Vấn đề chọn tham số trong phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một hệ hữu hạn phương trình không chỉnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ BÍCH HÀ VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ BÍCH HÀ VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỈNH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - Năm 2014 i Mục lục Mở đầu 1 Một số khái niệm 1.1 Khơng gian Banach - Tốn tử đơn điệu J -đơn điệu Không gian Banach 1.1.2 Toán tử đơn điệu J- đơn điệu 1.2 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.2.1 Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh 1.2.2 Thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov 1.3 Hiệu chỉnh cho phương trình với tốn tử đơn điệu 1.1.1 11 11 15 16 Kết luận chương 19 Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có tốn tử J - đơn điệu 20 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình tốn tử J-đơn điệu 20 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử J-đơn điệu 2.3 Cách chọn tham số hiệu chỉnh tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 2.3.1 Cách chọn tham số hiệu chỉnh 2.3.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 2.2 Kết luận Tài liệu tham khảo 21 26 26 31 33 34 MỞ ĐẦU Trong toán nảy sinh từ thực tế, tồn lớp toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến thay đổi lớn liệu đầu (nghiệm toán), chí cịn làm cho tốn trở lên vơ nghiệm Lớp toán gọi lớp tốn khơng qui hay tốn đặt khơng chỉnh Khái niệm tốn đặt khơng chỉnh J Hadamard đưa nghiên cứu ảnh hưởng điều kiện biên lên nghiệm phương trình elliptic parabolic Xét tốn tìm nghiệm phương trình A (x) = f (1) đây, A tốn tử từ khơng gian metric X vào khơng gian metric Y Theo J Hadamard toán (1) gọi tốn đặt chỉnh (chính qui) điều kiện sau thỏa mãn: Phương trình (1) có nghiệm x0 với y ∈ Y ; Nghiệm x0 xác định cách nhất; Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f Một thời gian dài người ta nghĩ toán đặt thỏa mãn ba điều kiện Nhưng thực tế ý niệm sai lầm Nhất máy tính điện tử đời, tính tốn tốn thực tế máy tính ln xảy q trình làm trịn số Chính làm trịn dẫn đến sai lệch đáng kể Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn tốn (1) gọi tốn đặt khơng chỉnh Do lớp tốn đặt khơng chỉnh có tầm quan trọng ứng dụng thực tế, nên thu hút quan tâm nhiều nhà toán học tiếng giới Một số nhà toán học Việt Nam sâu nghiên cứu có nhiều đóng góp cho lý thuyết tốn đặt khơng chỉnh như: Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng Để giải số tốn đặt khơng chỉnh, bước Tikhonov đưa toán đặt chỉnh cách giả thiết nghiệm cần tìm nằm vào tập compact lồi M ảnh A (M ) = N cho f xấp xỉ fδ ∈ N ta có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N Do số liệu xấp xỉ số liệu khơng xác, nên xấp xỉ fδ lại không nằm vào tập A (M ) Khi đó, phương trình A (x) = fδ khơng có nghiệm theo nghĩa thơng thường Để khắc phục tình trạng này, V K Ivanov đưa khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1) Theo V K Ivanov phần tử x ˜ ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf ρY (A (x) , f ) gọi tựa nghiệm (1) tập M , x∈M trường hợp M tập compact X , f ∈ Y tồn tựa nghiệm Nếu f ∈ A (M ) tựa nghiệm nghiệm thơng thường Tựa nghiệm nghiệm thơng thường khơng Năm 1963, Tikhonov đưa hướng giải toán (1), việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc tham số M α [x, fδ ] = ρ2 (A (x) , fδ ) + αψ (x) , (2) ψ phiếm hàm ổn định không gian metric X , α tham số hiệu chỉnh phụ thuộc δ , α = α (δ) chọn cho δ → 0, ta có α (δ) → điểm cực tiểu xδα phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm toán (1) Đối với toán (1), A : H → H (H khơng gian Hilbert), tốn tử liên tục đóng yếu, H W Engl xét dạng cụ thể (2) M α [x, fδ ] = Ax − fδ +α x (3) chứng minh tốn (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ hội tụ nghiệm (1) fδ → f Trong trường hợp A tốn tử đơn điệu hemi liên tục từ khơng gian Banach X vào X ∗ , Alber Ryazantseva xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình A (x) + αJ s (x) = fδ , (4) đây, J s toán tử đối ngẫu tổng quát X , tức J s : X → X ∗ , thỏa mãn điều kiện J s (x) , x = x J s (x) , J s (x) = x s−1 , s ≥ Trong vài năm gần đây, nhu cầu thực tế người ta xét mở rộng tốn (1) cho họ hữu hạn phương trình đặt khơng chỉnh tức tìm nghiệm x0 cho Ai (x0 ) = fi , i = 1, 2, , N, (5) đây, Ai : X → Yi , X Yi không gian Hilbert Hệ phương trình (5) đưa phương trình (1), với A : X → Y xác định A (x) = (A1 (x) , A2 (x) , , AN (x)) , Y := Y1 × Y2 × × YN f = (f1 , f2 , , fN ) Có thể coi (1) trường hợp riêng (5) N = Tuy nhiên (5) có lợi (1) chỗ (5) đề cập riêng rẽ tính chất (Ai , fi ), cịn (1) cho ta tính chất chung (Ai , fi ) nghiệm (1) phải thỏa mãn tọa độ giống Dựa khoảng cách Bregman D xδ , x0 := J xδ − J (x0 ) − J (x0 ) , xδ − x0 Hein đưa kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xδ nghiệm x0 hệ bổ sung điều kiện nguồn lên tất toán tử Ai , i = 1, 2, , N Trong trường hợp Ai vi phân phiếm hàm lồi không gian Banach, Nguyễn Bường xây dựng phương pháp hiệu chỉnh dựa vào việc giải phương trình N αµi Ai (x) + αJ (x) = θ, i=1 µ1 = < µi < µi+1 < 1, i = 2, , N − 1, (6) đây, J (x) toán tử đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào X ∗ , tức J (x) = J (x) Khi Ai : H → H toán tử đơn điệu liên tục, GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Thị Thu Thủy đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc khơng tìm nghiệm xấp xỉ cho toán Ai (x) = θ, i = 1, 2, , N, (7) hồ sơ lặp N x (k+1) (k) =x αki Ai x(k) + αkN +1 x(k) − x∗ − βk , (8) i=1 đây, xấp xỉ đầu x(0) x∗ phần tử không gian H αk , βk dãy số dương Hệ (7) GS.TSKH Phạm Kỳ Anh GS.TS Cao Văn Chung xét đến Ai : H → H có tính chất ngược đơn điệu mạnh phương pháp hiệu chỉnh lặp song song Các kết đạt phương pháp cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ nghiệm có chuẩn nhỏ Trong luận văn này, xét phương pháp hiệu chỉnh, cách chọn tham số tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Trong trường hợp toán tử Ai : X → X J - đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, xét phương pháp hiệu chỉnh (5) dựa vào việc giải phương trình N A0 (x) + α µ Ai (x) − fiδ + α (x − x∗ ) = f0δ (9) i=1 đưa cách chọn tham số α = α (δ), µ ∈ (0, 1) số cố định Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh đánh cần dựa vào điều kiện đặt lên toán tử A0 Các kết đạt luận văn kết trình học tập nghiên cứu Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương Một số khái niệm Trong chương ta trình khái niệm khơng gian Banach tốn đặt khơng chỉnh, thuật tốn hiệu chỉnh Tikhonov Từ giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử đơn điệu Trên sở hiệu chỉnh cho phương trình, chương cịn giới thiệu tốn dẫn đến hệ phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Chương Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có tốn tử J - đơn điệu Trong chương ta trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử J - đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Tơi mong muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Bường, thầy tận tình hướng dẫn, bảo tơi q trình tơi thực luận văn trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới giáo sư, tiến sĩ Viện Tốn học, Viện cơng nghệ thông tin thuộc Viện Hàn Lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô giáo trường Đại học Khoa học nói chung khoa Tốn - Tin nói riêng hết lịng giảng dạy, truyền đạt cho nhiều kiến thức khoa học suốt trình tơi học tập trường Cuối cùng, tơi muốn cảm ơn đến người thân, bạn bè cổ vũ suốt thời gian vừa qua Do điều kiện thời gian trình độ có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi có nhiều thiếu sót Tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp thầy bạn Hải Phịng, ngày 11 tháng 10 năm 2014 Tác giả Phí Thị Bích Hà Chương Một số khái niệm Chương chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian Banach, tốn tử đơn điệu J - đơn điệu Khái niệm toán đặt khơng chỉnh, thuật tốn hiệu chỉnh Tikhonov Đồng thời giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh với toán tử đơn điệu Các kiến thức tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [7], [8] 1.1 1.1.1 Không gian Banach - Toán tử đơn điệu J-đơn điệu Không gian Banach Không gian định chuẩn thực khơng gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: 1) x > 0, ∀x = 0, x = ⇔ x = 0; 2) αx = |α| x , ∀x ∈ X, α ∈ R; 3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X, (bất đẳng thức tam giác) Một không gian định chuẩn đầy đủ không gian Banach +) Sự hội tụ không gian Banach: Dãy phần tử xn không gian Banach X gọi hội tụ đến phần tử x0 ∈ X n → ∞, n → ∞, ký hiệu xn → x0 Sự hội tụ gọi hội tụ mạnh Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ yếu đến x0 ∈ X , ký hiệu xn hội tụ yếu tới x0 , với ∀f ∈ X ∗ không gian liên hợp X , ta có f (xn ) → f (x0 ), n → ∞ Từ định nghĩa ta có tính chất sau: i) Từ hội tụ mạnh dãy {xn } suy hội tụ yếu dãy ii) Giới hạn yếu dãy có iii) Nếu xn → x sup xn < ∞ x ≤ lim xn n→∞ 1≤n không gian phản xạ Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều phản xạ Định lý 1.2 Nếu X khơng gian Banach khẳng định sau tương đương: 1) X phản xạ, 20 Chương Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có tốn tử J- đơn điệu Chương chúng tơi trình bày vấn đề chọn tham số phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho hệ hữu hạn phương trình khơng chỉnh với toán tử Lipschitz J - đơn điệu Kiến thức chương viết sở báo [6] số tài liệu trích dẫn 2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình tốn tử J-đơn điệu Trong mục này, kết hiệu chỉnh cho phương trình (1) trình bày trường hợp toán tử A : X → Y J - đơn điệu không gian Banach phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux Giả thiết f xấp xỉ fδ thỏa mãn f − fδ ≤ δ Để tìm nghiệm tốn (1), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa sở tìm nghiệm tốn A (x) + α (x − x∗ ) = fδ , x∗ ∈ X (14) Tính nghiệm xδα (14) hội tụ nghiệm hiệu chỉnh xδα nghiệm x0 toán (1) xét đến bổ sung tính chất liên tục yếu theo dãy liên tục mạnh lên toán tử đối ngẫu chuẩn tắc J 21 Trong trường hợp toán tử đối ngẫu chuẩn tắc J khơng có tính chất liên tục yếu theo dãy nghiệm hiệu chỉnh xδα hội tụ nghiệm x0 (1) bổ sung thêm hai điều kiện sau: A (y) − A (x0 ) − QA (x0 )∗ J (y − x0 ) ≤ τ˜ A (y) − A (x0 ) , (15) đây, y ∈ X, τ˜ > 0, Q toán tử đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ , tồn phần tử ω ∈ X cho x∗ − x0 = A (x0 ) ω (16) Khi toán tử J khơng có tính chất liên tục yếu theo dãy điều kiện (15), (16) khơng thỏa mãn, hội tụ mạnh nghiệm hiệu chỉnh xδα hội tụ nghiệm x0 (1), kết thể qua định lý sau: Định lý 2.1 Cho X không gian Banach phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều, A toán tử đơn trị m − J− đơn điệu X , f fδ thỏa mãn f − fδ ≤ δ , • với α > 0, (16) có nghiệm xδα ; • tập nghiệm (1) S0 = ∅ tham số α chọn cho α, δ/α → δ → xδα → x0 thỏa mãn bất đẳng thức biến phân x0 − x∗ , j (x0 ) − z ≤ 0, ∀z ∈ S0 ; • với số dương αi , δi , i = 1, 2, ta có xδα11 − xδα22 ≤ M1 2.2 |α1 − α2 | |δ1 + δ2 | + , M1 > α1 α1 Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với tốn tử J-đơn điệu Trong mục này, chúng tơi trình bày đánh giá sai số tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh hệ phương trình với tốn tử J -đơn điệu khơng gian Banach khơng địi hỏi tính liên tục yếu cho ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, J = J , tham số hiệu chỉnh chọn trước 22 Cho A ánh xạ m − J− đơn điệu đơn ánh X , tức A : X → X có tính chất sau: (i) A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , j (x − y) ∈ J (x − y) (ii) R (A + λI) = X với λ > 0, R (A) kí hiệu miền ảnh A I toán tử đơn vị X Nếu tồn số α cho A (x) − A (y) , j (x − y) ≥ α x − y , ∀x, y ∈ X, A gọi α−mạnh Khi α = A gọi J− đơn điệu Xét hệ phương trình tốn tử Ai (x) = fi , fi ∈ X, i = 1, , N (17) Các kết hiệu chỉnh cho hệ phương trình (17) đưa trường hợp Ai J− đơn điệu ngược J− đơn điệu mạnh không gian Banach phản xạ lồi chặt với chuẩn khả vị Gâteaux Để tìm nghiệm tốn (17), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa sở tìm nghiệm tốn (9) N A0 (x) + α µ Ai (x) − fiδ + α (x − x∗ ) = f0δ i=1 µ ∈ (0, 1) số cố định, α tham số hiệu chỉnh Bổ đề 2.2 Với ánh xạ tuyến tính, liên tục J− đơn điệu F không gian Banach phản xạ X với α > 0, ta có F (F + αI)−1 ≤ Nếu A ánh xạ m − J− đơn điệu X f ∈ X phần tử bất kỳ, ta xác định ánh xạ u = Tf (x) theo Af (u) + u = x, Af (.) = A (.) − f, (18) x ∈ X Vì Af ánh xạ m − J− đơn điệu, việc tồn Tf hiển nhiên Dễ dàng kiểm tra Tf có tính chất sau: (i) D (Tf ) = X ; (ii) Tf không giãn, tức Tf x − Tf y ≤ x − y ; (iii) F ix (Tf ) = S˜, F ix (Tf ) = {x ∈ X : x = Tf (x)} Bây ta chứng minh định lý sau 23 Định lý 2.3 Cho X không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, A0 toán tử J−đơn điệu liên tục Lipschitz, Ai toán tử ngược J−đơn điệu mạnh với số γi X , i = 1, 2, , N Khi đó, ta có: (i) Với α > fiδ ∈ X , phương trình N A0 (x) + α µ Ai (x) − fiδ + α x − x+ = f0δ i=1 có nghiệm xδα ; (ii) Nếu S = θ, fiδ thỏa mãn (2) với i = 1, 2, , N , tham số α chọn cho α, δ/α → 0, xδα hội tụ mạnh đến x∗ ∈ S thỏa mãn x∗ − x+ , J (x∗ − z) ≤ 0, ∀z ∈ S (19) Chứng minh (i) Vì Ai đơn điệu liên tục Lipschitz X với i = 1, 2, , N , tốn tử A := A0 + αµ N i=1 Ai đơn điệu liên tục Lipschitz X Vậy nên phương trình (9) có nghiệm xδα , với α > fiδ ∈ X Vì [A + α (I − x+ )] đơn điệu mạnh với số α, nên nghiệm xδα (ii) Khơng tính tổng qt, ta giả thiết N αµ < Từ (9), ta có N A0 xδα − A0 (z) + α µ Ai xδα − Ai (z) + α xδα − x+ , J xδα − z i=1 N f0δ = − f0 , J xδα −z +α µ fiδ − fi , J xδα − z i=1 với z ∈ S , suy xδα − x+ , J xδα − z ≤ α f0δ − f0 , J xδα −z + αµ α N i=1 fiδ − fi , J xδα − z , Vì Ai đơn điệu nên ta có δ δ x − z ∀z ∈ S, α α Vậy xδα giới nội, nên tồn số dương M1 cho với α, γ > α, δ/α → ta có xδα ≤ M1 , suy δ xδα − z ≤ x+ − z, J xδα − z + (M1 + z ) ∀z ∈ S (20) α xδα − z ≤ x+ − z, J xδα − z +2 24 Từ (14) Ai liên tục Lipschitz với i = 1, 2, , N , ta thu N A0 xδα − f0 ≤ α xδα −x + +α µ Ai xδα − Ai (z) + 2δ i=1 N ≤α xδα −x + +α µ i=1 (M1 + z ) + 2δ γi Suy A0 xδα − f0 = lim α,δ/α→0 (21) Ngoài ra, từ (9) A0 J−đơn điệu, Ai ngược J−đơn điệu mạnh với số γ , nên ta có N γi Ai xδα − fi N Ai xδα − fi , J xδα − z ≤ i=1 i=1 ≤ α1−µ x+ − xδα , J xδα − z + [(δ/αµ ) + N δ] J xδα − z ≤ α1−µ x+ − z + α1−µ δ/α + N δ (M1 + z ) Suy lim α,δ/α→0 Ai xδα − fi = 0, i = 1, 2, , N (22) Xét toán tử Ti = I − Ai T fi = Ti + fi , dễ thấy z ∈ S fi z ∈ ∩N Vì Ai đơn điệu, Ti toán tử giả Co, nên toán tử T fi i=0 F ix T giả Co Từ (21) (22), ta có I − T fi xδα → α, δ/α → −1 với i = 0, 1, , N Dễ thấy Ai = 2I − T fi tốn tử khơng giãn Thật vậy, 2I − T fi = I + I − T fi = I + Ai − fi đơn điệu mạnh X Vậy R (2I − Tfi ) = E Từ (18), ta có 2I − T fi x = I + I − T fi x = (I + Ai ) x − fi Toán Ai (.) = Ai (.) − fi m − J−đơn điệu, I + Ai −1 Ai toán tử không giãn F ix (Ai ) = F ix T fi = Si Vậy δ δ xδα − T fi xδα = 2I − T fi xδα − xδα = A−1 i xα − xα 25 δ δ Ai A−1 i xα = xα Suy δ δ −1 δ δ xδα − Ai xδα = Ai A−1 i xα − Ai xα ≤ Ai xα − xα = I − T fi xδα Vậy xδα − Ai xδα → α, δ/α → Cho {xk } dãy xδα với αk , δk /αk → k → ∞ Xét hàm φ (x) = µk xk − x với x ∈ X Ta có φ (x) → ∞ x → ∞ φ liên tục lồi, X phản xạ tồn z˜ ∈ X cho φ (˜ z ) = minx∈X φ (x) Suy tập C ∗ := u ∈ X : φ (u) = φ (x) x∈E =∅ Dễ thấy C ∗ tập giới nội lồi đóng X Vì xk − Ai xk → 0, ta có φ (Ai z˜) = µk xk − Ai z˜ = µk Ai xk − Ai z˜ ≤ µk xk − z˜ = φ (˜ z) Suy Ai C ∗ ⊂ C ∗ , i = 0, 1, , N Mặt khác tồn điểm bất động ∗ {Ai }N i=0 thuộc C Thật vậy, X khơng gian Banach phản xạ lồi chặt, C ∗ tập Chebyshev X , suy z ∈ ∩N i=0 F ix (Ai ), nên tồn z˜ ∈ C ∗ cho z − z˜ = inf∗ z − x x∈C Vì z = Ai z Ai z˜ ∈ C ∗ , ta có z − Ai z˜ = Ai z − Ai z˜ ≤ z − z˜ , ∗ Suy Ai z˜ ∈ z˜, Vậy, tồn z˜ ∈ ∩N i=0 F ix (Ai ) ∩ C Mặt khác, ta có µk x − z˜, J (xk − z˜) ≤ 0, ∀x ∈ X (23) Trong (20) chọn z = z˜ x = x+ (23), ta suy µk xk − z˜ = Do đó, tồn dãy {xkl } {xk } hội tụ mạnh tới z˜ l → ∞ Từ (20) tính liên tục yếu chuẩn toán tử đối ngẫu J tập giới nội X , ta có z − x+ , J (˜ z − z) ≤ 0∀z ∈ S = ∩N i=0 F ix (Ai ) (24) 26 Vì z, z˜ ∈ S S tập đóng lồi, nên thay z (21) sz + (1 − s) z˜, s ∈ (0, 1) sử dụng tính chất J (s (˜ z − z)) = sJ (˜ z − z) với s > , ta có z˜ − x+ , J (˜ z − z) ≤ 0∀z ∈ S Khi x∗ (16) z˜ = x∗ Vậy xδα hội tụ mạnh tới x∗ α, δ/α → 2.3 Cách chọn tham số hiệu chỉnh tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh 2.3.1 Cách chọn tham số hiệu chỉnh Đối với việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục kiện toán ban đầu bao gồm hai bước tìm phương pháp hiệu chỉnh chọn tham số hiệu chỉnh dựa vào thơng tin tốn, tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào sai số gọi tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm, trường hợp tham số không phụ thuộc vào sai số tốn mà cịn phụ thuộc vào kiện tốn ban đầu tham số hiệu chỉnh gọi tham số hậu nghiệm Nhìn chung, chọn tham số hậu nghiệm cho kết tốt tham số tiên nghiệm ta sử dụng thêm thông tin nghiệm toán, vấn đề chọn tham số hậu nghiệm cho toán (5) N = với nhiễu vế phải Alber xét đến nguyên lý độ lệch cổ điển chọn tham số hiệu chỉnh từ hệ thức A xδα − fδ = Kδ p , K > 1, < p < Mở rộng kết trên, đưa nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh cho hệ phương trình tốn tử sử dụng phương pháp hiệu chỉnh (9), nội dung nguyên lý chọn tham số hiệu chỉnh từ hệ thức ρ (α) = K (h + δ)p , K > 2, < p < ρ (α) ≡ α xδα − x+ 27 Sau kết lý thuyết dùng để chứng minh cho hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch Bổ đề 2.4 ρ (α) = α xδα − x+ có tính chất sau: (i) ρ (α) liên tục (α0 , +∞) với α0 > 0; (ii) Nếu N Ai x+ − fiδ >0 (25) i=1 Thì lim φ (α) = +∞ fi0 = fi α→+∞ Chứng minh Cho α, β ∈ (α0 , +∞) Từ (8) ta có A0 xδα − A0 N − βµ xτβ +α N µ i=1 Ai xδα − fiδ Ai xδβ − fiδ + α xδα − x+ − β xδβ − x+ = i=1 Suy α xδα − xδβ , J xδα − xδβ +αµ N − (β − α) xδβ , J xδα − xδβ Ai xδα − Ai xδβ , J xδα − xδβ i=1 − (β µ − αµ ) N Ai xδβ − fiδ , J xδα − xδβ i=1 =0 Vậy ta có xδα − x+ − xδβ − x+ ≤ |α−β| α0 xδβ + |αµ −β µ | α0 ≤ xδα − xδβ N i=1 Ai xδβ − fiδ Bất đẳng thức cho thấy φ (α) liên tục α ∈ (α0 , +∞) Từ (9) ta có A0 xδα + − A0 (x ) + α µ N i=1 = f0δ − A0 (x+ ) + αµ N i=1 Ai xδα − Ai (x+ ) + α xδα − x+ fiδ − Ai (x+ ) Vậy ta có xδα + −x f0δ − A0 (x+ ) ≤ + 1−µ α α N fiδ − Ai x+ i=1 28 Suy lim α→+∞ xδα − x+ = Lại có N ρ (α) ≥ α µ Ai xδα − fiδ − A0 xδα − f0δ i=1 Và tính liên tục tốn tử Ai suy lim ρ (α) = +∞ α→+∞ Định lý 2.5 Cho x+ ∈ E\S thỏa mãn (25) i) Khi tồn α ¯ = α (δ) cho α ¯ ≥ (K − 2) δ p z − x+ ,z ∈ S (26) Và ρ (¯ α) = α (δ) xδα(δ) − x+ = Kδ p , K > 2, < p ≤ 1, (27) xδα(δ) nghiệm (10) thay α = α ii) Khi δ → thì: 1) α ¯ → 0; 2) p ∈ (0, 1) δ/α (δ) → xδα(δ) → x∗ ∈ S ; 3) p = J liên tục yếu theo dãy S = {x∗ } xδα(δ) → x∗ δ/α (δ) ≤ C, C > Chứng minh Từ (9) tính chất J−đơn điệu tốn tử Ai , ta có α xδα − x+ ≤ 2α z − x+ + δ (1 + N αµ ) (28) Cho z ∈ S Với δ > 0, ta có 2α z − x+ < (K − 2) δ p , Chọn α đủ nhỏ cho N αµ ≤ 1, < δ < 1, suy ρ (α) < (K − 2) δ p + 2δ < (K − 2) δ p + 2δ p = Kδ p Xét hàm d (α) = ρ (α) − Kδ p , α > α0 > (29) 29 Mặt khác, ta có lim d (α) = +∞ − Kδ p = +∞ α→+∞ Từ (29) tính liên tục d (α) suy tồn α > cho d (α) < Suy tồn α ¯ = α (δ) thỏa mãn (26) (27) Kết luận (i) định lý chứng minh Hơn nữa, từ (26) với x+ ∈ S , ta suy δ α ¯ ≤ 2δ 1−p z − x+ (K − 2) (30) Với < p < 1, ta có δ/¯ α → δ → Để chứng minh α (δ) → δ → phương pháp phản chứng ta có hai khả năng: 1) Tồn chuỗi α ¯ k = α (δk ) → C0 , C0 > 0, δk → k → ∞ 2) Tồn chuỗi α ¯ k = α (δk ) → ∞, δk → k → ∞ Xét trường hợp Chứng minh xαδ¯kk bị chặn Khơng tính tổng quát, ta cho xδα¯kk − x+ → ∞ k → ∞ Từ (9) tính chất đơn điệu Ai Ta có N 0= A0 (xαδkk ) + αµk (Ai (xδαkk ) − fiδk ) + αk (xδαkk − x+ ) − f0δk , J(xδαkk − x+ ) i=1 ≥ A0 (x+ ) − f0δk , J(xδαkk − x+ ) N + αµk Ai (x+ ) − fiδk ) + αk (xδαkk − x+ ), J(xαδkk − x+ ) i=1 ≥ αk xδαkk − x+ − A0 (x+ ) − f0δk N + αµk Ai (x+ ) − fiδk xδαkk − x+ → +∞, i=1 Mâu thuẫn với giả thiết Vì, từ (27) ρ (¯ αk ) = α ¯ k xδα¯kk − x+ , ta có C0 lim xδα¯kk − x+ = K lim δ p = k→∞ k→∞ Tức limk→∞ xαδ¯kk − x+ = Từ (9) với δ, α x thay tương ứng 30 δk , αk xαδ¯kk sau cho k → ∞, ta có N A0 x + − A0 (z) + C0µ Ai x+ − Ai (z) = (31) i=1 Với z ∈ S Tác đông lên đẳng thức cuối J (x+ − z) sử dụng tính chất lồi A0 tính chất λi - đồng cưỡng Ai với i = 1, 2, , N , ta có N λi Ai x+ − Ai (z) ≤0 i=1 Do đó, Ai (x+ ) − Ai (z) = với i = 1, 2, , N + + N Nó có nghĩa x+ ∈ ∩N i=1 Si Từ (30) ta x ∈ S0 Do x ∈ ∩i=1 Si , trái với giả thiết Xét trường hợp Từ ρ (¯ α) = α ¯ xδα¯ − x+ (13), lim k→∞ xαδ¯kk −x + δkp ρ (¯ αk ) = K lim =0 = lim k→+∞ α k→+∞ α ¯k ¯k (32) Từ (9) ta có α ¯ kµ N i=1 Ai xδα¯kk − fiδk − A0 xδα¯kk − f0δk ≤α ¯ k xαδ¯kk − x+ = ρ (¯ αk ) = Kδkp Với k → ∞ sử dụng tính chất liên tục Ai với i = 1, 2, , N , (25), (32) kiện α ¯ k → ∞ δk → bất đẳng thức cuối cùng, ta có mâu thuẫn +∞ ≤ Trong phần cuối, ta có α ¯ = α (δ) → với δ → Theo định lý 2.3, xδα(δ) → x∗ , giải (19) Trong trường hợp p = 1, ta có, từ (30) có δ/α (δ) ≤ C := z − x+ /(K − 2) Hơn từ lý luận trên, α (δ) → với δ → Sau , từ (28), theo tính bị chặn chặt k xδα(δ) Vì E phản xạ, tồn dãy xk := xδα(δ , hội tụ yếu k) tới x∞ ∈ E với k → ∞ Từ (9) với δ, α x thay tương ứng δk , αk xαδ¯kk , ta có N A0 (xk ) − f0δk Ai (xk ) − fiδk + αk xk − x+ ≤α ¯k i=1 31 Do đó, A0 (xk ) − f0δk → k → ∞ Bởi lập luận tương tự, từ (9) tính chất lồi A0 , ta có N λi Ai (xk ) − fi N ≤ i=1 ≤ N δk + αk1−µ i=1 + xk − x fiδk − fi + αk1−µ (xk − x∞ ) xk − x∞ Do đó, Ai (xk ) − fi → k → ∞ với i = 1, 2, , N Hơn nữa, Ai (x∞ ) = fi Có nghĩa x∞ ∈ S , tức x∞ = x∗ tất dãy xδα(δ) hội tụ yếu tới x∗ , S chứa phần tử x∗ Định lý chứng minh 2.3.2 Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, ta giả thiết A (y) − A (x0 ) − QA (x0 )∗ J (y − x0 ) ≤ τ˜ A (y) − A (x0 ) , đây, y phần tử thuộc lân cận tập nghiệm S , τ˜ > 0, Q toán tử đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ Định lý sau tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ Định lý 2.6 Cho Ai , X fiδ định lý 2.5 Giả sử rằng: (i) A0 khả vi Fréchet với (15); (ii) Tồn phần tử ω ∈ E cho A0 (x∗ ) ω = x+ − x∗ ; (iii) Tham số α = α (δ) chọn từ (27) Khi đó, với < p < 1, ta có xδα(δ) − x∗ = O δ θ , θ = {1 − p, µp/2} Chứng minh Từ (9) tính chất J−đơn điệu tốn tử Ai , ta có xδα − x∗ = α f0δ + − = xδα − x∗ , J xδα − x∗ A0 xδα +α xδα − x∗ + x − x∗ , J ≤ δ α µ N i=1 fiδ − Ai xδα , J xδα − x∗ (1 + N αµ ) xδα − x∗ + ω, A0 (x∗ ) ∗ J xδα − x∗ 32 Ta có ω, A0 (x∗ ) ∗ J xδα − x∗ ≤ ω A0 (x∗ ) ∗ J xδα − x∗ (33) Từ (17), ta có A0 (x∗ ) ∗ J xδα − x∗ = QA0 (x∗ ) ∗ J xδα − x∗ ≤ (τ + 1) A0 xδα − f0 ≤ (τ + 1) δ + A0 xδα − f0δ ≤ (τ + 1) δ + α xδα − x+ + αµ N i=1 Ai xδα − fiδ Từ (31), ta có xδα − x∗ ≤ δ α (1 + N αµ ) xδα − x∗ N + ω (τ + 1) δ + α xδα − x+ + αµ N δ + xδα − x∗ i=1 λi Vì α ¯ = α (δ) chọn (25) với < p < 1, ta có N αµ (δ) ≤ tồn số không đổi c dương cho xδα(δ) − x∗ ≤ c ≤ xδα(δ) − x+ , cho δ đủ nhỏ Do xδα(δ) − x∗ ≤ 2δ 1−p xδα(δ) − x∗ p + ω (τ + 1) 2δ + Kδ + c 1−µ p µ N (Kδ ) i=1 ≤ 2δ 1−p xδα(δ) λi − x∗ + ω (τ + 1) + K + c 1−µ K µ N i=1 δµp λi Chọn δ đủ nhỏ Sử dụng hàm a, b, c ≥ 0, s > t, as ≤ bat + c ⇒ as = O bs/(s−t) + c , Ta xδα(δ) − x∗ = O δ θ Định lý chứng minh 33 KẾT LUẬN Bản luận văn giới thiệu đến thầy cô bạn vấn đề chọn tham số phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho hệ hữu hạn phương trình khơng chỉnh với tốn tử Lipschitz J− đơn điệu Cụ thể là, chương một, tìm hiểu nội dung khơng gian Banach, tốn đặt khơng chỉnh thuật tốn hiệu chỉnh Tikhonov Trong chương hai, tìm hiểu phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình phi tuyến với tốn tử có tính chất J− đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Banach phản xạ lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, tính nghiệm hiệu chỉnh Tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh nghiệm hệ phương trình đưa tham số hiệu chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch bổ sung thêm điều kiện lên toán tử hệ phương trình, bao gồm điều kiện nguồn tính khả vi Fréchet Bản luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót, nên tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q thầy bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! 34 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh Nguyễn Bường, Bài toán đặt không chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [2] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Viện toán học, Hà Nội, 2003 [3] Ya.I Alber, "On solution by the method of regularization for operator equation of the first kind involving accretive mappings in Banach spaces," Differential equations SSSR XI, 2242-2248 (1975) [4] Ya.I Alber, Ir.P Ryazantseva, Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Types, Springer, 2006 [5] Ng Buong, On nonlinear ill-posed accretive equations, Southeast Asian Bulletin of Mathematics 28, 1-6 (2004) [6] Ng Buong and Ng D Dung, "Regularization for a common solution of a system of nonlinear ill-posed equations," Intern J of Math Analysis, 3(34), 1693-1699 (2009) [7] E.F Browder, "Nonlinear mapping of nonexpansive and accretive type in Banach spaces," Trans AMS 73, 875-882 (1967) [8] A.D Cezaro, J Baumeister, A Leitao, "Modified iterated Tikhonov method for solving system of nonlinear ill-posed equations," Inverse Problems and Imaging, 5(1), 1-17 (2010) [9] M.M Vainberg, Variational Method and Method of Monotone Operators in the Theory of Nonlinear Equations, M, Nauka, 1972 (in Russian) ... ban đầu tham số hiệu chỉnh gọi tham số hậu nghiệm Nhìn chung, chọn tham số hậu nghiệm cho kết tốt tham số tiên nghiệm ta sử dụng thêm thơng tin nghiệm tốn, vấn đề chọn tham số hậu nghiệm cho toán... HỌC KHOA HỌC PHÍ THỊ BÍCH HÀ VẤN ĐỀ CHỌN THAM SỐ TRONG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỆ HỮU HẠN PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỈNH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC... Hiệu chỉnh cho hệ phương trình có tốn tử J- đơn điệu Chương chúng tơi trình bày vấn đề chọn tham số phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho hệ hữu hạn phương trình khơng chỉnh với tốn tử Lipschitz