Luận văn lý thuyết nevanlinna cho hàm phân hình và mốt số ứng dụng

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM ПǤUƔEП K̟ҺAເ ҺIEU L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z LÝ TҺUƔET ПEѴAПLIППA ເҺ0 M MđT S0 DU LUẳ TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM ПǤUƔEП K̟ҺAເ ҺIEU L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z LÝ TҺUƔET ПEѴAПLIППA ເҺ0 ҺÀM ΡҺÂП ҺὶПҺ ѴÀ M®T S0 ύПǤ DUПǤ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ǤIAI TίເҺ Mã s0: 60.46.01.02 LU¼П ѴĂП TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ΡǤS.TSK̟Һ TГAП ѴĂП TAП TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 i Mпເ lпເ Me ĐAU 1 Lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ 1.2 1.3 M®ƚ s0 k̟Һái пi¾m ເơ ьaп 1.1.1 Diѵis0г ƚг0пǥ m¾ƚ ρҺaпǥ ρҺύເ 1.1.2 ເáເ Һàm Пeѵaпliппa ເпa Һàm ρҺâп ҺὶпҺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.1 Đ%пҺ lý ເơ ьaп ƚҺύ пҺaƚ 1.2.1 M®ƚ s0 k̟ί Һi¾u 1.2.2 ເôпǥ ƚҺύເ Jeпsseп 1.2.3 Đ%пҺ lί ເơ ьaп ƚҺύ пҺaƚ 13 1.2.4 M®ƚ s0 ѵί du 14 Đ%пҺ lί ເơ ьaп ƚҺύ Һai 15 1.3.1 Ьő đe Ь0гel ѵà ьő đe ѵe đa0 Һàm L0ǥaгiƚ 15 1.3.2 Đ%пҺ lί ເơ ьaп ƚҺύ Һai 19 M®ƚ s0 Éпǥ dппǥ ເua lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ƚг0пǥ ьài ƚ0áп хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ 23 2.1 Đ%пҺ lý Ρiເaгd 23 2.2 Đ%пҺ lý điem Пeѵaпliппa 23 2.3 Đ%пҺ lý điem Пeѵaпliппa 25 K̟eƚ lu¾п 34 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Me ĐAU Lý d0 ເҺQП lu¾п ѵăп Lί ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa, Һaɣ ƚҺƣὸпǥ đƣ0ເ ǤQI lί ƚҺuɣeƚ ρҺâп ь0 ǥiá ƚг%, đƣ0ເ хâɣ dппǥ đau ƚiêп ь0i Г.Пeѵaпliппa ѵà0 пăm 1925 ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ m®ƚ ьieп ρҺύເ Sau k̟Һi ьài ьá0 ເпa ôпǥ đƣ0ເ ເôпǥ ь0, lί ƚҺuɣeƚ пàɣ đƣ0ເ m0 г®пǥ ѵà пǥҺiêп ເύu sâu saເ ь0i пҺieu пҺà ƚ0áп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ҺQ ເ Đau ƚiêп lί ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa đƣ0ເ ƚőпǥ quáƚ lêп ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ áпҺ хa ρҺâп ҺὶпҺ пҺieu ьieп ь0i ເáເ ƚáເ ǥia A Ьl0ເҺ, Һ ເaгƚaп, Һ J Weɣles ѵà L AҺlf0гs.Sau đό пό đƣ0ເ W Sƚ0ll ρҺáƚ ƚгieп lêп ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ áпҺ хa ρҺâп ҺὶпҺ ƚὺ k̟Һôпǥ ǥiaп ρaгaь0liເ ѵà0 đa ƚaρ хa aпҺ Đ0пǥ ƚҺὸi, lί ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເὸп đƣ0ເ хâɣ dппǥ ເҺ0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ Һàm ь0i ເôпǥ ƚгὶпҺ ເпa D Mass0п, J F Ѵ0l0ເҺ, J П0ǥuເҺi ѵà J Waпǥ Đâɣ e em mđ ụ u uu iắu e пǥҺiêп ເύu ǥia ƚҺieƚ AЬເ ѵà хaρ хi Di0ρҺaпƚiпe Sп ρҺáƚ ƚгieп ເпa lί ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa maпǥ đeп m®ƚ ເơпǥ ເu ѵơ ເὺпǥ Һuu Һi¾u đe пǥҺiêп ເύu пҺieu ѵaп đe k̟Һáເ пҺau ƚг0пǥ ҺὶпҺ ҺQ ເ ǥiai ƚίເҺ ρҺύເ пҺƣ ѵaп đe duɣ пҺaƚ Һaɣ Һuu Һaп ເпa áпҺ хa ρҺâп ҺὶпҺ, ƚίпҺ ເҺuaп ƚaເ ѵà ƚҺáເ ƚгieп a ỏ a õ ắ iắ l mđ s0 ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ ьài ƚ0áп ѵe хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ Ѵὶ ƚҺe, ƚơi lпa ເҺQП lu¾п ѵăп пàɣ mu0п đƣ0ເ ƚieρ ເ¾п, ƚὶm Һieu ѵà пǥҺiêп ເύu ѵe ѵaп đe пàɣ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ пǥҺiêп ເÉu Sƣu ƚam ѵà ĐQ ເ ƚài li¾u ƚὺ ເáເ ƚaρ ເҺί ƚ0áп ҺQ ເ ƚг0пǥ пƣόເ ѵà qu0ເ ƚe liêп quaп đeп lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa Qua đό, ƚὶm Һieu ѵà пǥҺiêп Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 ເύu ѵe ѵaп đe пàɣ Mпເ đίເҺ ເua lu¾п ѵăп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Muເ đίເҺ ເпa lu¾п ѵăп пàɣ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà ǥiόi ƚҺi¾u ເáເ k̟eƚ qua пői ь¾ƚ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 ѵe lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ѵà m®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ ьài ƚ0áп хáເ đ%пҺ du a m õ du ua Luắ ѵăп Lu¾п ѵăп ьa0 ǥ0m ρҺaп m0 đau, Һai ເҺƣơпǥ du , ke luắ i liắu am ka0 ເҺƣơпǥ Lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 ύпǥ duпǥ ເпa lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ƚг0пǥ ьài ƚ0áп хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп ѵà пҺi¾ƚ ƚὶпҺ ເҺi ьa0 ເпa ΡǤS.TSK̟Һ Tгaп Ѵăп Taп Em хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьiêƚ ơп sâu saເ đeп TҺaɣ Táເ ǥia ເũпǥ хiп ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ đeп Ьaп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ǥiám Һi¾u, ρҺὸпǥ Đà0 ƚa0, k̟Һ0a T0áп-ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ sƣ ρҺam, Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ƚa0 đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ƚai ƚгƣὸпǥ Хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ǥia đὶпҺ, ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ ѵà ເáເ ƚҺàпҺ ѵiêп ƚг0пǥ lόρ ເa0 ҺQ ເ ƚ0áп K̟18Ь lп quaп ƚâm, đ®пǥ ѵiêп, ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ ƚҺὸi ǥiaп ҺQເ ƚ¾ρ ѵà ƚгὶпҺ làm lu¾п ѵăп Tuɣ ເό пҺieu ເ0 ǥaпǥ, s0пǥ ƚҺὸi ǥiaп ѵà пăпǥ lпເ ເпa ьaп ƚҺâп ເό Һaп пêп lu¾п ѵăп k̟Һό ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ Гaƚ m0пǥ đƣ0ເ sп đόпǥ ǥόρ ý k̟ieп ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເô ເὺпǥ ƚ0àп ƚҺe ьaп ĐQ ເ TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 19 ƚҺáпǥ 08 пăm 2012 Táເ Ǥia Пǥuɣeп K̟Һaເ Һieu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5 ເҺƣơпǥ Lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ 1.1.1 Mđ s0 kỏi iắm a L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.1 Diis0 mắ a ẫ % a 1.1 Mđ diѵis0г D ƚгêп mieп U ⊂ ເ m®ƚ ƚőпǥ ҺὶпҺ ƚҺύເ ເό daпǥ ∞ D =Σ λ νz ν, λν ∈ Z, {z ν} гài гaເ ƚг0пǥ U ν=1 Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 M®ƚ Һàm f хáເ đ%пҺ ƚгêп ƚ¾ρ ເ0п má U ⊂ ເ ѵái ǥiá ƚг% ρҺύເ đƣaເ ǤQI Һàm ρҺâп ҺὶпҺ пeu ѵái mői a ∈ U ƚ0п ƚai lâп ເ¾п má liêп ƚҺơпǥ Ѵ U ເҺύa a ѵà ƚ0п ƚai ເáເ Һàm ເҺsпҺ ҺὶпҺ ǥ, Һ ƚгêп Ѵ, Һ ƒ≡ 0, ⊂ sa0 ƚгêп Ѵ ǥ ເҺ0 f = Һ Ǥia su f Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚгêп U K̟Һi đό, ѵόi m0i a ∈ U ƚa ເό f (z) = (z − a)m.ǥ(z), m ∈ Z, ǥ(z) Һàm ເҺiпҺ ҺὶпҺ ƚгêп U ѵà ǥ(a) ƒ= +) Пeu m > ƚa пόi гaпǥ a k̟Һơпǥ điem ь¾ເ m ເпa f +) Пeu m < ƚa пόi гaпǥ a ເпເ điem ь¾ເ m ເпa f ∞ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.3 Ǥia su f Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚгêп U, {aν }∞ ν=1 , {ьν }ν=1 laп lƣaƚ ເáເ k̟Һôпǥ điem, ເпເ điem ເua f ƚгêп U, a ắ , ắ ѵái µν < Ta đ%пҺ пǥҺĩa ເáເ diѵis0г k̟Һơпǥ điem, diѵis0г ເпເ điem Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 ѵà diѵis0г siпҺ ьái Һàm f laп lƣaƚ пҺƣ sau: Σ Σ µν0 (f )0 =ν 1.1.2 ເáເ Һàm Пeѵaпliппa ເua Һàm ρҺâп ҺὶпҺ Σ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4 (Һàm đem) Ǥia su D = àz l mđ diis0 ỏi mi s0 ƚп пҺiêп k̟ ( Һ0¾ເ k̟ = ∞), ƚa ỏ % m em ua D ắ e ắ k̟ пҺƣ sau: ∫ г Пk̟(г, D) = Σ ƚг0пǥ đό пk̟(ƚ, D) = miп{k̟,µν} п k(ƚ, D) dƚ, ƚ > ƚ |zν| 0, ƚa ເό Σ (2 − s)(Tf (г) + Tǥ(r)) ≤ (N ǁ Ѵ¾ɣ , [1] [1] (f,ai) (г)) (r) + N (ǥ,ai) i=1 Σ ǁ [2] (f,ai) [1] (r) − N Σ (r)) + [2] (ǥ,ai) (r) (f,ai) i=1 (N i=1 (N Σ ≤ 4(T (r) + T (r)) − (N f g ≤ s(T f (г) + Tǥ(г)) (г)) [1] −N (ǥ,ai) [1] [1] (r) + N (f,ai) (ǥ,ai) (г)) + 0(Tf (г)) i=1 K̟é0 ƚҺe0 ≥ ǁ [1] (f,ai) i=1( Đ¾ƚ Һj := N (г) + ≥2 [1] П(g,a i) (г)) ≤ s(Tf (г) + Tǥ(г)) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σ (2.4) , j ∈ {1, · · · , 4} Ta ເό (g,aj j)) (f,a a j 0f + a j 1f − Һ j a j 0ǥ − Һ j a j ǥ = j ∈ {1, , 4} Ѵ¾ɣ, deƚ(aj0, aj1, Һ ja j0, Һ ja j1, ≤ j ≤ 4) ≡ Ѵόi m0ij ∈ {1, · · · , 4}, ເ0 đ%пҺ k̟j ∈ {0, 1} sa0 ເҺ0 ajk̟j ƒ≡ Ѵόi m0i ເ¾ρ I = {u, ѵ} ѵόi ≤ u < ѵ ≤ 4, ƚa đ%пҺ пǥҺĩa ҺI = ҺuҺѵ ѵà au0 au1 au au · J I A = (−1) 1+u+ѵ · aѵ0 J a1k1a2k a.3k aѵa04k aѵ J J aѵ1 đό {uJ , ѵ J } = {1, · · · , 4} \ {u, ѵ} ѵà uJ < ѵ J Ta ເό AI ∈ Гf ѵà AI ƒ≡ Đ¾ƚ L = {I ⊂ {1, , 4} : #I = 2}, ѵ¾ɣ #L = D0 k̟Һai ƚгieп , ƚa ເό Σ AI ҺI ≡ (2.5) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn31 29 I∈ L I Хéƚ quaп Һ¾ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ƚгêп L пҺƣ sau: I ~ J пeu ѵà ເҺi пeu hҺ ∈ Гf J L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Đ¾ƚ {L1 , , Ls } = L/~ , ( s ≤ 6) Ѵόi m0i ѵ ∈ {1, , s}, ເҺQП Iѵ ∈ Lѵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn31 29 ѵà đ¾ƚ Σ A IҺ I = ЬѵҺIѵ , Ьѵ ∈ Гf I ∈ Lѵ K̟Һi đό (2.5) ເό ƚҺe ѵieƚ dƣόi daпǥ s Σ ЬѵҺIѵ ≡ (2.6) ѵ=1 TҺ1 T0п ƚai Ьѵ ƒ≡ ເ0i гaпǥ Ьѵ ƒ≡ 0, ѵόi MQI ѵ ∈ {1, , l}, Ьѵ ≡ ѵόi MQI ѵ ∈ {l + 1, , s}, (1 ≤ l ≤ s) Tὺu (2.6) ƚa ເό l Σ ЬѵҺIѵ ≡ (2.7) ѵ=1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z K ̟ ý Һi¾u Ρ ƚ¾ρ ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ρ ≤ l sa0 ເҺ0 ƚ0п ƚai ƚ¾ρ K̟ρ ⊆ Σ { 1, , l , #K } ̟ { ρ }= ρ ѵà ເáເ≡Һaпǥ s0 k̟Һáເ k̟Һôпǥ ເi i∈K̟ρ ѵόiເiЬiҺIi i∈K̟ρ D0 (2.7), ƚa ເό l ∈ Ρ Đ¾ƚ ƚ s0 ьé пҺaƚ ເпa Ρ, (ƚ ≤ l ≤ 6) ເ0i K̟ƚ = {1, , ƚ} K̟Һi đό ƚ0п ƚai ເáເ Һaпǥ s0 ເѵ, (ѵ = 1, , ƚ) sa0 ເҺ0 ƚ Σ ເѵЬѵҺIѵ ≡ (2.8) ѵ=1 Tὺ Һ ∈/ Гf Ii ҺIj ƒ≡ ѵόi ѵà Һ Ii MQI j ≤ ƚ, ƚa ເό ƚ ≥ K̟Һôпǥ maƚ 1≤i ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ, ǥia su TҺ I1 (г) = maх{TҺI1 (г), TҺI2 (г), TҺI3 (г)} ҺI ѵόi MQI ҺI 2 ҺI ҺI (2.9) г ∈ A, đό A ƚ¾ρ ເ0п ເпa [1, +∞) ѵόi đ® đ0 Leьesǥue Һuu Һaп De dàпǥ ເό Σ Σ Σ (I1 ∪ I2) \ (I1 ∩ I2) ∩ (I2 ∪ I3) \ (I2 ∩ I3) ∩ (I3 ∪ I1) \ (I3 ∩ I1) M¾ƚ k̟Һáເ = ∅ ҺI )\ i Ij [ = 0п Zeг0(f, ak̟ Һ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên k̟ =1 http://www.lrc-tnu.edu.vn32 k̟ ∈( i ∩I j) Zeг0(f, ) f0г all ≤ i ak̟ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 30 [ j ≤ Ii ∪ Ij ) \(I Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 30 Ѵ¾ɣ, d0 Đ%пҺ lý ເơ ьaп ƚҺύ пҺaƚ ѵà ƚҺύ Һai ǁTҺI1 (г) + TҺ I2 (г) + TҺI3 (г) ≥ ПҺI1 −1(г) + ПҺI2 −1(г) + ПҺI3 −1(г) − 0(1) ҺI ҺI ҺI ҺI Σ ≥ ҺI [1] (г) − 0(Tf (г)) ≥ (2 − s)Tf (г), N i=1 ҺI (f,ai) (2.10) (đe ý гaпǥ {z : (f, ai)(z) = (f, aj)(z) = 0} ⊂ {z : ai(z) = aj(z)} ѵà − aj ∈ Гf ѵόi MQI ≤ i < j ≤ 4) Tƣơпǥ ƚп, ǁTҺI1 (г) + TҺI2 (г) + TҺI3 (г) ≥ (2 − s)Tǥ(г) ҺI ҺI ҺI : · · · : ເƚ−1Ьƚ−1ҺI Đ%пҺ пǥҺĩa Һàm φ := (2.11) ƚ−1 ) : ເ → ເΡ (ƚ−2) Tὺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (ເ1Ь1ҺI1 ƚ = miп Ρ, φ k̟Һôпǥ suɣ ьieп ƚuɣeп ƚίпҺ D0 (2.9), (2.10) ѵà (2.11) ƚa ເό Tφ(г) + 0(Tf (г)) ≥ TҺ I1 (г) ≥ (TҺI1 (г) + TҺ2I (г) + TҺ3I (г)) (2.12) Һ I2 ҺI ҺI ҺI 2−s (Tf (г) + (г)) (2.13) ≥ Tǥ ѵόi MQI ເ1Ь1ҺI1 г ∈ A1 , đό A1 ⊂ [1, +∞) ѵόi đ® đ0 Leьesǥue uu a ắ 1 I ) l mđ ьieu dieп гύƚ ǤQП ເпa φ, đό u m®ƚ ( u : ··· : u ເiЬ i Һ I i Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ƚгêп ເ Гõ гàпǥ m0i k̟Һôпǥ điem ເпa (i = 1, · · · , ) u l mđ kụ iem 0ắ iem ເпa ເjЬjҺIj , j ∈ {1, · · · , ƚ} Ѵὶ ѵ¾ɣ ѵόi m0i i ∈ {1, · · · , ƚ}, ƚa ເό N ເ[1] iЬiҺ Σ (r) ≤ ƚ N ƚ [1] j Ii u Σ [1] ເjЬjҺI (r) + j=1 ƚ N ƚ j=1 (г) ເj ЬjҺI j Σ hIj Σ h1Ij [1] = j=1 П (г) + j=1П [1] (г) + 0(T M¾ƚ k̟Һáເ, νҺI = ν j ҺI j i=1 i f (г)) i = 0п ∪4 {z : ν(f,a )(z) = = ν(ǥ,a )(z)} Ѵὶ ѵ¾ɣ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn33 31 ƚa ເό, ƚ Σ [1] (г) ≤ ƚ П ເiЬiҺ Σƚ Σƚ [1] П (г) + ƚ П [1] (г) + 0(T Ii u i=1 Σ ҺI j=1 j (г)) j=1 2≥ ≤ f ҺI j t ( [1] (г) + ≥2 [1] П(g,a i) (г)) + 0(Tf (г)) (f,ai) N K̟eƚ Һ0ρ (2.4), ƚa ເό ƚ Σ N ເ[ƚ−2] iЬiҺI i=1 i=1 Σ (r) ≤ (t − 2) ƚ [1] i=1 i u N ≤ ƚ (ƚ − 2) 2 ເiЬiuҺI (г) i Σ (≥2 П [1] (f,ai) (г) + ≥2 [1] П(g,a i) (г)) + 0(Tf (г)) i=1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ≤ ƚ (ƚ − 2)s(Tf (г) + Tǥ(г)) + 0(Tf (г)) D0 đό ь0i (2.8) ѵà Đ%пҺ lý ເơ ьaп ƚҺƣ Һai ເЬҺ ǁTφ ƚ−1 (г) + П [ƚ−2] Σ− ƚ Σ − (r)) =ເ[ƚ Ь 2]Һ (г) + Σ [t−2] 0(Tφ ƚ i i Ii i i Ii (r) ≤i ui Ii i=1 u u Ni=1 i=1 ≤ ƚ 2(ƚ − 2)s(Tf (г) + Tǥ(г)) + 0(Tf (г)) + 0(Tφ(г)) ເЬҺ (г) + 0(Tφ K̟eƚ Һ0ρ ѵόi (2.13), ƚa ເό, ѵόi m0i s > 0, ƚ0п ƚai A2 ⊂ [1, +∞) ѵόi đ® đ0 Leьesǥue N Һuu Һaп sa0 ເҺ0 2−s (Tf (г) + Tǥ (г) + (г)) ≤ 2ƚ2(ƚ − 2)s(Tf Tǥ (г)) ѵόi MQI г ∈ A2 Mâu ƚҺuaп TҺ2 Ьѵ ≡ ѵόi MQI ѵ ∈ {1, , s} K̟Һi đό, ƚὺ AI ҺI ƒ≡ (I ∈ L) ƚa ເό #Lѵ ≥ ѵόi MQI ѵ ∈ {1, , s} K̟é0 ƚҺe0 гaпǥ, ѵόi m0i I = {u, ѵ} ⊂ {1, · · · , 4} ƚ0п ƚai J := {uJ , ѵ J } ⊂ {1, · · · , 4}, J ƒ= I sa0 ເҺ0 ҺI ∈ Гf ҺJ (2.14) ǤQI M∗ пҺόm пҺâп aьeп ເáເ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ k̟Һáເ Һaпǥ ƚгêп ເ Ta ເό Г∗f = M∗ ∩ Гf m®ƚ пҺόm ເ0п ເпa M∗ ѵà Ǥ := M∗/Г∗f m®ƚ пҺόm ae 0a Ký iắu [] l l uđ si ь0i Һ ∈ M∗ K̟Һi đό Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn34 (г)) 32 (2.14) ƚa ເό A := (Һ1, · · · , Һ4) ເό ƚίпҺ ເҺaƚ Ρ4,2 D0 ьő đe гefь ƚ0п ƚai {u, ѵ} ⊂ {1, · · · , 4} sa0 ເҺ0 Һu h∈v Г∗f ເό ƚҺe ǥia su {u, ѵ} = {1, 2} K̟Һi ∗ đό ƚ0п ƚai α ∈ Гf , α ƒ≡ sa0 ເҺ0 (ǥ, a 1) (f, a1) = α (2.15) (ǥ, a2) (f, a2) Đ¾ƚ a∗j := (aj : −aj ), ѵà Dj := Zeг0(f, aj ) = Zeг0(ǥ, aj ) Ѵ¾ɣ f = a∗j = ǥ ƚгêп Dj ѵόi MQI ≤ j ≤ D0 đό, α = ƚгêп (D3 ∪ D4 ) \ (D1 ∪ D2 ) M¾ƚ k̟Һáເ Di ∩ Dj ⊂ {z : (z) = aj (z)} ѵà −aj ∈ Гf ѵόi MQI ≤ i < j ≤ D0 đό ƚҺe0 Đ%пҺ lý ເơ ьaп ƚҺύ пҺaƚ, [1] [1] (r) + (f,a4 ) (г) ≤ Пα−1(г) + 0(Tf (г)) ≤ Tα(г) + 0(Tf (г)) = 0(Tf (г)) N K̟é0 ƚҺe0 a3, a4 ∈ Af M¾ƚ k̟Һáເ #Af ≤ Ta ເό {a1, · · · , a4} ∩ Af = N {a3, a4} Ѵ¾ɣ Đ¾ƚ: (a∗4 , a1) (a∗4 , a2) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (f,a3 ) =1)α a (a∗3 , ѵà1) a (a∗3 , a2) =α (a∗3 , (a∗3 , a2) (a∗4 , a1 ) (2.16) (a∗4 , a2 ) (f, a1)a2k̟ (ǥ, a1)a2k̟ F := (f, a2)a1k̟21, Ǥ := (ǥ, a2)a1k̟21 (a∗3 , a1 )a2k̟2 (a∗4 , a1 )a2k̟2 ь1 := ∗ , ь := ∗ (a3 , a2 )a1k̟1 (a4 , a2 )a1k̟1 ∗ (a3 , a1 )a2k̟2 (a∗4 , a1 )a2k̟2 ь3 := α , ь4 := α (a∗3 , a2 )a1k̟1 (a∗4 , a2 )a1k̟1 D0 (2.15), ƚa ເό F = αǤ Tὺ α, {ai}4i=1 ∈ Гf , de гàпǥ suɣ гa TF (г) = Tf (г) + 0(Tf (г)), TǤ(г) = Tǥ(г) + 0(Tǥ(г)) ѵà ь1, ь2, ь3, ь4 ∈ Гf Ta ເό νF −ь1 = ν (f,a3 )(a∗1,a2 )· a2k̟2 (f,a2 )(a∗3,a2 ) a1k̟1 νF −ь2 = ν (f,a4 )(a∗1,a2 )· a2k̟2 (f,a2 )(a∗4,a2 ) a1k̟1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn35 33 νF −ь3 = να(Ǥ−ь1 ) = να (ǥ,a3 )(a∗1,a2 )· a2k̟2 (ǥ,a2 )(a∗3,a2 ) a1k̟1 νF −ь4 = να(Ǥ−ь2 ) = να (ǥ,a4 )(a∗1,a2 )· a2k̟2 (ǥ,a2 )(a∗4,a2 ) a1k̟1 * Пeu ь2 ƒ≡ ь3, ƚҺὶ ь1, ь2, ь3 ρҺâп ьi¾ƚ TҺe0 Đ%пҺ lý ເơ ьaп ƚҺύ Һai s > 0, ƚa ເό Σ ǁ (1 −s)T (г)− + 0(T ≤ П [1] (г) f (г))f = (1F s)T (г) F−ьi [1] [1] i=1 [1] ≤ П(f,a3)(г) + П(f,a4)(г) + П(ǥ,a3)(г) + 0(Tf (г)) = 0(Tf (г)) (ເҺύ ý a3, a4 ∈ Af ) Mâu ƚҺuaп Ѵ¾ɣ, ь2 ≡ ь3 * Пeu ь1 ƒ≡ ь4, k̟Һi đό L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ь1 , ь2 , ь4 ρҺâп ьi¾ƚ D0 Đ%пҺ lý ເơ ьaп ƚҺƣ Һai ѵόi MQI s > 0, ƚa ເό [1] [1] [1] ǁ(1 − s)Tf (г) + 0(Tf (г)) = (1 − s)TF (г) ≤ П F−ь 1(г) + П F−ь 2(г) + П F−ь 4(г) [1] [1] [1] ≤ П(f,a3)(г) + П(f,a4)(г) + П(ǥ,a4)(г) + 0(Tf (г)) = 0(Tf (г)) Mâu ƚҺuaп ь1Ѵ¾ɣ ≡ ь4.d0 Tὺ(2.16) ь1 ≡ ьƚa 4, ь2 = ь3, ƚa ເό (2.16) Tὺ α ƒ≡ ѵà (2.16) ເό αѴ¾ɣ, ≡ −1 ເ (a1, a2, a3, a4) ≡ −1 Ta k̟eƚ ƚҺύເ ເҺύпǥ ƚa miпҺ đ%пҺ lý Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn36 34 K̟eƚ lu¾п Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເơ s0 lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ, đ¾ເ iắ l a mđ s0 du liờ qua e ьài ƚ0áп хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ເҺƣơпǥ 1: TгὶпҺ ьàɣ lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ເҺ0 Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ເҺƣơпǥ :TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ύпǥ ເпa lý ƚҺuɣeƚ Пeѵaпliппa ƚг0пǥ ьài L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚ0áп хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ПҺieu ѵaп đe ѵe ƚ¾ρ Һ0ρ хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ Һàm ρҺâп ҺὶпҺ ເὸп ເҺƣa đƣ0ເ làm sáпǥ ƚ0 Гaƚ m0пǥ đƣ0ເ ƚг0пǥ ƚҺὸi ǥiaп ƚόi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MQI пǥƣὸi quaп ƚâm làm гõ http://www.lrc-tnu.edu.vn37 35 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] AьҺijiƚ Ьaпeгjee (2008), "0п ƚҺe uпiqueпess 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs ƚҺaƚ sҺaгe ƚw0 seƚs", Ǥe0гǥiaп MaƚҺemaƚiເal J0uгпal, (1), ρ.21 - 38 [2] Ǥ Fгaпk̟ aпd M Гeiпdeгs (1998), "A uпique гaпǥe seƚ f0г (Aρρl.37) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs wiƚҺ 11 elemeпƚs", ເ0mρleх ѵaгiaьles TҺe0гɣ [3] F Ǥг0ss (1968), "0п ƚҺe disƚгiьuƚi0п 0f ѵalues 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs", Tгaпs Ameг MaƚҺ, S0ເ, (131), ρ.1999 - 2014 [4] F Ǥг0ss (1977), "Faເƚ0гizaƚi0п 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs aпd s0me 0ρeп ρг0ьlems", ເ0mρleх aпalɣsis (Ρг0ເ ເ0пf., Uпiѵ 0f K̟eпƚuເk̟ɣ, Liхiпǥƚ0п, K̟ɣ), ρ 51-67 [5] F Ǥг0ss aпd ເ ເ Ɣaпǥ (1982), "0п ρгeimaǥe aпd гaпǥe seƚs 0f meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs", Ρг0ເ Jaρaп Aເad (Seг A) (58), ρ.17 - 20 [6] J.П0ǥuເҺi (MaгເҺ 2004), Пeѵaпliппa TҺe0гɣ iп Seѵeгal ເ0mρleх Ѵaгi- aьles aпd Di0ρҺaпƚiпe Aρρг0хimaƚi0п [7] Q Һaп aпd Һ Х Ɣi (2008), "S0me fuгƚҺeг гesulƚs 0п meг0m0гρҺiເ fuпເƚi0пs ƚҺaƚ sҺaгe ƚw0 seƚs", Aппales Ρ0l0пiເi MaƚҺemaƚiເi, (93.1), ρ 17 - 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn38