1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn hệ ghi cơ số và một số ứng dụng

43 2 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 43
Dung lượng 1 MB

Nội dung

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ MAI U ị ệ I Ơ Số n MộT Số øпǥ dôпǥ yêyênăn p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2015 Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ói đầu ҺÖ ǥҺi số 1.1 Kái iệm ệ i số 1.2 é 0á ấ đ đổi sè n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Méƚ sè øпǥ dơпǥ ເđa ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè 16 2.1 Đị lý Leede Đị lý Kumme 16 2.2 â d đa ứ ấ kả qu ƚõ sè пǥuɣªп ƚè 21 2.3 Méƚ sè ứ dụ ệ i số 0á sơ ເÊρ 28 K̟Õƚ luËп 39 Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 40 Lời ảm T ế, i đợ ỏ lò iế â à sâu sắ đế S.TS Lê Tị Ta Mặ dù ấ ậ ộ ô iệ ô ẫ dà ời ia âm uế iệ dẫ đế ôm a, luậ ă sĩ ôi đợ 0à í s s i đ iệ ì ô Tôi i ảm â i Tờ Đại ọ K0a ọ Tái uê, ôi ậ đợ mộ ọ ấ sau đại ọ ă ả i â ọ ảm a iám iệu ờ, K0a T0á - Ti ò Đà0 ạ0 Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê Tôi i â ọ ảm n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu Tầ ô ậ ì u đạ ữ kiế ứ quý áu ạ0 điu kiệ uậ lợi ấ đ ôi 0à luậ ă uối ù, ôi i â à ỏ lò iế đế ia đì, , ữ ời kô độ iê, ỗ ợ ạ0 điu kiệ ố ấ ôi ƚг0пǥ sƚ ƚҺêi ǥiaп Һäເ ƚËρ ѵµ ƚҺὺເ ҺiƯп lп ă Luậ ă đợ iệ 0à ại Tờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê Lời ói đầu D0 u ầu ƚiƠп ເđa ເເ sèпǥ, ເã ƚҺό пãi ҺƯ ǥҺi ເ¬ số mộ ữ lí uế 0á ọ đầu iê uấ iệ, đợ ì à i s0 i s i ă mi â l0ại ệ i số mộ ội du qua ọ số ọ ó iu ứ dụ ká au ƚг0пǥ k̟Һ0a Һäເ ѵµ ƚҺὺເ ƚiƠп LÝ ƚҺuɣÕƚ ҺƯ ǥҺi số liê qua đế iu lĩ ká 0á ọ Lí uế số; T0á ời ạ; ì iệm uê ì àm; Đa ứ; Qui 0á ọ; ài 0á ò . Mộ số ệ i số qua ọ ệ ậ â (ơ số 10), ệ ị â (ơ số 2), ệ â (ơ số 8), ệ ậ lụ â (ơ số 16) ệ i số ờnờnnệ ậ â, uấ iệ đầu iê đợ sử dụ ổ iế пҺÊƚ ҺiƯп пaɣ y p ylµ iệ u u v h ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu ấ độ à0 Tế kỷ sau ô uê Đế ăm 1202 ẩm Lie ), ì ệ Aai L Fi0ai (mộ 0á ọ ia ời i ậ â mi đợ u à0 âu Âu ệ ị â đợ sử dụ ởi ời al0 (k0ả Tế kỉ đế Tế kỉ ô uê), a ệ ị â, ệ â ệ ậ lụ â đa đợ sử dụ ộ ói lĩ k0a ọ má í ả0 mậ ô i iu ệ i số ká số 12, số 7, số 3, . đế ẫ đợ qua âm sử dụ Luậ ă qua âm đế ấ đ iu diễ ệ i số mộ số ứ dụ 0á sơ ấ Luậ ă ồm T0 1, ôi ì kái iệm ệ i số, mộ số í ấ sở, é 0á ài 0á đổi số ì mộ sè øпǥ dơпǥ ເđa ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè Tг−ίເ ҺÕƚ, ƚҺ«пǥ qua méƚ ьiόu diƠп ເđa sè п ƚг0пǥ ҺƯ i số i số uê ố, a ó í đợ số iê l ấ sa0 ! (Đị lÝ ເđa Leǥeпdгe) ເὸпǥ ƚҺ«пǥ qua ьiόu diƠп ເđa số iê a ệ i số i uê ố, a ó í đợ số l ấ sa0 a a+b , C a+a số ổ ợ ậ a a + ầ (Đị lí Kumme) đị lí đợ ì Tiế 2.1 luậ ă T0 Tiế 2.2, ôi ì mộ ứ dụ ữa ệ i số ấ đ â d đa ứ (i ệ số uê) ấ kả qu ê Q Ki mộ số uê ố > mộ số iê, ếu = (aп a1a0 )ь lµ ьiόu diƠп ệ i số ì đa ƚҺøເ f (х) = aп хп + + a1 + a0 ấ kả qu ê Q (Đị lí Mu) Tiế 2.3 qua âm đế ứ dụ ệ i số đ iải mộ số 0á số ọ sơ ấ, đặ iệ ữ ài 0á i ọ si iỏi ậ ổ ô u ọ 0ài mộ số ô i ệ i số đợ am kả0 ê a Wikiedia, luậ ă đợ iế da ê ài liệu sau đâ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Lê Ta à, Lí uế đa ứ (iá0 ì sau đại ọ), ĐQ, 2015 Daid A0 Saпƚ0s, Пumьeг TҺe0гɣ f0г MaƚҺemaƚiເal ເ0пƚesƚs, ǤПU Fгee D0ເumeпƚaƚi0п Liເeпse, 0ເƚ0ьeг 31, 2007 J Sƚillwell, Elemeпƚs 0f Пumьeг TҺe0гɣ, Sρгiпǥeг, 2003 M Гam Muгƚɣ, Ρгime пumьeгs aпd iггeduເiьle ρ0lɣп0mials, TҺe Ameгiເaп MaƚҺ M0пƚҺlɣ, 109 (2002), 452-458 ເҺ−¬пǥ ệ i số độ à0 Tế kỷ (sau ô ệ ậ â uấ iệ đầu iê  uê) Đế ăm 1202, ẩm Liьeг Aьaເເi ເđa L Fiь0пaເເi ´ ) ƚҺ× ҺƯ ƚҺËρ â mi (mộ 0á ọ đồ ời ia ời đợ u à0 âu Âu i s mi a i à0 Tế kỉ 15 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu ì 10 ữ số mi ó ì ố đị iệ a ời a ố lý iải ại sa0 ệ i ậ â lại đợ đa số ê ế ii sử dụ đế ѵËɣ ເã пҺiὸu lÝ d0 ເҺ0 г»пǥ d0 Һai ьµп a ó 10 ó dễ dà đếm ê 10 ó a 0ài ệ i ậ â a ó ệ i số ká au mà , dâ ộ ê ế ii sử dụ ệ i số 60 ời ail0 (k0ả Tế kỉ ứ đế Tế kỉ ứ ô uê), ệ i số 60 đế a ẫ đợ dù đ đ0 ó ời ia ó iả uế ເҺ0 г»пǥ ѵ× 60 ເã пҺiὸu −ίເ sè (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) пªп ki iệ é ia ì u đợ iu số ẵ (ứ số uê) ò số 10 ỉ ó ê ki iệ é ia u đợ iu số lẻ (â số) Tời ổ đại, ộ ộ uê ủ dïпǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè 5, пã ƚ−¬пǥ øпǥ ѵίi iệ đếm ê ăm ó a iệ a ời Tu Quố ời ậ ả ẫ ò dù í ẩ da ê ệ i số i ệ i số 20, ó ữ dâ ộ dù ả 10 ó â 10 ó a đ đếm ệ i đợ ời Maa ổ sử dụ đế a Đa Mạ ời a ẫ sử dụ ệ i số 20 T0 đ0 lờ ời a ò sử dụ iu ệ i ká ữa ệ i số 12 đợ sử dụ iu ê ế ii đế a ẫ đợ sử dụ iu A (mộ A kô ải ằ 10 ấ A, mà ằ 12 ấ A) a ẫ a dù ị i, 18 i kô ải mộ ƚÊເ mµ lµ méƚ ƚҺ−ίເ AпҺ ѵµ ƚÊເ A ời a ò dù ị á, mộ ь»пǥ 12 ເҺiÕເ ເã lÏ пǥ−êi Tгuпǥ Quèເ ເὸпǥ ®ã sử dụ ệ i số 12 (u kì 12 iá) Tù e0 ầu ế mà ời a lại dù ệ i i số mi ệ i số a ệ i ị â đợ ài ê má í é đếm ị â ù i é 0á l0i sở 0ạ ®éпǥ ເđăn nm¸ɣ ƚÝпҺ D0 ເҺØ ເã Һai k̟ý ƚὺ пªп n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ѵiƯເ ьiόu diƠп ເđa méƚ số ệ i số ấ dài, ì ậ má í ò sử dụ ệ i số ệ i số 16, ấ uậ iệ iu diễ số, ì 16 T a ì ệ i sè 16 ເὸпǥ ®ã ເã ë Tгuпǥ Quèເ ƚõ х−a, ì ời â Tu Quố ó i 16 lạ ệ i số 24 dù đếm số iờ ệ i số 30 đếm số ệ i số dù đ đếm số quí ệ i số đếm số uầ, . Mụ đí ì kái iệm ả ệ i số, í ấ, é 0á ấ đ đổi số 1.1 Kái iệm ệ i số Tiế ì mộ số kái iệm í ấ sở ệ i số Luậ ă qua âm đế ữ ệ i số ặ : ệ ậ â, ệ ị â, ệ â, ệ ậ lụ â 1.1.1 Đị ĩa a > mộ số ữu ỷ, > mộ số iê iả sö п −1 −m a =∈aП, a, п.−.1ь ,п−1 +, a .−.1,+.a 1.ь, +a−am0ь∈0 +{0, a−1, a ь−21}+ѵµ +aaп −ƒ= , ̟ ƚг0пǥ п, −2− пь + 1ь + mь 0.K m a a , ь Һi ®ã ®ã ƚa пãi п a = (aп a0, a−1 a−m ) iu diễ a ệ i sè ь 1.1.2 ѴÝ dơ Méƚ sè ҺƯ ǥҺi ເ¬ số ặ ệ ậ â: a dù ữ số 0, 1, , đ iu diễ số ệ ậ â ẳ Һ¹п (12568, 36)10 = 1.104 + 2.103 + 5.102 + 6.101 + 8.100 + 3.101 + 6.102 ệ ị â: a dù ữ số đ iu diễ số ệ ị â ẳ (111010, 01)2 = 1.25 + 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 + 0.2−1 + 1.2−2 ҺƯ ь¸ƚ â: a dù ữ số 0, n 1, , đ iu diễ số yờyờvnn p u ệ â ẳ u hi ng g n gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ3 lu (20365, 68)8 = 2.84 + 0.8 + 3.8 + 6.81 + 5.80 + 6.8−1 + 8.8−2 ҺÖ ƚҺËρ lụ â: a dù số 0, 1, , ữ A, , , D, E, F đ iu diễ số ệ i số ậ lụ â, A = 10, Ь = 11, ເ = 12, D = 13, E = 14, F = 15 ẳ 3.165 + A.164 + 0.163 + Ь.162 + 1.161 + F.160 + 3.16−1 + A.16−2 ເã ьiόu diƠп ƚг0пǥ ҺƯ ƚҺËρ lụ â (3A01F, 3A)16 ậ dù ệ i số à0 ì ó a0 ồm ầ: ầ uê ầ -â (a ò ọi ầ lẻ), iữa ầ ấ đợ ă i au ởi dấu ẩ ầ đứ ê dấu ẩ đợ ọi ầ uê, ầ đứ ê ải dấu ẩ đợ ọi ầ â a ầ lẻ ếu số ó ầ lẻ ằ ì kô ầ dù dấu ẩ, số ọi số uê ếu số iế ệ = 10 ì ắ uộ a ải iế số ь k̟ὶm ƚҺe0, ƚг0пǥ k̟Һi ®ã пÕu ѵiÕƚ ƚг0пǥ ҺƯ ậ â, ứ = 10, ì a kô ầ iế số km e0 1.1.3 Đị lý số iê > Ki số iê a > đu ó du ấ mộ iu diễ ệ i số , ứ ƚåп ƚ¹i duɣ пҺÊƚ méƚ ьiόu diƠп a = aп ьп + + a1 ь + a0 , i số iê, a0, a1 , , aп ∈ {0, 1, , ь − 1} ѵµ aп = ƒ ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺøпǥ miпҺ sὺ ƚåп ƚ¹i ьiόu diƠп ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 a ПÕu n n a < ì a = a iu diễ ầ ìm.ipgugyuờn0 a iả iế ằ số yờvn gỏhi ni nlu n hthỏs, đị lý ia a a đợ iê ỏ a ®ὸu ເã ьiόu diÔпtđốht htпҺ− s ạc c n đ vă n n th h nn văvkă̟ anan t ậ luluậk̟ậnn nv v uậ k̟l luluậ quɣ diÔп ເ ь ь+> .1 пªп + ເ1 ь + ເ0 , i k số iê, a = .+, ia, ó iu < ь.= D0 ƒ Suɣ гaເ < a D0 ®ã ƚҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ ເ0 , ເ1 , k̟ ∈ {0, 1, , ь − 1} ѵµ ເ = a = ເk̟ьk̟+1 + + ເ1.ь2 + ເ0ь + г ເҺäп п = k̟ + 1, ai+1 = ເi ѵίi i = 0, 1, , k̟ ѵµ a0 = г ƚa ເã k̟Õƚ qu¶ TiÕρ ƚҺe0, ƚa ເҺøпǥ miпҺ ƚÝпҺ duɣ пҺÊƚ ເđa iu diễ ằ qu e0 a iả sử a = aпьп + + a1ь + a0 = a′mьm + + a′1ь + a′0 ѵίi п ≥ m lµ Һai ьiόu diƠп′ ເđa a ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè ь ПÕu a < ь ì m = = a = a0 = a0, d0 iu diễ du ấ a ≥ ь a0, a0 ∈ {0, 1, , 1} ê a0 a0 đu lµ d− ເđa ρҺÐρ ເҺia a ເҺ0 ь D0 ѵµ iả iế ằ kế đ số iê ỏ a ì í du ấ d é ia a пªп ƚa ເã a0 = a′0 Suɣ гa ь(aпьп−1 + + a1) = ь(a′ mьm−1 + + a′1) Ǥi¶п −ίເ ເ¶ Һai ѵÕ ເҺ0 a đợ a + + a1 = a m1m+ + a1 Đâ lµ Һai ьiόu diƠп ເđa ເïпǥ méƚ sè ເ = aп ьп−1 + + a1 ƚг0пǥ ҺÖ i số ì > ê < a D0 e0 iả iế qu a suɣ гa ′ m 1, − ,=п.п − ѵµ a1 = a 1, , am = ьm Suɣ гa m = п ѵµ = aii = 0, ѵίi mäi 1.2 ເ¸ເ ρҺÐρ ƚ0¸п ấ đ đổi số Tiế ì é 0á số ọ (ộ, ừ, â, ia) ê ệ i số ấ k ấ đ đổi méƚ sè ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè ƚïɣ ý saпǥ ҺÖ ǥҺi n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu số ká T ế a qua âm đế é 0á ệ i số ấ kì 1.2.1 ý Tê mộ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè ьÊƚ k̟ύ, ƚa ѵÉп ƚҺὺເ ҺiƯп é 0á ộ, ừ, â, ia ê ệ ậ â da ê ả ộ ả â ệ i số ẳ a ó ả ộ ệ i số (á â) + 0 1 10 2 10 11 3 10 11 12 4 10 11 12 13 5 10 11 12 13 14 6 10 11 12 13 14 15 7 10 11 12 14 14 15 16 28 ເпǥuɣªп Һøпǥ miпҺ ເҺäп ь = Ta ເã 5519 = 2ь7 + ь6 + ь5 + 2ь4 + ь2 + lµ ьiόu diƠп ເđa sè ƚè 5519 ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè ь ເҺό ý г»пǥ 5519 số uê ố ì ế f () ấ kả qu e0 Đị lý 2.2.6 Te0 Đị lý 2.2.6, số uê ố 5519 a ó â d iu đa ứ ấ kả qu ẳ ạ, ọ lầ lợ số sa0 5519 iu diễ 5519 ệ i số a mộ đa ứ ấ kả quɣ 2.3 Méƚ sè øпǥ dơпǥ ເđa ҺƯ ǥҺi ເ¬ số 0á sơ ấ Mụ iêu iế sử dụ ệ i số đ iải mộ số ài 0á sơ ấ ôi ia ầ à Dạ ứ ấ ầ đế kế ệ ậ â Dạ ứ ầ đế kiế ứ ệ i số ká ệ ậ ρҺ©п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu a Sư dơпǥ k̟iÕп ƚҺøເ ѵὸ ҺƯ ậ â 2.3.1 ài 0á Tìm ấ ả số uê ắ đầu ằ ký iảm 25 lầ ki ký ị óa Lời iải iả sư sè пµɣ ເã п + k̟ý ƚὺ K̟Һi ®ã ເ0п sè пµɣ ເã ƚҺό ѵiÕƚ ƚҺµпҺ 6.10п + , số ó iu ấ ký Te0 điu kiệ ài 0á a ó 6.10 + ɣ = 25ɣ 6.10п Suɣ гa ɣ = Từ a ó (ếu ợ lại ì = d0 24 6.101 kô ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 24) Ѵίi п ≥ 2, ƚa ເã 6.10п 102.10п−2 ɣ= = 24 = 25.10п−2 Ѵ× ƚҺÕ ɣ ເã d¹пǥ 25 (ѵίi п − sè 0) Ta k̟Õƚ luËп г»пǥ ƚÊƚ ເ¶ số ầ ìm ó 625 (ѵίi п − sè 0) 29 ເ¸ເ k̟ý ƚὺ ເđa ເҺόпǥ (ƚг0пǥ ҺƯ ƚҺËρ ρҺ©п) ь»пǥ х2 10 22 2.3.2 ài 0á (IM0 1968) Tìm ƚÊƚ ƚὺ+пҺiªп х sa0 ເҺ0 ƚÝເҺ ເđa п−1 Lêi iải ọi ólàdạ =ảa + asố10 a, = .х+ , aЬ©ɣ aп−Ρ1 aп−110 210Ρ + k̟ ™ 9, ƒ= Ǥäi Ρ (х) ƚÝເҺ ƚг0пǥ (х) − 10х − 22 ǥiê, п−1ເ¸ເ k̟0ý ƚὺ 1п−1 (х) = a a a ≤ a < 10 a (ấ đẳ ứ ả гa k Һi х ̟ − − − п п п ເã пҺiὸu mộữ số) ì ậ, 10à 22kô < , a su ó mộ ữ số ì a = 10 22, ữ ì luậ г»пǥ х < 13,х k=̟ Һi10, ®ãΡх(х) ເã =mộ ữ số 0ặ = 10, 11,= 13 0ếu ເã пǥҺiƯm пǥuɣªп ПÕu 22 ПҺ−пǥ х2 − 10х − 220,ƒ=ПҺ−пǥ ПÕuх х −= 10х 12, Ρ−(х) =2 Ѵ µПÕu х = 11, Ρ (х) = х2 − 10х − 22 = D0 ®ã, х = 12 số du ấ 2.3.3 ài 0á Tìm ấ ả số iê a sa0 ki óa ữ số ị a đợ mộ a Lời iải ọi ị a Ki a = 10х + ɣ ѵίi х lµ sè ƚὺ iê Te0 iả iế, ại mộ số iê m sa0 10 + = m Điu đòi ỏi 10 + / = m mộ số ƚὺ пҺiªп Suɣ гa ɣ/х = m − 10 ∈ Z D0 ếu = 0, ấ k số iê đu ỏa mó T0 ợ à, a = 10 i số iê ấ k i = ƚa ເã х = 1, d0 ®ã a = 11 ếu = ì = 0ặ = 2, a u đợ a = 12 0ặ a = 22 Tiế ụ lậ luậ ợ n yờyờvnnả ội 10 số đế a u đợ số a ầ ìm là:ipguấ u h n ngn nhgỏiỏi, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 11, 12, 22, 13, 33, 14, 24, 44, 15, 55, 16, 26, 36, 66, 17, 77, 18, 28, 48, 88, 19, 39, 99 2.3.4 ài 0á A mộ số uê dơ A mộ sè ƚὺ пҺiªп 30 пÕu A + A′ = 1010 ì A ia ế 10 i ù ữ số đợ sắ e0 mộ ứ à0 ứ mi ằ Lời iải ì 1010 ó 11 ữ số D0 A, A kô ó 11 ữ số ữa, ếu A ó í 10 ữ số ì A ó í 10 ữ số A ≥A10+10A=′ A + пҺiὸu A′ > A, ѵ« 10 lí ữ Su a Aô ó lí 10 ếu ữ số d0 A số ó ấ số, A ó 11 ữ ìd0 ó iu ấ 10 ữ sè Tг0пǥ ҺƯ ƚҺËρ ρҺ©п, ѵiÕƚ A = a a a ѵµ A 10 ′ ′ ′ ′ 10 = a a a ì a = ê A + A = 10 k i ỉ k i ại méƚ ເҺØ ̟ ̟ 10 ™ 1j ™ sa0 điu kiệ sau ỏa mó số j10ѵίi a1 + a′1 = a2 + a′2 = · · · = aj + a′j = aj+1 + a′′j+1 = 10; aj+2 + a j+2 = aj+3 + a′j+3 = · · · = a10 + a′10 =9 ứ j = Ki a1 + a1 = 10 ѵµ + a′i = ѵίi mäi i = 2, , 10 §ό ເҺøпǥ miпҺ A пµɣ ເҺiaƚaҺÕƚເãເҺ0 10, ƚa ເҺøпǥ miпҺ j > iả sử ợ lại, ộ ổ (a1 + a′1) + (a2 + a′2) + · · · + (a10 + a′10) = 10 + 9.9 = 91 MỈƚ ká, e0 iả iế ữ số A í ữ số A ì ế ờnờn n Suɣ гa p yy ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ′ ận v a an luluậnậnn nv v10 luluậ ậ lu {a1, , a } = {a , , a′10} 91 = (a1 + a′1) + (a2 + a′2) + · · · + (a10 + a′10) = 2(a1 + + a10) Гâ гµпǥ 2(a1 + + a10 ) số ẵ, ki 91 số lẻ, ô lí Su гa j ≥ D0 ®ã a1 + a′1 = Suɣ гa a1 = 0, ƚøເ lµ A ເҺia ế 10 31 2.3.5 ài 0á (Aime 1992) S ậ ợ ấ ả số ữu ƚû г, < г < sa0 ເҺ0 k̟Һai i ệ ậ â mộ số ậ â uầ 0à 0, aaa = 0, a, a, , kô ấ iế ải ká iệ Đ iu diễ ầ S â số ối iả, ầ dù a0 iêu số ká au? Lời iải ý г»пǥ 0, aьເaьເaьເ = aьເ 999 999 = 37 ếu a kô ia ế a 37 ì số ối iả ì > ê a đế 999 ХÐƚ ƚËρ Һỵρ Х = {1, 2, , 999} Ǥäi Ɣ lµ ƚËρ ເ0п ເđa Х ǥåm số ội ủa Z ậ ồm số ội 37 Ki ó 999/3 = 333 ầ Z ó 999/37 = 27 ầ ý г»пǥ Ɣ ∩ Z lµ ƚËρ ເ0п ເđa Х ǥåm ເ¸ເ sè ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 3.37 = 111 Suɣ гa Ɣ ∩ Z ເã 999/111 = ρҺÇп ƚư D0 số ầ kô ia ế kô ia ế 37 số ρҺÇп ƚư ເđa ƚËρ Х \ (Ɣ ∪ Z) nnn K Kí iệu ad( ) số ầ ƚËρ ̟ Һi ®ã êХ p y yê ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ເaгd(Х \ (Ɣ ∪ Z) = ເaгd(Х) − ເaгd(Ɣ ) − ເaгd(Z) + ເaгd(Ɣ ∩ Z) = 999 − 333 + 27 + = 648 D0 ó 648 số ó a (ừ đế 999) kô ia ế kô ia ế 37 õ 648 số ứ i 648 số a ỏa mó ầu Ta em a ká au â số 999 é ó a0 iêu số ò lại ỏa mó ầu 0ài a, â số a 0< 999 < ó ối iả s/37, s ẫ ội ải 36 , , , ເã ®όпǥ 12 â số l0ại ậ, số số số 37 37 37 â iệ ậ ợ S ki iế ầ S di ối iả 648 + 12 = 660 2.3.6 ài 0á (uam 1956) a mộ số uê dơ ứ mi ằ ại mộ số iê sa0 ເҺ0 ь lµ ьéi ເđa a ѵµ ьiόu diƠп 32 ệ ậ â ó đầ đủ ữ số đế ứ mi iả sử a mộ số uê dơ i k ເҺ÷ sè LÊɣ m = 123456789.10k̟+1 ХÐƚ ƚËρ Х = {m + 1, m + 2, , m + } ậ ồm số uê dơ liê iế, ắ đầu m + = 1234567890 01, ƚг0пǥ ®ã ເã k̟ sè õ m + ắ đầu i 1234567890, ầ ò lại m + 01 ѵίi k̟ − sè ເҺ0 i ∈ {1, , п} Ǥi¶ sư ệ ậ â, i ó ữ số, ứ lµ i = aƚ aƚ−1 a1 ì i ó k ữ số ê k D0 số m + i = 12345678910 aƚaƚ−1 a1, ƚг0пǥ ®ã ເã ®όпǥ k̟ + − ƚ ữ số ằm iữa ữ số ữ số a ì ế m + i ắ đầu ằ 12345678910, ầ ò lại aa1 a1 Ǥi¶ sư d− ເđa ρҺÐρ ເҺia m+ i i, гi < п ПÕu п sè n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu d− г1 , , â iệ ì ắ ó mộ số d i à0 ằ 0, d0 m + i ội ợ lại, iả sử số d kô â iệ Ki ại số iê ƚ < j ™ п sa0 ເҺ0 ເ¸ເ sè d− j ằ au ì d ρҺÐρ ເҺia m + ƚ ເҺ0 п пªп ƚa ເã m + ƚ = qƚп + гƚ ѵίi qƚ ∈ Z T−¬пǥ ƚὺ ƚa ເã m + j = qk̟п + гj ѵίi qj ∈ П Suɣ гa (m + j) −(m + ƚ) = (qj − qƚ)п Һaɣ j ia ế Điu ô lÝ ѵ× < j − ƚ < п TҺe0 ứ mi ê, ấ ứ số à0 ậ ®ὸu ເҺøa ®đ 10 ເҺ÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, b Sư dơпǥ k̟iÕп ứ ệ i số ká 10 Tiế qua âm đế iệ sử dụ ệ i số ká 10 iệ iải mộ số 0á sơ ấ, đặ iệ ữ ài 0á i ọ si iỏi 2.3.7 ài 0á iế số ậ â 5213 số 33 Lời iải Ta ấ ằ 5213 < 75 Ta ເã ™ a0, , a4 ™ 6; a4 ѵËɣ 5213 = a4.74 + a373 + a272 + a17 + a0 Ь©ɣ ǥiê, ia ế 74 đ ó đợ 411 a373 + a272 + a17 + a0 2+ = a4 + 74 74 ì a4 mộ số uê ê a4 = ПҺ− ѵËɣ 411 = a373 + a272 + a17 + a0 ເҺia ƚiÕρ Һai ѵÕ ເҺ0 73 a ó đợ 68 a272 + a17 + a0 = a3 + 73 73 ênênănເã 5213 = (21125)7 ì ậ a3 = Tiế ụ e0 yƚa ệpguguny v 13 i h nn ậ nhgáiáiĩ, lu 2.3.8 ài 0á iu diễ số ậttâ t th s sĩ ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè h n đ đh ạcạc 16 vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va 13 luuậ ậ Lêi ǥi¶i D0 < ê ó ól luiu diễ ệ i số lµ 16 13 a1 a2 a3 1+ = + + + 16 62 63 ПҺ©п Һai ѵÕ đẳ ứ ê i đ ó đợ 13 х a2 a3 = a1 + Һa 16 ɣ + + 62 a2 a3 + = a1 + D0 a1 = + 2+ a a = + 62 + 34 â ả ế đẳ ứ i 6, iế ụ lậ luậ ê a su гa a2 = ѵµ a3 a4 = + + 62 ПҺ©п ƚiÕρ ѵίi ƚa đợ a3 = a = + 62 ПҺ©п Һai ѵÕ ѵίi ƚa ó a4 = 3, ì kế ậ, iu diƠп ເđa 13 16 ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ sè (0, 4513)6 2.3.9 ài 0á ứ mi ằ (4, 41) mộ số í i số пҺiªп ь > ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (4, 41)ь = + + = ь ь 2+ ь Σ2 Lêi ǥi¶i ài 0á sau ầ đế iu diễ mộ số ữu ỷ ệ i số 2.3.10 ài 0á i số , kí iệu [] ầ uê , ứ [] số uê l ấ kô ợ ì [] + [2] + [4х] + + [32х] = 12345 ó iệm ữu ỷ a kô? Lời iải Ta ứ mi ằ ì kô ó iệm ữu ỷ iả sử ợ lại lại ằ [] ỏa mó ấ ®¼пǥ ƚҺøເ х − < [х] ™ х D0 ®ã х − + 2х − + 4х − + + 32х − < [х] + [2х − 1] + [4х − 1] + + [32х − 1] ™ х + 2х + 4х + + 32х 35 Tõ ǥi¶ ƚҺiÕƚ ƚa ເã 63х − < 12345 ™ 63х D0 ®ã 195 < х < 196 Ǥi¶ sư х = 195 + г ѵίi < г < Ьiόu г ƚг0пǥ ҺƯ ǥҺi ເ¬ số a đợ a1 a2 a3 = ak̟ ∈ {0, 1} Suɣ гa х = 195 + K̟Һi ®ã ƚa ເã + 22 a1 + + 23 a2 22 + + a3 23 + [2х] = 2.195 + a1, [4х] = 4.195 + 2a1 + a2, [8х] = 8.195 + 4a1 + 2a2 + a3, [16х] = 16.195 + 8a1 + 4a n + 2a3 + a4, yê ên n p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu [32х] = 32.195 + 16a + 8a2 + 4a3 + 2a4 + a5 ộ ấ ả đẳ ứ ê lại a đợ [х] + [2х] + [4х] + + [32х] = 63.195 + 31a1 + 15a2 + 7a3 + 3a4 + a5, ƚøເ lµ 31a1 + 15a2 + 7a3 + 3a4 + a5 = 60 Ѵ× ∈ {0, 1} ѵίi mäi i пªп ƚa ເã 31a1 + 15a2 + 7a3 + 3a4 + a5 ™ 31 + 15 + + + = 57 < 60 Điu ô lí Lời iải ài 0á sau ầ đế iu diễ mộ số ữu ỷ ệ i số số 36 2.3.11 ài 0á (AIME 1986) dó ă 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, ເ¸ເ số uê dơ, số dó 0ặ mộ l ừa 3, 0ặ ó 3i1 + 3i2 + + 3iƚ ѵίi ƚ ∈ П ѵµ i1 < i2 < < iƚ Tìm số ứ 100 dó i1 iải iả isử < i ý г»пǥ 3i1̟ Һi = (10 )3 == (10 ®ã ເã i1 Lời i

Ngày đăng: 25/07/2023, 10:53

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w