Ma trận xác định dương và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN – NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Trang Lời nói đầu………………………… …………….…………………………… Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5 Ma trận…………………………….……………………………… …………5 1.1 Số phức không gian vectơ ….………………………………….…………5 1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8 1.3 Ma trận không ………….…………………………………… ……………9 1.4 Ma trận đường chéo …………………………………………………… …9 1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9 1.6 Các phép toán ma trận …………………………………………………9 1.7 Ma trận nghịch đảo ……………………………………… ……………….10 1.8 Ma trận chuyển vị ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11 1.9 Ma trận trực giao ma trận unita …………………………………………12 1.10 Vectơ riêng giá trị riêng ……………………………………………….13 1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite ………………………… ………13 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24 2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương……………………………………… 24 2.2 Các tính chất ma trận xác định dương….………………………………27 Kết luận Chương…………………………………………………………… …44 Chương Một số ứng dụng ma trận xác định dương………………….45 Lý thuyết ổn định nghiệm phương trình vi phân………………… 45 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1 Điều kiện cần đủ ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính với hệ số ……………………………………………… .……………… 45 1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47 1.3 Điều kiện cần đủ để ma trận ma trận ổn định ……… ………………48 1.4 Phương trình vi phân cấp hai giá trị riêng………… ………………50 Bài toán tối ưu hàm toàn phương……………………………………… 52 2.1 Tối ưu hàm biến…………………….………….………………………52 2.2 Tối ưu hàm hai biến ……… ………………………………… …………52 2.3 Tối ưu hàm tồn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54 Kết luận chương ……………………………………………………………….55 Kết luận…………………………………………………………… ……… 56 Tài liệu tham khảo……………………………………… .57 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Lớp ma trận xác định dương lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo thành đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) có nhiều ứng dụng lý thuyết đa thức, lý thuyết ổn định, toán kinh tế tối ưu,… Luận văn Ma trận xác định dương số ứng dụng có mục đích trình bày kiến thức ma trận xác định dương: định nghĩa, tính chất ma trận ma trận xác định dương tiêu chuẩn để nhận biết ma trận xác định dương Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương giúp ta giải nhiều toán liên quan đến đa thức, đặc biệt lý thuyết ổn định, toán kinh tế tối ưu,… Trong luận văn này, cố gắng trình bày theo logic chặt chẽ mặt tốn học, chứng minh định lí trình bày với mức độ chi tiết Nội dung luận văn gồm hai chương Chương Ma trận xác định dương Phần đầu Chương trình bày số định nghĩa tính chất ma trận: ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ yếu Chương trình bày khái niệm tính chất ma trận xác định dương dấu hiệu để nhận biết ma trận xác định dương Chương Một số ứng dụng ma trận xác định dương Chương hai đề cập tới số ứng dụng ma trận xác định dương lý thuyết đa thức lý thuyết ổn định, toán kinh tế tối ưu,… Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành với giúp đỡ tận tình PGS-TS Tạ Duy Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam; Khoa Tốn Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ thông tin, Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, Ban giám hiệu thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Thái Nguyên, tháng năm 2010 Tác giả Đinh Trọng Sỹ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƯƠNG I MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG Chương nhắc lại số kiến thức ma trận có liên quan đến ma trận xác định dương, tiêu chuẩn để kiểm tra ma trận xác định dương tính chất ma trận xác định dương Nội dung chương chủ yếu tổng hợp dựa trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] [9] Chúng cố gắng chứng minh chi tiết tính chất định lí, trình bày có hệ thống, độc lập đầy đủ ma trận xác định dương MA TRẬN 1.1 Số phức không gian vectơ phức Cho z  a  bi số phức Ký hiệu z liên hợp phức z , tức z  a  bi Nhận xét rằng, z  z b  , hay z số thực Số phức z  a  bi  z  a  bi  , tức a  b  Ta ln có zz   a  bi  a  bi   a  b2  với số phức z ; zz  z  Giả sử H không gian Hilbert với phần tử vectơ cột x số chiều n có thành phần số phức Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vơ hướng hai vectơ x y H số  ( x, y) : x, y : x y  x1 y1  x2 y2   xn yn , Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  x1   y1      x     H , y     H , xk  ak  bk i , xk  ak  bk i , k  1, 2, , n x  y   n  n  x1   a1  ib1      x  x         a1  ib1, , an  ibn   x   a  ib  n  n  n Khi H không gian Euclid với phần tử vectơ cột số chiều n có thành phần số thực, tích vơ hướng hai vectơ định nghĩa  ( x, y) : x, y : xy  x1 y1  x2 y2   xn yn Ánh xạ f : H   gọi tuyến tính H với t1 , t2  , x1, x2  H ta có f  t1x1  t2 x2   t1 f  x1   t2 f  x2  Ánh xạ f : H   gọi tuyến tính liên hợp H với t1 , t2  , x1, x2  H ta có f  t1x1  t2 x2   t1 f  x1   t2 f  x2  Tính chất Tích vơ hướng , tuyến tính liên hợp theo biến thứ tuyến tính theo biến thứ hai, tức cố định biến thứ hai tích vơ hướng ánh xạ tuyến tính liên hợp theo biến thứ cố định biến thứ tích vơ hướng ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai  x1   x1    Chứng minh Thật vậy, x    nên x    , x*   x    x1 , , xn  ; x  x   n  n  y11   y12   y11   y12   t1 y11  t2 y12            y1    , y    nên t1 y1  t2 y  t1    t2       y1   y2   y1   y   t y1  t y   n  n  n  n 1 n n Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do  t1 y11  t2 y12    n *  ( x, t1 y  t2 y )  x (t1 y  t2 y )   x1, , xn      xi t1 y1i  t2 yi2   t y1  t y  i 1 1 n n  n  t1  xi yi1 n       t2  xi yi1  t1x* y1  t2 x* y  t1 x, y1  t2 x, y i 1 i 1 Vậy theo định nghĩa, tích vơ hướng , tuyến tính theo biến thứ hai Bây cố định biến thứ hai, z1 z2  z1z2 z1  z2  z1  z nên   t1 x11  t2 x12      t1x1  t2 x  t1x1  t2 x     t1x11  t2 x12 , , t1xn1  t2 xn2  t x1  t x  1 n n      Do t x 1 n  t2 x    y  t1x11   t2 x12 , , t1 xn1  n n t2 xn2   y1      y   n *   i 1 i 1 *     t1xi1  t2 xi2 yi  t1  xi1 yi  t2  xi2 yi  t1 x1 y  t2 x y i 1 tức     t (x ) y  t (x ) y   t   t1x1  t2 x , y  t1x1  t2 x , y  t1x1  t2 x * *     y  t1 ( x1 )*  t2 ( x )* y x1 , y  t2 x , y  t1 ( x1, y )  t2 ( x , y ) Vậy  tuyến tính liên hợp theo biến thứ Nếu H không gian Euclid hữu hạn chiều  n với phần tử vectơ có thành phần số thực  tuyến tính theo biến Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét Trong số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng hai vectơ x y f ( x, y ) : x, y : x1 y1   xn yn Khi tích vơ hướng tuyến tính theo biến thứ tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai 1.2 Định nghĩa ma trận Cho m, n hai số tự nhiên Một m  n -ma trận (ma trận cấp m  n ) bảng  a11 a12 a1n    a21 a22 .a2 n   số hình chữ nhật gồm m dòng n cột      am1 am amn  Các số (thực phức) a gọi phần tử dòng i cột j ( i  1, m ; j  1, n ) ij ma trận Ma trận viết dạng rút gọn A   a   ij  Khi cần rõ cụ thể cấp ma trận ta viết A   a   ij  mn Khi m  n ta có ma trận vng cấp n Kí hiệu ma trận vuông cấp n An  x1    x Khi n  ma trận A có cấp m  gọi vectơ cột x    số chiều m      xm  Khi m  ma trận có cấp  n gọi vectơ hàng x   x1 , x2 , , xn  cấp n Không gian vectơ (thực phức) tập hợp phần tử gồm tất vectơ cột với tọa độ số (thực số phức) thỏa mãn tiên đề khơng gian vectơ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 P Sử dụng dạng tích phân  f ( x) g ( x)dV R đẳng thức Holder, sau đặt p   n  q        f ( x ) P dV    f ( x ) q dV  bất R  R  1 , q ta có :  1     1          e  ( x ,Ax) dx     e  ( x , Bx ) dx           A  (1   ) B   n  A  n (1  ) B 1  Sau đơn giản ta bất đẳng thức cần chứng minh Tính chất 29 (Phân tích Cholesky) Giả sử A ma trận Hermite xác định dương Khi tồn ma trận tam giác L có phần tử đường chéo dương cho A  LL* Chứng minh Ta tìm ma trận  l11  l l22 L   21   ln  ln1      lnn  n * cho A  LL Khi aij   lik l jk  k 1 mini , j  lik l jk ,  i, j  n , k 1 đó, a11  l112 suy l11  a11 ; a12  l11l21 suy l21  a1n  l11ln1 suy ln1  a12 ;…… l11 a1n l11 Giả sử tính i  cột đầu L , ta tính cột thứ i sau: Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 i 1 aii  li21  li22   lii2 , suy lii  aii   lik2 ; k 1 i 1 ,i 1   lik li 1,k a i ,i 1  li1li 1,1   lii li 1,i , suy li 1,i  k 1 lii Ma trận L xây dựng thỏa mãn yêu cầu tốn Giả sử tồn hai phân tích A  L1L1*  L2 L*2 Khi ây L21L1  L*2 ( L*1 ) 1  D ma trận đường chéo Ta có L1  L2 D suy A  L1L1*  L2 DD*L*2  L2 D L*2  L2 L*2 Do D  L2 L2 L*2 ( L*2 )   suy D  I Điều chứng tỏ phân tích Cholesky ma trận A KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương phát biểu chứng minh tính chất ma trận xác định dương Các tính chất chứng tỏ lớp ma trận xác định dương lớp ma trận có cấu trúc, áp dụng rộng rãi nhiều lớp toán khác nhau, thân toán học, ứng dụng Chương trình bày số ứng dụng cụ thể ma trận xác định dương Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 CHƯƠNG II MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Điều kiện cần đủ ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính với hệ số Định lí 2.1 Điều kiện cần đủ để nghiệm phương trình vi phân dx  Ax , x (0)  c dt (1.1) dần tới t   c bất kỳ, giá trị riêng ma trận A có phần thực âm Chứng minh Nếu giá trị riêng ma trận A khác âm 1   n  e At ma trận đối xứng nên có biểu diễn e At  e 1t  e 2t  T   0  e nt   T     1 (1.2) Nghiệm phương trình vi phân (1.1) có dạng x (t )  ce At Do lim x(t )  t  Trong trường hợp tổng quát, làm sau: Để thay cho việc đưa ma trận A dạng đường chéo, sử dụng phép biến đổi đồng dạng đưa dạng tam giác, T 1 AT  B Trong trường hợp (1.1) có dạng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 dz  Bz , z (0)  c dt (1.3) Trong B ma trận tam giác x  Tz , tức ta có hệ: dz1  b11 z1  b12 z2   b1n zn , z1    c1, dt dz2  b22 z2   b2n zn , z2    c2 , dt dzn  bnn zn , zn    cn dt (1.4) Bởi phần tử bii giá trị riêng ma trận B , nên theo giả thiết ta có Re(bii )  với i  1,2, , n Từ phương trình cuối (1.4) ta có zn  cn ebnn (1.5) zn  t   Để chứng tỏ tất zi  t   sử dụng quy nạp; dựa vào kết quả: Nếu v (t )  t   nghiệm u (t ) hệ du  b1u  v (t ), u (0)  a1 , dt (1.6) dần tới với điều kiện Re(b1 )  Điều suy từ công thức nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng nhất: t b1t u (t )  a1e  e b1t e  b1s v( s )ds (1.7) Vì zn dần tới t   , nên theo nhận xét ta có tất zi  t   Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Ma trận ổn định Ma trận A gọi ổn định, giá trị riêng có phần thực âm 1.2 Phương pháp Lyapunov Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân tuyến tính ta sử dụng phương pháp Lyapunov Xét phương trình dx  Ax , x(0)  c , dt (1.1) giả thiết c A thực Xét dạng tồn phương u  xYx , Y ma trận có phần tử xác định sau Lấy đạo hàm u theo t hàm hợp, ta được: du  x, Yx  x, Yx  Ax, Yx  x, YAx  x,( AY  YA) x dt (1.8) Giả thiết tồn ma trận xác định dương Y nghiệm phương trình: AY  YA   I (1.9) du   x, x dt (1.10) du   n1u , dt (1.11) Khi (1.8) có dạng : Từ ta có: n giá trị riêng lớn ma trận Y  Từ (1.11) ta suy u  u (0)e  n t , tức u  t   Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Như vậy, tồn ma trận xác định dương Y nghiệm phương trình (1.9) tất thành phần vectơ x tiến tới t  Ngược lại, ma trận A ổn định phương trình (1.9) có nghiệm đối xứng xác định công thức  Y   e A' t e At dt1 (1.12) Khi ta có   A 't At A 't At x,Yx =  ( x, e e x ) dt1 =  (e x, e x ) dt1 1 1 Chứng tỏ ma trận Y xác định dương ma trận e At ln không suy biến 1.3 Điều kiện cần đủ để ma trận ma trận ổn định Định lí 2.2 Giả sử Y xác định phương trình AY  YA   I Điều kiện cần đủ để ma trận A ổn định ma trận Y xác định dương Chứng minh Điều kiện cần Giả sử Y ma trận xác định dương, ta chứng minh A ma trận ổn định Ta có T  ( x, x)dt  x   ,Yx   – x T  ,Yx T  (1.13) hay T x T  , Yx T    ( x, x) dt  x   , Yx   x (t ) nghiệm phương trình vi phân Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên dx  Ax dt http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.14) 49 T Nếu ma trận Y xác định dương  ( x, x)dt giới nội Do đó, x(t )  t  Vậy A ma trận ổn định Điều kiện đủ Giả sử A ma trận ổn định ta chứng minh ma trận Y xác định dương Nếu ma trận A ổn định phương trình AY  YA   I có nghiệm  Khi Y xác định công thức Y   e A' t1 e At1 dt1 đối xứng Y   nên x, Yx =  ( x, e At1 e At1 x )dt1 =  (e At1 x, e At1 x )dt1 0 Vì ma trận e At luôn không suy biến, nên ma trận Y xác định dương Ta có định lí sau kiểm tra tính ổn định ma trận A Định lí 2.3 Nếu ma trận A có dạng  a1  b1 a2  b2  1  1 A      0 a3 b3 a4 1     ,  bn1 an    bn  tất phần tử khơng nằm đường chéo hai lân cận đường chéo 0, thêm vào phần tử thực, cịn bi khơng túy ảo số số hạng dương dãy tích a1 , a1a2 , , a1a2 an1an số giá trị riêng ma trận A có phần thực dương Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Chứng minh Để chứng minh định lí ta phải dùng đến số kết bổ trợ lí thuyết đa thức (xem [1b], trang 247-248) 1.4 Phương trình vi phân cấp hai giá trị riêng Xét phương trình vi phân cấp hai với hệ số Ax  Bx  Cx  0, x    c1, x’    c , (1.15) ma trận A, B C xác định không âm Phương trình thường gặp tốn vật lí, Ví dụ, sơ đồ mạng điện gồm điện dung, cuộn tự cảm điện trở Định lí 2.4 Nếu ma trận A, B C xác định khơng âm ngồi ma trận C ma trận A xác định dương, phương trình  A  2 B  C  (1.16) khơng có nghiệm với phần thực dương Nếu ma trận A C xác định không âm, cịn ma trận B xác định dương   nghiệm có phần thực Chứng minh Từ phương trình ta có  x, Ax    x, Bx   x, Cx   (1.17) Do với s  ta có: s   ( x, Ax)  2( x, Bx)  ( x, Cx)  dt  (1.18) s s s ( x , Ax)  +  ( x, Bx) dt + ( x , Cx)  = 0 0 Phương trình (1.19) tương đương với phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.19) 51 s  x ' s  , Ax '  s   +  ( x ', Bx ')dt  ( x(s), Cx( s))  c , (1.20) c3   c , Ae    c1 , Cc1  Nếu  nghiệm phương trình (1.16) phương trình Ax  Bx  Cx  0, x    c1 , x    c có nghiệm dạng e t c Nếu  số thực c vectơ thực Nếu  số phức,   r1  i r2 phần thực biểu thức e t c e r t ( a1 cos r2t  a sin r2t ) nghiệm phương trình (1.15) Thế vào (1.20) ta được: s e r1s 1 (b , Ab )   e r1 t (b (t ), Bb (t )dt  e r1s (b , Cb )  c3 , (1.21) b1 b3 vectơ khơng đổi, cịn b  t  vectơ biến đổi ( a1r1  a r2 )cos r2t  ( a r1  a1r2 )sin r2t Nếu A C xác định dương B  tính dương r1 dẫn đến mâu thuẫn s  Nếu A, C  từ tính dương ma trận B suy r1  Hơn nữa, s hàm b  t  tuần hoàn, r2 khác tích phân  (b (t ), Bb (t ))dt phân kỳ s  Mặt khác nhờ vào tính dương r1 suy r1  Vậy   nghiệm có phần thực Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 BÀI TỐN TỐI ƯU HÀM TỒN PHƯƠNG 2.1 Tối ưu hàm biến Xét hàm số biến số thực f ( x) khoảng  a, b Giả sử f ( x ) đủ trơn để có khai triển Taylor điểm c   a, b  : f ( x )  f (c )  f (c )  x  c   f (c)  x  c   Nếu c điểm cực trị địa phương f ( x ) , tức f ( x )  f (c ) f ( x)  f (c ) với x đủ gần c thì, theo Định lí Fermat, f (c )  Suy f ( x )  f (c )  f (c)  x  c   Nếu f (c )  f ( x)  f (c ) với x đủ gần c , hay c điểm cực tiểu địa phương hàm f ( x) ; Nếu f (c )  f ( x )  f (c ) với x đủ gần c , hay c điểm cực đại địa phương hàm f ( x) Như vậy, ta thấy dấu đạo hàm bậc hai đóng vai trị quan trọng khảo sát tính cực trị hàm số 2.2 Tối ưu hàm hai biến Xét hàm số hai biến số thực f ( x, y ) hình chữ  a1 , b1    a2 , b2  Giả sử f ( x, y ) đủ trơn để có khai triển Taylor điểm  c1 , c2    a1 , b1    a2 , b2  : f ( x, y )  f (c1 , c2 )   f f  x  c1    x  c2   c1 c2 2 f 2 f 2 f 2 x  c  x  c x  c  x  c2   ,    1   c1 c1c2 c2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 f f f f : (c1 , c2 ) ; : (c1 , c2 ) , c1 x c2 y Nếu c điểm cực trị địa phương thì, theo Định lí Fermat, f (c1 , c2 )  x f (c1 , c2 )  Suy y f ( x, y )  f (c1 , c2 )  2 f 2 f 2 f x  c  x  c x  c  x  c         1 2 c12 c1c2 c22 Như vậy, biến thiên hàm f ( x, y ) lân cận điểm c   c1 , c2  phụ thuộc vào dạng toàn phương 2 Q2 ( x, y)  a  x  c1   2b  x  c1  x  c2   c  x  c2   au  2buv  cv2 : Q(u, v) , 2 f 2 f 2 f a  , 2b  , c , u  x  c1 , v  x  c2 c12 c1c2 c22 Dạng toàn phương Q(u, v ) bậc hai: Q ( ku , kv )  k 2Q (u , v ) , Q (0,0)  Nếu Q (u, v )  với  u, v  đủ gần điểm (0,0) (và khác điểm (0,0) ) ta có f ( x, y )  f (c1 , c2 ) c   c1 , c2  điểm cực tiểu địa phương hàm f ( x, y ) ; Nếu Q (u, v )  với  u, v  đủ gần điểm (0,0) (và khác điểm (0,0) ) ta có f ( x, y )  f (c1 , c2 ) c   c1 , c2  điểm cực đại địa phương hàm f ( x, y ) ; Như vậy, ta thấy dấu hàm toàn phương Q(u, v ) (đạo hàm bậc hai f ( x, y ) ) đóng vai trị quan trọng khảo sát tính cực trị hàm hai biến Dưới ta xét xem dạng toàn phương Q (u, v) xác định dương Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 bv   b2   Ta có Q (u, v)  au  2buv  cv  a  u     c   v a  ; a   a  2 bu  b 2  Nếu a  c  Q (u, v)  cv  2buv  c  v    u ; c  c  Nếu a  c  Q (u, v)  2buv b2 Như vậy, để Q(u, v ) xác định dương a  c   Tương tự, để a b2 Q(u, v ) xác định âm a  c   a 2.3 Tối ưu hàm tồn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế Hai mục ví dụ cho ta thấy tầm quan trọng việc nghiên cứu dạng toàn phương (nghiên cứu ma trận xác định dương) Trong mục ta xét toán tối ưu có ràng buộc hàm tồn phương-tuyến tính n biến Xét hàm tồn phương-tuyến tính n biến f ( x, y )  xDx  c, x   Bài toán tối ưu ( P ) : Tìm cực tiểu hàm f ( x, y ) tập hạn chế M :  x   n : Ax  b , A ma trận cấp m  n , b vectơ m chiều Ta có định lí sau tồn nghiệm tốn tối ưu hàm tồn phươngtuyến tính Định lí 2.5 Giả sử D ma trận xác định khơng âm Khi tốn tối ưu ( P) có nghiệm tập M   điều kiện sau thỏa: 1) v   n , Av   vDv  ; 2) v   n , x   n Av  , Ax  b  Dx  c, v  Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Định lí 2.6 Nếu D ma trận xác định dương tốn tối ưu ( P) có nghiệm tập M   Định lí 2.7 Nếu D ma trận xác định âm tốn tối ưu ( P) có nghiệm tập M   compact Các Định lí 2.5, 2.6, 2.7 hệ định lí tổng quát (Định lí Frank-Wolfe Định lí Eaves), chứng minh xem [7], Chương KẾT LUẬN CHƯƠNG Trên hai số nhiều ứng dụng ma trận xác định dương toán toán học thực tế (vật lí, kĩ thuật, kinh tế, ) Ma trận xác định dương đặc trưng cho tính lồi hàm mục tiêu, quan tâm đặc biệt tốn tối ưu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 KẾT LUẬN Luận văn Ma trận xác định dương số ứng dụng có mục đích tổng quan tính chất ma trận xác định dương quan trọng ma trận xác định dương qua hai ví dụ minh họa Ma trận xác định dương lớp ma trận có cấu trúc đẹp, tạo thành đa tạp khả vi Rieman (xem [3]) nghiên cứu sâu sắc mặt tốn học Lớp ma trận xác định dương nón quan tâm rộng rãi nhà nghiên cứu có ứng dụng quan trọng tối ưu Hy vọng vấn đề ma trận xác định dương tiếp tục nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Richard Bellman, Introduction to matrix analysis, McGraw-Hill Book Company, Inc., Toronto, 1960, Tại Thư viện Khoa học Kĩ thuật Trung ương: Lv 8504 Bản dịch tiếng Việt: R Bellman, Mở đầu lý thuyết ma trận (Nguyễn Văn Huệ, Hoàng Kiếm dịch từ tiếng Nga,1969), Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1978 [2] Rajendra Bhatia, Matrix Analysis, In series Graduate Texts in Mathematics, Vol 169, Springer-Verlag New York, Inc., 1997 [3] Rajendra Bhatia, Positive Definite Matrices, Princeton Series in Applied Mathematics, Princeton University Press, Princenton and Oxford, 2007 [4] F R Gantmacher, Lí thuyết ma trận (Tiếng Nga), Nhà xuất quốc gia ấn phẩm kĩ thuật-lí thuyết, Moscow, 1954 [5] S K Godunov, Ordinary Differential Equations with Constant Coefficient, in Series Translations of Mathematical Monographs, Americal Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1997 [6] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Bộ sách toán cao cấp, Viện Toán học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2006 [7] Gue Myung Lee, Nguyen Nang Tam and Nguyen Dong Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities, A Qualitative Study, in Series Nonconvex optimization and Its Applications, Springer, USA, 2005 [8] Carl D Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000 [9] Ngơ Việt Trung, Giáo trình đại số tuyến tính (in lần thứ hai), Bộ sách cao học, Viện Toán học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2002 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn