Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số và giới hạn hàm số một biến

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN.. Giải tíchbắt đầu với các giới hạn, nhờ đó mà chúng ta có thể xác định các ý tưởngchính của giải tích như tính liên tục, đạo hàm và t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN KHÁNH HOÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN

HÀM SỐ MỘT BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2023

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

NGUYỄN KHÁNH HOÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN

HÀM SỐ MỘT BIẾN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8.64.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Người hướng dẫn khoa học:

TS Lê Hải Trung

Đà Nẵng - 2023

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1.1 Giới hạn dãy số 4

1.2 Các tính chất của dãy hội tụ 6

1.3 Giới hạn hàm số 17

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ20 2.1 Tìm giới hạn của dãy số với điều kiện ban đầu 20

2.2 Áp dụng nguyên lý Weierstrass 24

2.3 Sử dụng nguyên lý kẹp 27

2.4 Phương pháp xây dựng dãy phụ 31

2.5 Giới hạn của dãy có dạng un+1 = f (un) 35

2.6 Giới hạn của một tổng 41

2.7 Dãy số sinh bởi phương trình cho trước 43

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 46

3.1 Phương pháp biến đổi đại số 46

3.1.1 Giới hạn dạng vô định 00 46

3.1.2 Giới hạn vô định ∞∞ 49

3.1.3 Giới hạn vô định ∞ − ∞ 50

3.1.4 Giới hạn vô định 0.∞ 52

3.1.5 Giới hạn vô định của hàm số lượng giác 53

3.1.6 Giới hạn vô định của hàm số mũ, logarit 55

3.2 Phương pháp sử dụng quy tắc L’hospital 56

3.3.1 Khai triển Taylor 57

3.3.2 Một số khai triển thường gặp 58

3.3.3 Vô cùng bé 59

3.3.4 Vô cùng bé tương đương 59

3.3.5 Các tính chất vô cùng bé 59

3.4 Phương pháp Logarit hoá 64

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giới hạn của một hàm số là khái niệm cơ bản nhất của giải tích Giải tíchbắt đầu với các giới hạn, nhờ đó mà chúng ta có thể xác định các ý tưởngchính của giải tích như tính liên tục, đạo hàm và tích phân của một hàm số,

sự hội tụ và phân kỳ của các dãy dựa trên giới hạn

Louis Cauchy là nhà toán học đầu tiên sử dụng định nghĩa tương tự nhưđịnh nghĩa epsilon - delta về một giới hạn mà chúng ta sử dụng ngày nay.Năm 1821, ông đã đưa ra một khóa học giải tích bắt đầu với một định nghĩahiện đại về giới hạn Trong các bài viết của mình, Cauchy đã sử dụng cácgiới hạn làm cơ sở cho các định nghĩa chính xác về tính liên tục, sự hội tụ,đạo hàm và tích phân Cauchy đã định nghĩa tích phân của bất kỳ hàm liêntục nào trên khoảng [a, b] là giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhậtmỏng Ông đã cố gắng chứng minh rằng giới hạn này tồn tại cho tất cả cáchàm liên tục trên khoảng [a, b] Định nghĩa của giới hạn do Cauchy đưa ra

là nếu chúng ta muốn tất cả các giá trị nằm trong một vùng lân cận nhỏ nào

đó xung quanh, chúng ta chỉ cần chọn một vùng lân cận đủ nhỏ cho các giátrị x xung quanh c và chứng minh rằng chúng ta có thể làm được điều nàycho dù độ lớn có nhỏ đến đâu

Giới hạn, một khái niệm điển hình cho tư tưởng tiên tiến của toán học, làmột phần quan trọng của chương trình Toán phổ thông và trong các ngànhđại số và giải tích toán học Giới hạn có một vị trí đặc biệt quan trọng trongtoán học, không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng một vaitrò như một công cụ đắc lực của giải tích nên việc hiểu được định nghĩa vàgiải được bài toán giới hạn vẫn là một khó khăn rất lớn đối với học sinh, sinhviên Nhất là trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp quốc gia, thi OlympicToán quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng,các bài toán về giới hạn dãy số và giới hạn hàm số được đề cập nhiều và đều

thuộc loại khó Vì thế, chủ đề về giới hạn ngày càng được quan tâm khôngchỉ bởi định nghĩa khá trừu tượng mà còn vì tính độc đáo của phương pháp

và kỹ thuật giải chúng có yêu cầu cao về tư duy

Với các lý do nêu trên, bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của TS Lê HảiTrung đã chọn đề tài nghiên cứu của luận văn thạc sĩ với tiêu đề: “Một sốphương pháp tìm giới hạn dãy số và giới hạn hàm số một biến” đểnghiên cứu sâu hơn về vấn đề này Mong rằng qua các phương pháp và bàitoán minh hoạ về tính toán trình bày trong đề tài, người học sẽ nắm đượckiến thức giới hạn một cách sâu sắc hơn, từ đó giải các bài toán một cách

dễ dàng, nắm vững được phương pháp và phân dạng được từng loại bài tập,tránh được những sai lầm khi giải bài toán giới hạn

3 Đối tượng nghiên cứu

• Nghiên cứu về lý thuyết cơ sở giới hạn của dãy số, hàm số một biến

• Các kĩ thuật để tìm giới hạn của dãy số, hàm số một biến

• Các sai lầm thường gặp khi giải toán giới hạn

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số một biến và một số sailầm thường gặp

5 Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về giới hạn

• Thu thập các sách, các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liênquan đến các tính chất của giới hạn dãy số và giới hạn hàm số một biến

• Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quảđang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình của mình

4 Cấu trúc của đề tài

Nội dung đề tài được trình bày trong ba chương Ngoài ra, đề tài có Lờicảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giới hạn dãy số và giớihạn hàm số một biến nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2, Chương3

Chương 2 trình bày về một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

Chương 3 trình bày về một số phương pháp tìm giới hạn hàm số một biến

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về giới hạn dãy số

và hàm số một biến Các khái niệm và các tính chất trong chương này đượctrình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chươngsau

1.1 Giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.1.1 ([6]) Cho dãy số {xn} và số L Ta nói rằng {xn} hội tụ

về L hay L là giới hạn của dãy số {xn}, nếu với mỗi ε > 0 bé tuỳ ý đều tồntại số nguyên dương N sao cho với mọi n ≥ N thì

Với số L được cho và ε > 0, ta định nghĩa tập hợp tất cả các số z sao cho

|z − L| < ε được gọi là ε-lân cận của L Tập hợp này được biểu thị là Nε(L).Chú ý rằng bắt đẳng thức |xn− L| < ε cũng tương đương với:

L − ε < xn < L + ε

Một dãy số được gọi là hội tụ nếu nó có giới hạn Một dãy được gọi là

phân kỳ nếu nó không hội tụ.

Ví dụ 1.1.2 Hãy chứng minh dãy

nn n+1

Chứng minh Gọi xn = a với mọi số tự nhiên n Với mọi ε > 0 ta luôn có

|xn− a| = |a − a| = 0 < ε với mọi số tự nhiên n Vậy ta có điều phải chứngminh

1.2 Các tính chất của dãy hội tụ

Định lí 1.2.1 ([6]) Mỗi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất

Chứng minh Giả sử dãy số {xn} có hai giới hạn khác nhau là L1 và L2 Với

ε > 0, ta có {xn} tiến đến L1, nên tồn tại số nguyên dương N1 sao cho

Từ (1.2) suy ra |L1 − L2| < |L1 − L2| Điều này vô lý nên L1 = L2

Định nghĩa 1.2.2 ([6]) Một dãy số {xn} được gọi là bị chặn nếu tồn tại

số M sao cho |xn| < M với mọi số tự nhiên n

Định lí 1.2.3 ([6]) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Chứng minh Giả sử {xn} là một dãy hội tụ về L Với mỗi ε > 0 tồn tại một

số nguyên dương N sao cho |xn− L| < ε, với mọi n ≥ N Ta có

|xn| − |L| ≤ |xn− L| < ε,

Do vậy khi n > N2 ta có

=

yn− b

byn