ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MỴ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 ĐẠI HỌC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ TỐN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHƠNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành :Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Lâm Thùy Dƣơng THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn iii Bảng ký hiệu Lời nói đầu Chương Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 1.1 1.2 1.3 Không gian Banach Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Một số tính chất khơng gian Hilbert Toán tử tuyến tính liên tục 16 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 Ví dụ 17 Toán tử đơn điệu mạnh 18 1.3.1 Hàm lồi vi phân 18 1.3.2 Toán tử đơn điệu mạnh 22 Chương Hiệu chỉnh phương trình tốn tử với tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 25 2.1 Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh 25 2.1.1 Định nghĩa 25 2.1.2 Ví dụ 26 2.2 Hiệu chỉnh phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh dựa tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 27 ii 2.3 2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh 27 2.2.2 Sự tồn toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 28 2.2.3 Sự hội tụ phương pháp hiệu chỉnh 31 2.2.4 Phương pháp lặp 35 Ví dụ 36 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 iii Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Thị Thu Thủy TS Lâm Thùy Dương Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K8A (khóa 2014–2016) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Mỵ Bảng ký hiệu R tập số thực H không gian Hilbert thực X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X C tập đóng lồi H A tốn tử đơn điệu không gian Hilbert dom(A) miền hữu hiệu toán tử A Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S PC (x) phép chiếu mêtric điểm x tập C hx, yi tích vơ hướng hai vectơ x y δC (.) hàm C kxk chuẩn vectơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn ⇀ x xn hội tụ yếu đến x I ánh xạ đơn vị H Lời nói đầu Rất nhiều tốn thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa tốn (khi kiện thay đổi nhỏ) khơng tồn nghiệm, nghiệm không nhất, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Do tính khơng ổn định tốn đặt khơng chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lời giải Đề tài luận văn nghiên cứu tốn đặt khơng chỉnh dạng phương trình tốn tử A(x) = f , (1) A : X −→ X ∗ toán tử đơn điệu đơn trị từ không gian Banach phản xạ X vào không gian liên hợp X ∗ X Để giải loại toán này, ta phải sử dụng phương pháp ổn định, cho sai số kiện nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm tốn xuất phát Năm 1963, A.N Tikhonov [5] đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng kể từ lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh phát triển sơi động có mặt hầu hết toán thực tế Nội dung chủ yếu phương pháp xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình tốn tử (1) khơng gian Hilbert thực H dựa việc tìm phần tử cực tiểu xαh,δ phiếm hàm Tikhonov Fαh,δ (x) = kAh (x) − fδ k2 + α kx∗ − xk2 (2) α > tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h δ , x∗ phần tử cho trước đóng vai trị tiêu chuẩn chọn (Ah , fδ ) xấp xỉ (A, f ) Hai vấn đề cần giải tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov δ chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh, α (h,δ ) dần tới nghiệm xác tốn (1) h δ dần tới khơng Việc tìm phần tử cực tiểu phiếm hàm Tikhonov gặp nhiều khó khăn trường hợp tốn phi tuyến Đối với lớp toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X → X ∗ , F Browder [3] đưa dạng khác phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu phương pháp F Browder đề xuất sử dụng tốn tử B : X → X ∗ có tính chất đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày lại phương pháp giải ổn định (phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov) phương trình tốn đơn điệu với việc sử dụng tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh báo "Regularization by linear operators" Giáo sư Nguyễn Bường cơng bố tạp chí Acta Mathematica Vietnamica Nội dung đề tài trình bày hai chương Chương giới thiệu số kiến thức tốn đặt khơng chỉnh phương trình tốn tử đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn tử với tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 4 Chương Tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh Chương trình bày khái niệm số tính chất không gian Banach, không gian Hilbert thực; khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính; tốn tử đơn điệu mạnh số ví dụ minh họa Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1] [2] 1.1 Không gian Banach Không gian Hilbert Mục giới thiệu khái niệm số tính chất khơng gian Banach, khơng gian Hilbert ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Không gian định chuẩn không gian tuyến tính X ứng với phần tử x ∈ X ta có số kxk gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: (1) kxk > với x 6= 0; kxk = ⇔ x = 0; (2) kx + yk ≤ kxk + kyk với x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác); (3) kα xk = |α |kxk với x ∈ X, α ∈ R Không gian định chuẩn đầy đủ gọi không gian Banach 5 Định nghĩa 1.1.2 Không gian L(X, R)-tập tất phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định X gọi không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu X, ký hiệu X ∗ Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X không gian định chuẩn R, X ∗ không gian liên hợp X gọi X ∗∗ = L(X ∗ , R) không gian liên hợp thứ hai X Ta cho tương ứng với x ∈ X phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ X ∗∗ nhờ hệ thức hx∗∗ , f i = h f , xi, với f ∈ X ∗∗ Ở h f , xi ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ x ∈ X Ta có kxk = kx∗∗ k Đặt h(x) = x∗∗ , h : X −→ X ∗∗ tồn ánh khơng gian X gọi khơng gian phản xạ Ví dụ 1.1.4 Các không gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian l p , L p [a, b], < p < ∞ không gian Banach phản xạ Định lý 1.1.5 Cho X không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) X không gian phản xạ; (ii) Mọi dãy bị chặn X có dãy hội tụ yếu Ký hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} mặt cầu đơn vị không gian Banach X Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X gọi lồi chặt với điểm x, y ∈ SX , x 6= y, suy k(1 − λ )x + λ yk < ∀λ ∈ (0, 1) Điều có nghĩa mặt cầu đơn vị SX không chứa đoạn thẳng Điều x+y có nghĩa trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm x, y phân biệt mặt cầu đơn vị khơng nằm mặt cầu đơn vị Nói cách khác x, y ∈ SX : kxk = kyk = k x+y k, x = y ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ MỴ TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TỐN ĐẶT KHƠNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun... giới thiệu số kiến thức toán đặt khơng chỉnh phương trình tốn tử đơn điệu Chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình tốn tử với tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 4 Chương Tốn tử tuyến tính. .. trình tốn tử đặt khơng chỉnh dựa tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh 27 ii 2.3 2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh 27 2.2.2 Sự tồn tốn tử tuyến tính đơn điệu mạnh