Một số phương pháp tính giới hạn và ước

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN XUÂN THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HỒN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - NĂM 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN XUÂN THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HỒN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 i Mục lục Mở đầu ii Chương Một số tính chất dãy số 1.1 Các tính chất dãy số 1.1.1 Cấp số cộng, cấp số nhân cấp số điều hòa 1.1.2 Dãy tuần hoàn phản tuần hoàn cộng tính 1.1.3 Dãy tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính 1.2 Một số định lý giới hạn dãy số 1.3 Dãy số chuyển tiếp đại lượng trung bình 1.3.1 Phép chuyển đại lượng trung bình cộng 1.3.2 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình nhân 1.3.3 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình điều hồ 1.3.4 Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình bậc hai Chương Các tốn xác định dãy số tuần hồn phản tuần hoàn 11 2.1 Xác định dãy tuần hoàn phản tuần hồn cộng tính 11 2.2 Xác định dãy tuần hoàn phản tuần hoàn nhân tính 14 2.3 Một số toán khác liên quan 19 Chương Giới hạn dãy số sinh trung bình dạng toán liên quan 21 3.1 Giới hạn dãy số sinh trung bình 21 3.2 Về dãy số xác định dãy phương trình 41 3.3 Định lý giới hạn tương đương áp dụng 47 3.4 Sử dụng tích phân để tính giới hạn dãy 50 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 ii MỞ ĐẦU Chuyên đề dãy số vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích tốn học Đối với học sinh phổ thơng, khái niệm dãy số thường khó hình dung cấu trúc đại số tập dãy số, đặc biệt phép tính dãy có chứa tham số, phép biến đổi dãy đại số dãy, Có nhiều dạng tốn loại khó liên quan đến chuyên đề liên quan đến kỳ thi học sinh giỏi bậc THPT kỳ thi olympic sinh viên Dãy số có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực giải tích tốn học Các tốn tính giá trị tổng, tích toán cực trị xác định giới hạn biểu thức cho trước thường có mối quan hệ nhiều đến đặc trưng dãy tương ứng Các toán dãy số đề cập giáo trình giải tích tốn học số tài liệu bồi dưỡng giáo viên học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thơng Luận văn Một số phương pháp tính giới hạn ước lượng dãy số tuần hoàn phản tuần hoàn nhằm cung cấp số kiến thức dãy số số vấn đề liên quan đến dãy số tuần hoàn, phản tuần hồn cộng tính nhân tính Đồng thời cho phân loại số dạng toán dãy số theo dạng phương pháp giải Nội dung Luận văn gồm phần mở đầu ba chương Chương Một số tính chất dãy số Nội dung chương nhằm trình bày định nghĩa dãy số đặc biệt tính chất liên quan Đồng thời trình bày số tốn áp dụng liên quan đến cấp số cộng, cấp số nhân tính chất đặc biệt chúng Trình bày tính chất dãy số chuyển tiếp đại lượng trung bình Chương Các tốn xác định dãy số tuần hoàn phản tuần hoàn Chương nhằm giới thiệu số toán xác định dãy tuần hoàn phản tuần hoàn cộng tính Nêu số tính chất dãy số toán xác định dãy số liên quan đến hàm sơ cấp phổ thông Chương Các toán xác định giới hạn dãy số iii Chương nhằm khảo sát giới hạn dãy số sinh trung bình bản, giới hạn dãy số xác định dãy phương trình trình bày định lý giới hạn tương đương áp dụng sử dụng tích phân để tính giới hạn Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến GS TSKH NGND Nguyễn Văn Mậu – người thầy đồng hành em suốt trình nghiên cứu Tận tình bảo, hướng dẫn giải đáp thắc mắc để em hồn thành luận văn Em xin gửi lời cám ơn đến thầy cô, đặc biệt thầy cô khoa Toán – Tin - Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên giảng dạy, hướng dẫn, động viên em suốt trình học tập nghiên cứu Xin cám ơn gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành cơng việc, nhiệm vụ Trong q trình làm việc thời gian lực cá nhân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết Em xin lắng nghe ý kiến đóng góp q thầy để em hồn thiện luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2014 Tác giả: Nguyễn Xuân Thủy CHƯƠNG Một số tính chất dãy số 1.1 Các tính chất dãy số 1.1.1 Cấp số cộng, cấp số nhân cấp số điều hòa Định nghĩa 1.1 (Cấp số cộng) Dãy số {un } thỏa mãn điều kiện: un+1 = un + d với số tự nhiên n d số cho trước gọi cấp số cộng, d gọi công sai * un gọi số hạng tổng quát cấp số cộng {un } Nếu cho trước n ta có cấp số cộng hữu hạn * Nếu d = ta có dãy số mà u0 = u1 = Khi dãy {un } gọi dãy * Ký hiệu: Sn = u0 + u1 + · · · + un gọi tổng n số hạng cấp số cộng Nhận xét 1.1 Nếu {un } cấp số cộng cơng sai d, ta có: * un = u1 + (n − 1)d, * 2uk = uk−1 + uk+1, ∀k ≥ 2, n(n − 1)d (u1 + un )n * Sn = nu1 + = 2 Bài toán 1.1 Cho {un } cấp số cộng mà số hạng số nguyên dương Giả sử dãy có số phương Chứng minh dãy có vơ hạn số phương Giải Giả sử dãy {un } có cơng sai d > x số phương
dãy x = m2 Khi đó: (m + kd)2 = m2 +2mkd+k d2 = x+d 2mk + k d Điều chứng tỏ dãy có vơ hạn số phương Bài toán 1.2 Cho số dương u1 , u2 , un (2 ≤ n ∈ N) lập thành cấp 1 số cộng với công sai d > Chứng minh rằng: √ √ +√ √ + u1 + u2 u2 + u3 n−1 ··· + √ √ =√ √ un−1 + un u1 + un Giải Nhận xét √ = √ uk + uk+1 1) cộng theo vế ta được: √ uk+1 − d √ uk , Cho k = 1, 2, (n− √ √ √ √ √ √ [( u2 − u1 ) + ( u3 − u2 ) + · · · + ( un − un−1 )] d √ √ un − u1 n−1 = ( un − u1 ) = √ √ =√ √ =VP d d un + u1 u1 + un VT = Vậy toán chứng minh Bài toán 1.3 Cho số dương u1 , u2 , un lập thành cấp số cộng Tính 1 tổng: S = + + ··· + u1 u2 u2 u3 un−1 un   1 1 Giải Nhận xét = − , cho k = 1, 2, , (n− uk uk+1 d uk uk+1 1) vào đẳng thức cộng vế với vế ta được:       1 1 1 S= − + − + ··· + − d u1 u2 u2 u3 un−1 un   1 n−1 = − = d u1 un u1 un Vậy S = n−1 u1 un Định nghĩa 1.2 (Cấp số nhân) Dãy số {un } thỏa mãn điều kiện un = un−1 q với q số cho trước ≤ n ∈ N, gọi cấp số nhân, q gọi công bội * un gọi số hạng tổng quát cấp số nhân Nếu cho trước n ta có cấp số nhân hữu hạn * Nếu cấp số nhân có q = có dạng: u0 ; 0; 0; ; 0; * Nếu cấp số nhân có q = có dạng: u0 ; u0 ; ; u0 ; * Ta ln có: un = u1 q n−1 (2 ≤ n ∈ N) * Ta ln có: u2k = uk−1 uk+1 ∀k ≥ − qn * Ta ln có: Sn = u1 + u2 + · · · + un = u1 1−q Định nghĩa 1.3 (Cấp số điều hòa) Dãy số {un } , (un 6= 0, ∀n ∈ N) thỏa 2un−1 un+1 mãn điều kiện un = gọi cấp số điều hịa un−1 + un+1 Bài tốn 1.4 Chứng minh dãy số {un } lập thành dãy số điều hòa dãy cho thỏa mãn điều kiện un+1 = − un un−1 un un−1 ⇔ un (un−1 + un+1 ) = ⇔ un+1 = Giải Ta có: un+1 = 2un−1 − un − un un−1 2un−1 un+1 2un−1 un+1 ⇔ un = un−1 + un+1 Vậy dãy số {un } lập thành cấp số điều hịa 1.1.2 Dãy tuần hồn phản tuần hồn cộng tính Định nghĩa 1.4 Dãy số {un } gọi dãy tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho: un+l = un , ∀n ∈ N Số nguyên dương l bé thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ sở dãy Định nghĩa 1.5 Dãy số {un } gọi phản tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N Nhận xét 1.2 - Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy cho dãy - Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy có dạng: i 1h n+1 , α, β ∈ R α + β + (α − β) (−1) un = 1.1.3 Dãy tuần hồn phản tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.6 Dãy số {un } gọi dãy số tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho usn = un, ∀n ∈ N Số nguyên dương s bé để dãy {un } thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.3 Một dãy phản tuần hồn cộng tính chu kỳ r tuần hồn cộng tính chu kỳ 2r Định nghĩa 1.7 Dãy số {un } gọi dãy số phản tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s (s > 1) cho: usn = −un , ∀n ∈ N Nhận xét 1.4 Mọi dãy {un } phản tuần hồn chu kỳ r có dạng un = (vn − vn+r ), với vn+2r = 1.2 Một số định lý giới hạn dãy số Định nghĩa 1.8 Dãy {un } gọi hội tụ a, ký hiệu lim un = a, n→∞ với ε > cho trước tùy ý, tìm số n0 cho với n ≥ n0 có |un − a| < ε, tức là: lim un = a ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 , |un − a| < ε n→∞ Định lý 1.1 (Tính giới hạn) Giới hạn dãy hội tụ Định lý 1.2 (Tính thứ tự dãy hội tụ) Cho lim xn = l a ∈ R Khi n→∞ - Nếu a > l ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a > xn - Nếu a < n ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a < xn Định lý 1.3 (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho lim xn = l n→∞ a ∈ R - Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 ⇒ xn ≥ a l ≥ a - Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≤ a l ≤ a Định lý 1.4 (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho ba dãy số {xn } , {yn } , {zn } thỏa mãn: • ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ zn ≤ xn ≤ yn • Các dãy {yn } , {zn } hội tụ đến l Khi dãy {xn } hội tụ lim xn = l n→∞ Định lý 1.5 (Tính chất đại số dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ {xn } , {yn } lim xn = a; lim yn = b Khi đó: n→∞ n→∞ * Dãy {−xn } hội tụ lim (−xn ) = −a n→∞ * Dãy {|xn |} hội tụ lim |xn | = |a| n→∞ * Dãy {xn + yn } hội tụ lim (xn + yn ) = a + b n→∞ * Dãy {xn − yn } hội tụ lim (xn − yn ) = a − b n→∞ * Dãy {kxn } hội tụ lim (kxn ) = ka n→∞ * Dãy {xn yn } hội tụ lim (xn yn ) = a.b n→∞   * Với b 6= dãy xác định từ số hội tụ y n   1 và: lim = n→∞ yn b   xn xác định từ số hội tụ * Với b 6= dãy yn và:   xn a lim = n→∞ yn b Định lý 1.6 Mọi dãy hội tụ bị chặn Định lý 1.7 Mọi dãy đơn điệu bị chặn hội tụ Định lý 1.8 (Định lý Bolzano – Veierstrass) Từ dãy bị chặn rút dãy hội tụ Định lý 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy {xn } hội tụ ∀ε > cho trước tùy ý, tìm số n0 cho với m, n ≥ n0 có |xn − xm | < ε 1.3 Dãy số chuyển tiếp đại lượng trung bình Dưới ta xét số tốn chuyển tiếp đại lượng trung bình chương trình phổ thơng 1.3.1 Phép chuyển đại lượng trung bình cộng Bài tốn 1.5 Xác định dãy số {un }, cho   u(m) + u(n) m+n m+n u = , ∀m, n, ∈ N∗ 2 (1.1) 43 Khi đó, với n ≥ N, ta có 0= 1 1 1 1 + +···+ < + + +···+ < − = 0, xn xn − xn − n xn −1 −2 −n a a mâu thuẫn Vậy ta phải có lim xn = Bài tốn 3.16 Cho n số nguyên dương (n > 1) Chứng minh phương trình xn = x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Chứng minh xn dần n dần đến vơ tìm lim n(xn ) − 1) n→∞ Giải Rõ ràng xn > Đặt fn (x) = xn − x − Khi fn+1 (1) = −1 < fn+1 (xn ) = xn+1 − xn − > xnn − xn − = fn (xn ) = n Từ ta suy < xn+1 < xn Suy dãy {xn } có giới hạn hữu hạn a Ta chứng minh a = Thật vậy, giả sử a > Khi xn ≥ a với n ta tìm n đủ lớn cho: xnn ≥ an > xn + < 3, mâu thuẫn với fn (xn ) = Để giải phần cuối toán, ta đặt xn = + yn với lim yn = Thay vào phương trình fn (xn ) = 0, ta (1 + yn )n = + yn Lấy logarit hai vế, ta n ln(1 + yn ) = ln(2 + yn ) Từ suy lim n ln(1 + yn ) = ln Nhưng lim ln + yn = nên từ ta suy lim nyn = ln 2, tức yn lim n(xn − 1) = ln n→∞ Bài toán 3.17 [VMO 2007] Cho số thực a > fn (x) = a10 xn+10 + xn + · · · + x + a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình fn (x) = a ln có nghiệm dương 44 b) Gọi nghiệm xn , chứng minh dãy {xn } có giới hạn hữu hạn n dần đến vô Giải Kết câu a) hiển nhiên hàm fn (x) tăng (0, +∞) Dễ dàng nhận thấy < xn < Ta chứng minh dãy xn tăng, tức xn+1 > xn Tương tự lời giải trên, ta xét fn+1 (xn ) = a10 xn+11 + xn+1 + xnn + · · · + xn + = xn fn (xn ) + = axn + n n Vì ta có fn+1 (1) = a10 + n + > a, nên ta cần chứng minh axn + < a suy xn < xn+1 < Như vậy, a−1 a−1 cần chứng minh xn < Thật vậy, xn ≥ a a  a − 1n+1  n+10 − 10 a − a fn (xn ) ≥ a + = a−1 a 1− a n  a − 1 n  10 a − +a − (a − 1) >a = (a − 1) a a (do a − > 1) Vậy dãy số tăng {xn } tăng bị chặn nên hội tụ Nhận xét 3.1 Một lần mối liên hệ fn+1 (x) = xfn (x) + lại giúp tìm mối quan hệ xn xn+1 Từ lời giải trên, ta chứng a−1 a−1 minh lim xn = Thật vậy, đặt c = < 1, theo tính tốn a a fn (c) − fn (xn ) = kcn (với k = (a − 1)((a − 1)9 − 1) > 0) Theo định lý Lagrange fn (c) − fn (xn ) = f (ξ)(c − xn ) với ξ ∈ (xn , c), f (ξ) = (n + 10)a10 ξ n+9 + nξ n−1 + · · · + > 1, nên từ suy kcn > c − xn Từ ta có c − kcn < xn < c, có nghĩa lim xn = c 45 Bài toán 3.18 [VMO 2002] Cho n số nguyên dương Chứng minh phương trình 1 1 + + ··· + = x − 4x − n x−1 có nghiệm xn > Chứng minh n dần đến vô cùng, xn dần đến Nhận xét 3.2 Việc chứng minh phương trình có nghiệm xn > hiển nhiên Mối liên hệ fn+1 (x) = fn (x) + (n + 1)2 x − 1 1 + +· · ·+ − ) x − 4x − n x−1 Đề cho sẵn giới hạn xn làm cho toán trở nên dễ nhiều Tương tự cách chứng minh lim xn = c nhận xét trên, ta dùng định lý Lagrange để đánh giá khoảng cách xn Để làm điều này, ta cần tính fn (4), với cho thấy xn dãy số tăng (ở fn (x) = fn (x) = 1 1 + + ··· + − x − 4x − n x−1 Việc tính fn (4) liên quan đến dạng tổng quen thuộc Giải Đặt fn (x) gọi xn (xn > 1) nghiệm phương trình fn (x) = Ta có 1 1 1 + + ··· + − = + + ··· + − − 16 − 4n − 1.3 3.5 (2n − 1)(2n + 1) 1 1 1 1 1 = − + − + ··· + − − =− 3 2n − 2n 4n fn (4) = Áp dụng định lý Lagrange, ta có = |fn (xn ) − f (4)| = |f (c)||xn − 4| 4n với c ∈ (xn , 4) Nhưng |f (c)| = 1 + + · · · > , (c − 1)2 (4c − 1)2 46 , suy lim xn = 4n Trong ví dụ (và phần nhận xét toán 3) sử dụng định lý Lagrange để đánh giá hiệu số xn giá trị giới hạn Ở ví dụ cuối viết này, ta tiếp tục nêu ứng dụng dụng định lý tình phức tạp nên từ |xn − 4| < Bài toán 3.19 Cho n số nguyên dương (n > 1) Chứng minh phương trình xn = x2 + x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Hãy tìm số thực a cho giới hạn limn→∞ na (xn − xn+1 ) tồn tại, hữu hạn khác Nhận xét 3.3 Dễ thấy giá trị a, tồn tại, Tương tự ln(3) tốn trên, chứng minh xn ≈ + Từ có dự n đốn a = Định lý Lagrange giúp đánh giá hiệu xn − xn+1 chứng minh dự đoán Giải Đặt Pn (x) = xn − x2 − x − Ta có Pn+1 (x) = xn+1 − x2 − x − = xn+1 − xn + Pn (x) = xn (x − 1) + Pn (x) Từ Pn+1 (xn ) = xnn (xn − 1) + Pn (xn ) = (x2n + xn + 1)(xn − 1) = x3n − Áp dụng định lý Lagrange, ta có (x2n + xn + 1)(xn − 1) = Pn+1 (xn ) − Pn+1 (xn+1 ) = (xn − xn+1 )Pn+1 (c) với c ∈ (xn+1 , xn ), Pn+1 (x) = (n + 1)xn − 2x − Từ   0 (n + 1) xn+1 + + − 2xn+1 − = Pn+1 (xn+1 ) < Pn+1 (c) < xn+1 < Pn+1 (xn ) = (n + 1)(x2n + xn + 1) − 2xn − Từ đây, với lưu ý lim xn = 1, ta suy Pn+1 (c) lim = n→∞ n 47 Tiếp tục sử dụng lim n(xn − 1) = 3, ta suy lim nPn+1 (c)(xn − xn+1 ) = lim n(x2n + xn + 1)(xn − 1) = ln n→∞ n→∞ ⇔ lim n2 (xn − xn+1 ) Pn+1 (c) n n→∞ = ln Pn+1 (c) = ln n→∞ n→∞ n ⇔ lim n2 (xn − xn+1 )3 = ln ⇔ lim n2 (xn − xn+1 ) lim n→∞ ⇔ lim n2 (xn − xn+1 ) = ln(3) n→∞ Vậy với c = giới hạn cho tồn tại, hữu hạn khác Dễ thấy với c > giới hạn cho vô với c < giới hạn cho Vậy c = đáp số toán Qua ví dụ trên, thấy cơng cụ để khảo sát dãy số cho dãy phương trình định lý giải tích (về hàm liên tục, hàm đơn điệu, định lý hội tụ dãy số đơn điệu bị chặn, định lý Lagrange) mối liên hệ mang tính truy hồi phương trình Hy vọng việc phân tích tình ví dụ giúp có cách nhìn tổng qt cho tốn dạng 3.3 Định lý giới hạn tương đương áp dụng Định lý 3.2 Cho dãy số {ck } với < ck < 1, k = 1, 2, 3, Xét dãy số n n Y Y Xn = (1 + ci ); Yn = (1 − ci ) i=1 i=1 Khi ba khẳng định sau tương đương (i) lim Xn = +∞, n→+∞ lim Yn = 0, P  n (iii) lim ci = +∞ (ii) n→+∞ n→+∞ i=1 Chứng minh Xét khẳng định (i)⇒ (iii) Giả sử n P i=1 ci < M, với < M < 48 +∞ Khi n n  Y X n  M n (1 + ci ) < + ci < + < eM , n i=1 n i=1  P n ci = +∞ vơ lý lim Xn = +∞ Do lim n→+∞ n→+∞ i=1 Khẳng định (iii)⇒ (i)là hiển nhiên n n Y X (1 + ci ) > ci i=1 i=1 Xét khẳng định (ii)⇒ (iii) Nhận xét rằng, ứng với n số a1 , a2 , , an với < < 1, n n X Y > − (1 − ) i=1 i=1 Dễ dàng kiểm tra tính đắn bất đẳng thức quy nạp n Q Do lim (1 − ci ) = nên ứng với m tồn n cho n→+∞ i=1 n Y (1 − ci ) < i=1 Từ ta có n X i=1 n Y ci > − (1 − ci ) > i=1 Suy lim n→+∞ n X ci = +∞ i=1 Xét khẳng định (i)⇒ (ii) Ta có n n n Y Y Y 1> (1 − ci ) = (1 + ci ) (1 − ci ) i=1 Nhưng lim n Q i=1 (1 + ci ) = +∞ nên lim n→+∞ i=1 i=1 n Q (1 − ci ) = (theo nguyên lý n→+∞ i=1 kẹp) Do lim Yn = n→+∞ Bây ta chuyển sang phần áp dụng định lý để giải số toán 49 Bài toán 3.20 Cho dãy số thực tăng {un } có tính chất lim un = +∞ n→+∞ Chứng minh tồn k ∈ N cho u1 u2 uk + + ··· + < k − 2007 u2 u3 uk+1 (ta giả sử u1 > 0) Giải Ta sử dụng biến đổi tương đương sau k u X u2 uk  ui  k− + + ··· + > 2007 ⇔ 1− > 2007 u2 u3 uk+1 u i+1 i=1 ui < Do {un } dãy tăng nên < − ui+1 ui , suy < ci < Mặt khác, ta có Đặt ci = − ui+1 n n Y Y u1 ui = (1 − ci ) = u un+1 i=1 i=1 i+1 tiến dần tới n → +∞ Vậy nên n P ci = +∞ (Từ 2)⇒ 3) Do ∃k ∈ N i=1 để k  X i=1 k ui  X 1− = ci > 2007 ui+1 i=1 Bài tốn 3.21 Cho dãy số {an } dương có tính chất lim an = +∞ Chứng n→+∞ minh tồn k ∈ N cho k X i=1 Giải Đặt ci = 2007 > 263 a1 + a2 + · · · + ai Vì > nên < ci < a1 + a2 + · · · + − ci = a1 + a2 + · · · + ai−1 , với i ≥ a1 + a2 + · · · + 50 Suy n Y (1 − ci ) = i=2 a1 a1 + a2 + · · · + an tiến dần tới n → +∞ Vì > lim an = +∞, nên n→+∞ 263 2007 n P ci = +∞ hay ∃k ∈ N để n P ci > i=1 i=1 , điều phải chứng minh 3.4 Sử dụng tích phân để tính giới hạn dãy Ta nhắc lại định nghĩa tích phân xác định: Nếu hàm f (x) khả tích đoạn [a, b], với phép phân hoạch (Π) đoạn [a, b] cách chọn điểm ξi ∈ [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, , n) ta ln có Zb n X f (x)dx = lim f (ξi )(xi − xi−1 ), d→0 a i=1 d = max (xi − xi−1 ) 1≤i≤n Như biểu thức dấu giới hạn tổng tích phân hàm f (x) [a, b] ứng với phép phân hoạch [a, b] Như vậy, để tính giới hạn tổng thơng qua tích phân xác định, ta tiến hành theo trình tự sau Biến đổi tổng dấu giới hạn biểu thức dạng n b − a b−aX  f a+i , Sn = n i=1 n sau chọn hàm f (x) thích hợp tính tích phân Rb f (x)dx a Bài tốn 3.22 Cho cặp số dương m, p cho đa thức P (x) = a0 xm+1 + a1 xm + · · · + am x, a0 6= 51 Lập dãy số {vn } sau pn  X = P k=0  , n = 1, 2, n+k Tính limn→∞ Giải Với i ≥ 2, pn  X P 06 k=0 i pn + n+k ni Xét hàm số f (x) = Khi 1+x pn k 1 X f n n k=1 tổng tích phân f (x) đoạn [0,1] Đặt Sn = pn X k=0 n+k pn X k 1 Sn = + f n k=1 n n Do lim Sn = lim + n→∞ n→∞ n Zp f (x)dx = ln(1 + p) Từ đó, suy lim = am ln(1 + p) n→∞ Bài tốn 3.23 Tính   1/n 22/n 2n/n   lim  + + ··· + · 1 n→∞ n+1 n+ n+ n 52 Giải Ta có  21/n 22/n 2n/n  Sn = + + ··· + 1 n+1 n+ n+ n n n X 2i/n X 2i/n = = · 1 n i=1 n + i=1 1+ i ni x Ta thấy hàm số f (x) = liên tục đoạn [0, 1], nên khả tích đoạn Do i i−1 i 2n 2n 6 22 , 1+ ni hi − i i , nên tồn ξ đọan n n Vậy, giới hạn cần tìm Z1 lim Sn = n→∞ 2t dt = · ln Bài tốn 3.24 Tính   lim  n→∞  n+ + n+  · 6n −  n+ + Giải Đặt   Sn =   n+ + n+ +  · 6n −  n+ Ta phân tích Sn sau Sn = = n X i=1 n+ + n+ + n n + 6n−4  1 X = 6i−4 · n n + 6i−4 + 3n i=1 53 liên tục [0, 2] nên khả tích 1+x đoạn Bằng phép phân hoạch đoạn [0, 2] điểm chia Nhận xét rằng, hàm số f (x) = xi = chọn 2i (i = 1, 2, , n) n = xi−1 + xi ∈ [xi−1 , xi ], k = 2, 3 h 2(i − 1) 2i i 6i − (k) ξi = + = , n 3n 3n (k) ξi ta thu n X i=1 n 2X · f (ξi )(xi − xi−1 ) = n i=1 + 6i−4 3n Đây tổng tích phân f (x) đọan [0, 2] Theo định nghĩa tích phân xác định, lim Sn = n→∞ Z2 1 dx = ln(x + 1) = ln 1+x Bài toán 3.25 Cho a, b ∈ Q cho f (x) > 0, liên tục [a, b] Tính lim Pn = n→∞ n hY i b−a n (k) f (ξi ) i=1 Giải Lấy logarit hai vế, ta b−a (k) [ln f (ξ1 ) + · · · + f (ξn(k) )] n n b−aX (k) g(ξi , g(x) = ln f (x) = n i=1 ln Pn = Từ suy Pn = e b−a n Pn (k) i=1 g(ξi ) Do g(x) khả tích [a, b], nên Rb lim Pn = ea n→∞ ln f (x)dx