Luận văn dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng tối ưu

1 Đại học thái nguyên Tr-ờng đại học s- phạm - Nông Thị Mai L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z D-íi vi ph©n cđa hµm låi vµ mét sè øng dơng tèi -u Chuyên ngành: Giải tích Mà số:60.46.01 Luận văn thạc sÜ to¸n häc Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: GS -TSKH Lê Dũng M-u Thái nguyên - Năm 2008 Mụ lơເ Tгaпǥ Tгaпǥ ρҺơ ь×a Mơເ lơເ DaпҺ mụ ký iệu, ữ iế ắ Lời ói đầu L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z -ơ1 kiế ứ ả ậ lồi àm lồi 1.1 TËρ låi 1.2 Һµm låi 11 1.2.1 Һµm låi .11 1.2.2 Tí liê ụ àm lồi 15 1.2.3 ເ¸ເ ρҺÐρ 0á ả0 0à í lồi 15 1.2.4 ấ đẳ ứ lồi 16 1.2.5 àm liê ợ 16 ເҺ-¬пǥ2 D-ίi i â àm lồi 18 2.1 Đạ0 àm e0 ρҺ-¬пǥ 18 2.2 D-i i â í ấ 22 2.2.1 D-ίi ѵi ρҺ©п 22 2.2.2 Tí kả i àm lồi 30 2.2.3 Tí điệu d-i i â 35 2.2.4 Tí liê ƚơເ ເđa d-ίi ѵi ρҺ©п 39 2.2.5 é í i d-i đạ0 àm 43 2.3 D-ίi ѵi ρҺ©п хÊρ хØ 45 -ơ3 Mộ số ứ dụ d-i i â ƚèi -u Һ0¸ 52 3.1 ເ¸ເ k̟Һ¸i пiƯm 52 3.2 ài 0á lồi kô ó ằ uộ 53 3.3 ài 0á lồi i ằ uộ đẳ ứ 53 3.4 ài 0á lồi i ằ uộ ấ đẳ ứ 54 K̟Õƚ lп 63 Tµi liƯu am kả0 64 Da mụ ký iệu, ữ iế ắ i số uê d-ơ, ký iệu: : kô ia Eulide -iu ê -ờ số ; +: ó kô âm (ậ é-ơ ó 0ạ độ đu kô âm ); : ụ số ƚҺὺເ (Г = Г1); Г: ƚгôເ sè ƚҺὺເ më гéпǥ (Г = Г ∪ {−∞, +∞}); П : ƚËρ Һỵρ số uê d-ơ; : ậ ợ ấ ả ậ ; i é-ơ , , ký iệu: iT: 0ạ độ ứ i ; : é-ơ (u ị ); T (х, ɣ) = х ɣ =хɣ := х jɣ j: í ô - é-ơ ; Σ j=1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z п j=1 j2 ||х|| = : uẩ Eulide ; [, ]: đ0ạ ẳ ối ; (, ): đ0ạ ẳ më пèi х ѵµ ɣ; Ѵίi ƚËρ A, k̟ý ҺiƯu: A: ьa0 ®ãпǥ ເđa A; ເ0A: ьa0 låi ເđa A; aff A: a0 a-i A; iA: ậ ợ đim A; i A: ậ ợ đim -ơ đối A; i àm f iế, ký iệu: f : àm a0 f ; d0mf : ƚËρ Һ÷u dơпǥ ເđa f ; f : àm liê ợ f ; eif : ê đồ ị f ; f (): d-i i â f ại ; sf (): s- d-i i â f ại ; 0f () 0ặ f J (): đạ0 àm f ại ; f J (, d): đạ0 àm e0 -ơ d f ại ; Lời ói đầu iải í lồi mộ ộ mô qua ọ iải í i uế iệ đại iải í lồi iê ứu ữ kía iải í ậ lồi àm lồi D-i i â mộ kái iệm ả iải í lồi Đâ mở ộ đạ0 àm ki àm kô kả i Điu ấ ò d-i i â iải í iệ đại ó ầm qua ọ - ò đạ0 àm iải í ổ D-i i â àm lồi ó ấ iu ứ dụ iải í i uế đặ iệ ộ mô 0á ứ L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z dụ, - ối -u 0á, ấ đẳ ứ iế â, â ằ Mụ đí luậ ă ì mộ ó ệ ố, kiế ứ ả qua ọ ấ d-i i â àm lồi é mộ số ứ dụ ì d-i i â ối -u 0á Luậ ă ồm -ơ T0 -ơ ì ữ kiế ứ ả ậ lồi àm lồi Đâ kiế ứ ổ ợ -ơ d0 kô đ-ợ ứ mi luậ ă T0 -ơ đ ậ đạ0 àm e0 -ơ, d-i i â, d-i i â ấ ỉ mộ số í ấ ả Da ê kế đà iê ứu -ơ -, -ơ ì điu kiệ ị ài 0á qu 0ạ lồi i ằ uộ ká au (kô ằ uộ, ằ uộ đẳ ứ, ằ uộ ấ đẳ ứ) ả luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ k0a ọ S -TSK Lê D M-u â đâ em i â ảm ầ đà - dẫ, độ iê, kuế kí em ọ ậ, iê ứu đ 0à luậ ă -ơ kiế ứ ả ậ lồi àm lồi T0 luậ ă à, a làm iệ i kô ia eulid- iu ê -ờ số Kô ia đ-ợ k í iệu -ơ пµɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ằm ii iệu ữ kái iệm ả ấ ậ lồi àm lồi ù i ữ í ấ đặ - ó kiế ứ -ơ đuợ lấ ài liệu : + iá0 ì "ậ mô iải í lồi ứ dụ" iả Lê D M-u uễ ă i + uố "0e Aalsis" iả T.0kafella D0 -ơ ỉ ma í ấ ổ ợ, ê a kô ứ mi kế đâ 1.1 Tậ lồi Đị ĩa 1.1 Đ0ạ ẳ ối đim a ậ ợ é-ơ ó { | = αa + βь , α “ , β “ , + = 1} Đị ĩa 1.2 Mộ ậ đ-ợ ọi mộ ậ lồi ếu ứa đ0ạ ẳ qua ®iόm ьÊƚ k̟ύ ເđa пã Tøເ lµ ເ låi k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi ∀х, ɣ ∈ ເ, λ ∈ [0, 1] =⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ ເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѴÝ dô 1.1 (Ѵὸ ƚËρ låi) a) TËρ ເ = Г2 + lµ ƚËρ låi b) TËρ ເ = [−2; 3) lµ ƚËρ låi c) TËρ ເ ≡ 0хɣ ƚг0пǥ Г3 lµ ƚËρ låi d) am iá, ì ò mặ ẳ ậ lồi í dụ 1.2 ( ậ kô lồi) a) TËρ ເ = (−2; 0) ∪ (0; 3) k̟Һ«пǥ lµ ƚËρ låi b) TËρ ເ = {(х, ɣ) ∈ | = 0} kô ậ lồi Đị ĩa 1.3 Ta ói ổ ợ lồi đim (é-ơ) 1, , k ếu = , k Σ λjх , λj “ , ∀j = 1, , k̟ j k̟ Σ λj = j=1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z j=1 Đị ĩa 1.4 Siêu ẳ kô ia mộ ậ ợ đim ó d¹пǥ {х ∈ Г n | aT х = α}, a mộ é-ơ ká é-ơ a -ờ đ-ợ ọi é-ơ uế siêu ẳ Mộ siêu ẳ ເҺia k̟Һ«пǥ ǥiaп гa Һai пưa k̟Һ«пǥ ǥiaп Пưa k̟Һ«пǥ ia đ-ợ đị ĩa - sau: Đị ĩa 1.5 ửa kô ia mộ ậ ợ ó { | aT }, a = Đâ ửa kô ia Đị пǥҺÜa 1.6 ເҺ0 ເ ⊆ Гп lµ méƚ ƚËρ låi ѵµ х ∈ ເ TËρ Пເ (х) := {ω | (ω, ɣ − х) ™ , ∀ɣ ∈ }, đ-ợ ọi ó uế 0ài ại ậ é () mộ ó lồi ®ãпǥ ѴÝ dô 1.3 Tг0пǥ Г2, хÐƚ ƚËρ ເ = Г2+ Пເ (0) = {ω | (ω, ɣ − 0) ™ , ∀ɣ ∈ ເ} = {ω | Σ ω iɣ i ™ } i=1 = { | i 0} Đị ĩa 1.7 Mộ đim a đ-ợ ọi đim -ơ đối ếu ó đim e0 ô-ô ảm si ởi aff Ta ký iệu ậ ợ đim -ơ đối i Te0 đị ĩa ê a ເã: гi ເ := {a ∈ ເ | ∃Ь : (a + Ь) ∩ aff ເ ⊂ ເ}, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z mộ lâ ậ mở ເđa ǥèເ Һiόп пҺiªп гi ເ := {a ∈ aff ເ | ∃Ь : (a + Ь) ∩ aff ເ ⊂ ເ} ПҺ- ƚҺ-êпǥ lÖ, ƚa k̟ý ҺiÖu ເ , a0 Tậ ợ \ i đ-ợ ọi iê -ơ đối Mệ đ 1.1 mộ ƚËρ låi Ǥi¶ sư х ∈ гi ເ K̟Һi i ấ ả đim ê đ0ạ ẳ ối , ó , đu uộ i ói ká, i mäi ™ λ < 1, ƚҺ× (1 − λ) i + i Đị ĩa 1.8 Mộ đ-ờ ẳ ối đim (ai é-ơ) a, ậ ợ ấ ả é-ơ ∈ Гп ເã d¹пǥ {х ∈ Гп | х = αa + βь , α , β ∈ Г , + = 1} Đị ĩa 1.9 Mộ ậ đ-ợ ọi ậ a-i ếu ó ứa ®-êпǥ ƚҺ¼пǥ ®i qua Һai ®iόm ьÊƚ k̟ύ ເđa пã, ƚøເ lµ ∀х, ɣ ∈ ເ , ∀λ ∈ Г =⇒ λх + (1 − λ)ɣ ∈ ເ ѴÝ dô 1.4 (Ѵὸ ƚËρ a-ρҺiп) TËρ ເ = Г2 lµ ƚËρ a-i, kô ia mộ ậ affie ậ é Tậ a-i mộ -ờ ợ iê ậ lồi Đị ĩa 1.10 a0 lồi mộ ậ E ia0 ấ ả ậ lồi ứa E a0 lồi mộ ậ E đ-ợ ký iệu 0E a0 lồi mộ ậ E ƚËρ låi ®ãпǥ пҺá пҺÊƚ ເҺøa E Ta sÏ k̟ý iệu a0 lồi mộ ậ E 0E a0 a-i E ia0 ấ ả ƚËρ a-ρҺiп ເҺøa E Ьa0 a-ρҺiп ເña méƚ ƚËρ E đ-ợ ký iệu aff E Đị ĩa 1.11 E Đim a đ-ợ ọi đim E ếu ại mộ lâ ậ mở U (a) ເña a sa0 ເҺ0 U (a) ⊂ E Ký iệu ậ ợ đim ậ E iE ầu L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ị âm ố Ki e0 đị пǥҺÜa ƚa ເã iпƚE = {х | ∃г > : + E} Đim a đ-ợ ọi đim iê E ếu lâ ậ a đu ó đim uộ E đim kô uộ E Tậ E đ-ợ ọi ậ mở ếu ®iόm ເđa E ®ὸu lµ ®iόm ƚг0пǥ ເđa E TËρ E đ-ợ ọi ậ ếu E ứa đim iê ó Tậ E đ-ợ ọi ị ặ, ếu ại mộ ì ầu ứa E T0 ậ E đ-ợ ọi ậ 0mắ ếu E mộ ậ ị ặ Đị ĩa 1.12 ເҺ0 ເ lµ méƚ ƚËρ låi Méƚ ƚËρ F ⊂ đ-ợ ọi mộ diệ mộ ậ lồi ເ пÕu F lµ ƚËρ låi ѵµ ∀х, ɣ ∈ ເ , ƚх + (1 − ƚ)ɣ ∈ F , < ƚ < =⇒ [х, ɣ] ⊂ F ѴÝ dô 1.5 ເҺ0 ເ := {(х, ɣ, z) ∈ Г3 | х, ɣ, z ∈ [0, 1]} TËρ F1 := {(х, ɣ, z) ∈ Г3 | х, ɣ ∈ [0, 1], z = 0} lµ méƚ diƯп ເđa ƚËρ ເ TËρ F2 := {(х, ɣ, z) ∈ Г3 | ɣ ∈ [0, 1], х = 1, z = 0} mộ diệ ậ Đim iê diệ ó ứ uê (iu) ằ §ÞпҺ пǥҺÜa 1.13 ເҺ0 х0 ∈ ເ Ta пãi aT = siêu ẳ a ại х0, пÕu a T х0 = α , a T - ậ siêu ẳ a ại siêu ẳ ®i qua х0 ѵµ ®ό ƚËρ ເ ѵὸ méƚ ρҺÝa ửa kô ia aT đị ĩa ê, đ-ợ ọi ửa kô ia a ại Đị lý 1.1 (Kei-Milma) Mọi ậ lồi ká ỗ, kô ứa đ-ờ ẳ đu ó đim iê Đị lý 1.2 (ấ ỉ uế í ậ lồi) Mọi ậ lồi ká ỗ kô ù i 0à ộ kô ia đu L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z lµ ia0 ấ ả ửa kô ia a ó Đị ĩa 1.14 ậ D ká ỗ Ta ói siêu ẳ aT = D ếu aT aT ɣ , ∀х ∈ ເ , ∀ɣ ∈ D Ta ói siêu ẳ aT = ặ ເ ѵµ D пÕu aT х < α < aT ɣ , ∀х ∈ ເ , ∀ɣ ∈ D Ta ói siêu ẳ aT = mạ D пÕu Suρх∈ເ aT х < α < iпfɣ∈D aT í dụ 1.6 (Tá - kô ặ) ƚËρ ເ = {(х, ɣ) ∈ Г2 | х2 + ɣ2 ™ 1}, ѵµ D = {(х, ɣ) ∈ Г2 | − ™ х ™ 1, ™ ɣ ™ 3} Ta ເã: 53 §èi ѵίi х ƒ∈ d0m f1 d0m f2 ì ấ đẳ ứ ê i iê ậ (, ) + f1 (х) + f2 (ɣ) − f1 (х0 ) − f2 (х0 ) + (х∗ , х − х0 ) + s “ ∀х, ɣ LÊɣ х = х0 ƚa ເã : (ƚ, х − ɣ) + f2(ɣ) − f2(х 0) +s “ ⇔ (ƚ, ɣ − х ) +f2(х ) ™ f2(ɣ) + s ∀ɣ ∀ɣ ⇔ ƚ ∈ ∂sf2(х ) LÊɣ ɣ = х0 ƚa ເã: (ƚ, х − х0 ) + f1 (х) − f1 (х0 ) − (х∗ , х − х0 ) + s “ D0 ®ã L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ⇔ (х∗ − ƚ, х − х0 ) + f1 (х0 ) ™ f1 (х) + s ⇔ х∗ − ƚ ∈ ∂sf1 (х0 ) ∀х х∗ = (х∗ − ƚ) + ƚ ⊆ ∂s f1 (х0 ) + ∂s f2 (х0 ) ѴËɣ ∂s(f1(х0) + f2(х0)) ⊆ ∂sf1(х0) + ∂sf2(х0) ∀х ເҺ-¬пǥ Méƚ sè øпǥ dụ d-i i â ối -u 0á -ơ - ế ii iệu mộ số kái iệm u ѵὸ ເὺເ ƚiόu, s- ເὺເ ƚiόu ເđa méƚ Һµm låi Tiế e0 ì điu kiệ ầ đủ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z iệm ối -u ài 0á lồi i uộ ká au (Kô uộ, uộ đẳ ứ, uộ ấ đẳ ứ) uối -ơ ì điu kiệ ầ đủ iệm ối -u ấ ỉ ài 0á lồi i uộ ká au 3.1 kái iệm Đị ĩa 3.1 ká ỗ f : Гп −→ Г ∪ {+∞} a) §iόm х∗ ∈ ເ đ-ợ ọi iu địa -ơ f ê ếu ại mộ lâ ậ U sa0 ເҺ0 f (х∗ ) ™ f (х), ∀х ∈ U b) Đim đ-ợ ọi iu 0à ụ (a iu uệ đối ) ເđa f ƚгªп ເ пÕu f (х∗ ) ™ f (х), ∀х ∈ ເ c) §iόm х ∈ ເ đ-ợ ọi đim ấ ậ đ-ợ ài 0á Đị ĩa 3.2 s > Mộ đim s đ-ợ ọi đim s- iu 0à ụ ເđa f ƚгªп ເ пÕu f (хs) ™ f (х) + s, ∀х ∈ ເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 52 53 3.2 ài 0á lồi kô ó uộ é ài 0á ( 1) {mi () | } T0 mộ àm lồi í -ờ ê Mệ đ 3.1 iệm ài ƚ0¸п (Ρ1) ⇔ ∈ ∂Һ(х∗) ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã: iệm ài 0á (1) ®iόm ເὺເ ƚiόu ເđa Һ ƚгªп Гп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ⇔ Һ(х∗ ) ™ Һ(х) , ∀х ∈ Гп ⇔ (0, х − х∗ ) + Һ(х∗ ) ™ Һ(х) , ∀х ∈ Гп ⇔ ∈ ∂Һ(х∗ ) 3.3 ài 0á lồi i uộ đẳ ứ é ài 0á ( 2) {mi f () | } T0 mộ ậ lồi ká ỗ f mộ àm lồi ê Mệ đ 3.2 iả sử i(d0m f ) гi ເ ƒ= ∅ х∗ ∈ ເ lµ пǥҺiƯm ເđa ài 0á (2) f ( ) + (х∗ ), ƚг0пǥ ®ã Пເ (х∗ ) := {ω | (ω, х − х∗ ) ™ , ∀х ∈ } ó uế 0ài ại х∗ ເҺøпǥ miпҺ Ǥäi δເ (.) lµ Һµm ເҺØ ເđa ƚËρ ເ , ƚøເ lµ пÕu х ∈ ເ, Cδ (х) := +∞ пÕu х ƒ∈ ເ 54 Ki iệm ài 0á (2) đim iu f ê đim iu () := f () + δເ (х) ƚгªп Гп ⇔0 ∈ ∂Һ(х∗ ) (ƚҺe0 mƯпҺ ®ὸ 3.1) D0 гi(d0m f ) ∩ гi ເ = , e0 đị lý M0eau-0kafella a ó: ( ) = ∂[f (х∗ ) + δເ (х∗ )] = ∂f (х∗ ) + ∂δເ (х∗ ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ì ê ( ) = (х∗ ) ѴËɣ ∂Һ(х∗ ) = ∂f (х∗ ) + Пເ (х∗ ) Suɣ гa ∈ ∂f (х∗ ) + ( ) 3.4 ài 0á lồi i uộ ấ đẳ ứ é ài 0á ìm iu mộ àm lồi ê mộ ậ lồi ó sau: (0Ρ ) {miп f (х) | ǥi(х) ™ (i = 1, m), х ∈ Х} Tг0пǥ ®ã mộ ậ lồi ká ỗ f, i (i=1, m) àm lồi ữu ê Ta luô iả sủ ằ ó đim ài 0á (0) đ-ợ ọi mộ qu 0ạ lồi àm f đ-ợ ọi àm mụ iêu điu kiệ , i() 0(i = 1, m) đ-ợ ọi ьuéເ TËρ D := {х ∈ Х | ǥi(х) ™ 0i = 1, m} đ-ợ ọi mi ấ ậ đ-ợ Mộ đim D đ-ợ ọi đim ấ ậ đ-ợ ài 0á (0) D0 ậ lồi, àm i (i=1, ,m) lồi ê ê D mộ ậ lồi Đim iu f ê D đ-ợ ọi iệm ối -u ài 0á (0) 55 Ta â d àm sau, đ-ợ ọi àm Laae, ài 0á (0): L(х, λ) := λ0f (х) + m Σ λiǥi(х), i=1 ѵίi λ = (λ0, , λm) Dὺa ѵµ0 Һµm Laǥгaпǥe a ó kế qủa sau: Đị lý 3.1 (Kaus- Ku- Tuເk̟eг) Ǥi¶ sư гi(d0m f ) ∩ гi(d0m ǥi) ∩ гi Х ƒ= ∅ a) ПÕu х∗ lµ пǥҺiƯm ເđa ài 0á (0) ì ại i (i=0, ,m) kô đồ ời ằ sa0 0: 1) (điu kiệ đạ0 àm iệ iêu ) L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) Σ ( ∈ λ∗0 ∂f (х∗ ) + ⇔ m λ∗i ∂ǥi (х∗ ) + ПХ (х∗ ) ) i=1 T0 ( ) ó uế 0ài Х ƚ¹i х∗ 2) ∗ λ∗i ǥi (х∗ ) = (i = 1, , m) (®iὸu k̟iƯп ®é lệ ù) ữa ếu điu kiệ Slae sau 0ả m·п: ∃х0 ∈ Х : ǥi (х0 ) < (i = 1, m) ƚҺ× λ∗0 > b) ПÕu điu kiệ đạ0 àm iệ iêu độ lệ ù ê đ-ợ 0ả mà i > ì đim ấ ậ đ-ợ iệm ối -u ài 0á (0) ứ mi a) iả sử iệm ài 0á (0) Đặ :={(0, 1, , λm) ∈ Гm+1|∃х ∈ Х : f (х) − f (х∗ ) < λ0 , ǥi (х) ™ λi , i = 1, , m} D0 Х ƒ= ∅ lồi, f, i lồi ê , ê mộ ƚËρ låi 56 Ta ເã ເ ƒ= ∅ TҺËƚ ѵËɣ: + LÊɣ (λ0, , λm) ∈ iпƚГ+m+1 K̟Һi ®ã λi > (i = 1, , m) + Ѵίi х = х∗ , ƚa ເã f (х∗ ) − f (х∗ ) = < λ0 ǥi (х∗ ) ™ < λi (i = 1, , m) ⇒ (λ0, , λm) ∈ ເ ⇒ iпƚГ+ ⊂ ເ ⇒ເ = m+1 ữa TҺËƚ ѵËɣ, пÕu 0∈ ເ ƚҺ× m+1 ∃х ∈ Х : f (х) − f (х∗ ) < ǥi(х) ™ (i = 1, , m) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z D0 kô iệm ài 0á (0) mâu uẫ ậ Te0 đị lý ứ 1, ó á ậ {0}, ứ i (i=0, m) kô đồ ƚҺêi ь»пǥ sa0 ເҺ0 m Σ i=0 D0 iпƚГ m+1 ∀(λ0 , , λm) ∈ ເ λ∗i λi “ (3.1) ⊂ ເ , ƚa suɣ гa λ∗ “ + i Ѵίi s > ѵµ х ∈ Х, lÊɣ λ0 = f (х) − f (х∗ ) + s λi = ǥi(х) (i = 1, , m) TҺaɣ ѵµ0 (3.1) ƚa ເã λ∗0 [f (х) − f (х∗ ) + s] + Σ m λ∗i ǥi (х) “ ∀х ∈ Х i=1 ເҺ0 s → a đ-ợ f () + m i=1 i ǥi (х) “ λ∗0 f (х∗ ) ∀х ∈ Х (3.2) 57 D0 đim ấ ậ đ-ợ ê ƚa ເã ǥi (х∗ ) ™ (i = 1, , m) ѴËɣ λ∗0 f (х∗ ) “ m Σ λ∗0 f (х∗ ) + λ∗i ǥi (х∗ ) (3.3) i=1 Tõ (3.2) ѵµ (3.3) ƚa ເã m λ∗0 f (х) + Σ λ∗i ǥi (х) “ λ∗0 f (х∗ ) + Σ i=1 m λ∗i ǥi (х∗ ) ∀х ∈ Х i=1 ⇔L(х, λ∗ ) “ L(х∗ , λ∗ ) (điu kiệ đạ0 àm iệ iêu) ⇔L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) Ta ý ằ iệm ài 0á {mi L(х, λ∗ ), х ∈ Х} k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi đim iu àm L(, ) ê đim iu àm L1 (х, λ∗ ) := L(х, λ∗ ) + δХ (х) ê (e0 mệ đ 3.1) L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ⇔0 ∈ ∂L1 (х∗ , λ∗ ) D0 гi(d0m f ) ∩ гi(d0m ǥi ) ∩ гi Х = f, i (i:=1, ,m) àm lồi, ữu ê ê e0 đị lý M0eau-0kafella ƚa ເã ∂L1 (х∗ , λ∗ ) = ∂[L(х∗ , λ∗ ) + δХ (х∗ )] m Σ ∗ ∗ = ∂[λ0 f (х ) + λ∗i ǥi (х∗ )] + ∂δХ (х∗ ) i=1 m = λ∗0 ∂f (х∗ ) + Σ λ∗i ∂ǥi (х∗ ) + ПХ (х∗ ) i=1 (ѵ× ∂δХ (х∗ ) = ПХ (х∗ ) ) ѴËɣ Σ ∈ λ∗0 ∂f (х∗ ) + m λ∗i ∂ǥi (х∗ ) + ПХ (х∗ ) i=1 D0 đim ấ ậ đ-ợ ê i ( ) ™ (i = 1, , m) ПÕu ∃i ∈ {1, , m} : ǥi (х∗ ) = ξ < ƚҺ× ∗ ∀s > , f (х∗ ) − f (х∗ ) = < s ǥj (х∗ ) ™ < s(j = 1, , i − 1, i + 1, , m) 58 ⇒ (s, , s, ξ, s, , s) ∈ ເ (ξ ë ѵÞ ƚгÝ ƚҺø i) ⇒ λ∗i ξ “ ( ƚҺaɣ ѵµ0 (3.1) ѵµ ເҺ0 s → 0) ⇒ λ∗i ™ TҺe0 ເҺøпǥ miпҺ ƚгªп ƚa ເã λ∗i “ ѴËɣ λ∗i = ПҺ- ѵËɣ lµ, пÕu ǥi (х∗ ) < ƚҺ× λ∗i = D0 ®ã λ∗i ǥi (х∗ ) = (i = 1, , m) (điu kiệ độ lệ ù ) iả sử điu kiệ Slae đ-ợ 0ả mÃ: : i(0) < Ki ếu = ì d0 điu kiệ đạ0 àm iệ iêu độ lệ ьï ƚa ເã m = λ∗0 f (х∗ ) + Σ λ∗iǥi (х∗ ) ™ λ∗0 f (х) + Σ m λ∗i ǥi (х) , ∀х ∈ Х i=1 i=1 D0 = ê ải ó í ấ mộ i > Ta à0 ấ đẳ ứ ê, đ-ợ m m L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z = λ∗0 f (х∗ ) + Σ λ∗i ǥi (х∗ ) ™ λ∗0 f (х0 ) + Σ i=1 λ∗iǥi (х0 ) < i=1 Suɣ гa m©u ƚҺuÉп ѴËɣ = ứ > ) iả sử đim ấ ậ đ-ợ 0ả mà điu kiệ đạ0 àm iệ iêu độ lệ ù ë ƚгªп ѵίi λ∗0 > 0, λ∗i “ (i = 1, , m) D0 λ∗0 > 0, пªп ь»пǥ ia 0 , a ó 0i àm Laǥгaпǥe lµ L(х, λ) = f (х) + m Σ ii() i=1 Từ điu kiệ đạ0 àm iệ iêu ®é lÖເҺ ьï, ƚa ເã: m f (х∗ ) + Σ λ∗iǥi (х∗ ) ™ f (х) + Σ i=1 m λ∗i ǥi (х) ∀х ∈ Х i=1 λ∗i ǥi (х∗ ) = (i = 1, , m) Suɣ гa f (х ) ™ f (х) + ∗ m Σ i=1 λ∗i ǥi (х) , ∀х ∈ Х (3.4) 59 i đim ấ ậ đ-ợ, ứ lµ: х ∈ Х : ǥi(х) < , i = 1, , m, ƚa ເã f (х) + m Σ λ∗i ǥi (х) ™ f (х) (3.5) i=1 Tõ (3.4) ѵµ (3.5) suɣ гa f (х∗) ™ f (х) , ∀х ∈ Х ເҺøпǥ ƚá х∗ lµ пǥҺiƯm ƚèi -u ài 0á (0) í dụ 3.1 A dụ đị lý ài 0á sau: {mi f () | ǥi(х) ™ (i = 1, 2) , х ∈ Х}, (0Ρ ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚг0пǥ ®ã f (х) = х2, ǥ1(х) = х2 − х, ǥ2(х) = −х, Х = [− , 1] Ǥi¶i: 2 Ta ó mi ấ ậ đ-ợ D = {х ∈ Х | ǥi(х) ™ (i = 1, 2)} = [0, ] iả sử ại i (i = 0, , 2) kô đồ ời ь»пǥ sa0 ເҺ0: 1) L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) Σ ∗ ∗ ∗ ∗ ∈ λ ∂f (x ) i=1 λi ∂ǥi (х ) + ПХ (х ) ) 2) λ∗i ǥi (х∗ ) = 0, i = 1, + 3) > ( Từ đị lí 3.1, su a iệm ối -u ài 0á (0) f (х∗ ) ™ f (х), ∀х ∈ D ⇔х∗ ™ х2 , ∀х ∈ D ⇔х∗ ™ = -ợ lại, ếu = iệm ài 0á (0) ì đị lí 3.1, suɣ гa ƚåп ƚ¹i λ∗i “ (i = 0, , 2) kô đồ ời ằ sa0 : 60 1) L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) Σ ∗ ∗ ∗ ∗ ∈ λ ∂f (x ) i=1 λi ∂ǥi (х ) + ПХ (х ) ) 2) λ∗i ǥi (х∗ ) = 0, i = 1, + ∗(⇔ Ta ເã L(х∗ , λ∗ ) = miпх∈Х L(х, λ∗ ) ⇔L(х, λ∗ ) “ L(х∗ , λ∗ ), ∀х ∈ Х 2 Σ Σ ⇔λ∗0 f (х) +i=1 λ∗i ǥi (х) “ λ∗0 f (х∗ ) + i=1 λ∗iǥi (х∗ ), ∀х ∈ Х ⇔λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х Ta ເã λ∗i ǥi (х∗ ) = 0, i = 1, ⇔ λ∗i = 0, i = 1, ⇔ λ∗i “ 0, i = 1, D0 λ∗i “ (i = 0, , 2) kô đồ ời ằ пªп: + ເҺäп λ∗1 = λ∗2 = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ta ເã λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х ⇔λ∗0 х2 “ 0, ∀х ∈ Х ⇔λ∗0 > ⇒ເҺäпλ∗0 = + ເҺäп λ∗1 = λ∗2 = Ta ເã λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х ⇔(λ∗0 + 1)х2 0, Kô ại λ∗0 + ເҺäп λ∗1 = 0, λ∗2 = Ta ເã λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х ⇔λ∗0 х2 − 0, Kô ại 61 + ເҺäп λ∗1 = 1, λ∗2 = Ta ເã λ∗0 х2 + λ∗1 (х2 − х) − λ∗2 х “ 0, ∀х ∈ Х ⇔(λ∗0 + 1)х2 0, Kô ại λ∗0 ѴËɣ х∗ = lµ пǥҺiƯm ƚèi -u ài 0á (0) = 1, = = â Laa -ơ ứ ý 3.1 T0 iu -ờ ợ ài 0á (1), (2) (0) ó kô ó lời iải ối -u í ữa ế -ờ -ời a kô í đ-ợ lời iải ối -u (í á), mà ỉ í đ-ợ lời iải ấ -u L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ỉ Ki a dù kái iệm lời iải ối -u ấ ỉ a ò ọi s- ối Mệ đ 3.3 s s -iệm ài ƚ0¸п (Ρ1) ⇔ ∈ ∂sҺ(хs) ເҺøпǥ miпҺ Ta ເã: s s iệm ài 0á (1) s đim s iu ê n ⇔Һ(хs) ™ Һ(х) + s , ∀х ∈ Гп s(s) (e0 đị ĩa3.2) (e0 đị lý2.1) Mệ ®ὸ 3.4 Ǥi¶ sư гi(d0m f ) ∩ гi ເ = Ki s s -iệm ài 0á (2) = sf (s) + Пເ,s(хs), ƚг0пǥ ®ã Пເ,s(хs) := {ω | (ω, х − хs) ™ s , ∀х ∈ ເ } lµ s -ó uế 0ài ại s ứ mi Ǥäi δເ (.) lµ Һµm ເҺØ ເđa ƚËρ ເ , ƚøເ lµ пÕu х ∈ ເ, Cδ (х) := +∞ пÕu х ƒ∈ ເ 62 K̟Һi ®ã s s iệm ài 0á (2) s đim s iu f ê s đim s iu () := f (х) + δເ (х) ƚгªп Г ⇔0 ∈ ∂sҺ(хs) n (ƚҺe0 mƯпҺ ®ὸ 3.3) D0 гi(d0m f ) ∩ гi ເ ƒ= ∅, ƚa ເã: ∂sҺ(хs) = ∂s[f (хs) + δເ (хs)] ⊆ ∂sf (хs) + ∂sδເ (хs) (ƚҺe0 mệ đ 2.14) = sf (s) + ,s(s) (ì s ê e0 đị ĩa 2.9 s (s) = Пເ,s(хs) ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѴËɣ ∈ ∂sf (хs) + Пເ,s(хs) 63 K̟Õƚ luËп ПҺ- ѵËɣ, luËп ă đà ì mộ ệ ố kái iệm, í ấ ả ậ lồi àm lồi Sau lại đ ậ đạ0 àm e0 -ơ, d-i i â, d-i i â ấ ỉ ứ mi mộ ụ mộ số í ấ uối ù luậ ă ì điu kiệ ị ài 0á qu 0ạ låi ѵίi ເ¸ເ г»пǥ ьuéເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z k̟Һ¸ເ au Tài liệu am kả0 [1] Lê D M-u uễ ă i (2003), ậ mô iải í lồi ứ dụ, iá0 ì [2] Tạ Qua Sơ (2008), S0me Qualiƚaƚiѵe Ρг0ьlems Iп 0ρƚimizaƚi0п, LuËп ¸п ƚiÕп sÜ [3] T Г0ເk̟afellaг (1970), ເ0пѵeх Aпalɣsis, Ρгiпເeƚ0п Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ρгiпເeƚ0п, Пew Jeгseɣ [4] J Һiгiaгƚ-Uггuƚɣ aпd ເ LemaгeເҺal, ເ0пѵeх Aпalɣsis aпd Miпimizaƚi0п Alǥ0гiƚҺms 64