Kián thực cỡ sð
Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp cao
1.3.1 H m ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵn ành thực Kazorati DĐu hiằu nhên biát phử thuởc tuyán tẵnh
1.3.2 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp n thuƯn nhĐt
1.3.3 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh thuƯn nhĐt hằ số hơng1.3.4 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt
MậT VI ÙNG DệNG CếA PHìèNG TRNH
Mởt số ựng dửng khĂc
CH×ÌNG1 KIN THÙC CÌ SÐ
1.1 KhĂi niằm vã sai phƠn
X²t h m số mởt bián thỹc y(t) v h >0. ành nghắa 1.1.1 Biºu thực:
∆y(t) = y(t+h)−y(t) (1.1) ữủc gồi l sai phƠn hỳu hÔn thự nhĐt hay sai phƠn hỳu hÔn cĐp mởt cừa y(t).
Mở cách tỷ lệ nhiễu, ta xác định tín hiệu m(y(t)) là xác định tần suất xem xét Chú ý rằng trong lý thuyết vi phân, hàm số chính là số gia của đầu số, còn ∆y(t) chính là số gia của hàm số tần suất Trong tài liệu của chúng ta, số hằng còn có thể tản gồi là bước Sai phân hữu hạn cấp cao giúp xác định bội biểu thức.
Vẵ dử 1.1.2 ối vợi n = 2 ta cõ:
= (y(t+ 2h)−y(t+h)−(y(t+h)−y(t)) = y(t+ 2h)−2y(t+h) +y(t). º tiằn lủi v nhĐt quĂn vã m°t logic ta s³ kẵ hiằu ∆ 0 y(t) = y(t) Bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc khổng khõ º chựng minh ữủc sai phƠn hỳu hÔn bêc n l tuyán tẵnh, tực l :
GiĂ trà ∆ n y(t) dạ d ng ữủc biºu diạn qua giĂ trà cừa h m y(t) tÔi cĂc iºm t, t+h, , t+ nh Ta cõ ữủc cổng thực sau Ơy:
Ta i chựng tọ cổng thực trản bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc.
Hiºn nhiản vợi n = 1 cổng thực (1.3) cõ dÔng ∆y(t) = −y(t) +y(t+ h), chẵnh l (1.1) GiÊ sỷ (1.3)thọa mÂn khi ối vợi sai phƠn hỳu hÔn cĐp n−1, ta câ:
(−1) n−k−1 C n−1 k y(t+kh). Ð sè h¤ng thù nh§t ta °t k+ 1 = m, khi â: n−1
(−1) n−m C n−1 m−1 y(t+ mh), v lÔi viát m := k, ta nhên ữủc biºu thực P n k=1
M°t khĂc ta lÔi cõ C n−1 k−1 +C n−1 k = C n k v C n−1 0 = C n−1 n−1 = 1 Do õ cổng thực cuối ta viát ữủc dữợi dÔng:
Nhữ thá cổng thực (1.3) chựng minh rằng trong cổng thực (1.3), ta có thể thấy rõ quy tắc biên đổi của số m = n−k và sự tương đương giữa C n k và C n n−k Khi áp dụng quy tắc này, chúng ta nhận được những kết quả quan trọng trong toán học.
Mởt cĂch ho n to n tữỡng tỹ, bơng phữỡng phĂp quy nÔp toĂn hồc, ta cụng chựng minh ữủc cổng thực: y(t+ nh) n
C n k ∆ k y(t)) (1.5) ành nghắa 1.1.3 Phữỡng trẳnh cõ dÔng:
F(t, y(t), y(t+h), , y(t+nh)) = 0 (1.6) ữủc gồi l phữỡng trẳnh sai phƠn.
Náu trong (1.6) ta biºu diạn cĂc sai phƠn hỳu hÔn bợi cổng thực (1.3) thẳ ta nhên ữủc phữỡng trẳnh:
G(t, y(t), y(t+h), , y(t+nh)) = 0 (1.7) ành nghắa 1.1.4 Phữỡng trẳnh (1.7) ữủc gồi l phữỡng trẳnh sai phƠn c§p n.
Vẵ dử 1.1.5 XĂc ành bêc cừa phữỡng trẳnh sau Ơy:
Do â: ∆ 3 y(t) + ∆ 2 y(t)−∆y(t)−y(t) = y(t+ 3h)−2y(t+ 2h) Khi thay đổi biến τ = t+h, ta có phương trình y(τ +h)−2y(τ) = 0, đây là phương trình sai phân cấp mở Mở rộng hàm liên tục y(t) được gọi là nghiệm của phương trình (1.7) trên miền Ω, nếu thay nó vào phương trình thì ta nhận được nghiệm thực ứng trên miền Ω.
Vẵ dử 1.1.7 H m sốy = 3 t l nghiằm cừa phữỡng trẳnhy(t+2)−9y(t) 0 trản R.
Ró r ng mồi h m số cõ dÔng y(t) = C(t)3 t , vợi C(t) l h m tuƯn ho n vợi chu ký T = 2 cụng l nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho.
Tiáp theo ta s³ luổn giÊ sỷ h = 1 Khi õ phữỡng trẳnh (1.7) cõ dÔng:
G(t, y(t), y(t+ 1), , y(t+n)) = 0 (1.8) ành nghắa 1.1.8 Nghiằm (rới rÔc) cừa phữỡng trẳnh (1.8) tữỡng ựng t¤i iºm t0 ∈ Z + l chuéi sè y0, y1, , yk, sao cho:
G(t 0 +k, y k , , y k+n ) = 0 (1.9) vợi k = 0,1,2, , cỏn Z + l têp cĂc số nguyản dữỡng.
Bằng cách áp dụng định lý Cauchy, ta có thể xác định giá trị y(t) của phương trình (1.7) với điều kiện ban đầu y(t0) = y0, y(t0 + 1) = y1, , y(t0 + n−1) = yn−1 Các giá trị y0, y1, , yn−1 được coi là các giá trị đầu vào cho nghiệm y(t), trong đó t0 được xác định là thời điểm ban đầu.
Náu y(t) là nghiệm liên tục của phương trình (1.7) trên khoảng [t0, +∞), khi y(t0), y(t0 + 1), , y(t0 + k), là nghiệm rời rạc của (1.7) Tiếp theo, ta đặt t0 = 0 Khi nghiệm rời rạc, ta sẽ viết dưới dạng y(t) và thực hiện hiểu lệnh h m n y để xác định các điểm của tiếp.
Chúng ta giỷ sỷ phữỡng trẳnh (1.7) ch¿ cõ thº giÊi ữủc tữỡng ựng ối vợi y(t+ n) v y(t), tực l biºu diạn ữủc dữợi dÔng: y(t+n) = Φ1(t, y(t), y(t+ 1), , y(t+n−1)) (1.10) v y(t) = Φ 2 (t, y(t+ 1), , y(t+n)) (1.11)
Náu h m Φ 1 (t, u 1 , u 2 , , u n ) xác định bài toán và phương trình (1.10) để xác định tối ưu hóa cho mỗi i ∈ Z + Mỗi giá trị của u 1 , u 2 , , u n phải thỏa mãn một nghiệm rõ ràng duy nhất, nếu tồn tại một số t 0 ∈.
Z+, y0, y1, , yn−1 ữủc cho trữợc Lúc õ biºu thực yn+k = Φ1(t0 + k, y k , y n+k−1 ) biºu diạn cổng thực truy hỗi, º thổng qua õ ra xĂc ành ữủc y n , y n+1 ,
Tiáp theo, º i án khĂi niằm iºm duy nhĐt nghiằm Cauchy cừa phữỡng trẳnh (1.7), ta xem x²t mởt vẵ dử ỡn giÊn sau Ơy:
Trong bài toán Cauchy, chúng ta xem xét nghiệm của phương trình y(t+1) = y²(t) với điều kiện ban đầu y(0) = 1, dẫn đến dãy 1, 1, và y(0) = -1, tạo ra dãy -1, 1, Đối với các điều kiện khác nhau với k ≥ 1, chúng ta có thể thu được nghiệm khác nhau Hơn nữa, điểm (t₀, y₀, y₁, , yₙ₋₁) ∈ Z⁺ × Rⁿ được gọi là nghiệm duy nhất của bài toán Cauchy, nếu tồn tại một hàm ϕ(t) thỏa mãn các điều kiện ϕ(t₀) = ϕ₀, ϕ(t₀ + 1) = ϕ₁, , ϕ(t₀ + n-1) = ϕₙ₋₁.
(yk, yk+1, , y k+n−1 ) 6= (ϕ 1 , ϕk+1, , ϕ k+n−1 ), tực l vợi cĂc iãu kiằn khĂc nhau thẳ sinh ra cĂc nghiằm khĂc nhau.
Phương trình sai phân có vai trò quan trọng trong việc mô hình hóa các hiện tượng thực tế Một ví dụ điển hình là phương trình y''(t + 1) + y''(t) + 1 = 0, thể hiện mối quan hệ giữa các giá trị tại các thời điểm khác nhau Việc giải quyết phương trình này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về động lực học của hệ thống.
Náu nhữ ỏi họi h mΦ2(t, u1, u2, , u2) và phải cừa phương trình (1.11) thỏa mãn các điều kiện tương tự như các điều kiện đối với Φ1(t, u1, u2, , u2) để đảm bảo tính duy nhất của bài toán Cauchy Định nghĩa 1.1.11 nêu rõ rằng D là một tập con của không gian n+1 chiều.
R n+1 v mối iºm cừa D ãu l iºm tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa b i toĂn Cauchy (1.7) H m y(t) = y(t, C 1 , , C n ) ữủc gồi l nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.7), náu thọa mÂn hai iãu kiằn:
1 Vợi mồi giĂ trà cho trữợc C1, , Cn h m  cho l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.7),
2 Mồi nghiằm cừa b i toĂn Cauchy (1.7) vợi iãu kiằn Ưu ữủc lĐy tứ
D cõ thº nhên ữủc tứ nghiằm tờng quĂt mởt cĂch duy nhĐt.
1.2 PhƠn loÔi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt
∆y(t) =f(t), t ∈ Ω 0 (1.12) hay y(t+ 1) = y(t) +f(t) °t v o phữỡng trẳnh cuối lƯn lữủt cĂc giĂ trà t = t0, t = t0 + 1, , t = n− 1, rỗi cởng dỗn lÔi v tián h nh ời bián n:= t ta nhên ữủc: y(t) = C + t−1
X k=t 0 f(k), C = y(t0) (1.13) º ỵ rơng phữỡng trẳnh vi phƠn cĐp mởty 0 (x) = f(x) tữỡng ựng vợi (1.13) câ d¤ng: y(x) =C +
BƠy giớ ta tián h nh xem x²t phữỡng trẳnh: y(t+ 1) = y(t)p(t), p(t) 6= 0, t ∈ Ω 0 (1.14) LƯn lữủt °t v o (1.14) cĂc giĂ trà t= t0, t = t0+ 1, , t = n−1 rỗi nhƠn vá vợi vá, sau õ thỹc hiằn ời bián n := t, ta nhên ữủc: t
Náu y(t 0 ) 6= 0 thẳ tứ iãu kiằn p(t) 6= 0, t ∈ Ω 0 suy ra y(t) 6= 0, t ∈ Ω 0 GiÊn ữợc cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh (1.15) cho Qt−1 k=t 0y(k) 6= 0, ta nhên ữủc cĂc nghiằm khổng suy bián c ua phữỡng trẳnh (1.14). y(t) =y(t0) t−1
Y k=t 0 p(k), y(t0) 6= 0 (1.16) °t y(t 0 ) := C ta nhên ữủc nghiằm tờng quĂt cừa (1.15) cõ dÔng: y(t) = C t
Chú ý rằng, trong trường hợp phương trình (1.17) chứa các nghiệm thực của phương trình (1.15) khi C = 0, ta sẽ gặp lối cổng thực tương ứng với nghiệm của phương trình vi phân cấp một với biến số phân ly y = p(x)y Trong trường hợp này, ta có được cổng thực tương ứng như sau: y(x) = Ce.
Phữỡng trẳnh (1.14) cỏn ữủc coi l trữớng hủp riảng cừa phữỡng trẳnh sau ¥y: y(t+ 1) = p(t)y(t) + f(t), p(t) 6= 0, t ∈ Z + (1.19)
Bài viết này đề cập đến việc xây dựng nghiệm cho phương trình trạng thái sử dụng phương pháp Lagrange Chúng ta sẽ xem xét phương pháp xây dựng nghiệm cho phương trình trạng thái, còn được gọi là phương pháp biến thiên hướng số hoặc phương pháp Lagrange Trong đó, C trong (1.19) được coi như một hàm phụ thuộc vào t, với biểu thức cụ thể là y(t) = C(t) t−1.
Y k=t 0 p(k) (1.20) cho ta nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.19) °t (1.20) v o (1.19) ta nhên ữủc:
Phữỡng trẳnh cuối cõ dÔng (1.12), do õ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh trản cõ thº viát ữủc dữợi dÔng (1.13) :
! −1 °t biºu thực nhên ữủc ối vợi C(t) v o (1.20) ta thu ữủc: y(t) t−1
Ta tián h nh xem x²t thảm mởt phữỡng phĂp nỳa º xĂc ành nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.19), cõ tản gồi l phữỡng phĂp Becnulli Ta s³ i tẳm y(t) dữợi dÔng y(t) =u(t)v(t) Ta cõ: y(t+ 1) = u(t+ 1)v(t+ 1) = p(t)u(t)v(t) +f(t), u(t+ 1)∆v(t) =p(t)u(t)v(t)−u(t+ 1)v(t) +f(t).
Ta chồn h mu(t)sao chou(t+1) = u(t)p(t), vẵ dử nhữu(t) =Q t−1 k=t
0p(k). Cỏn h m v(t) ữủc xĂc ành tứ phữỡng trẳnh u(t+ 1)∆v(t) = f(t) Hay
0p(k) −1 , do dõ theo (1.13) ta nhên ữủc: v(t) = C + t−1
Cổng thực cuối cùng có thể được mô tả bằng phương trình vi phân tĩnh với dạng y' = p(x)y + f(x), trong đó y(x) được tính bằng hàm mũ Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các biến số và cách chúng tương tác trong hệ thống.
Trong nghiên cứu này, chúng ta sẽ xem xét một phương trình sai phân cấp mở Riccati có dạng: y(t+1)y(t) + ay(t+1) + by(t) + c = 0, với a, b, c là các hằng số Bằng cách thực hiện phép biến đổi y(t) = u(t) + δ, trong đó δ là một hằng số, ta nhận được phương trình mới: u(t+1)u(t) + (a+δ)u(t+1) + (b+δ)u(t) + δ² + (a+b)δ + c = 0 Phân tích này sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự phát triển của các phương trình sai phân trong bối cảnh nghiên cứu hiện tại.
LĐy δ chẵnh l giĂ trà nghiằm cừa phữỡng trẳnh δ 2 + (a + b)δ + c = 0.Nghiằm tƯm thữớng cừa phữỡng trẳnh u(t) = 0 tữỡng ựng vợi nghiằm y(t) = δ Náu cho y(t) 6= δ, thỹc hiằn ph²p ời bián v(t) = u(t) 1 = y(t)−6 1
Khi õ ối vợi v(t) ta nhên ữủc phữỡng trẳnh:
(b+δ)v(t+ 1) + (a+δ)v(t) + 1 = 0 náu b+δ 6= 0 v a+δ 6= 0 thẳ Ây chẵnh l phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt Náu b+ δ = 0 thẳ ta cõ ữủc c = ab, tữ a+δ = 0 ta cụng nhên ữủc c = ab.
Phữỡng trẳnh (1.22) trong trữớng hủp n y (a+δ = 0) cõ dÔng y(t+ 1) y(t) +ay(t+ 1) +by(t) +ab = 0, hay [y(t+ 1) +b][y(t) +a] = 0 Ph÷ìng trẳnh nhên ữủc ch¿ cõ hai nghiằm y(t) = −b v y(t) =−a.
Phương trình 1.2.1 mô tả hệ thống với y(t+1)y(t) + 2y(t+1) + y(t) - 4 = 0, trong đó ta tìm nghiệm cho biến y(t) thông qua việc đặt δ = -4 Khi giải phương trình δ^2 + 3δ - 4 = 0, ta tìm được δ = 1, từ đó thu được phương trình u(t+1)u(t) + 3u(t+1) + 2u(t) = 0 Với điều kiện u(t) = 0, ta có nghiệm y(t) = 1 cho phương trình ban đầu Tiếp theo, khi thay thế u(t) bằng e(t), ta nhận được phương trình mới với điều kiện y(t) khác 1.
2. Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh n y tẳm ữủc theo cổng thực (1.21), v °t v o t0 = 0 Ta cõ ữủc: v(t)
− 1 5 Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh ban Ưu ữủc cho bði cổng thực: y(t) = 1
C − 3 2 t − 1 5 + 1 º ỵ rơng nghiằm y(t) = 1 cõ thº nhên ữủc mởt cĂch hẳnh thực khi trong cổng thực nghiằm tờng quĂt ta cho C = ∞.
Vẵ dử 1.2.2 GiÊi phữỡng trẳnh: p(t)y(t+ 1) +q(t)y(t+ 1)y(t)−y(t) = 0, p(t) 6= 0, t ∈ Z + v xem x²t trữớng hủp riảng khi p(t) = 2, q(t) = 3.
Chú ỵ rơng y(t) = 0 l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh  cho Tiáp theo ta °t v(t) = y(t) 1 (tực l i tẳm nhỳng nghiằm y(t) 6= 0 ), nhên ữủc phữỡng trẳnh v(t+ 1) = p(t)v(t) +q(t) vợi nghiằm tờng quĂt l v(t) t−1
Do õ nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh  cho l y(t) = 1 v(t)
−1 v nghiằm y(t) = 0 Trong trữớng hủp p(t) = 2, q(t) = 3 ta cõ ữủc: y(t) = C2 t −3 −1
1.3 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp cao
1.3.1 H m ởc lêp tuyán tẵnh v phử thuởc tuyán tẵnh. ành thực Kazorati DĐu hiằu nhên biát phử thuởc tuyán tẵnh ành nghắa 1.3.1 CĂc h m số ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) ữủc gồi l phử thuởc tuyán tẵnh trản têp Ω, náu tỗn tÔi bở số C 1 , C 2 , , C n khổng ỗng thới bơng khổng º cho ¯ng thực sau ữủc thọa mÂn:
C1ϕ1(t) +C2ϕ2(t) + + Cnϕn(t) = 0, t ∈ Ω. ành nghắa 1.3.2 CĂc h m số ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) ữủc gồi l ởc lêp tuyán tẵnh trản têp Ω, náu tứ ¯ng thực
Ta lữu ỵ mởt v i tẵnh chĐt hiºn nhiản sau Ơy cừa cĂc h m phử thuởc tuyán tẵnh:
1 Náu trong cĂc h m ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) cõ h m l khổng thẳ cĂc h m  cho phử thuởc tuyán tẵnh.
2 CĂc h m ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) l phử thuởc tuyán tẵnh khi v ch¿ khi cõ mởt h m biºu thà dữợi dÔng tờ hủp tuyán tẵnh cừa cĂc h m cỏn lÔi.
3 Náu trong cĂc h m ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), , ϕ n (t) cõ k h m phử thuởc tuyán tẵnh (k < n), thẳ cĂc h m ( n h m) l phử thuởc tuyán tẵnh.