Về số padovan và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN TIẾN LONG VỀ SỐ PADOVAN VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nơng Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Mục lục Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm phần nguyên 1.2 Một số tính chất phần nguyên Chương Dãy số Padovan, số tính chất dãy số Padovan 11 2.1 Dãy số Padovan 11 2.2 Công thức hàm sinh công thức Binet 17 2.3 Ma trận Padovan 19 2.3.1 Ma trận Toeplitz-Hessenberg 19 2.3.2 Ma trận Padovan 21 Chương Biểu diễn số Padovan dạng tổng hệ số đa thức phân hoạch số nguyên n thành phần lẻ 26 3.1 Phân hoạch số nguyên n 26 3.2 Biểu diễn số Padovan dạng tổng hệ số đa thức phân hoạch nguyên n thành phần lẻ lớn 32 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nỗ lực học hỏi thân, em nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS TS Nông Quốc Chinh, Giảng viên Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân em điều thầy dành cho em Em xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học K12A5 (2018 - 2020) Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho em hồn thành khóa học Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường trung học phổ thông Bắc Kạn, tỉnh Bắc Kạn tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn Thái Nguyên, tháng 12 năm 2020 Tác giả luận văn Nguyễn Tiến Long Bảng ký hiệu R tập số thực N tập số tự nhiên ∀x với x Z tập số nguyên Z+ tập số nguyên dương Q tập số hữu tỷ {Pn }n≥0 dãy số Padovan [x] phần nguyên số thực x dxe số nguyên bé không nhỏ số thực x gọi trần x bxc số nguyên lớn không vượt số thực x gọi sàn x (x) số nguyên gần số thực x hay số làm tròn x  kết thúc chứng minh định lí bổ đề Mở đầu Trong Toán học, dãy số nguyên thường xuyên xuất ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học khác Một ví dụ tiếng dãy số Fibonacci, dãy biết đến cách hàng nghìn năm ứng dụng rộng rãi Tốn học, Sinh học, Kinh tế, Khoa học Máy tính, Vật lý, Kiến trúc, hội họa .Ta biết dãy số Fibonacci {Fn }n≥0 xác định quan hệ truy hồi: Fn = Fn−1 + Fn−2 với điều kiện ban đầu là: F0 = 0, F1 = Dãy số Padovan xuất muộn nhiều, gọi theo tên nhà tốn học Richard Padovan vào năm 1994 Tương tự dãy Fibonacci, dãy Padovan {Pn }n≥0 dãy số nguyên xác định quan hệ truy hồi: Pn = Pn−2 + Pn−3 với điều kiện ban đầu: P0 = 1, P1 = 0, P2 = Một vài số hạng ban đầu dãy Padovan là: 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, Mặt khác bắt đầu dãy số Padovan với điều kiện ban đầu khác: P0 = P = P2 = ta có dãy: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, Dãy số dãy số bỏ số Dãy số Padovan ứng dụng Toán học, Sinh học, Kinh tế, Khoa học Máy tính, Vật lý, Kiến trúc, hội họa Một ví dụ thú vị, hình xoắn ốc hình tam giác có độ dài cạnh theo trình tự Padovan Mục tiêu luận văn nghiên cứu dãy số Padovan vài ứng dụng Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu khái niệm số tính chất phần nguyên trình bày với mục đích cung cấp kiến thức cần thiết để người đọc dễ theo dõi kiến thức phần sau Chương 2: Dãy số Padovan, số tính chất dãy số Padovan Trong chương giới thiệu tính chất dãy số Padovan, công thức hàm sinh công thức Binet dãy số Padovan Chương 3: Biểu diễn số Padovan dạng tổng hệ số đa thức phân hoạch số nguyên n thành phần lẻ Trong chương nghiên cứu tính chất biểu diễn số Padovan tổng hệ số đa thức phân hoạch số nguyên n thành phần lẻ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu kiến thức số nguyên, phần nguyên, hàm trần, hàm sàn, phần dư số thực Sau đó, số tính chất phần ngun trình bày với mục đích cung cấp kiến thức cần thiết để người đọc dễ theo dõi kiến thức phần sau Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [1] 1.1 Khái niệm phần nguyên Định nghĩa 1.1.1 Cho số thực x ∈ R Số nguyên lớn không lớn x gọi phần nguyên Ta thường kí hiệu phần nguyên x [x] bxc Định nghĩa 1.1.2 Cho số thực x ∈ R Số nguyên bé không nhỏ x gọi trần x kí hiệu dxe Định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 tương đương với:    z ≤x  n−1 Q0k (n) = Qk (n) − − k−1  mod · δ0,(n−1) mod (k−1) (3.5) Trong bxc ký hiệu số nguyên lớn nhỏ x 36 Chứng minh Gọi Mk (n) biểu thị số hệ số đa thức thoả mãn:   k1 + k2 + · · · + kn =k k1 , k2 , , kn k1 + 2k2 + · · · + nkn = n Trong [6], Guo Mpr (n) với số nghiệm nguyên dương (x, y) phương trình (pr − 1) x + y = n (3.6) thoả mãn x 6= y Tương tự, Qpr (n) số lượng nghiệm nguyên dương (x; y) (3.6) với x, y lẻ x 6= y Hơn nữa, Q0pr (n) số lượng số nghiệm nguyên dương (x; y) (3.6) với x, y lẻ, x, y > x 6= y Lưu ý Qpr (n) > (1; y) với y lẻ nghiệm (3.6) Ngoài (x; 1) với x lẻ nghiệm (3.6) pr − chia hết n − Do đó, suy (3.5) Định lý 3.2.4 Gọi k số nguyên dương Với < x < 1/ρ, ta có: ∞ Y ∞ k − X x3n (1 + x ) < + Bk (x) + , 2n k − x n=1 n=1 an với B1 (x) = x3 x3 , B (x) = · − x2 − x3 − x2 − x3 kBk (x) = (k − 1)Bk−1 (x) + k−1 X j=2 Gj (x) hàm tạo cho Q0j (n) Gj (x), 37 Chứng minh Theo [13], hàm tạo cho q (n) cho ∞ X n q (n)x = n=0 ∞ Y (1 + xan ), |x| < (3.7) n=1 Mặt khác, |x| < 1/ρ theo [13] rõ ràng hàm tạo chuỗi Padovan có dạng đóng ∞ X − x2 Pn x = − x3 − x n=0 n Sau sử dụng phương trình (3.5), từ Định lý 3.2.2 ta suy ∞ Y ∞ k − X x3n (1 + x ) ≤ + Bk (x) + 2n k − x n=1 n=1 an Suy bất đẳng thức chặt chẽ Trong thực tế, Định lý 3.2.2 quan hệ (3.4), suy dãy {Bk (x)}k>0 hoàn toàn đơn điệu giảm với < x < 1/ρ, Một vài trường hợp đặc biệt Định lý 3.2.4 dễ dàng suy Vì vậy, k ∈ {1, 2, 3}, ta có: ∞ ∞ Y x3 x8 X x3n an + · + (1 + x ) < + · − x3 ) (1 − x4 ) − x (1 − x n=1 − x2n n=1 ∞ x3 X x3n + + 4n 61200 n=1 43n − 4n n=1 >1+ ∞ X n=1 43n − 4n Với < x < ta có nhận xét dãy {Ak (x)}k>0 đơn điệu tăng ngặt Trong phép cộng, Định lý 3.2.4 3.2.5 viết sau: Định lý 3.2.6 Cho k1 k2 số nguyên dương Với < x < 1/ρ, ta có: Ak1 (x) + ∞ X n=1 ∞ ∞ Y x3n k2 − X x3n an < (1 + x ) < + B (x) + k2 − x2n n=1 k2 n=1 − x2n Trường hợp k1 = k2 = x = 1/4 định lý đọc là:  ∞ ∞  X Y 37 1 1+ + < 1+ a 2227680 n=1 43n − 4n n=1 4n ∞ 2X 61259 + j=1 Suy điều phải chứng minh Dãy {Ck (x)}k>0 đơn điệu giảm ngặt < x < 1/ρ với k ∈ {1, 2, 3, 4, 5} , lưu ý đồng thức Ck (x) = k(1 + Bk (x) − Ak (x)), < x < 1/ρ Từ (3.1), suy đồng thức sau k   X k Pn−2k−j = Pn , j j=0 (3.8) n, k số nguyên không âm cho n ≥ 3k theo (3.3) (3.4) (với k = 1) suy với n ≥ 3k, ta có: k   X k q (n − 2k − j) ≤ Pn j j=0 (3.9) 41 Định lý giới thiệu họ vô hạn cận cho hàm tạo số lượng phân hoạch thành phần lẻ lớn Định lý 3.2.9 Gọi k số nguyên dương Với < x < 1/ρ, ta có: ∞ Y − x2 an (1 + x ) < − k 3k−1 X k x2k (1 + x) (1 − x2 − x3 ) x2k (1 + x) n=1 (Pn − Sn,k )xn , n=0 Sn,k k   X k = q (n − 2k − j) j j=0 Chứng minh Trước tiên, ta lấy hàm tạo cho Sn,k , ta có: ∞ X  ∞ X k   X k Sn,k xn = q (n − 2k − j) xn j n=0 n=0 j=0 X ∞ k    X  k j n q (n − 2k)x = x j j=0 n=2k Vì ∞ X n 2k k Sn,k x = x (1 + x) n=0 ∞ Y (1 + xan ), |x| < n=1 Định lý 3.2.10 Gọi k số nguyên không âm Với < x < 1/ρ, ta có: x3n (1 + x ) − 2n n=1 n=1 − x 3k P − x2 < − (Pn − Tn,k ) xn , k k x2k (1 + x) (1 − x2 − x3 ) x2k (1 + x) n=0 ∞ Q ∞ P an đó: Tn,k = k   X k j=0 j q (n − 2k − j) − k   X k với Q01 (n) = cho n không dương j=0 j Q0 (n − 2k − j), 42 Chứng minh Với trường hợp k = (3.3) (3.4) ta có: 2q (n) − Q01 (n) ≤ P (n), n > Hệ 3.2.11 Giả sử k bậc nguyên tố Với k > n ≥ 3k −2, ta có:  n+k  + (−1) n + k − Q0k (n) = − δ0,(n−k) 2k − mod 2k − δ0,(n−k) mod 2, δi,j ký hiệu Kronecker delta Chứng minh Ta có   ∞ X xk + (−1)n+k n + k − n
, x = ) − x2(k−1) 2 (k − 1) (1 − x n=0 Mặt khác từ ∞ X = xkn , k 1−x n=0 ta suy |x| < ∞ X xk = δ0,(n−k) − xk xk+2 = − x2 n=k ∞ X δ0,(n−k) n mod 2k x , |x| < n mod 2k x , n=k+2 x3k−2 − x2(k−1) ∞ X = δ0,(n−3k+2) = n=3k−2 ∞ X n=3k−2 n mod (2k−2) x + (−1)n+k · δ0,(n−3k+2) mod (2k−2) · xn |x| < |x| < 43     ∞ X + (−1)n+k n − 3k + n − − 3k − = − xn 2k − 2k − n=3k−2     ∞ X + (−1)n+k n+k−2 n+k−3 − xn , |x| < 1, = 2k − 2k − n=3k−2 đó, ta có: δ0,n  n−1 = − k k jnk mod k  Trường hợp k = hệ đưa bởi: − (−1)n j n k Q3 (n) = − δ0,(n−3) mod − δ0,(n−1) mod 2, n ≥ Bởi cách này, trường hợp k = theo (3.3) (3.4) ta có: 3 + (−1)n j n k − (−1)n q (n) ≤ Pn + (τ0 (n)−1)+ − δ0,(n−3) mod 4 4 n≥7 Nó vấn đề mở đưa công thức cho Q0k (n) k bậc nguyên tố Định lý 3.2.12 Với |x| < 1, ta có: ∞ X n=1 ∞ X x3n − x4n+1 2n2 +n = · x 2n ) (1 − x2n+1 ) − x2n (1 − x n=1 Chứng minh Theo [8], ta có: ! ∞ ∞ ∞ n X X X an q kn n2 = a + (a + a ) q q , |q| < n n n+k n − q n=1 n=1 k=1 Trong mối quan hệ này, với an thay xn q thay x2 , ta có: ∞ X n=1 ! ∞ ∞ X X
x3n n n n+k 2kn 2n2 = x + x + x x x − x2n n=1 k=1 44 = ∞ X 1+ n=1 ∞  X ∞ X k=1 x2nk + ∞ X ! x(2n+1)k x2n +n k=1     1 2n2 +n = 1+ − + − x − x2n − x2n+1 n=1  ∞  X x2n+1 x2n 2n2 +n + = 1+ x − x2n − x2n+1 n=1 = ∞ X n=1 − x4n+1 2n2 +n · x (1 − x2n ) (1 − x2n+1 ) Đó điều phải chứng minh 45 Kết luận Luận văn đạt kết sau: ˆ Giới thiệu kiến thức dãy số Padovan, trình bày với mục đích cung cấp kiến thức quan trọng dãy số Padovan, công thức hàm sinh công thức Binet dãy số Padovan ˆ Nghiên cứu phép phân hoạch số nguyên từ biểu diễn số Padovan dạng hệ số đa thức phân hoạch nguyên n thành phần lẻ ˆ Nghiên cứu số đồng thức bất đẳng thức dãy số Padovan 46 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Hồng Hạnh, Hàm phần nguyên toán sơ cấp, Luận văn thạc sĩ, Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Người hướng dẫn: PGS TS Tạ Duy Phượng (2010) Tiếng Anh [2] C Ballantine, M Merca (2014), “Inequalities involving the generating function for the number of partitions into odd parts”, arXiv:1407.5552v2 [3] C Ballantine, M Merca (2016), “Padovan numbers as sums over partition into odd parts”, Journal of inequalities and Applications, DOI 10.1186/s13660-015-0952-5 [4] T.H Garland (1987), Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, Dale Seymour Publications [5] T Goy (2018), “Some Families of Identities for Padovan Numbers”, Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society, Vol 21, No 3, pp 413-419 47 [6] V.J.W Guo (2015), “Proof of a conjecture of Mircea Merca”, J Number Theory, 147, pp 590-593 [7] F.T Howard (2002), “Applications of Fibonacci numbers”, Proceedings of the 10th International Research Conference on Fibonacci Numbers and Their Applications Held, Northern Arizona University, Vol [8] D.E Knuth (1997), The art of computer programming In: Sorting and Searching, 2nd edn., Addison-Wesley [9] T Koshi (2007), Elementary Number Theory with Applications, 2nd edn, Academic Press [10] M Merca (2014), “A generalization of the symmetry between complete and elementary symmetric functions”, Indian J Pure Appl Math., 45, pp 75-89 [11] M Merca (2014), “New upper bounds for the number of partitions into a given number of parts”, J Number Theory, 142, pp.298-304 [12] R Padovan, D.H van der Laan (1994), Modern Primitive, Architectura and Natura Press [13] N.J.A Sloane (2014), “The on-Line Encyclopedia of Integer Sequences”, published electronically at http://oeis.org [14] I Stewart (1996), “Tales of a neglected number”, Sci Am., 274, pp 102-103 [15] N Yilmaz, N Taskara (2013), “Matrix Sequences in terms of Padovan and Perrin Numbers”, https://doi.org/10.1155/2013/ 941673