Hệ ghi cơ số và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MAI HUY NGHị Hệ GHI CƠ Số Và MộT Số øng dơng LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2015 Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu Hệ ghi số 1.1 Khái niệm hệ ghi c¬ sè 1.2 Các phép toán vấn đề ®ỉi c¬ sè Mét sè ứng dụng hệ ghi số 16 2.1 Định lý Legendre Định lý Kummer 16 2.2 Xây dựng đa thức bất khả quy từ số nguyên tố 21 2.3 Mét sè øng dụng hệ ghi số toán sơ cấp 28 KÕt luËn 39 Tµi liƯu tham kh¶o 40 Lêi cảm ơn Trớc hết, xin đợc tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Mặc dù bận rộn công việc nhng Cô dành thời gian tâm huyết việc hớng dẫn Cho đến hôm nay, luận văn thạc sĩ đà đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ nhiệt tình Cô Tôi xin cảm ơn chân thành tới Trờng Đại học Khoa học Thái Nguyên, nơi đà nhận đợc học vấn sau đại học xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trờng, Khoa Toán - Tin Phòng Đào tạo trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô đà tận tình truyền đạt kiến thức quý báu nh tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, ngời đà không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tèt nhÊt cho t«i suèt thêi gian häc tËp thực luận văn Luận văn đợc thực hoàn thành Trờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Lời nói đầu Do nhu cÇu thùc tiƠn cđa cc sèng, cã thĨ nói hệ ghi số lí thuyết toán học xuất hiện, đợc hình thành phát triển song hành với phát triển văn minh nhân loại Hệ ghi số néi dung quan träng sè häc vµ cã nhiỊu ứng dụng khác khoa học thực tiễn Lí thuyết hệ ghi số liên quan đến nhiều lÜnh vùc kh¸c cđa to¸n häc nh− LÝ thut sè; Toán rời rạc; Phơng trình nghiệm nguyên phơng trình hàm; Đa thức; Qui nạp toán học; Các toán trò chơi v.v Một số hệ ghi số quan trọng hệ thập phân (cơ số 10), hệ nhị phân (cơ số 2), hệ bát phân (cơ số 8), hệ thập lục phân (cơ số 16) Hệ ghi số đợc sử dụng phổ biến hệ thập phân, xuất ấn độ vào Thế kỷ sau công nguyên Đến năm 1202 nhờ tác phẩm Liber hệ Abacci L Fibonacci (một nhà toán học thơng gia ngời Y), ghi thập phân đợc truyền bá vào châu Âu Hệ nhị phân đợc sử dụng ngời Babylon (khoảng Thế kỉ đến Thế kỉ rớc Công Nguyên), ngày hệ nhị phân, hệ bát phân hệ thập lục phân đợc sử dụng rộng rÃi lĩnh vực khoa học máy tính bảo mật thông tin Nhiều hệ ghi số khác nh số 12, số 7, số 3, v.v đến đợc quan tâm sử dụng Luận văn quan tâm đến vấn đề biểu diễn hệ ghi số số ứng dụng toán sơ cấp Luận văn gồm chơng Trong Chơng 1, trình bày khái niệm hệ ghi số, số tính chất sở, phép toán toán đổi số Chơng trình bày sè øng dơng cđa hƯ ghi c¬ sè Tr−íc hÕt, th«ng qua mét biĨu diƠn cđa sè n hƯ ghi số p với p số nguyên tố, tính đợc số tự nhiên t lớn cho pt ớc n! (Định lÝ cđa Legendre) Cịng th«ng qua biĨu diƠn cđa hai số tự nhiên a b hệ ghi số p với p nguyên tố, a tính đợc số t lớn cho pt ớc Ca+b , a Ca+b số tổ hợp chập a a + b phần tử (Định lí Kummer) Hai định lí đợc trình bày Tiết 2.1 luận văn Trong Tiết 2.2, trình bày ứng dụng hệ ghi số vấn đề xây dựng đa thức (với hệ số nguyên) bất khả quy Q Khi p số nguyên tố b > số tự nhiên, p = (an a1a0 )b lµ biĨu diƠn cđa p hệ ghi số b đa thức f (x) = an xn + + a1 x + a0 bất khả quy Q (Định lí Murty) Tiết 2.3 quan tâm đến ứng dụng hệ ghi số để giải số dạng toán số học sơ cấp, đặc biệt toán thi học sinh giỏi bậc phổ thông trung học Ngoài số thông tin hệ ghi số đợc tham khảo trang Wikipedia, luận văn đợc viết dựa tài liệu sau Lê Thanh Nhàn, Lí thuyết đa thức (Giáo trình sau đại häc), NXB §HQGHN, 2015 David Anthony Santos, Number Theory for Mathematical Contests, GNU Free Documentation License, October 31, 2007 J Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2003 M Ram Murty, Prime numbers and irreducible polynomials, The American Math Monthly, 109 (2002), 452-458 Ch−¬ng HƯ ghi số độ vào Thế kỷ (sau Công Hệ thập phân xuất Ân Nguyên) Đến năm 1202, nhờ tác phẩm Liber Abacci L Fibonacci hệ thập phân (một nhà toán học đồng thời thơng gia ngời Y) đợc truyền bá vào Châu Âu Với phát minh nghề in vào Thế kỉ 15 10 chữ số có hình dạng cố định nh Ngời ta cố lý giải hệ ghi thập phân lại đợc đa số nớc giới sử dơng ®Õn nh− vËy Cã nhiỊu lÝ cho r»ng hai bµn tay cã 10 ngãn vµ dƠ dµng đếm 10 ngón tay Ngoài hệ ghi thập phân có hệ ghi số khác mà nớc, dân tộc giới đà sử dụng Hệ ghi số 60 ngời Babilon (khoảng ThÕ kØ thø ®Õn ThÕ kØ thø tr−íc Công Nguyên), hệ ghi số 60 ngày đợc dùng để đo góc thời gian Có giả thuyết cho 60 có nhiều ớc sè (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) nên thực phép chia thu đợc nhiều số chẵn (tức số nguyên) Còn sè 10 chØ cã −íc lµ vµ nên thực phép chia thu đợc nhiều số lẻ (phân số) Thời cổ đại, tộc nguyên thủy thờng dùng hệ ghi số 5, tơng ứng với việc đếm năm ngón tay Hiện ngời Trung Quốc ngời Nhật Bản dùng bàn tính gẩy dựa hệ ghi số Với hệ ghi số 20, có dân tộc dùng 10 ngón chân 10 ngón tay để đếm Hệ ghi đợc ngời Maya cổ sử dụng Cho đến ngày Đan Mạch Pháp ngời ta sử dụng hệ ghi số 20 Trong đo lờng ngời ta sử dụng nhiều hệ ghi khác Hệ ghi số 12 đợc sử dụng nhiều nớc giới ngày đợc sử dụng nhiều Anh (một thớc Anh 10 tÊc Anh, mµ b»ng 12 tÊc Anh) Chóng ta vÉn hay dùng đơn vị inch, 18 inch mét th−íc vµ tÊc mµ lµ mét th−íc Anh tấc Anh Ngời ta dùng đơn vị “t¸”, mét t¸ b»ng 12 chiÕc Cã lÏ ng−êi Trung Quốc đà sử dụng hệ ghi số 12 (chu kì 12 giáp) Tùy theo yêu cầu thực tế mà ngời ta lại dùng hệ ghi víi c¬ sè míi HƯ ghi c¬ sè hay hệ ghi nhị phân đợc cài máy tính Phép đếm nhị phân với phép toán logic sở hoạt động máy tính Do có hai ký tù nªn viƯc biĨu diƠn cđa mét sè hệ ghi số dài, máy tính sử dụng hệ ghi số hệ ghi số 16, thuận tiện biểu diễn số, ớc 16 Thực hệ ghi số 16 đà có Trung Quốc từ xa, thêi tr−íc c©n cđa Trung Qc cã tíi 16 lạng Hệ ghi số 24 dùng đếm số ngày Hệ ghi số 30 đếm số ngày tháng Hệ ghi số dùng để đếm số tháng quí Hệ ghi số đếm số ngày tuần, v.v Mục đích chơng trình bày khái niệm hệ ghi số, tính chất, phép toán vấn đề đổi số 1.1 Khái niệm hệ ghi số Tiết trình bày số khái niệm tính chất sở hệ ghi số Luận văn quan tâm đến hệ ghi số thờng gặp nh: Hệ thập phân, hệ nhị phân, hệ bát phân, hệ thập lục phân 1.1.1 Định nghĩa Cho a > số hữu tỷ, b > số tự nhiên Giả sử a = an bn + an−1 bn−1 + + a1 b + a0 b0 + a−1 b−1 + a−2 b−2 + + a−mb−m , ®ã n, m ∈ N, an , , a0 , a−1 , , a−m ∈ {0, 1, , b − 1} an = Khi ta nói a = (an a0, a−1 a−m )b lµ biĨu diƠn cđa a hƯ ghi c¬ sè b 1.1.2 VÝ dơ Mét sè hƯ ghi số thờng gặp nh Hệ thập phân: Chúng ta dùng chữ số 0, 1, , để biểu diễn số hệ thập phân Chẳng hạn (12568, 36)10 = 1.104 + 2.103 + 5.102 + 6.101 + 8.100 + 3.10−1 + 6.10−2 HÖ nhị phân: Chúng ta dùng chữ số để biểu diễn số hệ nhị phân Chẳng hạn (111010, 01)2 = 1.25 + 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 + 0.2−1 + 1.2−2 Hệ bát phân: Chúng ta dùng chữ số 0, 1, , ®Ĩ biĨu diƠn số hệ bát phân Chẳng hạn (20365, 68)8 = 2.84 + 0.83 + 3.82 + 6.81 + 5.80 + 6.8−1 + 8.8−2 HƯ thËp lơc ph©n: Chóng ta dïng c¸c sè 0, 1, , chữ A, B, C, D, E, F để biểu diễn số hệ ghi số thập lục phân, A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 Chẳng hạn 3.165 + A.164 + 0.163 + B.162 + 1.161 + F.160 + 3.16−1 + A.16−2 có biểu diễn hệ thập lục phân (3A0B1F, 3A)16 Nh− vËy dï ë hƯ ghi c¬ sè b bao gồm hai phần: phần nguyên phần b-phân (hay gọi phần lẻ), hai phần đợc ngăn cách với dấu phẩy Phần đứng bên trái dấu phẩy đợc gọi phần nguyên, phần đứng bên phải dấu phẩy đợc gọi phần b-phân hay phần lẻ Nếu số có phần lẻ không cần dùng dấu phẩy, số gọi số nguyên Nếu số viết hệ b = 10 bắt buộc ta phải biết số b kèm theo, viết hệ thập phân, tức b = 10, ta không cần viết số kèm theo 1.1.3 Định lý Cho số tự nhiên b > Khi số tự nhiên a > ®Ịu cã nhÊt mét biĨu diƠn hƯ ghi số b, tức tồn mét biĨu diƠn a = anbn + + a1 b + a0 , víi n lµ sè tù nhiªn, a0, a1 , , an ∈ {0, 1, , b − 1} vµ an = Chøng minh Ta chøng minh sù tån t¹i biĨu diƠn b»ng quy n¹p theo a NÕu a < b a = a biểu diễn cần tìm Cho a b giả thiết số tự nhiên nhỏ a có biểu diễn nh định lý Chia a cho b ta ®−ỵc a = cb + r víi c, r ∈ N r < b Do b > nên c < a Do theo giả thiết quy nạp ta cã biĨu diƠn c = ck bk + + c1 b + c0 , víi k số tự nhiên, c0 , c1 , , ck ∈ {0, 1, , b − 1} vµ ck = Suy a = ck bk+1 + + c1 b2 + c0 b + r Chän n = k + 1, ai+1 = ci víi i = 0, 1, , k vµ a0 = r ta cã kÕt qu¶ TiÕp theo, ta chøng minh tÝnh nhÊt biểu diễn quy nạp theo a Giả sử a = an bn + + a1b + a0 = a′mbm + + a′1 b + a′0 víi n ≥ m lµ hai biĨu diƠn cđa a hƯ ghi c¬ sè b NÕu a < b m = n = a = a0 = a0, biểu diễn Cho a b giả thiết kết đà cho số tự nhiên nhỏ a Vì a0, a0 {0, 1, , b 1} nên a0 a0 lµ d− cđa phÐp chia a cho b Do tính thơng d phép chia a cho b nªn ta cã a0 = a′0 Suy b(anbn−1 + + a1) = b(a′mbm−1 + + a′1 ) Gi¶n −íc c¶ hai vế cho b ta đợc an bn1 + + a1 = a′mbm−1 + + a1 Đây hai biểu diễn sè c = an bn−1 + + a1 hệ ghi số b Vì b > nên c < a Do theo giả thiết quy n¹p ta suy m − = n − vµ a1 = a′1, , am = bm Suy m = n vµ = a′i víi mäi i = 0, 1, , n 1.2 Các phép toán vấn đề đổi số Tiết trình bày phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) hệ ghi số vấn đề đổi số hƯ ghi c¬ sè tïy ý sang hƯ ghi c¬ số khác Trớc hết quan tâm đến phép toán hệ ghi số b 1.2.1 Chú ý Trên hệ ghi số bất kú, ta vÉn thùc hiƯn c¸c phÐp to¸n céng, trõ, nhân, chia nh hệ thập phân nhng dựa bảng cộng bảng nhân hệ ghi số Chẳng hạn ta có bảng cộng hệ ghi số (bát phân) + 0 1 10 2 10 11 3 10 11 12 4 10 11 12 13 5 10 11 12 13 14 6 10 11 12 13 14 15 7 10 11 12 14 14 15 16 28 Chøng minh Chän b = Ta cã 5519 = 2b7 + b6 + b5 + 2b4 + b2 + lµ biĨu diễn số nguyên tố 5519 hệ ghi số b Chú ý 5519 số nguyên tố Vì f (x) bất khả quy theo Định lý 2.2.6 Theo Định lý 2.2.6, từ số nguyên tố 5519 ta xây dựng nhiều đa thức bất khả quy Chẳng hạn, chọn lần lợt số b cho b 5519 biểu diễn 5519 hệ ghi số b cho ta đa thøc bÊt kh¶ quy 2.3 Mét sè øng dơng cđa hệ ghi số toán sơ cấp Mục tiêu tiết sử dụng hệ ghi số để giải số toán sơ cấp Chúng chia phần thành hai dạng Dạng thứ cần đến kết hệ thập phân Dạng thứ hai cần đến kiến thức hệ ghi số khác hệ thập phân a Sử dụng kiến thức hệ thập phân 2.3.1 Bài toán Tìm tất số nguyên bắt đầu ký tự giảm 25 lần ký tự bị xóa Lời giải Giả sử số có n + ký tự Khi số viết thành 6.10n + y, y số có nhiều n ký tự Theo điều kiện toán ta có 6.10n + y = 25y 6.10n Suy y = Từ ta có n (nếu ngợc lại n = 24 6.101 kh«ng chia hÕt cho 24) Víi n ≥ 2, ta cã 6.10n 102 10n−2 y= = = 25.10n−2 24 Vì y có dạng 25 (víi n − sè 0) Ta kÕt luËn tất số cần tìm có dạng 625 (víi n − sè 0) 29 2.3.2 Bài toán (IMO 1968) Tìm tất số tự nhiên x cho tích ký tù cđa chóng (trong hƯ thËp ph©n) b»ng x2 10x 22 Lời giải Gọi x có dạng x = a0 + a110 + a2 102 + + an−1 10n−1 , ak 9, an−1 = Gọi P (x) tích ký tự x, P (x) = x2 − 10x − 22 B©y giê, P (x) = a0a1 an−1 9n1 an1 < 10n1 an1 x (Bất đẳng thức xảy x có nhiều chữ sè) V× vËy, x2 − 10x − 22 < x, ta suy luËn r»ng x < 13, ®ã x có chữ số x = 10, 11, 13 Nếu x có chữ số a0 = x2 10x 22, phơng trình nghiƯm nguyªn NÕu x = 10, P (x) = 0, Nh−ng x2 − 10x − 22 = NÕu x = 11, P (x) = Nh−ng x2 − 10x − 22 = NÕu x = 12, P (x) = Vµ x2 − 10x − 22 = Do đó, x = 12 số 2.3.3 Bài toán Tìm tất số tự nhiên a cho xóa chữ số hàng đơn vị x ta đợc ớc a Lời giải Gọi y hàng đơn vị a Khi y vµ a = 10x + y víi x số tự nhiên Theo giả thiết, tồn sè tù nhiªn m cho 10x + y = mx Điều đòi hỏi 10 + y/x = m số tự nhiên Suy y/x = m 10 Z Do x ớc y NÕu y = 0, bÊt kú sè tù nhiªn x thỏa mÃn Trong trờng hợp này, a = 10x với x số tự nhiên Với y = ta cã x = 1, ®ã a = 11 NÕu y = th× x = x = 2, ta thu đợc a = 12 hc a = 22 TiÕp tơc lËp ln cho trờng hợp y chạy từ đến ta thu đợc số a cần tìm là: tất bội 10 số 11, 12, 22, 13, 33, 14, 24, 44, 15, 55, 16, 26, 36, 66, 17, 77, 18, 28, 48, 88, 19, 39, 99 2.3.4 Bài toán Cho A số nguyên dơng A số tự nhiên 30 với chữ số đợc theo thứ tự ®ã Chøng minh r»ng nÕu A + A′ = 1010 A chia hết cho 10 Lời giải Vì 1010 có 11 chữ số Do A, A 11 chữ số Hơn nữa, A có 10 chữ số A có 10 chữ số A + A có nhiều 10 chữ số, vô lí Nếu A có 11 chữ số A 1010 = A + A′ > A, v« lÝ Suy A cã 10 chữ số A có nhiều 10 chữ số Trong hệ thập phân, viết A = a10a9 a1 vµ A′ = a′10a′9 a1 Vì a10 = nên A + A = 1010 tồn mét chØ sè j víi j cho điều kiện sau thỏa mÃn a1 + a1 = a2 + a′2 = · · · = aj + a′j = aj+1 + a′j+1 = 10; aj+2 + a′j+2 = aj+3 + a′j+3 = · · · = a10 + a′10 = §Ĩ chøng minh A chia hÕt cho 10, ta chøng minh j > Gi¶ sử ngợc lại, tức j = Khi a1 + a′1 = 10 vµ + a′i = víi mäi i = 2, , 10 Cộng tổng ta có (a1 + a1) + (a2 + a′2) + · · · + (a10 + a10) = 10 + 9.9 = 91 Mặt khác, theo giả thiết chữ số A chữ số A Vì {a1, , a10 } = {a′1 , , a′10} Suy 91 = (a1 + a′1 ) + (a2 + a′2) + · · · + (a10 + a′10) = 2(a1 + + a10 ) Râ rµng 2(a1 + + a10 ) số chẵn, 91 số lẻ, vô lí Suy j Do a1 + a′1 = Suy a1 = 0, tøc lµ A chia hÕt cho 10 31 2.3.5 Bài toán (Aime 1992) Cho S tập hợp tất số hữu tỷ r, < r < cho khai triĨn cđa r hƯ thËp phân số thập phân tuần hoàn dạng 0, abcabcabc = 0, abc, ®ã a, b, c không thiết phải khác biệt Để biểu diễn phần tử S thành phân số tối giản, cần dùng tử số khác nhau? abc 999 = 33 37 Nếu abc 999 không chia hết cho hay 37 số tối giản Vì r > nên abc chạy từ Lời gi¶i Chó ý r»ng 0, abcabcabc = đến 999 Xét tập hợp X = {1, 2, , 999} Gäi Y lµ tËp X gồm số bội của Z tập X gồm số bội 37 Khi Y có 999/3 = 333 phần tử Z có 999/37 = 27 phần tư Chó ý r»ng Y ∩ Z lµ tËp cđa X gåm c¸c sè chia hÕt cho 3.37 = 111 Suy Y ∩ Z cã 999/111 = phần tử Do số phần tử X không chia hết cho không chia hết cho 37 số phần tử tập X \ (Y Z) Kí hiệu Card(X) số phần tử tËp X Khi ®ã Card(X \ (Y ∪ Z) = Card(X) − Card(Y ) − Card(Z) + Card(Y ∩ Z) = 999 − 333 + 27 + = 648 Do có 648 số có dạng abc (từ đến 999) không chia hết cho không chia hết cho 37 Rõ ràng 648 số tơng øng víi 648 tư sè abc abc kh¸c phân số dạng thỏa mÃn yêu cầu Ta xem 999 xét có tử số lại thỏa mÃn yêu cầu Ngoài ra, phân số abc 0< < có dạng tối giản s/37, s bội phải 999 36 số , , , Có 12 phân số loại Vậy, số tử số 37 37 37 phân biệt tập hợp S viết phần tử S dới dạng tối giản 648 + 12 = 660 2.3.6 Bài toán (Putnam 1956) Cho a số nguyên dơng Chứng minh tồn số tự nhiên b cho b lµ béi cđa a vµ biĨu diƠn b 32 hệ thập phân có đầy đủ chữ số từ đến Chứng minh Giả sử a số nguyên dơng với k ch÷ sè LÊy m = 123456789.10k+1 XÐt tËp X = {m + 1, m + 2, , m + n} lµ tËp gåm n sè nguyên dơng liên tiếp, m + = 1234567890 01, ®ã cã k số Rõ ràng m + bắt đầu với 1234567890, phần lại m + 01 víi k − sè Cho i ∈ {1, , n} Gi¶ sử hệ thập phân, i có t chữ số, tøc lµ i = at at−1 a1 Vì i n n có k chữ số nên t k Do số m + i = 12345678910 at at−1 a1 , ®ã cã ®óng k + − t chữ số nằm chữ số chữ số at Vì m + i bắt đầu 12345678910, phần lại atat1 a1 Gi¶ sư d− cđa phÐp chia m+ i cho n ri , ri < n NÕu n sè d− r1 , , rn phân biệt có số d ri 0, m + i bội n Ngợc lại, giả sử n số d không phân biệt Khi tồn số tự nhiên t Chøng minh Ta cã (4, 41)b = + + = b b 2+ b Lêi giải toán sau cần đến biểu diễn số hữu tỷ hệ ghi số 2.3.10 Bài toán Với số thực x, kí hiệu [x] phần nguyên x, tức [x] số nguyên lớn không vợt x Phơng trình [x]+ [2x]+ [4x] + + [32x] = 12345 cã nghiệm hữu tỷ hay không? Lời giải Ta chứng minh phơng trình nghiệm hữu tỷ Giả sử ngợc lại Nhớ lại [x] thỏa mÃn bất đẳng thøc x − < [x] ®ã x − + 2x − + 4x − + + 32x − < [x] + [2x − 1] + [4x − 1] + + [32x − 1] x + 2x + 4x + + 32x x Do 35 Tõ gi¶ thiÕt ta cã 63x − < 12345 63x Do ®ã 195 < x < 196 Gi¶ sư x = 195 + r víi < r < BiĨu r hệ ghi số ta đợc r= a1 a2 a3 + + + 2 ®ã ak ∈ {0, 1} Suy x = 195 + a1 a2 a3 + + + 2 Khi ®ã ta cã [2x] = 2.195 + a1 , [4x] = 4.195 + 2a1 + a2, [8x] = 8.195 + 4a1 + 2a2 + a3, [16x] = 16.195 + 8a1 + 4a2 + 2a3 + a4 , [32x] = 32.195 + 16a1 + 8a2 + 4a3 + 2a4 + a5 Céng tÊt đẳng thức lại ta đợc [x] + [2x] + [4x] + + [32x] = 63.195 + 31a1 + 15a2 + 7a3 + 3a4 + a5, tøc lµ 31a1 + 15a2 + 7a3 + 3a4 + a5 = 60 V× ∈ {0, 1} víi mäi i nªn ta cã 31a1 + 15a2 + 7a3 + 3a4 + a5 31 + 15 + + + = 57 < 60 Điều vô lí Lời giải toán sau cần đến biểu diễn số hữu tỷ hệ ghi số số 36 2.3.11 Bài toán (AIME 1986) Cho dÃy tăng 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, số nguyên dơng, số dÃy lũy thừa 3, có dạng 3i1 + 3i2 + + 3it víi t ∈ N vµ i1 < i2 < < it T×m sè hạng thứ 100 dÃy Lời giải Giả sử a số dÃy Khi a = 3i1 + 3i2 + + 3it víi t ∈ N vµ i1 < < it Chó ý r»ng 3i1 = (10i1 )3 = (10 0)3, có i1 chữ số T−¬ng tù, 3ik = (10 0)3 với ik chữ số Vì i1 < i2 < < it nªn biĨu diƠn cđa sè a hệ ghi số gồm chữ số chữ số 1, mà số xuất Ngợc lại, số tự nhiên a có biểu diễn hệ ghi số bao gồm chữ số (không có chữ số 2) a phần tử dÃy Nh số hạng dÃy theo thứ tự tăng dần (1)3 , (10)3 , (11)3 , (100)3 , (101)3 , (110)3 , (111)3 , Nhận xét chữ số tạo thành dÃy số có tính chất đặc biệt, cụ thể ta coi số d·y 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, nh− lµ biĨu diƠn cđa d·y sè hƯ nhị phân ta có = (1)2, = (10)2 , = (11)2 , = (100)2 , = (101)2 , = (110)2 , = (111)2 , Vì thế, số hạng thứ 100 dÃy ban đầu tơng ứng với số 100 biểu diễn hệ nhị phân Ta có 100 = (1100100)2 Chun sang hƯ ghi c¬ sè ta ®−ỵc (1100100)3 = 36 + 35 + 32 = 981 Do số thứ 100 dÃy ban đầu 981 37 2.3.12 Bài toán Tìm số tự nhiên a cho ta cã 20 sè d− t−¬ng øng với 20 phép chia cho dới a = 2q1 + 1, q1 ∈ N, q1 = 2q2 + 1, q2 ∈ N, q18 = 2q19 + 1, q19 = Lời giải Nh Chơng 1, để biểu diễn a hệ nhị phân, ta chia liên tiếp a thơng tìm đợc cho 2, thơng nhỏ dừng lại Khi số d phép chia lập thành biểu diễn a hệ nhị phân Vì ta cã a = (11111111111111111111)2 = 219 + 218 + + 20 = 1048575 2.3.13 Bài toán Gi¶ sư f : N → N tháa m·n f (1) = 1; f (2n) = f (n) vµ f (2n + 1) = f (2n) + víi mäi n nguyên dơng Trong số f (1), f (2), , f (1994), sè nµo lín nhÊt? Lêi gi¶i Ta cã f (10)2 = f (2) = f (1) = 1, f (11)2 = f (3) = f (2.1 + 1) = f (2.1) + = f (1) + = 2, f (100)2 = f (4) = f (2) = f (1) = 1, f (101)2 = f (4) + = 2, f (110)2 = f (6) = f (3) = 2, f (111)2 = f (7) = f (6) + = + = 3, 38 f (1000)2 = f (8) = 1, f (1001)2 = f (9) = f (8) + = + = NhËn xÐt r»ng víi n = 1, , 9, nÕu biĨu diƠn cđa n hƯ ghi c¬ sè bao gồm k chữ số f (n) = k Ta chứng minh điều cho trờng hợp n tùy ý quy nạp theo n Với n 9, ta đà tình toán Cho n 10 giả thiết kết đà cho trờng hợp nhỏ n Xét hai trờng hợp Giả sư n ch½n ViÕt n = 2k víi k < n Gi¶ sư biĨu diƠn cđa k hƯ ghi số bao gồm t chữ số Vì k < n nên theo giả thiết quy nạp ta cã f (k) = t Suy f (n) = f (2k) = f (k) = t Gi¶ sư k = (ar ar−1 a1 )2 lµ biĨu diƠn hƯ ghi c¬ sè cđa k víi ∈ {0, 1}, ®ã d·y at, at−1 , , a1 có t chữ số Ta cã n = (10)2 x (ar ar−1 a1 )2 = (ar ar−1 a1 0)2 Do ®ã biĨu diƠn cđa n hệ ghi số gồm t chữ số Kết cho n chẵn Giả sử n lẻ Khi n = 2k + Suy f (n) = f (2k) + = f (k) + Gi¶ sư biĨu diƠn cđa k hệ ghi số bao gồm t chữ số Do k < n nên theo giả thiết quy n¹p ta cã f (k) = t Suy f (n) = t + Mặt khác, giả sử k = (ar ar−1 a1)2 lµ biĨu diƠn hƯ ghi c¬ sè cđa k víi ∈ {0, 1}, ®ã d·y at , at−1 , , a1 có t chữ số Khi ®ã n = 2k + = (10)2 x (ar ar−1 a1 )2 + (1)2 = (ar ar−1 a11)2 Do ®ã biĨu diƠn cđa n hƯ ghi c¬ sè có t + chữ số Kết với n lẻ Từ kết trên, ta phải tìm sè n 1994 cho nã cã nhiỊu ch÷ sè nhÊt biĨu diƠn hƯ ghi c¬ sè Vì 1994 < 211 nên n có nhiều 10 chữ số Số lớn có 10 chữ số (trong hệ nhị phân) 1023 = (1111111111)2 ) Do số n = 1023 số cần tìm f (1023) = 10 39 Kết luận Trong luận văn này, đà trình bày nội dung sau đây: * Trình bày số kiến thức sở hệ ghi số, phép toán hệ ghi số vấn đề đổi số; * Với p số nguyên tố, sử dụng hệ ghi số p để tính số tự nhiên t lớn cho pt ớc n! (Định lý Legendre) pt ớc a Ca+b (Định lý Kummer); * Với p số nguyên tố, sử dụng biểu diễn p hƯ ghi c¬ sè b víi b > để xây dựng đa thức với hệ số nguyên bất khả quy Q (Định lý Murty); * Sử dụng hệ ghi số để giải số toán sơ cấp, đặc biệt toán thi học sinh giỏi bậc trung học phổ thông Tài liệu tham khảo [Nh] Lê Thanh Nhàn, Lý thuyết đa thức (Giáo trình sau đại học), NXB §HQGHN, 2015 [Da] David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007 [Mu] M Ram Murty, Prime numbers and irreducible polynomials, The American Math Monthly, 109 (2002), 452-458 [St] J Stillwell, Elements of Number Theory, Springer, 2003 40 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HC MAI HUY NGHị Hệ GHI CƠ Số Và MéT Sè øng dơng Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2015 ... ghi số quan trọng hệ thập phân (cơ số 10), hệ nhị phân (cơ số 2), hệ bát phân (cơ số 8), hệ thập lục phân (cơ số 16) Hệ ghi số đợc sử dụng phổ biến hệ thập phân, xuất ấn độ vào Thế kỷ sau công... biểu diễn hệ ghi số số ứng dụng toán sơ cấp Luận văn gồm chơng Trong Chơng 1, trình bày khái niệm hệ ghi số, số tính chất sở, phép toán toán đổi số Chơng trình bày số ứng dụng hệ ghi số Trớc hết,... đếm số ngày Hệ ghi số 30 đếm số ngày tháng Hệ ghi số dùng để đếm số tháng quí Hệ ghi số đếm số ngày tuần, v.v Mục đích chơng trình bày khái niệm hệ ghi số, tính chất, phép toán vấn đề đổi số 1.1