(Luận văn) một phương pháp xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch nguyên tuyến tính theo phương pháp nhánh cận và ứng dụng

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐÀO MINH BẰNG lu an n va p ie gh tn to MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN TUYẾN TÍNH THEO PHƢƠNG PHÁP NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG d oa nl w lu nf va an Chuyên ngành: Toán ứng dụng z at nh oi lm ul z m co l gm @ Thái Nguyên - 2015 an Lu http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si ii MỤC LỤC MỤC LỤC .i Mở đầu iv Chương BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN 1.1 Một số mơ hình thực tế thuộc dạng tốn quy hoạch ngun tuyến tính dạng chuẩn 1.1.1 Bài toán pha cắt vật liệu 1.1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất lu 1.1.3 Bài toán túi an va 1.1.4 Mơ hình phân bố máy bay cực tiểu tổng chi phí tồn mạng đường bay hàng n không 1.2 Bài tốn quy hoạch ngun tuyến tính dạng chuẩn phương pháp giải ie gh tn to 1.1.5 Bài toán mua (thuê) máy bay tối ưu: p 1.2.1 Bài tốn quy hoạch ngun tuyến tính w 1.2.2 Thuật toán Land-Doig giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính oa nl 1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính d 15 an lu 1.3.1 Phương pháp nón xoay xấp xỉ ngồi tuyến tính 16 nf va Thuật toán xấp xỉ LP 16 1.3.2 Bảng lặp giải toán quy hoạch tuyến tính thuật tốn nón xoay xấp xỉ lm ul ngồi tuyến tính 18 z at nh oi 1.3.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính tái tối ưu hóa thuật tốn TTH 22 Chương THUẬT TOÁN NHÁNH CẬN XẤP XỈ NGỒI GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 28 z gm @ 2.1 Thuật tốn nhánh cận xấp xỉ ngồi giải tốn quy hoạch nguyên tuyến tính 28 2.2 Minh họa ứng dụng thuật tốn nhánh cận xấp xỉ ngồi ILP giải tốn quy hoạch l ngun tuyến tính có số chiều nhỏ với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính co m 31 an Lu KẾT LUẬN 52 http://www.ltc.tnu.edu.vn n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN va TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 ac th si iii lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va http://www.ltc.tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si iv Mở đầu Như biết, nhiều toán thực tế dẫn đến phải giải tốn quy hoạch ngun tuyến tính, phương pháp hiệu để giải phương pháp nhánh cận Land Doig Mỗi bước trung gian để giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính thơng thường phải tiến hành giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên biến với ràng buộc bổ sung dạng bất phương trình cho thành phần biến Do việ c sử dụng thuật toán giải trực tiếp toán quy hoạch tuyến tính với lu an miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính ưu việt hiệu n va quả, thuật toán thuật tốn nón xoay tuyến tính tn to xấp xỉ ngồi trình bày [4] Chương 1, trình bày số mơ hình tốn thực tế có dạng tốn p ie gh Nội dung luận văn trình bày hai chương: w quy hoạch nguyên tuyến tính, phương pháp nhánh cận Land-Doig thuật oa nl tốn nón xoay xấp xỉ ngồi tái tối ưu hóa TTH giải tốn quy hoạch tuyến d tính dạng chuẩn lu nf va an Chương 2, trình bày việc xây dựng thuật tốn xấp xỉ ngồi ILP giải tốn quy hoạch ngun tuyến tính từ thuật toán nhánh cận Land-Doig thuật lm ul tốn nón xoay xấp xỉ ngồi TTH Thuật tốn dựa định lý làm cho z at nh oi bước để tìm cận toán nguyên, phải giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều z kiện nguyên có số chiều n - (n số chiều toán) Tiếp minh họa gm @ ứng dụng thuật tốn trình bày giải cho số ví dụ có số tài liệu l [2], [3] [5] để so sánh tính thuận lợi thuật tốn trường hợp tốn m co có sơ chiều hay số ràng buộc nhỏ Và trường hợp tốn quy an Lu hoạch ngun tuyến tính dạng chuẩn chiều việc giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng chưa có điều kiện nguyên, bước để http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si v tìm cận tốn cịn việc kiểm tra tìm giá trị nhỏ hàm biến hai đầu mút (nếu có) Các thuật tốn trình bày luận văn xây dựng chi tiết, bước thuật toán trình bày cho dễ dàng lập trình chuyển sang chương trình máy tính ngơn ngữ Pascal, C, Basis, Java, lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu http://www.ltc.tnu.edu.vn n va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si Chƣơng BÀI TỐN QUY HOẠCH NGUN TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN Trong chương trình bày số tốn thực tế điển hình thuộc dạng tốn quy hoạch nguyên tuyến tính, giới thiệu số phương pháp quan trọng thường dùng để giải toán quy hoạch nguyên tuyến tính Và q trình bước giải toán cần phải giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trung gian thêm lu vào siêu phẳng cắt thêm vào ràng buộc dạng bất phương an n va trình tuyến tính để chia nhỏ miền chấp nhận sau bước Chính thế, giải trực tiếp tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất gh tn to phần cuối chương trình bày thuật tốn xấp xỉ ngồi p ie phương trình tuyến tính thuật tốn hiệu trường hợp w tái tối ưu hóa oa nl 1.1 Một số mơ hình thực tế thuộc dạng tốn quy hoạch nguyên tuyến d tính dạng chuẩn an lu nf va 1.1.1 Bài toán pha cắt vật liệu lm ul Một phân xưởng có vật liệu (thanh thép, ống nhựa, ….) có độ dài cho trước, cần cắt chúng thành đoạn ngắn theo z at nh oi mẫu cho trước Vấn đề đặt ta nên cắt cho tổng phần dư cịn thừa lại tốn nhất? z gm @ Giả sử aij độ dài đoạn loại i theo mẫu j, bi số đoạn loại i cần có, cj rẻo thừa cắt theo mẫu j, gọi xj số cắt theo mẫu j (j= 1,2, …, m n j 1 j x j  va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN an Lu c co l n) Ta có tốn quy hoạch ngun tuyến tính sau: http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si với điều kiện n a x j 1 j j  bi , i  1, ,m x j  nguyên, j  1, ,n Đây toán quy hoạch tuyến tính tắc ngun 1.1.2 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất Giả sử xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm sử dụng m loại nguyên liệu khác nhau, cj lãi suất (hay giá bán) đơn vị sản lu an phẩm j (j =1,…, n), aij suất chi phí tài nguyên loại i để sản xuất đơn vị va n sản phẩm loại j, bi lượng dự trữ tài nguyên loại i (i = 1,…,m) Gọi xj gh tn to lượng sản phẩm loại j (j = 1,…, n) mà xí nghiệp sản xuất Trong điều kiện p ie cho, xác định giá trị x j (j = 1,…, n) cho tổng tiền lãi (hay tổng w giá trị sản lượng hàng hóa) lớn với số tài nguyên có d oa nl Mơ hình tốn học có dạng tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau: n an lu c x j j 1 j  max nf va với điều kiện lm ul n  bi , i  1, ,m z at nh oi a x j 1 j j xj  , j  1, ,n z co l 1.1.3 Bài toán túi gm @ Đây toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn nguyên m Một người du lịch muốn đem theo túi đựng đồ an Lu vật nặng không b kilogam Có n loại đồ vật mà dự định đem theo va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si Mỗi đồ vật loại j có khối lượng a j kilogam giá trị c j Người du lịch muốn chất vào túi đồ vật cho tổng giá trị đồ vật đem theo lớn Ký hiệu x j số đồ vật loại j chất vào túi Ta có tốn sau: n  c j x j  max j 1 n  a jx j  b j 1 j  1, ,n x j  0, lu an x j - nguyên, j  1, ,n va n Đây tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn ngun gh tn to p ie 1.1.4 Mơ hình phân bố máy bay cực tiểu tổng chi phí tồn mạng w đường bay hàng không oa nl Các tham số biến định toán: d Giả sử khai thác sử dụng K loại máy bay (777, 767, lu nf va an A321, A330, A320, AT7, ), M k số máy bay loại k khai thác sử dụng (k=1,2, ,K), giả sử số sân bay (thành phố) tham gia vào mạng N Ta sử lm ul dụng ký hiệu sau đây: (i, j) chặng bay từ sân bay i đến sân bay j z at nh oi (i, j=1,2 ,N) Ta giả thiết chiều dài trung bình thực tế Dij chiều dài thương mại z gm @ chặng bay m co chặng bay (i, j) (trong tuần) l Pij số lượng khách trung bình dự báo có thu nhập thực tế chuyên chở Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN va chặng bay loại máy bay k) an Lu Sk số ghế tương ứng (số ghế tối đa phép xếp khách cho http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si gij ghế suất (hệ số sử dụng ghế suất) trung bình chặng bay (i, j) hmax - số khai thác bay trung bình lớn cho phép k máy bay loại k tuần v - vận tốc bình quân thực tế máy bay loại k k min(ij ) max(ij ) tương ứng tần xuất bay nhiều (số F , F k k chuyến bay tuần) loại máy bay k chặng bay (i, j) Cijk chi phí theo chuyến bay (trong tuần) chặng bay (i, j) lu an loại máy bay k va n fijk tần suất bay (số chuyến bay tuần) loại máy bay k tn to Hàm mục tiêu: p ie gh chặng bay (i, j) (biến định) nl w Ta ký hiệu Cost tổng chi phí theo chuyến bay cho tất máy bay d oa khai thác sử dụng thời kỳ phân tích (một tuần) tuyến an lu bay toàn mạng Thời kỳ phân tích khoảng thời gian cần nghiên cứu cần nf va phân tích mà ta quy định tuần, tháng, quý, sáu tháng, lm ul năm, xác định sau: z at nh oi Hàm mục tiêu Cost tổng chi phí cho chuyến bay toàn mạng (I.1) z gm @ k fk Cost  C    C ij ij ij k l Trong C (chi phí cố định) tổng chi phí khơng phát sinh thêm m co chuyến bay thực như: giá thuê máy bay, bảo hiểm máy bay, bảo an Lu dưỡng sửa chữa máy bay, khấu hao thiết bị máy bay, quản lí chung C ijk va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si chi phí biến đổi theo chuyến bay loại máy bay k xuất thực chuyến bay như: phục vụ hàng khách, bay, hàng hóa, nhiên liệu Các ràng buộc toán: Ràng buộc thương mại: min(ij ) max(ij ) 0 F  fijk  F k k (I.2) Ràng buộc có nghĩa tần suất bay fijk loại máy bay k chặng bay (i, j) khơng Fkmin(ij) khơng nhiều Fkmax(ij ) (ràng lu an buộc hạn chế thương mại) va n Ràng buộc khai thác: to p ie gh tn Với vịng bay j (Pairing) ta có: (I.3) nl w k  f ji =  fijk i i d oa (j = 1,2, N, k = 1,2, ,K) an lu Ràng buộc (I.3) có nghĩa khoảng thời gian phân tích (của nf va chu kỳ bay) đội bay loại máy bay k rời sân bay j (Crew lm ul Base) bay đến sân bay i bay sân bay j vòng bay  Tijk fijk  M k hkmax D ij thời gian bay chặng bay (i, j) loại máy bay k gm @ v k z Trong Tijk  (I.4) z at nh oi (i , j ) l Ràng buộc (I.4) có nghĩa số khai thác bay trung bình m co máy bay loại k không vượt số bay cho phép an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 40 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va http://www.ltc.tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ac th si 41 Sơ đồ P1 : z   4; x1  ; x2  2 x1 1 x1  lu P2 : z   ; x1  1; x2  an n va gh tn to P3 : z   ; x1  2; x2  x1  p ie x1 1 oa nl w d P4 : z   P5 x1  ; x2  nf va an lu 13 ; x1  z P7 @ x1  2; x2  z at nh oi P6 : z   3; lm ul x1  Khơng có phƣơng án ( Loại ) gm Khơng có m co l phƣơng án ( Loại ) an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 42 Ví dụ [4]: Một hãng hàng không dự định mua số máy bay Airbus A320 Boing 777 để mở rộng hoạt động Mỗi máy bay Airbus giá triệu có thời gian sử dụng năm, máy bay Boing giá triệu có thời gian sử dụng năm (các số giả định) Hãng ước tính cần mua máy bay số tiền để mua máy bay không 46 triệu đô Hỏi hãng nên mua máy bay loại để tổng thời gian phục vụ chúng lâu nhất? Ta gọi x1 số máy bay Airbus cần mua gọi x2 số máy bay lu Boing cần mua, ta có mơ hình tốn là: an n va  x1  x2  max  x  x 6   5 x1  x2  46   x1 , x2  0, nguyên p ie gh tn to nl w Kí hiệu P1 tốn quy hoạch tuyến tính (bỏ qua điều kiện d oa nguyên) tương ứng với toán quy hoạch nguyên cho Giải P1 thuật nf va an lu tốn xấp xỉ ngồi LP, ta có bảng nón xoay thu gọn giải toán sau: z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 43 bj -6 -8 Aj( x0 ) Aj( x1 ) -1 0 -2 0 -1 -6 -4 -6 1 0 -46 (1) -1 [-4] (1/2) -6 -1 -9 8/9 Chỉ số sở lu Bước x0 an n va -46 1/4 -1/4 -6 -9/4 5/4 x1 Bước p ie gh tn to oa nl z = - 44 w Ta phương án tối ưu: x1  2; x2  ứng với giá trị hàm mục tiêu d Bài tốn có lời giải ngun bước chuẩn bị, lời lu an giải toán quy hoạch nguyên tương ứng Vậy lời giải toán ban z at nh oi Ví dụ [3]: lm ul lớn 44 năm nf va đầu Hãng Hàng không mua Airbus Boing tổng thời gian sử dụng z   x1  x  x3    x1  x  x3  13  x  0, j  1,2,3, nguyên  j an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN m  co l  x1  x2  x3  max   x1  x2  x3  13  x  0, j  1,2,3, nguyên  j gm @ Giải toán túi P0 sau thuật tốn xấp xỉ ngồi ILP: http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 44 Kí hiệu P1 tốn quy hoạch tuyến tính (bỏ qua điều kiện nguyên) tương ứng với toán Giải P1 thuật tốn xấp xỉ ngồi LP, bước chuẩn bị có lời giải tối ưu x0 = (13/3, 0, 0) ứng với giá trị hàm mục tiêu z = - 104/3 Đó cận cho phương án nguyên toán quy hoạch nguyên xét Vì biến x1 có giá trị khơng ngun nên ta chọn x1 để phân nhánh Ta thu tốn quy hoạch tuyến tính lu Thêm vào P1 ràng buộc x1  ta thu toán P2 an va n Thêm vào P1 ràng buộc x1  ta thu toán P3 p ie gh tn to   x1  x2  x3   3x  x  x 13  P2   x1   x j  0, j  1,2,3, nguyên    x1  x2  x3   x  x  x  13  P3   x1   x j  0, j  1,2,3, nguyên  d oa nl w nf va an lu lm ul z at nh oi Để tính cận tốn Pi (i  2, 3) này, giải tốn quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i  2, 3) bỏ qua điều kiện z ngun, theo thuật tốn xấp xỉ ngồi ILP giải toán quy @ m co l gm hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i  2, 3) (bỏ qua điều kiện nguyên): an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 45   x1  x2  x3   3x  x  x 13  P20   x1   x j  0, j  1,2,3    x1  x2  x3   x  x  x  13 0 P3   x1   x j  0, j  1,2,3  lu Giải toán tương đương với việc giải toán hai biến tương an ứng sau: n va p ie gh tn to   8.4  x  x3   P21  3.4  x  x3  13  x  0, j  2,3  j d oa nl w   8.5  x2  x3   P31  3.5  x2  x3   x  0, j  2,3  j nf va an lu Hay z at nh oi lm ul   32  x2  x3   P21  x2  x3   x  0, j  2,3  j z   40  x2  x3   P31  x2  x3    x  0, j  2,  j m co l gm @ an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 46 Giải toán P2 thuận tốn xấp xỉ ngồi LP bước chuẩn bị ta thu đươc lời giải tối ưu x2  ; x3  với giá trị mục tiêu z   69 , tốn P31 dễ thấy khơng có phương án Suy tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng tốn P2 có lời giải tối ưu là: x1  4; x2  ; x3  với giá trị mục tiêu z   69 , cịn tốn P3 2 lu khơng có phương án (loại) an va n Bài tốn P2 có biến x2 có giá trị khơng ngun nên ta chọn x2 để gh tn to phân nhánh, ta thu hai tốn quy hoạch tuyến tính p ie Thêm vào P2 ràng buộc x2  ta thu toán P4 nl w Thêm vào P2 ràng buộc x2  ta thu toán P5 d oa   x1  x2  x3    3x1  x2  x3  13  P4  x1  x     x j  0, j  1,2,3, nguyên nf va an lu lm ul z at nh oi   x1  x2  x3    3x1  x2  x3 13  P5  x1  x     x j  0, j  1,2,3, nguyên z l gm @ m co Để tính cận toán Pi (i  4, 5) này, an Lu giải toán quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i  4, 5) bỏ qua điều va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 47 kiện nguyên, theo thuật tốn xấp xỉ ngồi ILP giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i  4, 5) (bỏ qua điều kiện nguyên)   x1  x2  x3    x1  x2  x3 13  P40  x1  x     x j  0, j  1,2,3 lu   x1  x2  x3    x1  x2  x3 13  P50  x1  x     x j  0, j  1,2,3 an n va p ie gh tn to Giải toán tương đương với việc giải toán hai biến tương nl w ứng sau: d oa   x1  5.0  x3   3x  2.0  x  13 1 P4   x1   x j  0, j  1,3  nf va an lu lm ul z at nh oi   x1  5.1  x3   3x  2.1  x 13  P51   x1   x j  0, j  1,3  z m co l gm @ Hay an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 48   x1  x3   3x  x  13  P41   x1   x j  0, j  1,3    x1   x3   x  x  11  P51   x1   x j  0, j  1,3  Giải toán P4 thuật toán xấp xỉ ngồi TTH, sau bước lặp từ bảng nón xoay thu gọn ta lời giải tối ưu x1  4; x2  0; x3 1 ta nhận kỷ lục Giải toán P5 thuật tốn xấp xỉ ngồi TTH, bước chuẩn lu an bị ta nhận lời giải tối ưu x1  n va 11 ; x3  Vậy ta suy lời giải tn to tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng P5 x1  11 ; x  1; x3  , với giá trị p ie gh mục tiêu Ta xét tiếp toán P5, có biến x1 có giá trị khơng ngun nên ta chọn oa nl w x1 để phân nhánh, ta thu hai tốn quy hoạch ngun tuyến tính d Thêm vào P5 ràng buộc x1  ta thu toán P6 an lu nf va Thêm vào P5 ràng buộc x1  ta thu toán P7 z at nh oi lm ul   x1  x2  x3   x  x  x  13    x1  P6   x2   x1     x j  0, j  1,2,3, nguyên z m co l gm @ an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 49   x1  x2  x3   x  x  x  13    x1  P7   x2   x1     x j  0, j  1,2,3, nguyên Để tính cận toán Pi (i  6, 7) này, giải toán quy hoạch tuyến tính tướng ứng với Pi (i  6, 7) bỏ qua điều kiện lu nguyên, theo thuật toán xấp xỉ ngồi ILP giải tốn quy an hoạch tuyến tính tương ứng Pi (i  6, 7) (bỏ qua điều kiện nguyên) n va p ie gh tn to   x1  x2  x3   x  x  x  13    x1  P60   x2   x1     x j  0, j  1,2,3 d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul   x1  x2  x3   x  x  x  13    x1  P70   x2   x1     x j  0, j  1,2,3 z gm @ l Giải toán tương đương với việc giải toán hai biến tương m co ứng sau: an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 50   8.3  x2  x3   3.3  x  x 13  P61   x2   x j  0, j  2,3    8.4  x2  x3   3.4  x  x 13 1 P7   x2   x j  0, j  2,3  Hay lu an n va p ie gh tn to   24  x2  x3   2x  x  1 P6   x2   x j  0, j  2,3  d oa nl w   32  x2  x3   x  x 1 1 P7   x2   x j  0, j  2,3  nf va an lu lm ul Giải toán P6 thuật tốn xấp xỉ ngồi TTH, bước chuẩn z at nh oi bị ta nhận lời giải tối ưu x2  2; x3  Vậy ta suy lời giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng P6 x1  3; x2  2; x3  với giá trị z mục tiêu @ m co l gm , ta nhận kỷ lục an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 51 Dễ dàng thấy tốn P7 khơng có phương án suy tốn P7 khơng có phương án (loại tốn P7) Đến khơng cịn tốn phải xem xét nữa, nên phương án nguyên nhận phương án tối ưu cần tìm toán quy hoạch nguyên cho Vậy lời giải toán túi P0 ban đầu Quá trình giải tốn nêu thể sơ đồ vẽ hình đây: lu an n va p ie gh tn to nl w d oa Sơ đồ an lu 104 nf va P1 : z   13 ; x2  0; x3  z at nh oi z x1  ; lm ul x1  x1  l gm @ P3 Khơng có phƣơng án ( Loại ) 69 ; x1  4; x2  ; x3  m co P2 : z   an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n x2  ac th x2  si 52 lu an n va p ie gh tn to oa nl w d KẾT LUẬN an lu nf va Luận văn trình bày việc xây dựng thuật tốn nhánh cận giải tốn lm ul quy hoạch ngun tuyến tính, lớp tốn quy hoạch có nhiều ứng dụng thực tế Các phương pháp giải toán quy hoạch tuyến tính có z at nh oi nhiều, song thuật toán hầu hết cho lời giải chưa nguyên Vì xuất phương pháp cắt, phương pháp nhánh cận để giải toán z quy hoạch nguyên, phương pháp thực để giải toán quy @ l gm hoạch nguyên bước phải giải tốn phụ (chưa có điều kiện ngun) bổ sung thêm bất phương trình vào miền ràng buộc Do để co m làm tăng thêm tính hiệu phương pháp nhánh cận biết an Lu việc giải trực tiếp toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 53 bất phương trình tuyến tính cần thiết Chính thế, luận văn trình bày thuật tốn nhánh cận xấp xỉ ngồi ILP giải tốn quy hoạch ngun tuyến tính thực chất thuật tốn nhánh cận Land-Doig, nhiên bước giải toán quy hoạch tuyến tính tương ứng (chưa có điều kiện ngun) thuật tốn khai thác đặc thù riêng (dựa định lý tái tối ưu hóa 1.3.3.1 chương 1) cho nhận biết toán quy hoạch tuyến k tính có lời giải tối ưu thỏa mãn chặt ràng buộc xt  [ xt ] xt  [ xtk ]  Và sử dụng thuật tốn xấp xỉ ngồi LP TTH lu cuối chương để giải tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng phụ để tìm an cận hiệu so với số phương pháp khác phương va n pháp đơn hình (vì phải thêm vào nhiều biến phụ để đưa toán dạng p ie gh tn to tắc khơng khai thác tính tái tối ưu hóa tốn phụ) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật [2] Nguyễn Đức Nghĩa (1997), Tối ưu hoá (Quy hoạch tuyến tính rời rạc), NXB Giáo dục [3] Bùi Minh Trí (2008), Bài tập tối ưu hố, NXB Khoa học Kỹ thuật lu an [4] Nguyễn Anh Tuấn, Nguyễn Văn Quý (2012), Quy hoạch tuyến tính n va với phương pháp nón xoay, NXB Giáo dục Việt Nam to tn [5] Trần Vũ Thiệu, Bùi Thế Tâm (1998), Các phương pháp tối ưu hóa, p ie gh NXB Giao thông Vận tải w d oa nl Tiếng Anh an lu [6] Belenski A.C (1982), Minimization monotone function in a polyhedron set, Automatic and Tele - Mechanics 9, pp 112-121 nf va Springer - Verlag New York z at nh oi lm ul [7] Dantzig G B., Thapa M N (1997), Linear Programming, 1: Introduction, [8] Tuan N.A and Duong P.C (1996), Minimization of an almost-convex and almost-concave functions, Vietnam Journal of Mathematics, 24(1), pp 57-74 z @ [9] Tuy H (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer m co l gm an Lu va Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.ltc.tnu.edu.vn n ac th si