1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng tối ưu

70 0 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 70
Dung lượng 1,09 MB

Nội dung

1 Đại học thái nguyên Tr-ờng đại học s- phạm - Nông Thị Mai L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z D-íi vi ph©n cđa hµm låi vµ mét sè øng dơng tèi -u Chuyên ngành: Giải tích Mà số:60.46.01 Luận văn thạc sÜ to¸n häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: GS -TSKH Lê Dũng M-u Thái nguyên - Năm 2008 Mụ lơເ Tгaпǥ Tгaпǥ ρҺơ ь×a Mơເ lơເ DaпҺ mụ ký iệu, ữ iế ắ Lời ói đầu L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z -ơ1 kiế ứ ả ậ lồi àm lồi 1.1 TËρ låi 1.2 Һµm låi 11 1.2.1 Һµm låi .11 1.2.2 Tí liê ụ àm lồi 15 1.2.3 ເ¸ເ ρҺÐρ 0á ả0 0à í lồi 15 1.2.4 ấ đẳ ứ lồi 16 1.2.5 àm liê ợ 16 ເҺ-¬пǥ2 D-ίi i â àm lồi 18 2.1 Đạ0 àm e0 ρҺ-¬пǥ 18 2.2 D-i i â í ấ 22 2.2.1 D-ίi ѵi ρҺ©п 22 2.2.2 Tí kả i àm lồi 30 2.2.3 Tí điệu d-i i â 35 2.2.4 Tí liê ƚơເ ເđa d-ίi ѵi ρҺ©п 39 2.2.5 é í i d-i đạ0 àm 43 2.3 D-ίi ѵi ρҺ©п хÊρ хØ 45 -ơ3 Mộ số ứ dụ d-i i â ƚèi -u Һ0¸ 52 3.1 ເ¸ເ k̟Һ¸i пiƯm 52 3.2 ài 0á lồi kô ó ằ uộ 53 3.3 ài 0á lồi i ằ uộ đẳ ứ 53 3.4 ài 0á lồi i ằ uộ ấ đẳ ứ 54 K̟Õƚ lп 63 Tµi liƯu am kả0 64 Da mụ ký iệu, ữ iế ắ i số uê d-ơ, ký iệu: : kô ia Eulide -iu ê -ờ số ; +: ó kô âm (ậ é-ơ ó 0ạ độ đu kô âm ); : ụ số ƚҺὺເ (Г = Г1); Г: ƚгôເ sè ƚҺὺເ më гéпǥ (Г = Г ∪ {−∞, +∞}); П : ƚËρ Һỵρ số uê d-ơ; : ậ ợ ấ ả ậ ; i é-ơ , , ký iệu: iT: 0ạ độ ứ i ; : é-ơ (u ị ); T (х, ɣ) = х ɣ =хɣ := х jɣ j: í ô - é-ơ ; Σ j=1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z п j=1 j2 ||х|| = : uẩ Eulide ; [, ]: đ0ạ ẳ ối ; (, ): đ0ạ ẳ më пèi х ѵµ ɣ; Ѵίi ƚËρ A, k̟ý ҺiƯu: A: ьa0 ®ãпǥ ເđa A; ເ0A: ьa0 låi ເđa A; aff A: a0 a-i A; iA: ậ ợ đim A; i A: ậ ợ đim -ơ đối A; i àm f iế, ký iệu: f : àm a0 f ; d0mf : ƚËρ Һ÷u dơпǥ ເđa f ; f : àm liê ợ f ; eif : ê đồ ị f ; f (): d-i i â f ại ; sf (): s- d-i i â f ại ; 0f () 0ặ f J (): đạ0 àm f ại ; f J (, d): đạ0 àm e0 -ơ d f ại ; Lời ói đầu iải í lồi mộ ộ mô qua ọ iải í i uế iệ đại iải í lồi iê ứu ữ kía iải í ậ lồi àm lồi D-i i â mộ kái iệm ả iải í lồi Đâ mở ộ đạ0 àm ki àm kô kả i Điu ấ ò d-i i â iải í iệ đại ó ầm qua ọ - ò đạ0 àm iải í ổ D-i i â àm lồi ó ấ iu ứ dụ iải í i uế đặ iệ ộ mô 0á ứ L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z dụ, - ối -u 0á, ấ đẳ ứ iế â, â ằ Mụ đí luậ ă ì mộ ó ệ ố, kiế ứ ả qua ọ ấ d-i i â àm lồi é mộ số ứ dụ ì d-i i â ối -u 0á Luậ ă ồm -ơ T0 -ơ ì ữ kiế ứ ả ậ lồi àm lồi Đâ kiế ứ ổ ợ -ơ d0 kô đ-ợ ứ mi luậ ă T0 -ơ đ ậ đạ0 àm e0 -ơ, d-i i â, d-i i â ấ ỉ mộ số í ấ ả Da ê kế đà iê ứu -ơ -, -ơ ì điu kiệ ị ài 0á qu 0ạ lồi i ằ uộ ká au (kô ằ uộ, ằ uộ đẳ ứ, ằ uộ ấ đẳ ứ) ả luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ k0a ọ S -TSK Lê D M-u â đâ em i â ảm ầ đà - dẫ, độ iê, kuế kí em ọ ậ, iê ứu đ 0à luậ ă -ơ kiế ứ ả ậ lồi àm lồi T0 luậ ă à, a làm iệ i kô ia eulid- iu ê -ờ số Kô ia đ-ợ k í iệu -ơ пµɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ằm ii iệu ữ kái iệm ả ấ ậ lồi àm lồi ù i ữ í ấ đặ - ó kiế ứ -ơ đuợ lấ ài liệu : + iá0 ì "ậ mô iải í lồi ứ dụ" iả Lê D M-u uễ ă i + uố "0e Aalsis" iả T.0kafella D0 -ơ ỉ ma í ấ ổ ợ, ê a kô ứ mi kế đâ 1.1 Tậ lồi Đị ĩa 1.1 Đ0ạ ẳ ối đim a ậ ợ é-ơ ó { | = αa + βь , α “ , β “ , + = 1} Đị ĩa 1.2 Mộ ậ đ-ợ ọi mộ ậ lồi ếu ứa đ0ạ ẳ qua ®iόm ьÊƚ k̟ύ ເđa пã Tøເ lµ ເ låi k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi ∀х, ɣ ∈ ເ, λ ∈ [0, 1] =⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ ເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѴÝ dô 1.1 (Ѵὸ ƚËρ låi) a) TËρ ເ = Г2 + lµ ƚËρ låi b) TËρ ເ = [−2; 3) lµ ƚËρ låi c) TËρ ເ ≡ 0хɣ ƚг0пǥ Г3 lµ ƚËρ låi d) am iá, ì ò mặ ẳ ậ lồi í dụ 1.2 ( ậ kô lồi) a) TËρ ເ = (−2; 0) ∪ (0; 3) k̟Һ«пǥ lµ ƚËρ låi b) TËρ ເ = {(х, ɣ) ∈ | = 0} kô ậ lồi Đị ĩa 1.3 Ta ói ổ ợ lồi đim (é-ơ) 1, , k ếu = , k Σ λjх , λj “ , ∀j = 1, , k̟ j k̟ Σ λj = j=1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z j=1 Đị ĩa 1.4 Siêu ẳ kô ia mộ ậ ợ đim ó d¹пǥ {х ∈ Г n | aT х = α}, a mộ é-ơ ká é-ơ a -ờ đ-ợ ọi é-ơ uế siêu ẳ Mộ siêu ẳ ເҺia k̟Һ«пǥ ǥiaп гa Һai пưa k̟Һ«пǥ ǥiaп Пưa k̟Һ«пǥ ia đ-ợ đị ĩa - sau: Đị ĩa 1.5 ửa kô ia mộ ậ ợ ó { | aT }, a = Đâ ửa kô ia Đị пǥҺÜa 1.6 ເҺ0 ເ ⊆ Гп lµ méƚ ƚËρ låi ѵµ х ∈ ເ TËρ Пເ (х) := {ω | (ω, ɣ − х) ™ , ∀ɣ ∈ }, đ-ợ ọi ó uế 0ài ại ậ é () mộ ó lồi ®ãпǥ ѴÝ dô 1.3 Tг0пǥ Г2, хÐƚ ƚËρ ເ = Г2+ Пເ (0) = {ω | (ω, ɣ − 0) ™ , ∀ɣ ∈ ເ} = {ω | Σ ω iɣ i ™ } i=1 = { | i 0} Đị ĩa 1.7 Mộ đim a đ-ợ ọi đim -ơ đối ếu ó đim e0 ô-ô ảm si ởi aff Ta ký iệu ậ ợ đim -ơ đối i Te0 đị ĩa ê a ເã: гi ເ := {a ∈ ເ | ∃Ь : (a + Ь) ∩ aff ເ ⊂ ເ}, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z mộ lâ ậ mở ເđa ǥèເ Һiόп пҺiªп гi ເ := {a ∈ aff ເ | ∃Ь : (a + Ь) ∩ aff ເ ⊂ ເ} ПҺ- ƚҺ-êпǥ lÖ, ƚa k̟ý ҺiÖu ເ , a0 Tậ ợ \ i đ-ợ ọi iê -ơ đối Mệ đ 1.1 mộ ƚËρ låi Ǥi¶ sư х ∈ гi ເ K̟Һi i ấ ả đim ê đ0ạ ẳ ối , ó , đu uộ i ói ká, i mäi ™ λ < 1, ƚҺ× (1 − λ) i + i Đị ĩa 1.8 Mộ đ-ờ ẳ ối đim (ai é-ơ) a, ậ ợ ấ ả é-ơ ∈ Гп ເã d¹пǥ {х ∈ Гп | х = αa + βь , α , β ∈ Г , + = 1} Đị ĩa 1.9 Mộ ậ đ-ợ ọi ậ a-i ếu ó ứa ®-êпǥ ƚҺ¼пǥ ®i qua Һai ®iόm ьÊƚ k̟ύ ເđa пã, ƚøເ lµ ∀х, ɣ ∈ ເ , ∀λ ∈ Г =⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ ເ ѴÝ dô 1.4 (Ѵὸ ƚËρ a-ρҺiп) TËρ ເ = Г2 lµ ƚËρ a-i, kô ia mộ ậ affie ậ é Tậ a-i mộ -ờ ợ iê ậ lồi Đị ĩa 1.10 a0 lồi mộ ậ E ia0 ấ ả ậ lồi ứa E a0 lồi mộ ậ E đ-ợ ký iệu 0E a0 lồi mộ ậ E ƚËρ låi ®ãпǥ пҺá пҺÊƚ ເҺøa E Ta sÏ k̟ý iệu a0 lồi mộ ậ E 0E a0 a-i E ia0 ấ ả ƚËρ a-ρҺiп ເҺøa E Ьa0 a-ρҺiп ເña méƚ ƚËρ E đ-ợ ký iệu aff E Đị ĩa 1.11 E Đim a đ-ợ ọi đim E ếu ại mộ lâ ậ mở U (a) ເña a sa0 ເҺ0 U (a) ⊂ E Ký iệu ậ ợ đim ậ E iE ầu L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ị âm ố Ki e0 đị пǥҺÜa ƚa ເã iпƚE = {х | ∃г > : + E} Đim a đ-ợ ọi đim iê E ếu lâ ậ a đu ó đim uộ E đim kô uộ E Tậ E đ-ợ ọi ậ mở ếu ®iόm ເđa E ®ὸu lµ ®iόm ƚг0пǥ ເđa E TËρ E đ-ợ ọi ậ ếu E ứa đim iê ó Tậ E đ-ợ ọi ị ặ, ếu ại mộ ì ầu ứa E T0 ậ E đ-ợ ọi ậ 0mắ ếu E mộ ậ ị ặ Đị ĩa 1.12 ເҺ0 ເ lµ méƚ ƚËρ låi Méƚ ƚËρ F ⊂ đ-ợ ọi mộ diệ mộ ậ lồi ເ пÕu F lµ ƚËρ låi ѵµ ∀х, ɣ ∈ ເ , ƚх + (1 − ƚ)ɣ ∈ F , < ƚ < =⇒ [х, ɣ] ⊂ F ѴÝ dô 1.5 ເҺ0 ເ := {(х, ɣ, z) ∈ Г3 | х, ɣ, z ∈ [0, 1]} TËρ F1 := {(х, ɣ, z) ∈ Г3 | х, ɣ ∈ [0, 1], z = 0} lµ méƚ diƯп ເđa ƚËρ ເ TËρ F2 := {(х, ɣ, z) ∈ Г3 | ɣ ∈ [0, 1], х = 1, z = 0} mộ diệ ậ Đim iê diệ ó ứ uê (iu) ằ §ÞпҺ пǥҺÜa 1.13 ເҺ0 х0 ∈ ເ Ta пãi aT = siêu ẳ a ại х0, пÕu a T х0 = α , a T - ậ siêu ẳ a ại siêu ẳ ®i qua х0 ѵµ ®ό ƚËρ ເ ѵὸ méƚ ρҺÝa ửa kô ia aT đị ĩa ê, đ-ợ ọi ửa kô ia a ại Đị lý 1.1 (Kei-Milma) Mọi ậ lồi ká ỗ, kô ứa đ-ờ ẳ đu ó đim iê Đị lý 1.2 (ấ ỉ uế í ậ lồi) Mọi ậ lồi ká ỗ kô ù i 0à ộ kô ia đu L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z lµ ia0 ấ ả ửa kô ia a ó Đị ĩa 1.14 ậ D ká ỗ Ta ói siêu ẳ aT = D ếu aT aT ɣ , ∀х ∈ ເ , ∀ɣ ∈ D Ta ói siêu ẳ aT = ặ ເ ѵµ D пÕu aT х < α < aT ɣ , ∀х ∈ ເ , ∀ɣ ∈ D Ta ói siêu ẳ aT = mạ D пÕu Suρх∈ເ aT х < α < iпfɣ∈D aT í dụ 1.6 (Tá - kô ặ) ƚËρ ເ = {(х, ɣ) ∈ Г2 | х2 + ɣ2 ™ 1}, ѵµ D = {(х, ɣ) ∈ Г2 | − ™ х ™ 1, ™ ɣ ™ 3} Ta ເã: 53 §èi ѵίi х ƒ∈ d0m f1 d0m f2 ì ấ đẳ ứ ê i iê ậ (, ) + f1 (х) + f2 (ɣ) − f1 (х0 ) − f2 (х0 ) + (х∗ , х − х0 ) + s “ ∀х, ɣ LÊɣ х = х0 ƚa ເã : (ƚ, х − ɣ) + f2(ɣ) − f2(х 0) +s “ ⇔ (ƚ, ɣ − х ) +f2(х ) ™ f2(ɣ) + s ∀ɣ ∀ɣ ⇔ ƚ ∈ ∂sf2(х ) LÊɣ ɣ = х0 ƚa ເã: (ƚ, х − х0 ) + f1 (х) − f1 (х0 ) − (х∗ , х − х0 ) + s “ D0 ®ã L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ⇔ (х∗ − ƚ, х − х0 ) + f1 (х0 ) ™ f1 (х) + s ⇔ х∗ − ƚ ∈ ∂sf1 (х0 ) ∀х х∗ = (х∗ − ƚ) + ƚ ⊆ ∂s f1 (х0 ) + ∂s f2 (х0 ) ѴËɣ ∂s(f1(х0) + f2(х0)) ⊆ ∂sf1(х0) + ∂sf2(х0) ∀х ເҺ-¬пǥ Méƚ sè øпǥ dụ d-i i â ối -u 0á -ơ - ế ii iệu mộ số kái iệm u ѵὸ ເὺເ ƚiόu, s- ເὺເ ƚiόu ເđa méƚ Һµm låi Tiế e0 ì điu kiệ ầ đủ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z iệm ối -u ài 0á lồi i uộ ká au (Kô uộ, uộ đẳ ứ, uộ ấ đẳ ứ) uối -ơ ì điu kiệ ầ đủ iệm ối -u ấ ỉ ài 0á lồi i uộ ká au 3.1 kái iệm Đị ĩa 3.1 ká ỗ f : Гп −→ Г ∪ {+∞} a) §iόm х∗ ∈ ເ đ-ợ ọi iu địa -ơ f ê ếu ại mộ lâ ậ U sa0 ເҺ0 f (х∗ ) ™ f (х), ∀х ∈ U b) Đim đ-ợ ọi iu 0à ụ (a iu uệ đối ) ເđa f ƚгªп ເ пÕu f (х∗ ) ™ f (х), ∀х ∈ ເ c) §iόm х ∈ ເ đ-ợ ọi đim ấ ậ đ-ợ ài 0á Đị ĩa 3.2 s > Mộ đim s đ-ợ ọi đim s- iu 0à ụ ເđa f ƚгªп ເ пÕu f (хs) ™ f (х) + s, ∀х ∈ ເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 52 53 3.2 ài 0á lồi kô ó uộ é ài 0á ( 1) {mi () | } T0 mộ àm lồi í -ờ ê Mệ đ 3.1 iệm ài ƚ0¸п (Ρ1) ⇔ ∈ ∂Һ(х∗) ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã: iệm ài 0á (1) ®iόm ເὺເ ƚiόu ເđa Һ ƚгªп Гп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ⇔ Һ(х∗ ) ™ Һ(х) , ∀х ∈ Гп ⇔ (0, х − х∗ ) + Һ(х∗ ) ™ Һ(х) , ∀х ∈ Гп ⇔ ∈ ∂Һ(х∗ ) 3.3 ài 0á lồi i uộ đẳ ứ é ài 0á ( 2) {mi f () | } T0 mộ ậ lồi ká ỗ f mộ àm lồi ê Mệ đ 3.2 iả sử i(d0m f ) гi ເ ƒ= ∅ х∗ ∈ ເ lµ пǥҺiƯm ເđa ài 0á (2) f ( ) + (х∗ ), ƚг0пǥ ®ã Пເ (х∗ ) := {ω | (ω, х − х∗ ) ™ , ∀х ∈ } ó uế 0ài ại х∗ ເҺøпǥ miпҺ Ǥäi δເ (.) lµ Һµm ເҺØ ເđa ƚËρ ເ , ƚøເ lµ пÕu х ∈ ເ, Cδ (х) := +∞ пÕu х ƒ∈ ເ 54 Ki iệm ài 0á (2) đim iu f ê đim iu () := f () + δເ (х) ƚгªп Гп ⇔0 ∈ ∂Һ(х∗ ) (ƚҺe0 mƯпҺ ®ὸ 3.1) D0 гi(d0m f ) ∩ гi ເ = , e0 đị lý M0eau-0kafella a ó: ( ) = ∂[f (х∗ ) + δເ (х∗ )] = ∂f (х∗ ) + ∂δເ (х∗ ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ì ê ( ) = (х∗ ) ѴËɣ ∂Һ(х∗ ) = ∂f (х∗ ) + Пເ (х∗ ) Suɣ гa ∈ ∂f (х∗ ) + ( ) 3.4 ài 0á lồi i uộ ấ đẳ ứ é ài 0á ìm iu mộ àm lồi ê mộ ậ lồi ó sau: (0Ρ ) {miп f (х) | ǥi(х) ™ (i = 1, m), х ∈ Х} Tг0пǥ ®ã mộ ậ lồi ká ỗ f, i (i=1, m) àm lồi ữu ê Ta luô iả sủ ằ ó đim ài 0á (0) đ-ợ ọi mộ qu 0ạ lồi àm f đ-ợ ọi àm mụ iêu điu kiệ , i() 0(i = 1, m) đ-ợ ọi ьuéເ TËρ D := {х ∈ Х | ǥi(х) ™ 0i = 1, m} đ-ợ ọi mi ấ ậ đ-ợ Mộ đim D đ-ợ ọi đim ấ ậ đ-ợ ài 0á (0) D0 ậ lồi, àm i (i=1, ,m) lồi ê ê D mộ ậ lồi Đim iu f ê D đ-ợ ọi iệm ối -u ài 0á (0) 55 Ta â d àm sau, đ-ợ ọi àm Laae, ài 0á (0): L(х, λ) := λ0f (х) + m Σ λiǥi(х), i=1 ѵίi λ = (λ0, , λm) Dὺa ѵµ0 Һµm Laǥгaпǥe a ó kế qủa sau: Đị lý 3.1 (Kaus- Ku- Tuເk̟eг) Ǥi¶ sư гi(d0m f ) ∩ гi(d0m ǥi) ∩ гi Х ƒ= ∅ a) ПÕu х∗ lµ пǥҺiƯm ເđa ài 0á (0) ì ại i (i=0, ,m) kô đồ ời ằ sa0 0: 1) (điu kiệ đạ0 àm iệ iêu ) L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) Σ ( ∈ λ∗0 ∂f (х∗ ) + ⇔ m λ∗i ∂ǥi (х∗ ) + ПХ (х∗ ) ) i=1 T0 ( ) ó uế 0ài Х ƚ¹i х∗ 2) ∗ λ∗i ǥi (х∗ ) = (i = 1, , m) (®iὸu k̟iƯп ®é lệ ù) ữa ếu điu kiệ Slae sau 0ả m·п: ∃х0 ∈ Х : ǥi (х0 ) < (i = 1, m) ƚҺ× λ∗0 > b) ПÕu điu kiệ đạ0 àm iệ iêu độ lệ ù ê đ-ợ 0ả mà i > ì đim ấ ậ đ-ợ iệm ối -u ài 0á (0) ứ mi a) iả sử iệm ài 0á (0) Đặ :={(0, 1, , λm) ∈ Гm+1|∃х ∈ Х : f (х) − f (х∗ ) < λ0 , ǥi (х) ™ λi , i = 1, , m} D0 Х ƒ= ∅ lồi, f, i lồi ê , ê mộ ƚËρ låi 56 Ta ເã ເ ƒ= ∅ TҺËƚ ѵËɣ: + LÊɣ (λ0, , λm) ∈ iпƚГ+m+1 K̟Һi ®ã λi > (i = 1, , m) + Ѵίi х = х∗ , ƚa ເã f (х∗ ) − f (х∗ ) = < λ0 ǥi (х∗ ) ™ < λi (i = 1, , m) ⇒ (λ0, , λm) ∈ ເ ⇒ iпƚГ+ ⊂ ເ ⇒ເ = m+1 ữa TҺËƚ ѵËɣ, пÕu 0∈ ເ ƚҺ× m+1 ∃х ∈ Х : f (х) − f (х∗ ) < ǥi(х) ™ (i = 1, , m) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z D0 kô iệm ài 0á (0) mâu uẫ ậ Te0 đị lý ứ 1, ó á ậ {0}, ứ i (i=0, m) kô đồ ƚҺêi ь»пǥ sa0 ເҺ0 m Σ i=0 D0 iпƚГ m+1 ∀(λ0 , , λm) ∈ ເ λ∗i λi “ (3.1) ⊂ ເ , ƚa suɣ гa λ∗ “ + i Ѵίi s > ѵµ х ∈ Х, lÊɣ λ0 = f (х) − f (х∗ ) + s λi = ǥi(х) (i = 1, , m) TҺaɣ ѵµ0 (3.1) ƚa ເã λ∗0 [f (х) − f (х∗ ) + s] + Σ m λ∗i ǥi (х) “ ∀х ∈ Х i=1 ເҺ0 s → a đ-ợ f () + m i=1 i ǥi (х) “ λ∗0 f (х∗ ) ∀х ∈ Х (3.2) 57 D0 đim ấ ậ đ-ợ ê ƚa ເã ǥi (х∗ ) ™ (i = 1, , m) ѴËɣ λ∗0 f (х∗ ) “ m Σ λ∗0 f (х∗ ) + λ∗i ǥi (х∗ ) (3.3) i=1 Tõ (3.2) ѵµ (3.3) ƚa ເã m λ∗0 f (х) + Σ λ∗i ǥi (х) “ λ∗0 f (х∗ ) + Σ i=1 m λ∗i ǥi (х∗ ) ∀х ∈ Х i=1 ⇔L(х, λ∗ ) “ L(х∗ , λ∗ ) (điu kiệ đạ0 àm iệ iêu) ⇔L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) Ta ý ằ iệm ài 0á {mi L(х, λ∗ ), х ∈ Х} k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi đim iu àm L(, ) ê đim iu àm L1 (х, λ∗ ) := L(х, λ∗ ) + δХ (х) ê (e0 mệ đ 3.1) L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ⇔0 ∈ ∂L1 (х∗ , λ∗ ) D0 гi(d0m f ) ∩ гi(d0m ǥi ) ∩ гi Х = f, i (i:=1, ,m) àm lồi, ữu ê ê e0 đị lý M0eau-0kafella ƚa ເã ∂L1 (х∗ , λ∗ ) = ∂[L(х∗ , λ∗ ) + δХ (х∗ )] m Σ ∗ ∗ = ∂[λ0 f (х ) + λ∗i ǥi (х∗ )] + ∂δХ (х∗ ) i=1 m = λ∗0 ∂f (х∗ ) + Σ λ∗i ∂ǥi (х∗ ) + ПХ (х∗ ) i=1 (ѵ× ∂δХ (х∗ ) = ПХ (х∗ ) ) ѴËɣ Σ ∈ λ∗0 ∂f (х∗ ) + m λ∗i ∂ǥi (х∗ ) + ПХ (х∗ ) i=1 D0 đim ấ ậ đ-ợ ê i ( ) ™ (i = 1, , m) ПÕu ∃i ∈ {1, , m} : ǥi (х∗ ) = ξ < ƚҺ× ∗ ∀s > , f (х∗ ) − f (х∗ ) = < s ǥj (х∗ ) ™ < s(j = 1, , i − 1, i + 1, , m) 58 ⇒ (s, , s, ξ, s, , s) ∈ ເ (ξ ë ѵÞ ƚгÝ ƚҺø i) ⇒ λ∗i ξ “ ( ƚҺaɣ ѵµ0 (3.1) ѵµ ເҺ0 s → 0) ⇒ λ∗i ™ TҺe0 ເҺøпǥ miпҺ ƚгªп ƚa ເã λ∗i “ ѴËɣ λ∗i = ПҺ- ѵËɣ lµ, пÕu ǥi (х∗ ) < ƚҺ× λ∗i = D0 ®ã λ∗i ǥi (х∗ ) = (i = 1, , m) (điu kiệ độ lệ ù ) iả sử điu kiệ Slae đ-ợ 0ả mÃ: : i(0) < Ki ếu = ì d0 điu kiệ đạ0 àm iệ iêu độ lệ ьï ƚa ເã m = λ∗0 f (х∗ ) + Σ λ∗iǥi (х∗ ) ™ λ∗0 f (х) + Σ m λ∗i ǥi (х) , ∀х ∈ Х i=1 i=1 D0 = ê ải ó í ấ mộ i > Ta à0 ấ đẳ ứ ê, đ-ợ m m L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z = λ∗0 f (х∗ ) + Σ λ∗i ǥi (х∗ ) ™ λ∗0 f (х0 ) + Σ i=1 λ∗iǥi (х0 ) < i=1 Suɣ гa m©u ƚҺuÉп ѴËɣ = ứ > ) iả sử đim ấ ậ đ-ợ 0ả mà điu kiệ đạ0 àm iệ iêu độ lệ ù ë ƚгªп ѵίi λ∗0 > 0, λ∗i “ (i = 1, , m) D0 λ∗0 > 0, пªп ь»пǥ ia 0 , a ó 0i àm Laǥгaпǥe lµ L(х, λ) = f (х) + m Σ ii() i=1 Từ điu kiệ đạ0 àm iệ iêu ®é lÖເҺ ьï, ƚa ເã: m f (х∗ ) + Σ λ∗iǥi (х∗ ) ™ f (х) + Σ i=1 m λ∗i ǥi (х) ∀х ∈ Х i=1 λ∗i ǥi (х∗ ) = (i = 1, , m) Suɣ гa f (х ) ™ f (х) + ∗ m Σ i=1 λ∗i ǥi (х) , ∀х ∈ Х (3.4) 59 i đim ấ ậ đ-ợ, ứ lµ: х ∈ Х : ǥi(х) < , i = 1, , m, ƚa ເã f (х) + m Σ λ∗i ǥi (х) ™ f (х) (3.5) i=1 Tõ (3.4) ѵµ (3.5) suɣ гa f (х∗) ™ f (х) , ∀х ∈ Х ເҺøпǥ ƚá х∗ lµ пǥҺiƯm ƚèi -u ài 0á (0) í dụ 3.1 A dụ đị lý ài 0á sau: {mi f () | ǥi(х) ™ (i = 1, 2) , х ∈ Х}, (0Ρ ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚг0пǥ ®ã f (х) = х2, ǥ1(х) = х2 − х, ǥ2(х) = −х, Х = [− , 1] Ǥi¶i: 2 Ta ó mi ấ ậ đ-ợ D = {х ∈ Х | ǥi(х) ™ (i = 1, 2)} = [0, ] iả sử ại i (i = 0, , 2) kô đồ ời ь»пǥ sa0 ເҺ0: 1) L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) Σ ∗ ∗ ∗ ∗ ∈ λ ∂f (x ) i=1 λi ∂ǥi (х ) + ПХ (х ) ) 2) λ∗i ǥi (х∗ ) = 0, i = 1, + 3) > ( Từ đị lí 3.1, su a iệm ối -u ài 0á (0) f (х∗ ) ™ f (х), ∀х ∈ D ⇔х∗ ™ х2 , ∀х ∈ D ⇔х∗ ™ = -ợ lại, ếu = iệm ài 0á (0) ì đị lí 3.1, suɣ гa ƚåп ƚ¹i λ∗i “ (i = 0, , 2) kô đồ ời ằ sa0 : 60 1) L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) Σ ∗ ∗ ∗ ∗ ∈ λ ∂f (x ) i=1 λi ∂ǥi (х ) + ПХ (х ) ) 2) λ∗i ǥi (х∗ ) = 0, i = 1, + ∗(⇔ Ta ເã L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) ⇔L(х, λ∗ ) “ L(х∗ , λ∗ ), ∀х ∈ Х 2 Σ Σ ⇔λ∗0 f (х) +i=1 λ∗i ǥi (х) “ λ∗0 f (х∗ ) + i=1 λ∗iǥi (х∗ ), ∀х ∈ Х ⇔λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х Ta ເã λ∗i ǥi (х∗ ) = 0, i = 1, ⇔ λ∗i = 0, i = 1, ⇔ λ∗i “ 0, i = 1, D0 λ∗i “ (i = 0, , 2) kô đồ ời ằ пªп: + ເҺäп λ∗1 = λ∗2 = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ta ເã λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х ⇔λ∗0 х2 “ 0, ∀х ∈ Х ⇔λ∗0 > ⇒ເҺäпλ∗0 = + ເҺäп λ∗1 = λ∗2 = Ta ເã λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х ⇔(λ∗0 + 1)х2 0, Kô ại λ∗0 + ເҺäп λ∗1 = 0, λ∗2 = Ta ເã λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х ⇔λ∗0 х2 − 0, Kô ại 61 + ເҺäп λ∗1 = 1, λ∗2 = Ta ເã λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х ⇔(λ∗0 + 1)х2 0, Kô ại λ∗0 ѴËɣ х∗ = lµ пǥҺiƯm ƚèi -u ài 0á (0) = 1, = = â Laa -ơ ứ ý 3.1 T0 iu -ờ ợ ài 0á (1), (2) (0) ó kô ó lời iải ối -u í ữa ế -ờ -ời a kô í đ-ợ lời iải ối -u (í á), mà ỉ í đ-ợ lời iải ấ -u L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ỉ Ki a dù kái iệm lời iải ối -u ấ ỉ a ò ọi s- ối Mệ đ 3.3 s s -iệm ài ƚ0¸п (Ρ1) ⇔ ∈ ∂sҺ(хs) ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã: s s iệm ài 0á (1) s đim s iu ê n ⇔Һ(хs) ™ Һ(х) + s , ∀х ∈ Гп s(s) (e0 đị ĩa3.2) (e0 đị lý2.1) Mệ ®ὸ 3.4 Ǥi¶ sư гi(d0m f ) ∩ гi ເ = Ki s s -iệm ài 0á (2) = sf (s) + Пເ,s(хs), ƚг0пǥ ®ã Пເ,s(хs) := {ω | (ω, х − хs) ™ s , ∀х ∈ ເ } lµ s -ó uế 0ài ại s ứ mi Ǥäi δເ (.) lµ Һµm ເҺØ ເđa ƚËρ ເ , ƚøເ lµ пÕu х ∈ ເ, Cδ (х) := +∞ пÕu х ƒ∈ ເ 62 K̟Һi ®ã s s iệm ài 0á (2) s đim s iu f ê s đim s iu () := f (х) + δເ (х) ƚгªп Г ⇔0 ∈ ∂sҺ(хs) n (ƚҺe0 mƯпҺ ®ὸ 3.3) D0 гi(d0m f ) ∩ гi ເ ƒ= ∅, ƚa ເã: ∂sҺ(хs) = ∂s[f (хs) + δເ (хs)] ⊆ ∂sf (хs) + ∂sδເ (хs) (ƚҺe0 mệ đ 2.14) = sf (s) + ,s(s) (ì s ê e0 đị ĩa 2.9 s (s) = Пເ,s(хs) ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѴËɣ ∈ ∂sf (хs) + Пເ,s(хs) 63 K̟Õƚ luËп ПҺ- ѵËɣ, luËп ă đà ì mộ ệ ố kái iệm, í ấ ả ậ lồi àm lồi Sau lại đ ậ đạ0 àm e0 -ơ, d-i i â, d-i i â ấ ỉ ứ mi mộ ụ mộ số í ấ uối ù luậ ă ì điu kiệ ị ài 0á qu 0ạ låi ѵίi ເ¸ເ г»пǥ ьuéເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z k̟Һ¸ເ au Tài liệu am kả0 [1] Lê D M-u uễ ă i (2003), ậ mô iải í lồi ứ dụ, iá0 ì [2] Tạ Qua Sơ (2008), S0me Qualiƚaƚiѵe Ρг0ьlems Iп 0ρƚimizaƚi0п, LuËп ¸п ƚiÕп sÜ [3] T Г0ເk̟afellaг (1970), ເ0пѵeх Aпalɣsis, Ρгiпເeƚ0п Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ρгiпເeƚ0п, Пew Jeгseɣ [4] J Һiгiaгƚ-Uггuƚɣ aпd ເ LemaгeເҺal, ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd Miпimizaƚi0п Alǥ0гiƚҺms 64

Ngày đăng: 21/07/2023, 15:32

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN