®¹i häc th¸I nguyªn Trêng ®¹i häc khoa häc PH¹M QUANG NGäC øNG DôNG §ÞNH THøC Vµ MA TRËN VµO VIÖC GI¶I QUYÕT LíP C¸C BµI TO¸N CHøNG MINH §¼NG THøC Vµ BÊT §¼NG THøC LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i Nguy[.]
đại học tháI nguyên Tr-ờng đại học khoa học PH¹M QUANG NGäC øNG DụNG ĐịNH THứC Và MA TRậN VàO VIệC GIảI QUYếT LớP CáC BàI TOáN CHứNG MINH ĐẳNG THứC Và BấT ĐẳNG THứC Luận văn thạc sĩ toán học Thái Nguyên – 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Tóm tắt lý thuyết ma trận định thức số kiến thức liên quan 1.1 Ma trận, tính chất phép toán 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Tính chất phép toán 1.2 Định thức ma trận vuông 1.2.1 Các định nghĩa tính chất 1.2.2 Định lý 1(Laplace) 1.2.3 Đa thức đặc trưng, giá trị riêng véc tơ riêng 1.3 Ma trận đối xứng dạng toàn phương 1.3.1 Ma trận đối xứng tính chất 1.3.2 Dạng toàn phương 12 Ứng dụng lý thuyết định thức ma trận vào lớp toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức 15 2.1 Chứng minh đẳng thức 15 2.1.1 Đẳng thức Bine - Cauchy dạng định thức 15 2.1.2 Chứng minh đẳng thức cách tính định thức 18 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.3 Áp dụng đẳng thức |A.B| = |A| |B| 21 2.1.4 Áp dụng phương trình ma trận 26 2.1.5 Áp dụng vào đẳng thức tích phân suy rộng 27 2.2 Chứng minh bất đẳng thức 28 2.2.1 Áp dụng định lý 6(định lý Bine-Cauchy) 28 2.2.2 Áp dụng định lý Sylvestrer (định lý 2) 29 2.2.3 Áp dụng định lý định lý 31 2.2.4 Áp dụng định lý Schur 32 2.2.5 Áp dụng bất đẳng thức độ lõm |A| 34 2.2.6 Áp dụng bất đẳng thức Adamar 35 2.3 Bài tập đề nghị hướng dẫn giải 36 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết Đại số tuyến tính nói chung lý thuyết định thức ma trận nói riêng kiến thức tốn học Nó sở để nghiên cứu lý thuyết khác tốn học hình học cao cấp, giải tích, tốn kinh tế v.v Ngồi cịn có ứng dụng việc nghiên cứu số nghành khoa học vật lý, lý thuyết, hóa học số nghành kỹ thuật khác Hiện toán đẳng thức bất đẳng thức ta thường gặp nhiều giáo trình, kỳ thi học sinh giỏi có nhiều phương pháp giải hay độc đáo Trong phạm vi đề tài chúng tơi mạnh dạn trình bày phương pháp tiếp cận khác phương pháp giải dựa lý thuyết ma trận định thức Bố cục luận văn sau luận văn phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn gồm có hai chương: Chương 1: Lý thuyết ma trận, định thức số kiến thức có liên quan Chương 2: Ứng dụng lý thuyết ma trận định thức vào lớp toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Để hoàn thành luận văn này, tác giả nhận hướng dẫn, giúp đỡ tận tình PGS.TS Nơng Quốc Chinh Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người quan tâm, hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến qúy báu suốt trình hồn thành luận văn tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tập thể thầy giáo khoa Tốn ĐHKH - ĐH Thái Nguyên dạy dỗ, giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè giúp đỡ nguồn động viên tinh thần lớn suốt trình học tập hồn thành luận văn Kết đạt luận văn nhiều khiêm tốn hẳn tránh khỏi thiếu sót Do vậy, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Học viên Phạm Quang Ngọc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tóm tắt lý thuyết ma trận định thức số kiến thức liên quan 1.1 Ma trận, tính chất phép toán 1.1.1 Các định nghĩa Ma trận A cấp m × n bảng m hàng ( hay dòng ), n cột viết cố định sau: A = (ai j )m×n a11 a12 a1n a21 a22 a2n = am1 am2 amn ( với i = 1,2, ,m; j =1,2, n ; aij ∈ R aij ∈ C) Nếu m = n ta nói A ma trận vng cấp n, kí hiệu A = (aij )n Ma trận At = (aji )n×m thu từ ma trận A = (aij )m×n cách chuyển dịng thành cột, cột thành dòng gọi ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận vuông A gọi ma trận đối xứng aij = aji , ∀i, j = 1, n Ma trận vuông A gọi ma trận phản đối xứng aij = −aji , ∀i, j = 1, n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma trận vuông A gọi ma trận đơn vị phần tử nằm đường chéo 1, phần tử cịn lại ta kí hiệu In 1.1.2 Tính chất phép toán i) Phép nhân ma trận với số Tích ma trận A với số k ma trận B = k.A xác định sau: B = (bi j )m×n ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n = kam1 kam2 kamn ii) Phép cộng ma trận Tổng hai ma trận A = (aij )m×n B = (bij )m×n ma trận C = (cij )m×n với cij = aij + bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n a + b11 b b1n a a1n 11 11 11 a21 a2n b21 b2n a21 + b21 = + am1 + bm1 bm1 bmn am1 amn a1n + b1n a2n + b2n amn + bmn Hiển nhiên ta thấy phép cộng hai ma trận có tính giao hốn kết hợp Tính giao hốn: A + B = B + A Tính kết hợp : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C iii) Phép nhân ma trận Tích hai ma trận A = (aik )m×n B = (bkj )n×p ma trận C = (cij )m×p định nghĩa sau: C = A.B = n X ! aik bkj k=1 m×p Ta ý phép nhân ma trận A với ma trận B thực số cột ma trận A số dòng ma trận B Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phép nhân ma trận nói chung khơng có tính chất giao hốn Tức A.B 6= B.A Tuy nhiên phép nhân ma trận có tính chất kết hợp:(A.B).C = A.(B.C) Ma trận vuôngA = (aij )n gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận vuông B = (bij )n cho A.B = B.A = In Ma trận vuông A gọi ma trận trực giao A.At = In Nhận xét : Ta thấy tập hợp ma trận vuông cấp n với phép cộng nhân ma trận lập thành vành khơng giao hốn với phần tử không ma trận O phần tử đơn vị ma trận đơn vị In Hơn thêm vào phép nhân vơ hướng, tạo thành đại số trường K Kí hiệu tập ma trận vuông cấp n M at(n, K), K trường R C 1.2 1.2.1 Định thức ma trận vng Các định nghĩa tính chất Định thức ma trận vuông A = (aij )n số kí hiệu det(A) |A| xác định sau: σ∈Sn amn Từ định nghĩa ta có số tính chất kết sau: a) Nếu cột(một hàng) định thức có nhân tử chung ta đưa nhân tử chung ngồi Ví dụ: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a11 a21