3) có nghĩa khoảng thời gian phân tích (của chu kỳ bay) đội bay loại máy bay k rời sân bay j (Crew Base) bay đến sân bay i bay sân bay j vòng bay Tijk fijk M k hkmax (I.4) (i , j ) Trong Tijk D ij v k thời gian bay chặng bay (i, j) loại máy bay k Ràng buộc (I.4) có nghĩa số khai thác bay trung bình máy bay loại k không vượt số bay cho phép Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 41 Sơ đồ P1 : z 4; x1 ; x2 2 x1 1 x1 P2 : z ; x1 1; x2 P3 : z ; x1 2; x2 x1 x1 1 P4 : z 13 ; P5 x1 ; x2 x1 Khơng có phƣơng án ( Loại ) x1 P6 : z 3; x1 2; x2 P7 Khơng có phƣơng án ( Loại ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 42 Ví dụ [4]: Một hãng hàng không dự định mua số máy bay Airbus A320 Boing 777 để mở rộng hoạt động Mỗi máy bay Airbus giá triệu đô có thời gian sử dụng năm, máy bay Boing giá triệu có thời gian sử dụng năm (các số giả định) Hãng ước tính cần mua máy bay số tiền để mua máy bay không 46 triệu đô Hỏi hãng nên mua máy bay loại để tổng thời gian phục vụ chúng lâu nhất? Ta gọi x1 số máy bay Airbus cần mua gọi x2 số máy bay Boing cần mua, ta có mơ hình tốn là: x1 x2 max x x 6 5 x1 x2 46 x1 , x2 0, ngun Kí hiệu P1 tốn quy hoạch tuyến tính (bỏ qua điều kiện nguyên) tương ứng với toán quy hoạch nguyên cho Giải P1 thuật tốn xấp xỉ ngồi LP, ta có bảng nón xoay thu gọn giải tốn sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 43 bj -6 -8 Aj( x0 ) Aj( x1 ) -1 0 -2 0 -1 -6 -4 -6 1 0 -46 (1) -1 [-4] (1/2) -6 -1 -9 8/9 Chỉ số sở Bước x0 -46 1/4 -1/4 -6 -9/4 5/4 x1 Bước Ta phương án tối ưu: x1 2; x2 ứng với giá trị hàm mục tiêu z = - 44 Bài tốn có lời giải ngun bước chuẩn bị, lời giải toán quy hoạch nguyên tương ứng Vậy lời giải tốn ban đầu Hãng Hàng khơng mua Airbus Boing tổng thời gian sử dụng lớn 44 năm Ví dụ [3]: Giải toán túi P0 sau thuật tốn xấp xỉ ngồi ILP: x1 x2 x3 max x1 x2 x3 13 x 0, j 1,2,3, nguyên j x1 x x3 x1 x x3 13 x 0, j 1,2,3, nguyên j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 44 Kí hiệu P1 tốn quy hoạch tuyến tính (bỏ qua điều kiện nguyên) tương ứng với toán Giải P1 thuật toán xấp xỉ ngồi LP, bước chuẩn bị có lời giải tối ưu x0 = (13/3, 0, 0) ứng với giá trị hàm mục tiêu z = - 104/3 Đó cận cho phương án nguyên tốn quy hoạch ngun xét Vì biến x1 có giá trị khơng ngun nên ta chọn x1 để phân nhánh Ta thu toán quy hoạch tuyến tính Thêm vào P1 ràng buộc x1 ta thu toán P2 Thêm vào P1 ràng buộc x1 ta thu toán P3 x1 x2 x3 3x x x 13 P2 x1 x j 0, j 1,2,3, nguyên x1 x2 x3 x x x 13 P3 x1 x j 0, j 1,2,3, nguyên Để tính cận toán Pi (i 2, 3) này, giải tốn quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i 2, 3) bỏ qua điều kiện ngun, theo thuật tốn xấp xỉ ngồi ILP giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i 2, 3) (bỏ qua điều kiện nguyên): Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 45 x1 x2 x3 3x x x 13 P20 x1 x j 0, j 1,2,3 x1 x2 x3 x x x 13 0 P3 x1 x j 0, j 1,2,3 Giải toán tương đương với việc giải toán hai biến tương ứng sau: 8.4 x x3 P21 3.4 x x3 13 x 0, j 2,3 j 8.5 x2 x3 P31 3.5 x2 x3 x 0, j 2,3 j Hay 32 x2 x3 P21 x2 x3 x 0, j 2,3 j 40 x2 x3 P31 x2 x3 x 0, j 2, j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 46 Giải toán P2 thuận tốn xấp xỉ ngồi LP bước chuẩn bị ta thu đươc lời giải tối ưu x2 ; x3 với giá trị mục tiêu z 69 , tốn P31 dễ thấy khơng có phương án Suy tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng tốn P2 có lời giải tối ưu là: x1 4; x2 ; x3 với giá trị mục tiêu z 69 , cịn tốn P3 2 khơng có phương án (loại) Bài tốn P2 có biến x2 có giá trị không nguyên nên ta chọn x2 để phân nhánh, ta thu hai tốn quy hoạch tuyến tính Thêm vào P2 ràng buộc x2 ta thu toán P4 Thêm vào P2 ràng buộc x2 ta thu toán P5 x1 x2 x3 3x1 x2 x3 13 P4 x1 x x j 0, j 1,2,3, nguyên x1 x2 x3 3x1 x2 x3 13 P5 x1 x x j 0, j 1,2,3, ngun Để tính cận tốn Pi (i 4, 5) này, giải tốn quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i 4, 5) bỏ qua điều Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 47 kiện ngun, theo thuật tốn xấp xỉ ngồi ILP giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i 4, 5) (bỏ qua điều kiện nguyên) x1 x2 x3 x1 x2 x3 13 P40 x1 x x j 0, j 1,2,3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 13 P50 x1 x x j 0, j 1,2,3 Giải toán tương đương với việc giải toán hai biến tương ứng sau: x1 5.0 x3 3x 2.0 x 13 1 P4 x1 x j 0, j 1,3 x1 5.1 x3 3x 2.1 x 13 P51 x1 x j 0, j 1,3 Hay Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 48 x1 x3 3x x 13 P41 x1 x j 0, j 1,3 x1 x3 x x 11 P51 x1 x j 0, j 1,3 Giải toán P4 thuật tốn xấp xỉ ngồi TTH, sau bước lặp từ bảng nón xoay thu gọn ta lời giải tối ưu x1 4; x2 0; x3 1 ta nhận kỷ lục Giải tốn P5 thuật tốn xấp xỉ ngồi TTH, bước chuẩn bị ta nhận lời giải tối ưu x1 11 ; x3 Vậy ta suy lời giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng P5 x1 11 ; x 1; x3 , với giá trị mục tiêu Ta xét tiếp tốn P5, có biến x1 có giá trị không nguyên nên ta chọn x1 để phân nhánh, ta thu hai tốn quy hoạch ngun tuyến tính Thêm vào P5 ràng buộc x1 ta thu toán P6 Thêm vào P5 ràng buộc x1 ta thu toán P7 x1 x2 x3 x x x 13 x1 P6 x2 x1 x j 0, j 1,2,3, nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 49 x1 x2 x3 x x x 13 x1 P7 x2 x1 x j 0, j 1,2,3, nguyên Để tính cận toán Pi (i 6, 7) này, giải tốn quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i 6, 7) bỏ qua điều kiện ngun, theo thuật tốn xấp xỉ ngồi ILP giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i 6, 7) (bỏ qua điều kiện nguyên) x1 x2 x3 x x x 13 x1 P60 x2 x1 x j 0, j 1,2,3 x1 x2 x3 x x x 13 x1 P70 x2 x1 x j 0, j 1,2,3 Giải toán tương đương với việc giải toán hai biến tương ứng sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 50 8.3 x2 x3 3.3 x x 13 P61 x2 x j 0, j 2,3 8.4 x2 x3 3.4 x x 13 1 P7 x2 x j 0, j 2,3 Hay 24 x2 x3 2x x 1 P6 x2 x j 0, j 2,3 32 x2 x3 x x 1 1 P7 x2 x j 0, j 2,3 Giải toán P6 thuật tốn xấp xỉ ngồi TTH, bước chuẩn bị ta nhận lời giải tối ưu x2 2; x3 Vậy ta suy lời giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng P6 x1 3; x2 2; x3 với giá trị mục tiêu , ta nhận kỷ lục Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 51 Dễ dàng thấy tốn P7 khơng có phương án suy tốn P7 khơng có phương án (loại tốn P7) Đến khơng cịn tốn phải xem xét nữa, nên phương án nguyên nhận phương án tối ưu cần tìm toán quy hoạch nguyên cho Vậy lời giải tốn túi P0 ban đầu Q trình giải toán nêu thể sơ đồ vẽ hình đây: Sơ đồ P1 : z x1 104 ; 13 ; x2 0; x3 x1 x1 P3 Khơng có phƣơng án ( Loại ) 69 ; x1 4; x2 ; x3 P2 : z Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn x2 x2 52 KẾT LUẬN Luận văn trình bày việc xây dựng thuật toán nhánh cận giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính, lớp tốn quy hoạch có nhiều ứng dụng thực tế Các phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính có nhiều, song thuật toán hầu hết cho lời giải chưa nguyên Vì xuất phương pháp cắt, phương pháp nhánh cận để giải toán quy hoạch nguyên, phương pháp thực để giải toán quy hoạch nguyên bước phải giải tốn phụ (chưa có điều kiện nguyên) bổ sung thêm bất phương trình vào miền ràng buộc Do để làm tăng thêm tính hiệu phương pháp nhánh cận biết việc giải trực tiếp toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 53 bất phương trình tuyến tính cần thiết Chính thế, luận văn trình bày thuật tốn nhánh cận xấp xỉ ngồi ILP giải tốn quy hoạch ngun tuyến tính thực chất thuật tốn nhánh cận Land-Doig, nhiên bước giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng (chưa có điều kiện nguyên) thuật toán khai thác đặc thù riêng (dựa định lý tái tối ưu hóa 1.3.3.1 chương 1) cho nhận biết toán quy hoạch tuyến k tính có lời giải tối ưu thỏa mãn chặt ràng buộc xt [ xt ] xt [ xtk ] Và sử dụng thuật tốn xấp xỉ LP TTH cuối chương để giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng phụ để tìm cận hiệu so với số phương pháp khác phương pháp đơn hình (vì phải thêm vào nhiều biến phụ để đưa tốn dạng tắc khơng khai thác tính tái tối ưu hóa tốn phụ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật [2] Nguyễn Đức Nghĩa (1997), Tối ưu hố (Quy hoạch tuyến tính rời rạc), NXB Giáo dục [3] Bùi Minh Trí (2008), Bài tập tối ưu hoá, NXB Khoa học Kỹ thuật [4] Nguyễn Anh Tuấn, Nguyễn Văn Quý (2012), Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Trần Vũ Thiệu, Bùi Thế Tâm (1998), Các phương pháp tối ưu hóa, NXB Giao thơng Vận tải Tiếng Anh [6] Belenski A.C (1982), Minimization monotone function in a polyhedron set, Automatic and Tele - Mechanics 9, pp 112-121 [7] Dantzig G B., Thapa M N (1997), Linear Programming, 1: Introduction, Springer - Verlag New York [8] Tuan N.A and Duong P.C (1996), Minimization of an almost-convex and almost-concave functions, Vietnam Journal of Mathematics, 24(1), pp 57-74 [9] Tuy H (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn