Ma trận và dãy số

Đại Học Thái Nguyên Trường Đại Học Khoa Học Trần Xuân Sơn MA TRẬN VÀ DÃY SỐ The matrix and sequence of number Chuyên Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS-TS Đàm Văn Nhỉ Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS-TS Đàm Văn Nhỉ Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Vành ma trận 1.1 Tính đóng đại số trường C 1.2 Ma trận phép toán 1.2.1 Cộng ma trận 1.2.2 Nhân ma trận với số 1.2.3 Phép nhân ma trận với ma trận 1.3 Định thức 1.3.1 Định thức ma trận vng 1.3.2 Tính chất định thức 1.4 Ma trận khả đảo ma trận nghịch đảo 1.5 Vành ma trận K[A] 1.6 Phương trình đặc trưng ma trận 1.7 Hàm hữu tỉ ma trận vuông 1.8 Chéo hóa ma trận vng Xét dãy số qua ma trận 2.1 Xét dãy số qua đồng cấu 2.2 Xét dãy số qua phép nhân ma trận 2.3 Xét dãy số qua chéo hóa ma trận 2.4 Xây dựng toán cho dãy số Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 10 12 12 13 13 13 14 15 18 19 23 25 28 28 33 39 47 53 54 Lời mở đầu Chúng ta biết Ma trận Dãy số ứng dụng nhiều ngành khoa học như: Vật lý, Kinh tế, Tin học, Chúng xuất hầu hết ngành Toán học, đặc biệt Toán rời rạc, Giải tích Đại số tuyến tính Trong lịch sử ngành tốn hai cơng cụ nghiên cứu từ lâu đem lại nhiều cơng trình xuất chúng Các tài liệu viết ma trận dãy số nhà khoa học để lại nhiều độc đáo, hầu hết nghiên cứu riêng biệt, chưa có nhiều cơng trình tài liệu nghiên cứu đồng thời ma trận dãy số mối quan hệ chúng Thực tế thấy dãy số có nhiều ứng dụng xuất từ sớm lịch sử loài người Trong chương trình học cấp, đề thi đại học cao đẳng, đề thi Olympic toán nước quốc tế, ln có tồn dãy số Điều cho thấy tầm quan trọng mảng toán dãy số Các toán dãy số thường dạng như: Các số hạng xác định công thức, hay cho dạng mệnh đề mô tả số hạng, ta dễ dàng phát tính chất số hạng, nhiều dãy số cho theo công thức truy hồi không dễ suy tính chất cơng thức tường minh Vấn đề đặt chọn phương pháp để giải toán dãy số cách nhanh tróng tối ưu, ta thấy có nhiều cách giải tốn Tuy nhiên dùng ma trận để giải toán dãy số hướng giải hay thú vị, cho nhiều kết bất ngờ mà dùng cách giải thơng thường khơng có Cụ thể từ toán dãy số ta biểu diễn dạng ma trận, sử dụng phép biến đổi ma trận để giải Quá trình biến đổi cho ta số tính chất để từ xây dựng dãy số Qua cách làm giúp ta giải nhiều Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn toán sách tham khảo kì thi học sinh giỏi sáng tác nhiều tốn Với mục tiêu thơng qua phép biến đổi ma trận để giải toán dãy số xây dựng toán dãy số từ toán ban đầu Luận văn trình bày hai chương: Chương I: Vành ma trận Trình bày kiến thức số phức, chứng minh tính đóng đại số trường C để giải toán liên quan đến nghiệm phương trình ta đem xét C Xây dựng vành ma trận K[A], tính định thức giá trị riêng đa thức g(A) biết định thức giá trị riêng A Nêu cách tính ma trận nghịch đảo, xác định giá trị riêng, véctơ riêng chéo hóa ma trận, đưa số ví dụ để minh họa Chương II: Xét dãy số qua ma trận Trình bày nhiều ví dụ vận dụng kiến thức chương I như: Sử dụng đồng cấu, phép nhân ma trận, chéo hóa ma trận để giải tốn dãy số biểu diễn dãy số dạng ma trận Chuyển toán dãy số toán ma trận Đặc biệt luận văn nghiên cứu 2, dãy số đồng thời Sử dụng ma trận để xây dựng toán từ toán ban đầu Sau thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo nghiên cứu tài liệu liên quan đến nội dung, với giúp đỡ nhiệt tình, tận tâm Thầy giáo hướng dẫn PGS-TS Đàm Văn Nhỉ Luận văn chắt lọc nội dung đưa phương pháp để khai thác toán dãy số Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K4a - Trường Đại học Khoa học động viên, giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Việt Vinh - Huyện Bắc Quang - Tỉnh Hà Giang tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hoàn thành khố học Khn khổ luận văn đề cập đến việc áp dụng phép tốn tính chất ma trận vào giải toán dãy số, lĩnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vực rộng khó Song thời gian có hạn khả nghiên cứu cịn hạn chế, nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến Thầy bạn đồng nghiệp Thái Nguyên, ngày 28 tháng 07 năm 2012 Tác giả Trần Xuân Sơn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Vành ma trận Trong chương trình bày lý thuyết biến đổi Ma trận Nội dung chủ yếu chương hình thành từ tài liệu [1], [2], [5] 1.1 Tính đóng đại số trường C Xét tích Descartes T = R × R = { (a, b)|a, b ∈ R} định nghĩa phép toán: (a, b) = (c, d) a = c, b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) Để đơn giản, viết (a,b).(c,d) qua (a,b)(c,d) Từ định nghĩa phép nhân: (i) Với i = (0, 1) ∈ T có i2 = ii = (0, 1)(1, 0) = (−1, 0) (ii) (a,b)(1,0) = (1,0)(a,b) = (a,b) (iii) (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0)(0,1), ∀(a, b) ∈ T Bổ đề 1.1.1 Ánh xạ φ : R → T, a 7→ (a, 0), đơn ánh thỏa mãn φ(a + a0 ) = φ(a) + φ(a0 ), φ(aa0 ) = φ(a)φ(a0 ) với a, a’ ∈ R Đồng (a, 0) ∈ T a ∈ R Khi ta viết (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi với i2 = (−1, 0) = −1 Ký hiệu C T phép toán nêu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Như C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1} ta có: a + bi = c + di a = c, b = d a + bi + c + di = a + c + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i Mỗi phần tử z = a + bi ∈ C gọi số phức với phần thực a, ký hiệu Rez, phần ảo b, ký hiệu Imz; i gọi đơn vị ảo Số phức a−bi gọi số phức liên hợp z = a+bi ký hiệu qua z = a + bi Dễ dàng kiểm tra zz = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 , z1 z2 = z1 z2 √ gọi |z| = zz môdun z Số đối z = c + di −z = −c − di ký hiệu z − z = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b − d)i Xét mặt phẳng tọa độ (Oxy) Mỗi số phức z = a + bi ta cho tương ứng với điểm M (a, b) Tương ứng song ánh C → R × R, z = a + bi 7→ M (a; b) Khi đồng C với (Oxy) qua việc đồng z Với M, mặt phẳng tọa độ với biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss để ghi công C F Gauss - người đưa biểu diễn Mệnh đề 1.1.1 Tập C trường chứa trường R trường Chứng minh Dễ dàng kiểm tra C vành giao hoán với đơn vị 2 Giả sử z = a+bi ( 6= Khi a +b > Giả sử z = x+yi ∈ C thỏa mãn ax − by = a b zz = hay Giải hệ x = , y = − a + b2 a2 + b bx + ay = a b Vậy z = − i nghịch đảo z Tóm lại C trường a + b2 a2 + b2 Vì đồng a ∈ R với a + 0i ∈ C nên coi R trường z0 z0z z C Chú ý rằng, nghịch đảo z 6= z −1 = = z z −1 = |z| z |z| Định nghĩa 1.1.1 Cho số phức z 6= Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (rađian) góc lượng giác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tia đầu Ox tia cuối OM gọi argument z ký \ gọi Argument z ký hiệu hiệu qua arg(z) Góc xOM Arg z Argument số phức không định nghĩa Chú ý α argument z argument z có dạng α + k2π, ∀k ∈ Z Với z 6= 0, ký hiệu α + k2π Argument z √ Ký hiệu r = zz Khi số phức z = a + bi có a = r cos α, b = r sin α
Vậy z 6= biểu diễn z = r cos α + i sin α biểu diễn gọi dạng lượng giác z Tích vơ hướng tích lệch hai số phức z1 , z2 , ký hiệu < z1 , z2 > [z1 , z2 ], định nghĩa tương ứng qua công thức sau đây: 1 < z1 , z2 >= (z1 z2 + z1 z2 ), [z1 , z2 ] = (z1 z2 − z1 z2 ) 2

Mệnh đề 1.1.2 Nếu z1 = r1 cos α1 +i sin α1 , z2 = r2 cos α2 +i sin α2 với r1 , r2 > z1 |z1 | (i) |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, | | = |z1 + z2 | |z1 | + |z2 | z2 |z2 |

 (ii) z1 z2 = r1 r2 cos α1 + α2 + i sin α1 + α2

z1 r1  (iii) = cos α1 − α2 + i sin α1 − α2 r2 > z2 r2

(iv) < z1 , z2 >= r1 r2 cos α1 − α2 = |z1 ||z2 | cos α1 − α2 (v) < z1 , z2 >=< z2 , z1 >, < az1 + bz3 , z2 >= a < z1 , z2 > +b < z3 , z2 > với số phức z1 , z2 , z3 a, b ∈ R

(vi) [z1 , z2 ] = r1 r2 sin α2 − α1 = |z1 ||z2 | sin α2 − α1 [z1 , z2 ] = −[z2 , z1 ] Chứng minh Hiển nhiên Với hai số phức z1 z2 ta ln có z1 = z2 ⇔ |z1 | = |z2 |, arg z1 = arg z2 + 2kπ, k ∈ Z arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 Arg(z1 z2 ) z1 Arg( ) z2 = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z = arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z = Arg(z1 ) + Arg(z2 ) = Arg(z1 ) − Arg(z2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
n
n Ví dụ 1.1.1 Với a + bi = x + iy có a2 + b2 = x2 + y
n
n Lời giải Từ a + bi = x + iy Suy a − bi = x − iy Như
n a2 + b2 = x2 + y Ví dụ 1.1.2 Với ba số phức phân biệt đơi z1 ; z2 ; z3 có đồng thức (x − z3 )(x − z1 ) (x − z1 )(x − z2 ) (x − z2 )(x − z3 ) + + = f (x) = (z1 − z2 )(z1 − z3 ) (z2 − z3 )(z2 − z1 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 ) |z − z3 ||z − z1 | |z − z1 ||z − z2 | |z − z2 ||z − z3 | + + >1 Từ suy |z1 − z2 ||z1 − z3 | |z2 − z3 ||z2 − z1 | |z3 − z1 ||z3 − z2 | với số phức z Ví dụ 1.1.3 Với ba số phức phân biệt đôi z1 ; z2 ; z3 hai số thực u, v có đồng thức (x − u)(x − v) (z1 − u)(z1 − v) = + (x − z1 )(x − z2 )(x − z3 ) (z1 − z2 )(z1 − z3 )(x − z1 ) (z3 − u)(z3 − v) (z2 − u)(z2 − v) + Từ suy với (z2 − z1 )(z2 − z3 )(x − z2 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 )(x − z3 ) |z − u||z − v| |z1 − u||z1 − v| số phức z có + |z − z1 ||z − z2 ||z − z3 | |z1 − z2 ||z1 − z3 ||z − z1 | |z2 − u||z2 − v| |z3 − u||z3 − v| + |z2 − z1 ||z2 − z3 ||z − z2 | |z3 − z1 ||z3 − z2 ||z − z3 | Mệnh đề 1.1.3 [Moivre] Nếu z = r(cos α + i sin α) với số 

 nguyên dương n có z n = rn cos nα + i sin nα
Hệ 1.1.1 Cho bậc n số phức z = r cos α + i sin α 6= ta  α + 2kπ α + 2kπ  1/n cos nhận n giá trị khác zk = r + i sin n n với i k = 1, 2, , n Tính đóng đại số trường C Bây ta rằng, đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm C Đó nội dung Định lý đại số Người chứng minh định lý nhà toán học C Gauss (1777 - 1855) Định nghĩa 1.1.2 Trường K gọi trường đóng đại số đa thức bậc dương thuộc K[x] có nghiệm K Như vậy, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3.11 Các định thức có dạng tam giác tích phần a11 a12 a1n a22 a2n =a11 a22 .ann tử chéo 0 ann