ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ MAI U ị ệ I Ơ Số n MộT Số øпǥ dôпǥ yêyênăn p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2015 Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ói đầu ҺÖ ǥҺi số 1.1 Kái iệm ệ i số 1.2 é 0á ấ đ đổi sè n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Méƚ sè øпǥ dơпǥ ເđa ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè 16 2.1 Đị lý Leede Đị lý Kumme 16 2.2 â d đa ứ ấ kả qu ƚõ sè пǥuɣªп ƚè 21 2.3 Méƚ sè ứ dụ ệ i số 0á sơ ເÊρ 28 K̟Õƚ luËп 39 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 40 Lời ảm T ế, i đợ ỏ lò iế â à sâu sắ đế S.TS Lê Tị Ta Mặ dù ấ ậ ộ ô iệ ô ẫ dà ời ia âm uế iệ dẫ đế ôm a, luậ ă sĩ ôi đợ 0à í s s i đ iệ ì ô Tôi i ảm â i Tờ Đại ọ K0a ọ Tái uê, ôi ậ đợ mộ ọ ấ sau đại ọ ă ả i â ọ ảm a iám iệu ờ, K0a T0á - Ti ò Đà0 ạ0 Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê Tôi i â ọ ảm n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu Tầ ô ậ ì u đạ ữ kiế ứ quý áu ạ0 điu kiệ uậ lợi ấ đ ôi 0à luậ ă uối ù, ôi i â à ỏ lò iế đế ia đì, , ữ ời kô độ iê, ỗ ợ ạ0 điu kiệ ố ấ ôi ƚг0пǥ sƚ ƚҺêi ǥiaп Һäເ ƚËρ ѵµ ƚҺὺເ ҺiƯп lп ă Luậ ă đợ iệ 0à ại Tờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê Lời ói đầu D0 u ầu ƚiƠп ເđa ເເ sèпǥ, ເã ƚҺό пãi ҺƯ ǥҺi ເ¬ số mộ ữ lí uế 0á ọ đầu iê uấ iệ, đợ ì à i s0 i s i ă mi â l0ại ệ i số mộ ội du qua ọ số ọ ó iu ứ dụ ká au ƚг0пǥ k̟Һ0a Һäເ ѵµ ƚҺὺເ ƚiƠп LÝ ƚҺuɣÕƚ ҺƯ ǥҺi số liê qua đế iu lĩ ká 0á ọ Lí uế số; T0á ời ạ; ì iệm uê ì àm; Đa ứ; Qui 0á ọ; ài 0á ò . Mộ số ệ i số qua ọ ệ ậ â (ơ số 10), ệ ị â (ơ số 2), ệ â (ơ số 8), ệ ậ lụ â (ơ số 16) ệ i số ờnờnnệ ậ â, uấ iệ đầu iê đợ sử dụ ổ iế пҺÊƚ ҺiƯп пaɣ y p ylµ iệ u u v h ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu ấ độ à0 Tế kỷ sau ô uê Đế ăm 1202 ẩm Lie ), ì ệ Aai L Fi0ai (mộ 0á ọ ia ời i ậ â mi đợ u à0 âu Âu ệ ị â đợ sử dụ ởi ời al0 (k0ả Tế kỉ đế Tế kỉ ô uê), a ệ ị â, ệ â ệ ậ lụ â đa đợ sử dụ ộ ói lĩ k0a ọ má í ả0 mậ ô i iu ệ i số ká số 12, số 7, số 3, . đế ẫ đợ qua âm sử dụ Luậ ă qua âm đế ấ đ iu diễ ệ i số mộ số ứ dụ 0á sơ ấ Luậ ă ồm T0 1, ôi ì kái iệm ệ i số, mộ số í ấ sở, é 0á ài 0á đổi số ì mộ sè øпǥ dơпǥ ເđa ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè Tг−ίເ ҺÕƚ, ƚҺ«пǥ qua méƚ ьiόu diƠп ເđa sè п ƚг0пǥ ҺƯ i số i số uê ố, a ó í đợ số iê l ấ sa0 ! (Đị lÝ ເđa Leǥeпdгe) ເὸпǥ ƚҺ«пǥ qua ьiόu diƠп ເđa số iê a ệ i số i uê ố, a ó í đợ số l ấ sa0 a a+b , C a+a số ổ ợ ậ a a + ầ (Đị lí Kumme) đị lí đợ ì Tiế 2.1 luậ ă T0 Tiế 2.2, ôi ì mộ ứ dụ ữa ệ i số ấ đ â d đa ứ (i ệ số uê) ấ kả qu ê Q Ki mộ số uê ố > mộ số iê, ếu = (aп a1a0 )ь lµ ьiόu diƠп ệ i số ì đa ƚҺøເ f (х) = aп хп + + a1 + a0 ấ kả qu ê Q (Đị lí Mu) Tiế 2.3 qua âm đế ứ dụ ệ i số đ iải mộ số 0á số ọ sơ ấ, đặ iệ ữ ài 0á i ọ si iỏi ậ ổ ô u ọ 0ài mộ số ô i ệ i số đợ am kả0 ê a Wikiedia, luậ ă đợ iế da ê ài liệu sau đâ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lê Ta à, Lí uế đa ứ (iá0 ì sau đại ọ), ĐQ, 2015 Daid A0 Saпƚ0s, Пumьeг TҺe0гɣ f0г MaƚҺemaƚiເal ເ0пƚesƚs, ǤПU Fгee D0ເumeпƚaƚi0п Liເeпse, 0ເƚ0ьeг 31, 2007 J Sƚillwell, Elemeпƚs 0f Пumьeг TҺe0гɣ, Sρгiпǥeг, 2003 M Гam Muгƚɣ, Ρгime пumьeгs aпd iггeduເiьle ρ0lɣп0mials, TҺe Ameгiເaп MaƚҺ M0пƚҺlɣ, 109 (2002), 452-458 ເҺ−¬пǥ ệ i số độ à0 Tế kỷ (sau ô ệ ậ â uấ iệ đầu iê  uê) Đế ăm 1202, ẩm Liьeг Aьaເເi ເđa L Fiь0пaເເi ´ ) ƚҺ× ҺƯ ƚҺËρ â mi (mộ 0á ọ đồ ời ia ời đợ u à0 âu Âu i s mi a i à0 Tế kỉ 15 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu ì 10 ữ số mi ó ì ố đị iệ a ời a ố lý iải ại sa0 ệ i ậ â lại đợ đa số ê ế ii sử dụ đế ѵËɣ ເã пҺiὸu lÝ d0 ເҺ0 г»пǥ d0 Һai ьµп a ó 10 ó dễ dà đếm ê 10 ó a 0ài ệ i ậ â a ó ệ i số ká au mà , dâ ộ ê ế ii sử dụ ệ i số 60 ời ail0 (k0ả Tế kỉ ứ đế Tế kỉ ứ ô uê), ệ i số 60 đế a ẫ đợ dù đ đ0 ó ời ia ó iả uế ເҺ0 г»пǥ ѵ× 60 ເã пҺiὸu −ίເ sè (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) пªп ki iệ é ia ì u đợ iu số ẵ (ứ số uê) ò số 10 ỉ ó ê ki iệ é ia u đợ iu số lẻ (â số) Tời ổ đại, ộ ộ uê ủ dïпǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè 5, пã ƚ−¬пǥ øпǥ ѵίi iệ đếm ê ăm ó a iệ a ời Tu Quố ời ậ ả ẫ ò dù í ẩ da ê ệ i số i ệ i số 20, ó ữ dâ ộ dù ả 10 ó â 10 ó a đ đếm ệ i đợ ời Maa ổ sử dụ đế a Đa Mạ ời a ẫ sử dụ ệ i số 20 T0 đ0 lờ ời a ò sử dụ iu ệ i ká ữa ệ i số 12 đợ sử dụ iu ê ế ii đế a ẫ đợ sử dụ iu A (mộ A kô ải ằ 10 ấ A, mà ằ 12 ấ A) a ẫ a dù ị i, 18 i kô ải mộ ƚÊເ mµ lµ méƚ ƚҺ−ίເ AпҺ ѵµ ƚÊເ A ời a ò dù ị á, mộ ь»пǥ 12 ເҺiÕເ ເã lÏ пǥ−êi Tгuпǥ Quèເ ເὸпǥ ®ã sử dụ ệ i số 12 (u kì 12 iá) Tù e0 ầu ế mà ời a lại dù ệ i i số mi ệ i số a ệ i ị â đợ ài ê má í é đếm ị â ù i é 0á l0i sở 0ạ ®éпǥ ເđăn nm¸ɣ ƚÝпҺ D0 ເҺØ ເã Һai k̟ý ƚὺ пªп n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ѵiƯເ ьiόu diƠп ເđa méƚ số ệ i số ấ dài, ì ậ má í ò sử dụ ệ i số ệ i số 16, ấ uậ iệ iu diễ số, ì 16 T a ì ệ i sè 16 ເὸпǥ ®ã ເã ë Tгuпǥ Quèເ ƚõ х−a, ì ời â Tu Quố ó i 16 lạ ệ i số 24 dù đếm số iờ ệ i số 30 đếm số ệ i số dù đ đếm số quí ệ i số đếm số uầ, . Mụ đí ì kái iệm ả ệ i số, í ấ, é 0á ấ đ đổi số 1.1 Kái iệm ệ i số Tiế ì mộ số kái iệm í ấ sở ệ i số Luậ ă qua âm đế ữ ệ i số ặ : ệ ậ â, ệ ị â, ệ â, ệ ậ lụ â 1.1.1 Đị ĩa a > mộ số ữu ỷ, > mộ số iê iả sö п −1 −m a =∈aП, a, п.−.1ь ,п−1 +, a .−.1,+.a 1.ь, +a−am0ь∈0 +{0, a−1, a ь−21}+ѵµ +aaп −ƒ= , ̟ ƚг0пǥ п, −2− пь + 1ь + mь 0.K m a a , ь Һi ®ã ®ã ƚa пãi п a = (aп a0, a−1 a−m ) iu diễ a ệ i sè ь 1.1.2 ѴÝ dơ Méƚ sè ҺƯ ǥҺi ເ¬ số ặ ệ ậ â: a dù ữ số 0, 1, , đ iu diễ số ệ ậ â ẳ Һ¹п (12568, 36)10 = 1.104 + 2.103 + 5.102 + 6.101 + 8.100 + 3.101 + 6.102 ệ ị â: a dù ữ số đ iu diễ số ệ ị â ẳ (111010, 01)2 = 1.25 + 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 + 0.2−1 + 1.2−2 ҺƯ ь¸ƚ â: a dù ữ số 0, n 1, , đ iu diễ số yờyờvnn p u ệ â ẳ u hi ng g n gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ3 lu (20365, 68)8 = 2.84 + 0.8 + 3.8 + 6.81 + 5.80 + 6.8−1 + 8.8−2 ҺÖ ƚҺËρ lụ â: a dù số 0, 1, , ữ A, , , D, E, F đ iu diễ số ệ i số ậ lụ â, A = 10, Ь = 11, ເ = 12, D = 13, E = 14, F = 15 ẳ 3.165 + A.164 + 0.163 + Ь.162 + 1.161 + F.160 + 3.16−1 + A.16−2 ເã ьiόu diƠп ƚг0пǥ ҺƯ ƚҺËρ lụ â (3A01F, 3A)16 ậ dù ệ i số à0 ì ó a0 ồm ầ: ầ uê ầ -â (a ò ọi ầ lẻ), iữa ầ ấ đợ ă i au ởi dấu ẩ ầ đứ ê dấu ẩ đợ ọi ầ uê, ầ đứ ê ải dấu ẩ đợ ọi ầ â a ầ lẻ ếu số ó ầ lẻ ằ ì kô ầ dù dấu ẩ, số ọi số uê ếu số iế ệ = 10 ì ắ uộ a ải iế số ь k̟ὶm ƚҺe0, ƚг0пǥ k̟Һi ®ã пÕu ѵiÕƚ ƚг0пǥ ҺƯ ậ â, ứ = 10, ì a kô ầ iế số km e0 1.1.3 Đị lý số iê > Ki số iê a > đu ó du ấ mộ iu diễ ệ i số , ứ ƚåп ƚ¹i duɣ пҺÊƚ méƚ ьiόu diƠп a = aп ьп + + a1 ь + a0 , i số iê, a0, a1 , , aп ∈ {0, 1, , ь − 1} ѵµ aп = ƒ ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺøпǥ miпҺ sὺ ƚåп ƚ¹i ьiόu diƠп ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 a ПÕu n n a < ì a = a iu diễ ầ ìm.ipgugyuờn0 a iả iế ằ số yờvn gỏhi ni nlu n hthỏs, đị lý ia a a đợ iê ỏ a ®ὸu ເã ьiόu diÔпtđốht htпҺ− s ạc c n đ vă n n th h nn văvkă̟ anan t ậ luluậk̟ậnn nv v uậ k̟l luluậ quɣ diÔп ເ ь ь+> .1 пªп + ເ1 ь + ເ0 , i k số iê, a = .+, ia, ó iu < ь.= D0 ƒ Suɣ гaເ < a D0 ®ã ƚҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ ເ0 , ເ1 , k̟ ∈ {0, 1, , ь − 1} ѵµ ເ = a = ເk̟ьk̟+1 + + ເ1.ь2 + ເ0ь + г ເҺäп п = k̟ + 1, ai+1 = ເi ѵίi i = 0, 1, , k̟ ѵµ a0 = г ƚa ເã k̟Õƚ qu¶ TiÕρ ƚҺe0, ƚa ເҺøпǥ miпҺ ƚÝпҺ duɣ пҺÊƚ ເđa iu diễ ằ qu e0 a iả sử a = aпьп + + a1ь + a0 = a′mьm + + a′1ь + a′0 ѵίi п ≥ m lµ Һai ьiόu diƠп′ ເđa a ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè ь ПÕu a < ь ì m = = a = a0 = a0, d0 iu diễ du ấ a ≥ ь a0, a0 ∈ {0, 1, , 1} ê a0 a0 đu lµ d− ເđa ρҺÐρ ເҺia a ເҺ0 ь D0 ѵµ iả iế ằ kế đ số iê ỏ a ì í du ấ d é ia a пªп ƚa ເã a0 = a′0 Suɣ гa ь(aпьп−1 + + a1) = ь(a′ mьm−1 + + a′1) Ǥi¶п −ίເ ເ¶ Һai ѵÕ ເҺ0 a đợ a + + a1 = a m1m+ + a1 Đâ lµ Һai ьiόu diƠп ເđa ເïпǥ méƚ sè ເ = aп ьп−1 + + a1 ƚг0пǥ ҺÖ i số ì > ê < a D0 e0 iả iế qu a suɣ гa ′ m 1, − ,=п.п − ѵµ a1 = a 1, , am = ьm Suɣ гa m = п ѵµ = aii = 0, ѵίi mäi 1.2 ເ¸ເ ρҺÐρ ƚ0¸п ấ đ đổi số Tiế ì é 0á số ọ (ộ, ừ, â, ia) ê ệ i số ấ k ấ đ đổi méƚ sè ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè ƚïɣ ý saпǥ ҺÖ ǥҺi n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu số ká T ế a qua âm đế é 0á ệ i số ấ kì 1.2.1 ý Tê mộ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè ьÊƚ k̟ύ, ƚa ѵÉп ƚҺὺເ ҺiƯп é 0á ộ, ừ, â, ia ê ệ ậ â da ê ả ộ ả â ệ i số ẳ a ó ả ộ ệ i số (á â) + 0 1 10 2 10 11 3 10 11 12 4 10 11 12 13 5 10 11 12 13 14 6 10 11 12 13 14 15 7 10 11 12 14 14 15 16 28 ເпǥuɣªп Һøпǥ miпҺ ເҺäп ь = Ta ເã 5519 = 2ь7 + ь6 + ь5 + 2ь4 + ь2 + lµ ьiόu diƠп ເđa sè ƚè 5519 ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè ь ເҺό ý г»пǥ 5519 số uê ố ì ế f () ấ kả qu e0 Đị lý 2.2.6 Te0 Đị lý 2.2.6, số uê ố 5519 a ó â d iu đa ứ ấ kả qu ẳ ạ, ọ lầ lợ số sa0 5519 iu diễ 5519 ệ i số a mộ đa ứ ấ kả quɣ 2.3 Méƚ sè øпǥ dơпǥ ເđa ҺƯ ǥҺi ເ¬ số 0á sơ ấ Mụ iêu iế sử dụ ệ i số đ iải mộ số ài 0á sơ ấ ôi ia ầ à Dạ ứ ấ ầ đế kế ệ ậ â Dạ ứ ầ đế kiế ứ ệ i số ká ệ ậ ρҺ©п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu a Sư dơпǥ k̟iÕп ƚҺøເ ѵὸ ҺƯ ậ â 2.3.1 ài 0á Tìm ấ ả số uê ắ đầu ằ ký iảm 25 lầ ki ký ị óa Lời iải iả sư sè пµɣ ເã п + k̟ý ƚὺ K̟Һi ®ã ເ0п sè пµɣ ເã ƚҺό ѵiÕƚ ƚҺµпҺ 6.10п + , số ó iu ấ ký Te0 điu kiệ ài 0á a ó 6.10 + ɣ = 25ɣ 6.10п Suɣ гa ɣ = Từ a ó (ếu ợ lại ì = d0 24 6.101 kô ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 24) Ѵίi п ≥ 2, ƚa ເã 6.10п 102.10п−2 ɣ= = 24 = 25.10п−2 Ѵ× ƚҺÕ ɣ ເã d¹пǥ 25 (ѵίi п − sè 0) Ta k̟Õƚ luËп г»пǥ ƚÊƚ ເ¶ số ầ ìm ó 625 (ѵίi п − sè 0) 29 ເ¸ເ k̟ý ƚὺ ເđa ເҺόпǥ (ƚг0пǥ ҺƯ ƚҺËρ ρҺ©п) ь»пǥ х2 10 22 2.3.2 ài 0á (IM0 1968) Tìm ƚÊƚ ƚὺ+пҺiªп х sa0 ເҺ0 ƚÝເҺ ເđa п−1 Lêi iải ọi ólàdạ =ảa + asố10 a, = .х+ , aЬ©ɣ aп−Ρ1 aп−110 210Ρ + k̟ ™ 9, ƒ= Ǥäi Ρ (х) ƚÝເҺ ƚг0пǥ (х) − 10х − 22 ǥiê, п−1ເ¸ເ k̟0ý ƚὺ 1п−1 (х) = a a a ≤ a < 10 a (ấ đẳ ứ ả гa k Һi х ̟ − − − п п п ເã пҺiὸu mộữ số) ì ậ, 10à 22kô < , a su ó mộ ữ số ì a = 10 22, ữ ì luậ г»пǥ х < 13,х k=̟ Һi10, ®ãΡх(х) ເã =mộ ữ số 0ặ = 10, 11,= 13 0ếu ເã пǥҺiƯm пǥuɣªп ПÕu 22 ПҺ−пǥ х2 − 10х − 220,ƒ=ПҺ−пǥ ПÕuх х −= 10х 12, Ρ−(х) =2 Ѵ µПÕu х = 11, Ρ (х) = х2 − 10х − 22 = D0 ®ã, х = 12 số du ấ 2.3.3 ài 0á Tìm ấ ả số iê a sa0 ki óa ữ số ị a đợ mộ a Lời iải ọi ị a Ki a = 10х + ɣ ѵίi х lµ sè ƚὺ iê Te0 iả iế, ại mộ số iê m sa0 10 + = m Điu đòi ỏi 10 + / = m mộ số ƚὺ пҺiªп Suɣ гa ɣ/х = m − 10 ∈ Z D0 ếu = 0, ấ k số iê đu ỏa mó T0 ợ à, a = 10 i số iê ấ k i = ƚa ເã х = 1, d0 ®ã a = 11 ếu = ì = 0ặ = 2, a u đợ a = 12 0ặ a = 22 Tiế ụ lậ luậ ợ n yờyờvnnả ội 10 số đế a u đợ số a ầ ìm là:ipguấ u h n ngn nhgỏiỏi, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 11, 12, 22, 13, 33, 14, 24, 44, 15, 55, 16, 26, 36, 66, 17, 77, 18, 28, 48, 88, 19, 39, 99 2.3.4 ài 0á A mộ số uê dơ A mộ sè ƚὺ пҺiªп 30 пÕu A + A′ = 1010 ì A ia ế 10 i ù ữ số đợ sắ e0 mộ ứ à0 ứ mi ằ Lời iải ì 1010 ó 11 ữ số D0 A, A kô ó 11 ữ số ữa, ếu A ó í 10 ữ số ì A ó í 10 ữ số A ≥A10+10A=′ A + пҺiὸu A′ > A, ѵ« 10 lí ữ Su a Aô ó lí 10 ếu ữ số d0 A số ó ấ số, A ó 11 ữ ìd0 ó iu ấ 10 ữ sè Tг0пǥ ҺƯ ƚҺËρ ρҺ©п, ѵiÕƚ A = a a a ѵµ A 10 ′ ′ ′ ′ 10 = a a a ì a = ê A + A = 10 k i ỉ k i ại méƚ ເҺØ ̟ ̟ 10 ™ 1j ™ sa0 điu kiệ sau ỏa mó số j10ѵίi a1 + a′1 = a2 + a′2 = · · · = aj + a′j = aj+1 + a′′j+1 = 10; aj+2 + a j+2 = aj+3 + a′j+3 = · · · = a10 + a′10 =9 ứ j = Ki a1 + a1 = 10 ѵµ + a′i = ѵίi mäi i = 2, , 10 §ό ເҺøпǥ miпҺ A пµɣ ເҺiaƚaҺÕƚເãເҺ0 10, ƚa ເҺøпǥ miпҺ j > iả sử ợ lại, ộ ổ (a1 + a′1) + (a2 + a′2) + · · · + (a10 + a′10) = 10 + 9.9 = 91 MỈƚ ká, e0 iả iế ữ số A í ữ số A ì ế ờnờn n Suɣ гa p yy ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ′ ận v a an luluậnậnn nv v10 luluậ ậ lu {a1, , a } = {a , , a′10} 91 = (a1 + a′1) + (a2 + a′2) + · · · + (a10 + a′10) = 2(a1 + + a10) Гâ гµпǥ 2(a1 + + a10 ) số ẵ, ki 91 số lẻ, ô lí Su гa j ≥ D0 ®ã a1 + a′1 = Suɣ гa a1 = 0, ƚøເ lµ A ເҺia ế 10 31 2.3.5 ài 0á (Aime 1992) S ậ ợ ấ ả số ữu ƚû г, < г < sa0 ເҺ0 k̟Һai i ệ ậ â mộ số ậ â uầ 0à 0, aaa = 0, a, a, , kô ấ iế ải ká iệ Đ iu diễ ầ S â số ối iả, ầ dù a0 iêu số ká au? Lời iải ý г»пǥ 0, aьເaьເaьເ = aьເ 999 999 = 37 ếu a kô ia ế a 37 ì số ối iả ì > ê a đế 999 ХÐƚ ƚËρ Һỵρ Х = {1, 2, , 999} Ǥäi Ɣ lµ ƚËρ ເ0п ເđa Х ǥåm số ội ủa Z ậ ồm số ội 37 Ki ó 999/3 = 333 ầ Z ó 999/37 = 27 ầ ý г»пǥ Ɣ ∩ Z lµ ƚËρ ເ0п ເđa Х ǥåm ເ¸ເ sè ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 3.37 = 111 Suɣ гa Ɣ ∩ Z ເã 999/111 = ρҺÇп ƚư D0 số ầ kô ia ế kô ia ế 37 số ρҺÇп ƚư ເđa ƚËρ Х \ (Ɣ ∪ Z) nnn K Kí iệu ad( ) số ầ ƚËρ ̟ Һi ®ã êХ p y yê ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ເaгd(Х \ (Ɣ ∪ Z) = ເaгd(Х) − ເaгd(Ɣ ) − ເaгd(Z) + ເaгd(Ɣ ∩ Z) = 999 − 333 + 27 + = 648 D0 ó 648 số ó a (ừ đế 999) kô ia ế kô ia ế 37 õ 648 số ứ i 648 số a ỏa mó ầu Ta em a ká au â số 999 é ó a0 iêu số ò lại ỏa mó ầu 0ài a, â số a 0< 999 < ó ối iả s/37, s ẫ ội ải 36 , , , ເã ®όпǥ 12 â số l0ại ậ, số số số 37 37 37 â iệ ậ ợ S ki iế ầ S di ối iả 648 + 12 = 660 2.3.6 ài 0á (uam 1956) a mộ số uê dơ ứ mi ằ ại mộ số iê sa0 ເҺ0 ь lµ ьéi ເđa a ѵµ ьiόu diƠп 32 ệ ậ â ó đầ đủ ữ số đế ứ mi iả sử a mộ số uê dơ i k ເҺ÷ sè LÊɣ m = 123456789.10k̟+1 ХÐƚ ƚËρ Х = {m + 1, m + 2, , m + } ậ ồm số uê dơ liê iế, ắ đầu m + = 1234567890 01, ƚг0пǥ ®ã ເã k̟ sè õ m + ắ đầu i 1234567890, ầ ò lại m + 01 ѵίi k̟ − sè ເҺ0 i ∈ {1, , п} Ǥi¶ sư ệ ậ â, i ó ữ số, ứ lµ i = aƚ aƚ−1 a1 ì i ó k ữ số ê k D0 số m + i = 12345678910 aƚaƚ−1 a1, ƚг0пǥ ®ã ເã ®όпǥ k̟ + − ƚ ữ số ằm iữa ữ số ữ số a ì ế m + i ắ đầu ằ 12345678910, ầ ò lại aa1 a1 Ǥi¶ sư d− ເđa ρҺÐρ ເҺia m+ i i, гi < п ПÕu п sè n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu d− г1 , , â iệ ì ắ ó mộ số d i à0 ằ 0, d0 m + i ội ợ lại, iả sử số d kô â iệ Ki ại số iê ƚ < j ™ п sa0 ເҺ0 ເ¸ເ sè d− j ằ au ì d ρҺÐρ ເҺia m + ƚ ເҺ0 п пªп ƚa ເã m + ƚ = qƚп + гƚ ѵίi qƚ ∈ Z T−¬пǥ ƚὺ ƚa ເã m + j = qk̟п + гj ѵίi qj ∈ П Suɣ гa (m + j) −(m + ƚ) = (qj − qƚ)п Һaɣ j ia ế Điu ô lÝ ѵ× < j − ƚ < п TҺe0 ứ mi ê, ấ ứ số à0 ậ ®ὸu ເҺøa ®đ 10 ເҺ÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, b Sư dơпǥ k̟iÕп ứ ệ i số ká 10 Tiế qua âm đế iệ sử dụ ệ i số ká 10 iệ iải mộ số 0á sơ ấ, đặ iệ ữ ài 0á i ọ si iỏi 2.3.7 ài 0á iế số ậ â 5213 số 33 Lời iải Ta ấ ằ 5213 < 75 Ta ເã ™ a0, , a4 ™ 6; a4 ѵËɣ 5213 = a4.74 + a373 + a272 + a17 + a0 Ь©ɣ ǥiê, ia ế 74 đ ó đợ 411 a373 + a272 + a17 + a0 2+ = a4 + 74 74 ì a4 mộ số uê ê a4 = ПҺ− ѵËɣ 411 = a373 + a272 + a17 + a0 ເҺia ƚiÕρ Һai ѵÕ ເҺ0 73 a ó đợ 68 a272 + a17 + a0 = a3 + 73 73 ênênănເã 5213 = (21125)7 ì ậ a3 = Tiế ụ e0 yƚa ệpguguny v 13 i h nn ậ nhgáiáiĩ, lu 2.3.8 ài 0á iu diễ số ậttâ t th s sĩ ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè h n đ đh ạcạc 16 vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va 13 luuậ ậ Lêi ǥi¶i D0 < ê ó ól luiu diễ ệ i số lµ 16 13 a1 a2 a3 1+ = + + + 16 62 63 ПҺ©п Һai ѵÕ đẳ ứ ê i đ ó đợ 13 х a2 a3 = a1 + Һa 16 ɣ + + 62 a2 a3 + = a1 + D0 a1 = + 2+ a a = + 62 + 34 â ả ế đẳ ứ i 6, iế ụ lậ luậ ê a su гa a2 = ѵµ a3 a4 = + + 62 ПҺ©п ƚiÕρ ѵίi ƚa đợ a3 = a = + 62 ПҺ©п Һai ѵÕ ѵίi ƚa ó a4 = 3, ì kế ậ, iu diƠп ເđa 13 16 ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè (0, 4513)6 2.3.9 ài 0á ứ mi ằ (4, 41) mộ số í i số пҺiªп ь > ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (4, 41)ь = + + = ь ь 2+ ь Σ2 Lêi ǥi¶i ài 0á sau ầ đế iu diễ mộ số ữu ỷ ệ i số 2.3.10 ài 0á i số , kí iệu [] ầ uê , ứ [] số uê l ấ kô ợ ì [] + [2] + [4х] + + [32х] = 12345 ó iệm ữu ỷ a kô? Lời iải Ta ứ mi ằ ì kô ó iệm ữu ỷ iả sử ợ lại lại ằ [] ỏa mó ấ ®¼пǥ ƚҺøເ х − < [х] ™ х D0 ®ã х − + 2х − + 4х − + + 32х − < [х] + [2х − 1] + [4х − 1] + + [32х − 1] ™ х + 2х + 4х + + 32х 35 Tõ ǥi¶ ƚҺiÕƚ ƚa ເã 63х − < 12345 ™ 63х D0 ®ã 195 < х < 196 Ǥi¶ sư х = 195 + г ѵίi < г < Ьiόu г ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ số a đợ a1 a2 a3 = ak̟ ∈ {0, 1} Suɣ гa х = 195 + K̟Һi ®ã ƚa ເã + 22 a1 + + 23 a2 22 + + a3 23 + [2х] = 2.195 + a1, [4х] = 4.195 + 2a1 + a2, [8х] = 8.195 + 4a1 + 2a2 + a3, [16х] = 16.195 + 8a1 + 4a n + 2a3 + a4, yê ên n p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu [32х] = 32.195 + 16a + 8a2 + 4a3 + 2a4 + a5 ộ ấ ả đẳ ứ ê lại a đợ [х] + [2х] + [4х] + + [32х] = 63.195 + 31a1 + 15a2 + 7a3 + 3a4 + a5, ƚøເ lµ 31a1 + 15a2 + 7a3 + 3a4 + a5 = 60 Ѵ× ∈ {0, 1} ѵίi mäi i пªп ƚa ເã 31a1 + 15a2 + 7a3 + 3a4 + a5 ™ 31 + 15 + + + = 57 < 60 Điu ô lí Lời iải ài 0á sau ầ đế iu diễ mộ số ữu ỷ ệ i số số 36 2.3.11 ài 0á (AIME 1986) dó ă 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, ເ¸ເ số uê dơ, số dó 0ặ mộ l ừa 3, 0ặ ó 3i1 + 3i2 + + 3iƚ ѵίi ƚ ∈ П ѵµ i1 < i2 < < iƚ Tìm số ứ 100 dó i1 iải iả isử < i ý г»пǥ 3i1̟ Һi = (10 )3 == (10 ®ã ເã i1 Lời i