Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ LIỄU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà nẵng - 2020 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990086247061000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI SƯ PHẠM VŨ THỊ LIỄU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - 2020 MỤC LỤC Phương pháp tìm giới hạn dãy 1.1 Định nghĩa tính chất dãy số 1.2 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực 1.3 Tính giới hạn cách sử dụng số hạng tổng quát 1.4 Sử dụng định lí Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn 22 1.5 Sử dụng định lí Lagrange để chứng minh dãy số có giới hạn 32 1.6 Phương pháp so sánh dãy số 38 1.7 Phương pháp sử dụng tổng tích phân 42 1.8 Phương pháp lấy tích phân phần 49 Giới hạn số dãy đặc biệt 55 2.1 Giới hạn dãy số phân tuyến tính 55 2.2 Giới hạn dãy tổng 63 2.3 Giới hạn dãy tích 69 2.4 Giới hạn dãy số xác định dãy phương trình 73 Kết luận kiến nghị 78 Kết luận 78 Kiến nghị 78 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giới hạn mảng đặc biệt quan trọng Tốn học Nó khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm Tốn Giải tích mà giới hạn cịn cơng cụ đắc lực nhiều lĩnh vực khác ngành khoa học tự nhiên Trong trường chuyên toán Trung học Phổ thơng, giáo viên thường gặp khơng khó khăn truyền đạt cho em học sinh kiến thức giới hạn dãy số xem chuyên đề khó thú vị Bởi khái niệm tính chất giới hạn trừu tượng so với em học sinh bậc Trung học Phổ thông nên em thường gặp lúng túng tiếp cận phép chứng minh đứng trước toán cụ thể em học sinh có cảm giác khơng chắn, thiếu tin tưởng độc lập giải toán liên quan đến giới hạn dãy số Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi Toán học cấp Quốc gia, kỳ thi Olympic Toán học quốc tế, toán liên quan đến giới hạn dãy số thường đề cập nhiều chúng xem dạng tốn khó bậc Trung học Phổ thơng Ngồi ra, nằm chương trình quy định Hội Tốn học Việt Nam kỳ thi Olympic Toán học học sinh sinh viên tồn quốc Lý thuyết dạng tốn giới hạn dãy số phong phú đa dạng Do vậy, để truyền thụ tốt kiến thức cho em học sinh Trung học Phổ thơng, địi hỏi giáo viên cần phải nắm kiến thức, hiểu rõ chất giới hạn dãy số biết vận dụng cách linh hoạt chúng để giải dạng toán liên quan cách nhạy bén Qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy Trường Trung học Phổ thông, thân nhận thấy rằng, nhiều học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn đứng trước toán cụ thể giới hạn dãy số, đặc biệt em đội tuyển học sinh giỏi toán Nhà trường Xuất phát từ nhận thức mong muốn học sinh đội tuyển học sinh giỏi toán trường Trung học Phổ thông đạt kết tốt kỳ thi học sinh giỏi toán cấp, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Một số phương pháp tính giới hạn dãy số” làm đề tài luận văn thạc sỹ tốn học Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài cung cấp cho học sinh đồng nghiệp có cách nhìn tổng quan phương pháp tính giới hạn dãy số Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Giới hạn, giới hạn dãy số, phương pháp tính giới hạn dãy số 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tính giới hạn dãy số chương trình tốn bậc Trung học Phổ thông Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến phương pháp tính giới hạn dãy số giáo trình sách tham khảo, mạng internet Bằng kiến thức học Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, chọn lọc xếp kiến thức phù hợp đưa vào luận văn Nhờ đó, chúng tơi nghiên cứu chúng nhằm đưa dạng toán số phương pháp tính giới hạn dãy số Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài nhằm đưa cách nhìn tổng quan phương pháp tính giới hạn dãy số chương trình Trung học Phổ thơng Nó giúp em học sinh có thêm nhãn quan giải tốn tính giới hạn dãy số kì thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp quốc gia, khu vực quốc tế, Olympic 30/4 Olympic sinh viên Bên cạnh đó, tài liệu tham thảo hữu ích cho giáo viên học sinh, sinh viên việc nâng cao chất lượng dạy học trường Trung học phổ thông Tổng quan cấu trúc luận văn Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số phương pháp tính giới hạn dãy số Ngồi luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở đầu, phần Kết luận Kiến nghị, tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày kiến thức dãy số, số phương pháp chứng minh dãy số hội tụ tìm giới hạn dãy số Chương 2, vận dụng phương pháp trình bày để tính giới hạn dãy số phân tuyến tính, dãy tổng, dãy tích dãy số xác định dãy phương trình = 0 ( ) π ∫π/2 ∫π/2 sin 2x 1 = π x− I2 = (1 − cos 2x)dx = sin2 xdx = 2 0 51 (2) Ta có In+2 ∫π/2 ∫π/2 = sinn+2 xdx = sinn x(1 − cos2 x)dx 0 π ∫2 ∫π/2 sinn xdx − = Đặt (1.34) ∫π/2 sinn x cos2 xdx = In − cos x sinn x cos xdx   u = cos x  dv = sinn x cos xdx =⇒   du = − sin xdx n+1 x  chọn v = sin n+1 Khi ( ) π ∫π/2 ∫π/2 n+1 sin x In+2 n n+2 + (1.35) cos x sin x cos xdx = cos x sin xdx = n+1 n+1 n+1 0 Thay (1.35) vào (1.34) ta suy với n ∈ N∗ ta có In+2 = In − In+2 ⇐⇒(n + 1)In+2 = (n + 1)In − In+2 n+1 ⇐⇒(n + 2)In+2 = (n + 1)In ⇐⇒In+2 = n+1 In n+2 (3) Nếu n = 2k từ (1.36) ta có I4 = I2 I6 = I4 I8 = I6 I2k = Nhân theo vế ta I2k = 2k − I2k−2 2k 3.5.7 (2k − 1) 3.5.7 (2k − 1) π I2 = 4.6.8 2k 4.6.8 2k (1.36) 52 Nếu n = 2k − từ (1.36) ta có I3 = I1 I5 = I3 I7 = I5 I2k−2 = 2k − I2k−3 2k − Nhân theo vế ta I2k−1 = 2.4.6 (2k − 2) 2.4.6 (2k − 2) I1 = 3.5.7 (2k − 1) 3.5.7 (2k − 1) (4) Với n ∈ N∗ , ta có xn+1 = (n + 2)In+1 In+2 = (n + 2)In+1 n+1 In = (n + 1)In In+1 = xn n+2 Suy xn = xn−1 = · · · = x1 = 2I1 I2 = π π  Do đó, lim xn = n→+∞ 1.8.3 Nhận xét ([3]) Bằng phép đổi biến t = π − x ta dễ dàng chứng minh ∫π/2 ∫π/2 In = sinn xdx = cosn xdx 0 1.8.4 Bài toán ([3]) Chứng minh 2.4.6 2n lim √ = n→+∞ 3.5.7 (2n − 1) 2n + ∫π/2 Bài giải Xét In = (sin x)n dx √ π 53 Ta có π ∫π/2 ∫π/2 In = − (sin x)n−1 d(cos x) = −(sin x)n−1 cos x