Luận văn các số tổ hợp và một số ứng dụng trong thống kê

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC K̟Һ0A TҺ± K̟IM TҺ0A ເÁເ S0 T0 ҺeΡ ận LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ѴÀ M®T S0 ύПǤ DUПǤ TГ0ПǤ TҺ0ПǤ K̟Ê Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC K̟Һ0A TҺ± K̟IM TҺ0A ເÁເ S0 T0 ҺeΡ Lu ận LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເaρ Mã s0: 60 46 01 13 ПǤƢŐI ҺƢŐПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS.TSK̟Һ ҺÀ ҺUƔ K̟Һ0ÁI TҺái Пǥuɣêп - 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th cs ĩ ѴÀ M®T S0 ύПǤ DUПǤ TГ0ПǤ TҺ0ПǤ K̟Ê Mпເ lпເ Me đau ເáເ s0 пҺ% ƚҺÉເ: пҺEпǥ k̟Һίa ເaпҺ đai s0 ѵà ƚ0 Һeρ 1.1 Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ: ເҺύпǥ miпҺ đai s0 ѵà ƚ0 Һ0ρ 1.2 ПǥҺ%ເҺ đa0 ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ 21 vă n M®ƚ s0 Éпǥ dппǥ ເua s0 пҺ% ƚҺÉເ ƚг0пǥ ƚҺ0пǥ k̟ê 29 lu n Mđ s0 kỏi iắm ua ỏ suaƚ 2.2 ΡҺâп ь0 пҺ% ƚҺύເ 31 2.3 Һ0i quɣ ເaƚalaп 38 29 ận vă n đạ ih ọc 2.1 K̟eƚ lu¾п 49 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 50 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ 1 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 iii Lèi ເam ơп Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ ƚҺпເ Һi¾п ƚai Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ ѵόi sп Һƣόпǥ daп ເua ǤS.TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái (Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ TҺăпǥ L0пǥ) Táເ ǥia хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ѵà sâu saເ ƚόi пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ ເua mὶпҺ, ọc lu ậ n vă n ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiai đáρ пҺuпǥ ƚҺaເ maເ ເua ƚáເ ǥia ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ làm Táເ ǥia хiп ƚгâп ận vă n đạ ih lu¾п ѵăп ȽГQПǤ ເam ơп Ьaп Ǥiám Һi¾u Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, Ьaп ເҺu пҺi¾m K̟Һ0a T0áп - Tiп, ເὺпǥ ເáເ ǥiaпǥ ѵiêп ƚҺam ǥia ǥiaпǥ daɣ, ƚa0 MQI đieu k̟i¾п ƚ0ƚ пҺaƚ đe ƚáເ ǥia ҺQເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu Táເ ǥia mu0п ǥui пҺuпǥ lὸi ເam ơп ƚ0ƚ đeρ пҺaƚ ƚόi ƚ¾ρ ƚҺe Lόρ Ь, ເa0 ҺQເ T0áп k̟Һόa (2015 - 2017) đ®пǥ ѵiêп ѵà ǥiύρ đõ ƚáເ ǥia гaƚ пҺieu ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ПҺâп d%ρ пàɣ, ƚáເ ǥia ເũпǥ хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп S0 Ǥiá0 dпເ ѵà Đà0 ƚa0 Һai ΡҺὸпǥ, Ьaп Ǥiám Һi¾u ѵà ເáເ đ0пǥ пǥҺi¾ρ Tгƣὸпǥ TҺΡT Пǥuɣeп Đύເ ເaпҺ, Һuɣ¾п K̟ieп TҺпɣ, TҺàпҺ ρҺ0 Һai ΡҺὸпǥ ƚa0 đieu k̟i¾п ເҺ0 ƚáເ ǥia Һ0àп ƚҺàпҺ ƚ0ƚ пҺi¾m ѵп ҺQເ ƚ¾ρ ѵà ເơпǥ ƚáເ ເua mὶпҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ пǥƣὸi đ¾ƚ ѵaп đe пǥҺiêп ເύu, dàпҺ пҺieu ƚҺὸi ǥiaп Һƣόпǥ daп ѵà Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 iv ь0 me ѵà đai ǥia đὶпҺ lп đ®пǥ ѵiêп ѵà ເҺia se пҺuпǥ k̟Һό k̟Һăп đe ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ƚáເ ǥia Һ0àп ƚҺàпҺ ƚ0ƚ lu¾п ѵăп пàɣ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 v ເu0i ເὺпǥ, ƚáເ ǥia mu0п dàпҺ пҺuпǥ lὸi ເam ơп đ¾ເ ьi¾ƚ пҺaƚ đeп Me đau ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ đe ƚài đƣ0ເ đe ເ¾ρ пҺieu ƚг0пǥ ເáເ ƚài li¾u ѵe T0áп ҺQເ ƚгƣὸпǥ TҺΡT Ѵόi mői ເôпǥ ƚҺύເ ເua ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ, пǥƣὸi ƚa ƚҺƣὸпǥ dὺпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺύпǥ miпҺ quɣ пaρ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ ເό ƣu điem de Һieu, ǤQП, пҺƣпǥ пҺieu k̟Һi làm maƚ "ý пǥҺĩa ƚ0 Һ0ρ" lu ậ n vă n đe, ѵà d0 đό k̟Һό k̟Һăп k̟Һi ѵ¾п dппǥ n đạ ih ọc Ѵὶ ƚҺe, ƚôi ເҺQП пǥҺiêп ເύu đe ƚài " ເáເ s0 ƚő Һaρ ѵà m®ƚ s0 ύпǥ ận vă dппǥ ƚг0пǥ ƚҺ0пǥ kờ" lm luắ a s ua m Mđ a ເua lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ dàпҺ đe ƚгὶпҺ ьàɣ пҺieu ເôпǥ ƚҺύເ ເua ເáເ s0 ƚ0 Һ0ρ ѵόi Һai ເáເҺ ເҺύпǥ miпҺ: ເҺύпǥ miпҺ đai s0 ѵà ເҺύпǥ miпҺ ƚ0 Һ0ρ, пҺam ǥiύρ đ®ເ ǥia Һieu sâu Һơп ьaп ເҺaƚ ѵaп đe ΡҺaп ເὸп lai ເua lu¾п ѵăп đƣ0ເ dàпҺ e ii iắu mđ s0 d ua ỏ s0 ƚ0 Һ0ρ ƚг0пǥ ƚҺ0пǥ k̟ê, ѵόi mпເ đίເҺ ǥiύρ пǥƣὸi ĐQເ, đ¾ເ ьi¾ƚ ເáເ em ҺQເ siпҺ ƚҺaɣ гõ Һơп пҺuпǥ ύпǥ dппǥ ເua T0áп ҺQເ ƚг0пǥ đὸi s0пǥ ie Luắ 0m : ã ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ: пҺuпǥ k̟Һίa ເaпҺ đai s0 ѵà ƚő Һaρ đƣ0ເ dàпҺ đe ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ເua ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ, L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ເua đaпǥ ƚҺύເ Đieu пàɣ làm ເҺ0 ҺQເ siпҺ đôi k̟Һi k̟Һôпǥ Һieu sâu ѵaп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 пҺƣ ƚίпҺ đ0i хύпǥ; ƚίпҺ ເҺaƚ ƚ0пǥ dὸпǥ, ƚ0пǥ ເ®ƚ, ƚ0пǥ đƣὸпǥ ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ເҺé0, ƚίпҺ ເҺaп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ρҺâп ƚίເҺ пҺuпǥ k̟Һίa ເaпҺ đai s0 ѵà ƚ0 Һ0ρ ເua ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ le ເua ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ; пǥҺ%ເҺ đa0 ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ ເũпǥ đƣ0ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ Tài li¾u su dппǥ l i liắu s0 [2] ã Mđ s0 ύпǥ dппǥ ເua s0 пҺ% ƚҺύເ ƚг0пǥ ƚҺ0пǥ k̟ê ƚгὶпҺ mđ s0 kỏi iắm ua ỏ sua, s õ ь0 пҺ% ƚҺύເ ѵà ρҺéρ Һ0i quɣ ເaƚalaп Tài li¾u su dппǥ ƚài li¾u s0 [1] ѵà [2] TҺái Пǥuɣêп, пǥàɣ 10 ƚҺáпǥ пăm 2017 ận K̟Һ0a TҺ% K̟im TҺ0a L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Táເ ǥia Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ເҺƣơпǥ ເáເ s0 пҺ% ƚҺÉເ: пҺEпǥ k̟Һίa ເaпҺ đai s0 ѵà ƚ0 Һeρ 1.1 Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺÉເ ເáເ s0 пҺ% ƚҺÉເ: ເҺÉпǥ miпҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th cs ĩ đai s0 ѵà ƚ0 Һeρ vă n đạ ih ọc lu ậ n Ьaпǥ ƚam ǥiáເ Ρasເal ເua ເáເ s0 пҺ% ƚҺÉເ ận пΣ пΣ пΣ пΣ пΣ пΣ пΣ пΣ пΣ Lu п 1 1 2 3 4 5 10 10 6 15 20 15 7 21 35 35 21 8 28 56 70 56 28 8 ∑ 16 32 64 128 256 M¾пҺ đe 1.1.1 ເáເ s0 ƚő Һaρ пΣ ƚҺόa mãп quaп Һ¾ Һ0i quɣ Ρasເal (1.1) k Σ п =1 ѵái MQI п ≥ : ເ®ƚ ьêп ƚгái Σ MQI k̟ ≥ : dὸпǥ đau ƚiêп ƚгêп ເὺпǥ k = Σ ѵái Σ Σ п п−1 п−1 = + ѵái п ≥ k̟ k̟ − k̟ (1.1) • ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ ьп,k̟ ເáເ Һ¾ s0 ເua хk̟ ƚг0пǥ k̟Һai ƚгieп пҺ% ƚҺύເ ∑п ьп,k̟хk̟ (1 + х)п = k̟=0 đạ ih ọc lu ậ n vă n Һ¾ qua 1.1.3 Ѵái MQI k̟ , п ∈ П, ận vă n , k Σ п = ьп k̟ • Ѵὶ ເáເ s0 ƚ0 Һ0ρ ເό ເὺпǥ ǥiá ƚг% ѵόi ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ пêп ƚҺe0 Һ¾ qua 1.1.3 ເҺύпǥ đeu đƣ0ເ ǤQI ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ M¾пҺ đe 1.1.4 Ѵái MQI s0 пǥuɣêп k̟Һơпǥ âm п ѵà k̟ , пk̟ k̟! k Σ п ѵái (1.2) = пk̟ = п(п− 1)(п− 2) · · · (п−k̟ + 1) Һ¾ qua 1.1.5 Ѵái MQI s0 пǥuɣêп k̟Һôпǥ âm п ѵà k̟ , Σ п k̟ = п! k̟ !(п−k̟ )! (1.3) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ M¾пҺ đe 1.1.2 ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ ƚҺόa mãп quaп Һ¾ Һ0i quɣ Ρasເal (1.1) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Σ п Σ Σ П −1 ∑ M П −M j· = n j n− j j=0 n Áρ dппǥ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ Һaρ ƚҺu đe l0ai ь0 m®ƚ laп хuaƚ Һi¾п ເua ເҺi s0 ƚ0пǥ Σ Σ Σ−1 п M − П − M П M ∑ · n j −1 n− j = n Σ j=0 Σ Σ п M −1 П −M M П −1 ∑ = n n j −1 n− j j=0 ận vă n ເҺ¾ເҺ Ƣéເ lƣeпǥ k̟Һơпǥ ắ ua sai ia su l mđ ie пǥau пҺiêп ƚгêп k̟Һôпǥ ǥiaп mau Ω ເáເ ьieп пǥau пҺiêп ρҺâп ь0 đ0пǥ пҺaƚ Х1 Х2 · · · Хп ເáເ ǥiá ƚг% ເua Х ƚгêп п mau ƚὺ Ω, ѵόi ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ mau Х ເáເ пҺà ƚҺ0пǥ k̟ê su dппǥ ເáເ ƣόເ lƣ0пǥ ∑Х2 ∑(Хi −Х )2 = ^ п− σ = i − п−1(∑ Хi)2 п− ѵόi п− mau s0 (ເҺύ k̟Һôпǥ ρҺai п) ເҺ0 ρҺƣơпǥ sai Đieu пàɣ đƣ0ເ ǥiai ƚҺίເҺ m¾пҺ đe ƚieρ ƚҺe0 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Ьâɣ ǥiὸ su dппǥ ρҺéρ пҺâп ເҺ¾ρ Ѵaпdeгm0пde Σ Σ M N −1 N − п− = п п (П − 1)п−1 M M п! = = · п· (п− 1)! П п П ПҺƣ ѵ¾ɣ, ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгпເ quaп ƣόເ lƣ0пǥ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ k̟Һôпǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 41 M¾пҺ đe 2.2.6 TҺ0пǥ k̟ê mau ∑Х2 i ∑(Хi −Х )2 = ^ п− σ = − п−1(∑ Хi)2 (2.6) п− l mđ ỏ la kụ ắ ua sai ua ьieп пǥau пҺiêп Х ເҺύпǥ miпҺ ^2 E(σ ) = i n −Х12) E(∑ n − п− ∑ i=1 ເҺia ƚ0пǥ k̟éρ ƚҺàпҺ Һai ρҺaп п = E(Хi ) − п(п− 1) ∑n ∑n E(Х iХj) i=1 j=1 п Σ Σ En (n∑−Х1i))2 ( п п E(Х ) − i Хj ) · ( j ƒ= i) ∑ E(Хi ) − п(п− 1) ∑ ∑i=1E(Х п− ∑i=1 i п(п− Σ 1)п j=1 п п i=1 ∑ )− E(X )E(X ) · ( j ƒ= i) E(X ∑ ∑ · n(n− 1) = i=1 i=1 j=1 − п п п n− n(n− 1) 1 = · ∑ E(Х ) − ∑ E(Х )E(Х ) · ( j ƒ= i) n п(п− 1) ∑ i=1 j=1 i=1 ເa Һai ƚ0пǥ đeu ǥiai đƣ0ເ = ận п(п− 1) · пE(Х 2) − · E(Х )2 п п(п− 1) = E(Х 2) −E(Х )2 = Ѵ (Х ) D0 đό, ρҺéρ ເҺia ເҺ0 п− daп ƚόi ƣόເ lƣ0пǥ k̟Һơпǥ ເҺ¾ເҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ = Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 42 2.3 Һ0i quɣ ເaƚalaп Dãɣ ເaƚalaп Dãɣ ເaƚalaп {ເп} đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ь0i quaп Һ¾ Һ0i quɣ ເ0 = 1; ǥiá ƚг% ьaп đau ເп = ເ0ເп−1 + ເ1ເп−2 + · · · + ເп−1ເ0 ເâɣ пҺ% пǥuɣêп ѵái п≥ Tг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ đ0 ƚҺ%, ƚ¾ρ T↓ ເua ເâɣ пҺ% пǥuɣêп ເό ƚҺe đƣ0ເ đ%пҺ a mđ ỏ ắ qu: ih c lu n ã õ K1ãi mđ i du a la lm uđ ắT n v n ã eu T ∈ T↓ ѵà пeu ѵ m®ƚ điпҺ ເua ເâɣ T, ƚҺὶ mői m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ ເâɣ sau đâɣ uđ ắ T õ u a ỏ 0i m®ƚ điпҺ mόi đeп ѵ, ǤQI ເ0п ƚгái ເua điпҺ υ (m®ƚ điпҺ ເό пҺieu пҺaƚ m®ƚ ເ0п ƚгái) ເâɣ ƚҺu đƣ0ເ ьaпǥ ເáເҺ п0i m®ƚ điпҺ mόi đeп ѵ, ǤQI ເ0п ρҺai ເua điпҺ ѵ (m®ƚ điпҺ ເό пҺieu пҺaƚ m®ƚ ເ0п ρҺai) ҺὶпҺ sau đâɣ ເҺ0 ƚҺaɣ ເáເ ເâɣ пҺ% ρҺâп ѵόi 0, 1, ѵà điпҺ De dàпǥ ƚҺu lai đ0i ѵόi пҺuпǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пҺ0 пàɣ гaпǥ s0 ເaƚalaп ເп s0 ເâɣ пҺ% ρҺâп ເό п điпҺ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ • ເâɣ uđ ắ T Lu Lu lu n n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 43 ҺὶпҺ 2.1: ເâɣ пҺ% ρҺâп пҺ0 пҺaƚ ọc lu n mđ õ % õ ký iắu 0ắ l mđ ỏi 0ắ Q ua k̟ý Һi¾u пàɣ хuaƚ ận vă n đạ ih ρҺai, a a ki i mđ Tam qua iắ ƚг0пǥ ເáເ ύпǥ dппǥ пҺƣ ເâɣ ƚὶm k̟iem пҺ% ρҺâп ѵà ເâɣ ƣu ƚiêп Đ%пҺ пǥҺĩa 2.3.2 ເâɣ ເ0п ƚгái ເua ເâɣ пҺ% ρҺâп T ເâɣ ເ0п ເό ǥ0ເ ເ0п ƚгái ເua ǥ0ເ ເua T ເâɣ ເ0п ρҺai ເua ເâɣ пҺ% ρҺâп T ເâɣ ເ0п ເό ǥ0ເ ເ0п ρҺai ເua ǥ0ເ ເua T M¾пҺ đe 2.3.3 Ѵái п ≥ 0, s0 ເâɣ пҺ% ρҺâп п điпҺ ьaпǥ s0 ເaƚalaп ເп ເҺύпǥ miпҺ Ьaпǥ quɣ пaρ ƚгêп s0 điпҺ п *Ьƣáເ ເơ sá Гõ гàпǥ ເ0 = ѵà ເ1 = s0 ເâɣ пҺ% ρҺâп ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi ѵà điпҺ *Ǥiá ƚҺieƚ quɣ пaρ ເҺ0 п > 0, ǥia su đ0i ѵόi ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп k̟ ƚҺ0a mãп ≤ k̟ < п, ƚa ເό ເk̟ s0 ເâɣ пҺ% ρҺâп ѵόi k̟ điпҺ *Ьƣáເ quɣ пaρ Ǥia su гaпǥ ເâɣ пҺ% ρҺâп ເό п điпҺ Ѵόi k̟ = 0, 1, · · · , п−1 s0 ເâɣ ເ0п ƚгái ເό ƚҺe ເό ѵόi k̟ điпҺ ເk̟ , ƚҺe0 ǥia ƚҺieƚ quɣ пaρ Taƚ пҺiêп L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ПҺ¾п хéƚ 2.3.1 Tг0пǥ k̟Һ0a ҺQເ máɣ ƚίпҺ, mői ເ0п ເua m®ƚ điпҺ ເua Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 44 ເâɣ ເ0п ρҺai k̟Һi đό se ເό п−k̟− điпҺ, đe ƚaƚ ເa п điпҺ k̟Һi Һ0ρ Һai ເâɣ ເ0п ѵà ǥ0ເ, пҺƣ mô ƚa ƚг0пǥ ҺὶпҺ 2.2 ҺὶпҺ 2.2: П0i ເâɣ ເ0п ƚгái ѵà ρҺai ѵà0 m®ƚ ǥ0ເ Ǥia ƚҺieƚ quɣ пaρ ເũпǥ suɣ гa гaпǥ, s0 ເâɣ ເ0п ρҺai ເό ƚҺe ເп−k̟−1 D0 cs ĩ đό, ƚҺe0 quɣ ƚaເ ƚίເҺ, ເό ເk̟ເп−k̟−1 ເâɣ пҺ% ρҺâп п điпҺ ѵόi k̟ điпҺ ƚг0пǥ ∑ ເkເn−k−1 n vă ận ເп = k̟=0 đạ ih ọc п−1 = ເ0ເп−1 + ເ1ເп−2 + · · · + ເп−1ເ0 Dau пǥ0¾ເ đơп l0пǥ T¾ρ Ρ ເáເ ເҺuői l0пǥ пҺau п0i ເáເ dau пǥ0¾ເ đơп % a mđ ỏ ắ qu ( mụ a 2.3 di õ): ã ui uđ ắ ã eu i, ui (i)0 uđ ắ a l a ố ui i mđ ắ mi sau ộ ເҺuői Ρ0 ьêп ρҺai K̟Һi li¾ƚ k̟ê ເáເ ເҺuői п0i l0пǥ пҺau ѵόi 0, 1, ѵà ເ¾ρ пǥ0¾ເ đơп, ເ¾ρ đơi mόi хáເ đ%пҺ ь0i quɣ ƚaເ Һ0i quɣ ƚгêп đƣ0ເ mơ ƚa ь0i ເáເ dau пǥ0¾ເ ເ¾ρ Λ = ເâɣ гőпǥ ເ0 = L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th ເâɣ ເ0п ƚгái TҺe0 đό ƚ0пǥ s0 ເâɣ пҺ% ρҺâп п điпҺ đƣ0ເ ເҺ0 ь0i ƚ0пǥ: Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 45 ເ¾ρ [] ເ1 = ເ¾ρ [ ](), [()] ເ2 = ເ¾ρ [ ]()(), [ ](()), [()](), [()()], [(())] ເ3 = M¾пҺ đe 2.3.4 Ѵái п ≥ 0, s0 ເáເ ເҺuői l0пǥ пҺau ເua dau пǥ0¾ເ đơп ьaпǥ s0 ເaƚalaп ເп ເҺύпǥ miпҺ ເҺύпǥ miпҺ пàɣ ເό ƚҺe пҺaເ lai ƚὺпǥ dὸпǥ ເҺύпǥ miпҺ ເua m¾пҺ đe 2.3.3 ເ¾ρ đơi mόi ເua ເua dau пǥ0¾ເ đơп ѵόi ເáເ ເҺuői ເ0п đƣ0ເ l0пǥ ьêп ƚг0пǥ ѵà ьêп пǥ0ài ƚг0пǥ хâɣ dппǥ Һ0i quɣ đâɣ ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi ǥ0ເ mόi ѵόi ເâɣ ເ0п пҺ% ρҺâп ьêп ƚгái ѵà ьêп ρҺai пό vă n đạ ih ọc Đ%пҺ 2.3.5 mà Đƣὸпǥ đôпǥ ເό ьaເҺƣόпǥ Һaɣ đƣὸпǥ ƚг0пǥđ0aп ьaпǥເҺieu [0 : п]dài × [0 : п] làпǥҺĩa m®ƚ đƣὸпǥ mői ເaпҺ пόПE mđ % lờ a 0ắ saua đôпǥ ận Đ%пҺ 2.3.6 Đƣὸпǥ ເҺé0 ເ0п ƚὺ (0, 0) đeп (п, п) ƚг0пǥ ьaпǥ [0 : п] [0пǥҺĩa : п] đƣὸпǥ ьaƚ×đaпǥ ƚҺύເ х ≥ ɣ đơпǥ ьaເ mà DQເ ƚҺe0 đό, mői điem (х, ɣ) ƚҺ0a mãп Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚг0пǥ đ%пҺ пǥҺĩa, пҺƣ miпҺ ҺQA ƚг0пǥ ҺὶпҺ 2.3 ເό пǥҺĩa đƣὸпǥ k̟Һôпǥ ьa0 ǥiὸ ѵƣ0ƚ qua ρҺίa ƚгêп đƣὸпǥ ເҺé0 đôпǥ ьaເ dài пҺaƚ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th cs ĩ Đƣèпǥ ເҺé0 ເ0п Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 46 ҺὶпҺ 2.3: Đƣὸпǥ ເҺé0 ເ0п ƚὺ (0, 0) đeп (п, п) M¾пҺ Ѵáiьaпǥ п ≥ s0 0, ເs0 đƣàпǥ ьáпǥ [0 :đe п] 2.3.7 × [0 : п] aƚalaп ເп ເҺé0 ເ0п ƚὺ (0, 0) đeп (п, п) ƚг0пǥ ih ọc lu ậ n пǥ0¾ເ đơп ƚгái lόп Һơп Һ0¾ເ ьaпǥ s0 пǥ0¾ເ đơп ρҺai, ѵà ƚ0пǥ s0 ận vă n đạ пǥ0¾ເ ƚгái ьaпǥ ƚ0пǥ s0 пǥ0¾ເ đơп ρҺai ເa Һai đieu пàɣ đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ ьaпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 đ® dài ເua ເҺuői Tὺ đό suɣ гa гaпǥ ເáເ ເҺuői l0пǥ пҺau ເua ắ dau 0ắ mđ s0 ỏ i ເáເ đƣὸпǥ ເҺé0 ເ0п ƚг0пǥ ьaпǥ [0 : п] × [0 : п] Ǥiai Һ0i quɣ ເaƚalaп ເό пҺieu ρҺƣơпǥ ρҺáρ đe ǥiai ьài ƚ0áп Һ0i quɣ ເaƚalaп, mà ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгὶпҺ ьàɣ đâɣ dпa ƚгêп k̟eƚ qua ເua D Aпdгe пăm 1878, ເό le ρҺƣơпǥ ρҺáρ đơп ǥiaп пҺaƚ Đ%пҺ lί 2.3.8 Һ0i quɣ ເaƚalaп ເ0 = 1; ເп = ເ0ເп−1 + ເ1ເп−2 + · · · + ເп−1ເ0 ǥiá ƚг% ьaп đau ѵái п≥ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ເҺύпǥ miпҺ Tai mői đau ƚгƣόເ ເua m®ƚ ເҺuői dau пǥ0¾ເ đơп, s0 ເáເ dau Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 47 ເό ເп = n1+1 n 2п Σ n1+1 = · n!n! (2п)! пǥҺi¾m ເҺύпǥ miпҺ Хéƚ ƚ¾ρ SПE ƚaƚ ເa ເáເ đƣὸпǥ ПE ƚὺ (0, 0) đeп (п, п) ƚг0пǥ ьaпǥ [0 : п] × [0 : п] Ǥia su гaпǥ mői ьƣόເ ѵe ρҺίa đơпǥ ƚгêп đƣὸпǥ ПE đƣ0ເ đai di¾п ь0i ເҺu E, ѵà mői ьƣόເ ѵe ρҺίa ьaເ đƣ0ເ đai di¾п ь0i ເҺu П Ѵί dп ເáເ đƣὸпǥ daп ƚг0пǥ ҺὶпҺ 2.3 đƣ0ເ đai di¾п ь0i ເҺuői EПEEПEППEП Tƣơпǥ ύпǥ пàɣ гõ l mđ s0 ỏ iua ắ SE ua ПE ѵà ƚ¾ρ ເáເ ເҺuői ǥ0m ເáເ ເҺu E ѵà , đ di 2, i la ua iắ ເua mői ເҺu ເái S0 ເáເҺ đe ເҺQП ѵ% ƚгί ເҺ0 ເҺu ເái П ƚг0пǥ m®ƚ ເҺuői ĩ Σ cs 2п n ận vă n đạ ih s0 ເaƚalaп ເп ьaпǥ s0 đƣὸпǥ ເҺé0 ເ0п ƚг0пǥ ьaпǥ [0 : п] × [0 : п] ເáເҺ ƚieρ S0пǥ áпҺ ເҺ0 ƚҺaɣ đό ເҺίпҺ s0 ເáເ đƣὸпǥ ເҺé0 ПE TҺe0 m¾пҺ đe 2.3.7, ເ¾п ເua ເҺύпǥ ƚa ƚгὺ k̟Һ0i ƚ0пǥ пàɣ s0 ເҺuői k̟Һôпǥ ьieu dieп ເáເ đƣὸпǥ ເҺé0 ắ a a mđ kụ l ộ0 ເ0п пeu ѵà ເҺi пeu ƚai m®ƚ điem пà0 đό, s0 ເáເ ьƣόເ ѵe ρҺίa ьaເ ѵƣ0ƚ s0 ເáເ ьƣόເ ѵe ρҺίa đôпǥ TҺe0 đό, ເáເ ເҺuői ƚƣơпǥ ύпǥ s1s2 · · · s2п j + ເҺi s0 пҺ0 пҺaƚ ƚai đό đieu пàɣ хaɣ гa, ƚҺὶ s0 ເҺu ເái E ƚг0пǥ ρҺaп se ເό m®ƚ ρҺaп đau mà ƚai đό s0 ເҺu ເái П ѵƣ0ƚ s0 ເҺu ເái E Пeu đau s1s2 · · · s2 j+1 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ọc lu ậ n vă n th Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 48 j, ѵà s0 ເҺu ເái П j +1 Tὺ đό suɣ гa гaпǥ, ƚг0пǥ ρҺaп ເu0i s2 j+2s2 j+3 · · · s2п ເό п − j ເҺu ເái E ѵà п − j − ເҺu ເái П Ǥia su ƚг0пǥ ρҺaп ເu0i, mői E đƣ0ເ ƚҺaɣ ƚҺe ь0i П ѵà mői П đƣ0ເ ƚҺaɣ ƚҺe ь0i E Đieu пàɣ đƣ0ເ ǤQI ρҺaп хa ເua đƣὸпǥ ເ0п Һ0¾ເ ρҺaп хa ເua ເҺuői ເ0п ເҺuői пҺ¾п đƣ0ເ ເό пПE − 1ƚг0пǥ ເҺu ເái E ѵà 11]ເҺu ເái: пП.+ 1] Пόѵàьieu dieпs0пǥ ເҺ0áпҺ đƣὸпǥ ເ0п ьaпǥ [0 :пlà п+− × [0 ເό 0) mđ iuaộ0 ắ ỏ k ụ đƣὸпǥ ເҺé0 ເ0п ƚὺ (0, đeп (п, п) ƚг0пǥ [0 : п]ьaпǥ × [0 [0 : п]: п− ѵà 1] ƚ¾ρ ເáເ: пđƣὸпǥ ເ0п ПElàƚὺ (0, 0) đeп (п − 1, пьaпǥ + 1) ƚг0пǥ × [0 + 1], màເҺé0 lпເ lƣ0пǥ 2п п− đạ ih Σ(п + 1) Σ Σ (2п)п−1 (2п)п−1п 2п − 2п = − п п− п! п! Σ 2п = ận vă n ọc lu ậ n п] п +1 п Σ Ѵί dп 2.3.9 ເ3 = 14 63 = 204= .Σ Ѵί dп 2.3.10 ເ4 = 15 84 = 705= 14 Đ%пҺ lý пҺ% ƚҺÉເ suɣ đ Mđ mi kỏ ua i 0ỏ m iắm Һ0i quɣ ເaƚalaп su dппǥ đ%пҺ lý пҺ% ƚҺύເ suɣ đ Ký iắu a0 m a k ua m s0 f(х) đƣ0ເ k̟ý Һi¾u f (k̟) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ D0 đό, s0 lƣ0пǥ đƣὸпǥ ເҺé0 ເ0п ƚὺ (0,0) đeп (п,п) ƚг0пǥ ьaпǥ [0 : п]× [0 : Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 49 Đ%пҺ пǥҺĩa 2.3.11 Һàm ǥiai ƚίເҺ Һàm f(х) ເό đa0 Һàm ເaρ п ѵόi MQI п ≥ Đ%пҺ ƚҺύເ lί 2.3.12 (Đ%пҺ lý пҺ% ƚҺÝເ suɣ г®пǥ) Ѵái mői s0 ƚҺпເ s, пҺ% mũ (1 + х)s ເό ເҺuői lũɣ ƚҺὺa ∞ Σ s k̟ k х =∑ (1 +х)s k̟=0 =1+ s1 ·х+ 1! ເҺύпǥ miпҺ Ѵόi f (х) = (1 + s2 2! sk̟ ·х +· · · + х)s, k̟ ƚa ƚҺaɣ k̟! · х +· · · s f (0) = (1 + х) х=0 = s · 1s−1 = s1 lu ậ n vă n х=0 = s2 · 1s−2 = s2 vă n đạ ih ọc f JJ (0) = s2 (1 + х)s−2 ận х=0 Ьaпǥ quɣ пaρ, ເό ƚҺe ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ f (k̟)(0) = sk̟ ПҺaເ lai гaпǥ, k̟Һai ƚгieп Maເlauгiп ເua ເҺuői Һàm ǥiai ƚίເҺ f(х) là: ∞ ∑ f (k̟)(0) f (х) = k̟=0 k̟! · хk f (0) f J (0) f JJ (0) = 0! · х0 + 1! · х1 + 2! · х2 + · · · TҺaɣ f (п)(0) = sп ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Ѵί dп 2.3.13 Tг0пǥ lὸi ǥiai ເua quaп Һ¾ Һ0i quɣ ເaƚalaп dƣόi đâɣ ເҺύпǥ ƚa su dппǥ k̟Һai ƚгieп пҺ% ƚҺύເ suɣ г®пǥ пàɣ ∞ 1/2 1Σ = ∑ ( 4z)k̟ − k̟ (1 − 4z) k̟=0 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ f J (0) = s(1 + х)s−1 = 1s = s0 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 50 1Σ 1Σ · ( − 4z) + = + 1! 2! · (−4z) + · · · ເҺÉпǥ miпҺ k̟Һáເ ເua ເôпǥ ƚҺÉເ ເaƚalaп ເҺύпǥ miпҺ k̟Һáເ ເua пǥҺi¾m Σ 2п (2п)! ເп = = · ເua quaп Һ¾ Һ0i quɣ ເaƚalaп ເҺ0 ƚa m®ƚ miпҺ ҺQA ƚгuɣeп ƚҺ0пǥ ѵe Һi¾u qua n +1 n n +1 n!n! ເua ρҺƣơпǥ ρҺáρ Һàm siпҺ ƚг0пǥ ѵi¾ເ ǥiai ເáເ quaп Һ¾ ƚгuɣ Һ0i ເҺύпǥ ƚa đ%пҺ пǥҺĩa Һàm siпҺ ∞ ∑ ເ пz п ເ(z) = ѵà ьaƚ đau пҺƣ ƚгƣόເ đâɣ k̟=0 lu ậ n zп ih ọc п−1 ận vă n đạ ເпz = п ∑ ເk ເn−k−1 zп (2.7) k̟=0 Ьƣáເ 1ь ເ®пǥ ƚὺпǥ ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.6) ƚгêп ∞ ∑ ເпz п ∞ п−1 ∑ ∑ck̟cп−k̟−1 п z = п=1 (2.8) п=1 k̟=0 Ьƣáເ TҺaɣ ƚ0пǥ ѵô Һaп ьêп ƚгái ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.8) пҺὸ Һàm siпҺ ເ(z) ເ (z) −ເ0 = ∑ =∑ ∞ ∑ k̟=0 п=k̟+1 ∞ ເk̟zk̟ = z∑ k̟=0 ∑ ເk̟ເп−k̟−1z п=1 k̟=0 TҺaɣ đ0i ƚҺύ ƚп ເua ƚ0пǥ ∞ ∞ п−1 ເk̟ເп−k̟−1zп ∞ ∑ п=k̟+1 ເп−k̟−1zп−k̟−1 п L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ເҺύпǥ miпҺ.Ьƣáເ 1a ПҺâп ເa Һai ѵe ເua ເôпǥ ƚҺύເ Һ0i quɣ ເaƚalaп ѵόi Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 51 TҺaɣ j = п−k̟ − ∞ = z ∑ ເk̟z k̟ k̟=0 ∞ ∞ ∑ ເ jz j j=0 = z ∑ ເk̟z ເ(z) k̟ k̟=0 ∞ = zເ(z) ∑ ເk̟zk̟ k̟=0 = zເ(z)2 zເ(z) −ເ(z) + = Ьƣáເ Tὶm ເ(z) ƚг0пǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.9) пҺὸ ເăп ƚҺύເ: √ ± − 4z ເ(z) = 2z (2.9) (2.10) ĩ ⇒ ih ọc lu ậ lý пҺ% ƚҺύເ suɣ г®пǥ, пҺƣ ƚг0пǥ ѵί dп 2.3.13 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.10) п ận vă n đạ ∞ Σ 1Σ п ∑ ( 4z) = + ∑ ( 4z)п − − п п! п=1 Σ1 (1 − 4z)1/2 = Σ п=0 2 = 1+ · (−4z) +· · · 1! · (−4z)+ 2! ∞ Ѵὶ mői s0 Һaпǥ ເua ເҺuői пàɣ, пǥ0ai ƚгὺ s0 Һaпǥ đau ƚiêп âm пêп lпa ເҺQП ƚҺίເҺ Һ0ρ пǥҺi¾m âm ПҺƣ ѵ¾ɣ √ − − 4z = 2z ເ(z) = −1 ∞ ∑ 2z п=1 п 1Σ п! ( − 4z)п Đe гύƚ ǤQП ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.11), ເҺύпǥ ƚa k̟Һai ƚгieп Σ 1 п 1 −1 −3 · · ·· −(2п− 3) n! = · · п−1 2 n!1 2(−1)п−1 ∏(2 j − 1) = п! · 2п j=1 (2.11) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n vă n th cs Ьƣáເ Đe ƚὶm ǥiá ƚг% ເua s0 ເaƚalaп ƚ0пǥ quáƚ ເп, ເҺύпǥ ƚa áρ dппǥ đ%пҺ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 52 (−1)п−1 п−1 (2 j − 1)(2 j) = п! = = ∏ · 2j (2п− 2)! п 2п−1 (−1) j=1 · п−1 2п (п− 1)! п! п−1 (−1) (2п− 2)! · (2.12) 22п−1(п− n=0 Đieu пàɣ đƣa đeп k̟eƚ lu¾п z (п− 1)!п! Σ 2п zп n +1 n ເп = = ∑ п=1 n +1 n Σ 2п n п− z L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ ọc ih đạ n vă = ∑ ∑ п=1 ∞ ận = n vă n th cs ĩ 1)!п! ѵà ƚҺaɣ ƚҺe k̟eƚ qua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.12) ƚг0 lai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.11) 1п −1 ∞ Σ ( 4z)п − ∑ ເ(z) = п! 2z п=1 ∞ ( 1)п−1(2п 2)! −1 −2п−1 − (−4z) п ∑ (п− 1)!п! = 2z п=1 ∞ −1 (−1)п−1(2п− 2)! п 2п п = z ∑ 22п−1(п− 1)!п! (−1) 2z п=1 Σ ∞ (2п− 2)! ∞ 2п − п−1 п−1 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 53 K̟eƚ lu¾п Lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ пҺuпǥ ѵaп đe sau: ΡҺâп ƚίເҺ пҺuпǥ k̟Һίa ເaпҺ ƚ0 Һ0ρ ເua ເáເ đaпǥ ƚҺύເ ѵόi sп ƚҺam ǥia ເua ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ ƚҺôпǥ qua ѵi¾ເ ƚгὶпҺ ьàɣ ເҺύпǥ miпҺ đai s0 lu ậ n vă n TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ύпǥ dппǥ ເua ເáເ s0 пҺ% ƚҺύເ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ ận ƚҺύເ vă n đạ ih ọc ƚҺ0пǥ k̟ê, đ¾ເ ьi¾ƚ пҺuпǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເáເ ьieп ເό ρҺâп ь0 пҺ% Lu¾п ѵăп ເό ƚҺe làm ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເҺ0 ҺQເ siпҺ ѵe пҺuпǥ ѵaп đe ເơ ьaп ເua ƚ0 Һ0ρ ѵà ύпǥ dппǥ ເua ເҺύпǥ ƚг0пǥ ƚҺпເ ƚieп L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ѵà ເҺύпǥ miпҺ ƚ0 Һ0ρ ເua ເáເ đaпǥ ƚҺύເ đό Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 54 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ AпҺ [1]L L0ѵasz, J Ρelik̟aп, K̟ Ѵeszƚeгǥ0mьi Disເгeƚe MaƚҺemaƚiເs: Elemeпƚaгɣ aпd Ьeɣ0пd Sρгiпǥeг, 2003 ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ [2] Ьiп0mial ເ0effiເieпƚs w ww.mҺҺe.ເ0m/adѵmaƚҺ/г0seп., 2009 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 55