Các phương pháp tìm giới hạn dãy số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Chuyên ngành: Sư phạm Toán học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS... Xuất phát từ những

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN HỌC

NGUYỄN NHẬT TOÀN

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn: TS Lê Hải Trung

Đà Nẵng – 2024

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Chuyên ngành: Sư phạm Toán học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn: TS Lê Hải Trung

Đà Nẵng – 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan các dữ liệu trình bày trong Khóa luận này là trung thực Đây là kết quả của quá trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS Lê Hải Trung và chưa được công

bố trong bất kì công trình nào khác trước đây Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm nếu vi phạm bất kì quy định nào về đạo đức khoa học

Tác giả

Nguyễn Nhật Toàn

Lời cảm ơn

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn đến nhà trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng

đã tạo điều kiện để tôi được thực hiện học phần Khóa luận tốt nghiệp Tôi cũng xin gửi lời

cảm ơn đến tất cả giảng viên khoa Toán đã tạo cơ hội cho tôi được học tập, rèn luyện và tích lũy đầy đủ kiến thức, kĩ năng để thực được bài Khóa luận lần này Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Lê Hải Trung – Giảng viên hướng dẫn tôi thực hiện Khóa luận tốt nghiệp Thầy đã luôn tận tâm hướng dẫn, truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu, sửa chữa những lỗi sai cho tôi trong suốt thời gian qua

Đối với ngành học của tôi, học phần Khóa luận tốt nghiệp là một học phần tự chọn, tuy

nhiên để có thêm nhiều kiến thức và kinh nghiệm mà tôi nghĩ là cần thiết đối với mình, tôi

đã đăng kí tham gia học phần Qua sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của thầy Trung, tôi

đã giải quyết được hầu hết các vấn đề gặp phải và hoàn thành tốt bài Khóa luận Những kiến thức mà tôi đạt được trong quá trình nghiên sẽ là hành trang quý báu trên con đường trở thành một giáo viên của tôi sau này

Lời cuối cùng, em xin kính chúc thầy cô luôn luôn có nhiều sức khỏe, hạnh phúc và thành công trên con đường truyền dạy tri thức cho các thế hệ mai sau

Ý KIẾN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Giảng viên hướng dẫn

TS Lê Hải Trung

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 1

3.1 Đối tượng nghiên cứu 1

3.2 Phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Những khái niệm cơ bản về dãy số và giới hạn dãy số 3

1.2 Những định lý về giới hạn dãy số 11

CHƯƠNG 2 NHỮNG PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ 19

2.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa 19

2.2 Phương pháp sử dụng định lý về các phép toán của dãy hội tụ 21

2.3 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp 26

2.4 Phương pháp sử dụng dãy đơn điệu và bị chặn 30

2.5 Phương pháp vận dụng các tính chất của đại lượng vô cùng bé 36

2.6 Phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ để dãy số hội tụ 38

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

1 Tiếng Việt 41

2 Tiếng Anh 41

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích là một phần rất quan trọng của Toán học, còn lý thuyết giới hạn lại là

cơ sở của Giải tích Hầu hết mọi khái niệm của Giải tích đều liên quan đến giới hạn Trong các kì thi Học sinh giỏi cho học sinh THPT, Olympic Toán hàng năm cho sinh viên và cả các kì thi công chức thường xuyên có các bài toán liên quan đến giới hạn Đặc biệt là giới hạn dãy số có tần số xuất hiện cao, đây được coi là dạng bài phức tạp, làm khó nhiều học sinh, sinh viên và cả những cử nhân mới tốt nghiệp Để giải được dạng bài này, đòi hỏi người làm toán phải nắm vững, hiểu rõ bản chất các khái niệm, định lý về giới hạn cũng như vận dụng linh hoạt chúng để giải quyết được bài toán

Xuất phát từ những nhận thức trên, cùng với mong muốn tích lũy thêm cho mình nhiều kinh nghiệm để thuận lợi khi giải các bài toán về giới hạn, chúng tôi

đã chọn đề tài: “Các phương pháp tìm giới hạn dãy số” để thực hiện Khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Củng cố và hệ thống lại kiến thức về giới hạn dãy số Cung cấp cho học sinh một số phương pháp để có thể giải quyết một cách linh hoạt, sáng tạo các bài toán

về giới hạn dãy số từ đơn giản đến phức tạp

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu về một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thực

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số thực

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tổng hợp những kiến thức cơ bản về dãy số và giới hạn dãy số

 Tìm ra một số phương pháp tìm giới hạn dãy số và đưa ra được các ví dụ minh họa cụ thể cho từng phương pháp

5 Phương pháp nghiên cứu

 Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức về giới hạn liên quan đến kết quả nghiên cứu

 Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến đề tài

 Phân tích, đánh giá, trao đổi và thảo luận với giảng viên hướng dẫn

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo thì cấu trúc khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1 “Những kiến thức cơ bản có liên quan” trình bày các định nghĩa, định lý và các kiến thức khác liên quan đến giới hạn dãy số

Chương 2 “Các phương pháp tìm giới hạn dãy số” trình bày một số phương pháp tìm giới hạn dãy số như là: dựa vào định nghĩa, dựa vào các định lý cơ bản của giới hạn dãy số… Ở mỗi phương pháp chúng tôi đưa ra phương pháp chung

và các ví dụ minh họa

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này chúng tôi sẽ tổng hợp và hệ thống các khái niệm, định lý

và một số kiến thức liên quan đến giới hạn dãy số Kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [4], [5], [7]

1.1 Những khái niệm cơ bản về dãy số và giới hạn dãy số

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa dãy số) Ánh xạ 𝑎𝑛:

ℕ* ⟶ 𝐼 ⊆ ℝ

𝑛 ⟼ 𝑎𝑛 = 𝑎(𝑛)

được gọi là một dãy số

Kí hiệu (𝑎𝑛) hoặc {𝑎𝑛} Trong đó, phần tử 𝑎𝑛 được gọi là số hạng tổng quát của dãy

Nhận xét: Một dãy số hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát hoặc công

thức truy hồi

Ví dụ 1.1.1 Dãy {𝑎𝑛} được cho bởi công thức:

{𝑎1 = 𝑎2 = 1

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1+ 𝑎𝑛−2, 𝑛 ≥ 3

dãy số trên là dãy Fibonacci

Định nghĩa 1.1.2 (Dãy số bị chặn trên) Dãy {𝑎𝑛} được gọi là bị chặn trên nếu tồn

tại số 𝑀 sao cho:

Định nghĩa 1.1.3 (Dãy số bị chặn dưới) Dãy {𝑎𝑛} được gọi là bị chặn dưới nếu

tồn tại số 𝑀 sao cho:

𝑎𝑛 ≥ 𝑀, ∀𝑛 ∈ ℕ

Dãy {𝑎𝑛} được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới Tức

là, dãy {𝑎𝑛} bị chặn nếu tồn tại số tự nhiên 𝐾 > 0 sao cho |𝑎𝑛| ≤ 𝐾, ∀𝑛 ∈ ℕ hoặc

tồn tại M, m sao cho 𝑚 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑀, 𝑛 ∈ ℕ

Ví dụ 1.1.3 Dãy {𝑎𝑛} với 𝑎𝑛 = 3𝑛2+ 1 là một dãy số bị chặn dưới bởi 4

Dãy {𝑏𝑛} với 𝑏𝑛 = 2 sin 𝑛 + 3 cos 𝑛 là một dãy số bị chặn vì:

Định nghĩa 1.1.5 (Giới hạn hữu hạn của dãy số) Số 𝑎 được gọi là giới hạn hữu

hạn của dãy số {𝑎𝑛} nếu với mọi số dương 𝜀 nhỏ, tùy ý, tồn tại một số tự nhiên

𝑁 = 𝑁(𝜀) sao cho với mọi 𝑛 > 𝑁, ta có:

Định nghĩa 1.1.6 (Giới hạn vô hạn của dãy số) Dãy số {𝑎𝑛} được gọi là có giới

hạn dương vô cùng (+∞) nếu:

Định nghĩa 1.1.7 (Giới hạn vô hạn của dãy số) Dãy số {𝑎𝑛} được gọi là có giới

hạn âm vô cùng (−∞) nếu:

Định nghĩa 1.1.9 (Đại lượng vô cùng lớn) Dãy số {𝑎𝑛} được gọi là một vô cùng

lớn nếu với mọi số 𝐴 > 0, tìm được 𝑛0 ∈ ℕ sao cho 𝑛 > 𝑛0:

|𝑎𝑛| > 𝐴

Các dãy số có giới hạn vô hạn là các vô cùng lớn

Tính chất: Tích của một đại lượng vô cùng lớn với một dãy có giới hạn khác

không là một đại lượng vô cùng lớn

Ví dụ 1.1.9 Dãy {𝑎𝑛} với 𝑎𝑛 = 2𝑛 có giới hạn vô hạn là +∞ (đã chứng minh ở ví

dụ 1.1.6)

Vậy dãy {𝑎𝑛} là một vô cùng lớn

Định nghĩa 1.1.10 (Dãy con) Cho dãy {𝑎𝑛} và 𝑛𝑘 ∈ ℕ: 𝑛𝑘+1 > 𝑛𝑘, ∀𝑘

Khi đó, dãy {𝑎𝑛𝑘} = 𝑎𝑛1, 𝑎𝑛2, … , 𝑎𝑛𝑘, … được gọi là dãy con của dãy {𝑎𝑛}

Tính chất (phần chứng minh đã được trình bày trong [5]):

i) Nếu dãy {𝑎𝑛} có giới hạn là 𝑎 khi 𝑛 ⟶ +∞ thì mọi dãy con {𝑎𝑛𝑘} cũng có giới hạn là 𝑎

ii) Mọi dãy số đều là dãy con của chính nó

Ví dụ 1.1.10 Cho dãy {𝑎𝑛} với 𝑎𝑛 = 𝑛

Khi đó, dãy {𝑏𝑛} với 𝑏𝑛 = 2𝑛 + 1 là một dãy con của {𝑎𝑛}

Định nghĩa 1.1.11 (Giới hạn riêng) Cho dãy {𝑎𝑛} ∈ ℝ, nếu tồn tại một dãy con

{𝑎𝑛𝑘} ∈ {𝑎𝑛} sao cho lim

𝑘→∞𝑎𝑛𝑘 = 𝑎 (a có thể bằng ±∞) thì 𝑎 được gọi là một giới

hạn riêng của dãy {𝑎𝑛}

Tính chất: Mọi dãy {𝑎𝑛} đều có một giới hạn riêng lớn nhất và một giới hạn riêng

bé nhất

Ví dụ 1.1.11 Cho dãy {𝑎𝑛} với 𝑎𝑛 = (−1)𝑛

Các dãy {𝑏𝑛} với 𝑏𝑛 = (−1)2𝑛 và {𝑐𝑛} với 𝑐𝑛 = (−1)2𝑛+1 là các dãy con của {𝑎𝑛}

Trong đó, lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 1 nên 1 là một giới hạn riêng của dãy {𝑎𝑛}

lim

𝑛→∞𝑐𝑛 = −1 nên −1 cũng là một giới hạn riêng của dãy {𝑎𝑛}

Định nghĩa 1.1.12 (Dãy Cauchy) Dãy {𝑎𝑛} được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ

Dãy {𝑎𝑛} là một dãy Cauchy

Bổ đề 1.1.13: Dãy Cauchy là một dãy bị chặn

Chứng minh: Giả sử {𝑎𝑛} là một dãy Cauchy Khi dó tồn tại 𝑟 ∈ ℕ sao cho khi

1.2 Những định lý về giới hạn dãy số

Định lý 1.2.1 Nếu dãy {𝑎𝑛} hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Chứng minh: Giả sử lim

|𝑎 − 𝑏| ≤ |𝑎 − 𝑎𝑛| + |𝑎𝑛− 𝑏| ≤ 𝜀

𝜀

2 = 𝜀

Bất đẳng thức trên đúng với mọi 𝜀 > 0, do đó |𝑎 − 𝑏| = 0, tức là 𝑎 = 𝑏

Định lý 1.2.2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn

Chứng minh: Giả sử dãy {𝑎𝑛} hội tụ, tức là lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑎 Khi đó, ∃𝑛0 ∈ ℕ* sao cho ∀𝑛 > 𝑛0 ta có:

|𝑎𝑛− 𝑎| < 1 ⟺ 𝑎 − 1 < 𝑎𝑛 < 𝑎 + 1

Gọi 𝑏 = min(𝑎 − 1, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎 + 1)

𝑐 = max(𝑎 − 1, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎 + 1)

Hiển nhiên ta có: 𝑏 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑐 Vậy dãy {𝑎𝑛} bị chặn

Định lý 1.2.3 Nếu dãy số {𝑎𝑛} là dãy hội tụ thì dãy {|𝑎𝑛|} cũng hội tụ và

lim

𝑛→∞| 𝑎𝑛| = | lim

Chứng minh: Giả sử lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑎 Ta áp dụng bất đẳng thức tam giác với hai

số thực 𝑎𝑛 và 𝑎:

||𝑎𝑛| − |𝑎|| ≤ |𝑎𝑛− 𝑎|

|(𝑎𝑛+ 𝑏𝑛) − (𝑎 + 𝑏)| < |𝑎𝑛− 𝑎| + |𝑏𝑛− 𝑏| < 𝜀

𝜀

2= 𝜀 Vậy lim

|(𝑎𝑛− 𝑏𝑛) − (𝑎 − 𝑏)| = |(𝑎𝑛− 𝑎) + (𝑏 − 𝑏𝑛)| < |𝑎𝑛− 𝑎| + |𝑏𝑛− 𝑏|

iii) Giả sử lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑎 và 𝐶 là một hằng số, với mọi 𝜀 > 0, ∃𝑛0 ∈ ℕ*, sao cho với mọi 𝑛 > 𝑛0, ta có:

|𝑎𝑛− 𝑎| < 𝜀

|𝐶| Khi đó, ta tìm được 𝑛1 ∈ ℕ*, sao cho với mọi 𝑛 > 𝑛1, ta có:

iv) Giả sử lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑎 và 𝐶 là một hằng số, với mọi 𝜀 > 0, ∃𝑛0 ∈ ℕ*, sao cho với mọi 𝑛 > 𝑛0, ta có:

𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝑏 Đây là các dãy hội tụ nên chúng bị chặn

theo Định lý 1.2.2 Tức là, tồn tại số 𝐾 > 0 sao cho |𝑎𝑛| < 𝐾, |𝑏𝑛| < 𝐾, ∀𝑛 Với 𝜀 > 0 cho trước, ta tìm được 𝑛0 ∈ ℕ*, sao cho với mọi 𝑛 > 𝑛0, ta có:

|𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀

2𝑀, |𝑏𝑛− 𝑏| <

𝜀2𝑀 Vậy với 𝑛 > 𝑛0:

|𝑎𝑛𝑏𝑛− 𝑎𝑏| = |𝑎𝑛𝑏𝑛− 𝑎𝑏𝑛+ 𝑎𝑏𝑛− 𝑎𝑏| = |(𝑎𝑛 − 𝑎)𝑏𝑛+ 𝑎(𝑏𝑛− 𝑏)| < |𝑎𝑛 − 𝑎| ∙ |𝑏𝑛| + |𝑎| ∙ |𝑏𝑛− 𝑏| ≤ 𝜀

𝜀2𝑀∙ 𝑀 = 𝜀 Vậy lim

𝑛→∞(𝑎𝑛𝑏𝑛) = 𝑎𝑏 = lim

𝑛→∞𝑎𝑛∙ lim

vi) Giả sử lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑎 và lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝑏 Với 𝜀 > 0 cho trước, ta luôn tìm được

𝑛1 ∈ ℕ*, sao cho với mọi 𝑛 > 𝑛1, ta có:

|𝑏𝑛 − 𝑏| <𝜀𝑏

2

2

Theo định lý 1.2.3 suy ra lim

𝑛→∞|𝑏𝑛| = |𝑏|, ta tìm được ta tìm được 𝑛1 ∈ ℕ*, sao cho với mọi 𝑛 > 𝑛2, ta có:

Định lý 1.2.6 (Sự hội tụ của dãy đơn điệu)

i) Một dãy {𝑢𝑛} tăng và bị chặn trên thì hội tụ và lim

𝑛→∞𝑢𝑛 = sup 𝑢𝑛 ii) Một dãy {𝑣𝑛} giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và lim

Chứng minh: i) Vì dãy {𝑢𝑛} bị chặn trên nên theo tiên đề cận trên đúng, tồn tại

𝑙 = sup{𝑢𝑛|𝑛 ∈ ℕ) Với mọi 𝜀 > 0 cho trước thì 𝑙 − 𝜀 không là cận trên đúng của dãy {𝑢𝑛} Do đó, tồn tại 𝑘 ∈ ℕ sao cho:

𝑙 − 𝜀 < 𝑢𝑘

Mặt khác, bởi vì dãy {𝑢𝑛} là một dãy số tăng và bị chặn trên bởi 𝑙 nên với mọi

𝑛 ≥ 𝑘, ta có:

𝑙 − 𝜀 < 𝑢 < 𝑢 ≤ 𝑙

Hay 𝑙 − 𝜀 < 𝑢𝑛 < 𝑙 + 𝜀 ⟺ |𝑢𝑛 − 𝑙| < 𝜀, ∀𝑛 ≥ 𝑘

Vậy dãy {𝑢𝑛} hội tụ đến 𝑙 hay lim

𝑛→∞𝑢𝑛 = 𝑙 = sup 𝑢𝑛

ii) Bởi vì dãy {𝑣𝑛} là dãy bị chặn dưới nên theo tiên đề cận dưới đúng, tồn tại

𝑟 = inf{𝑣𝑛|𝑛 ∈ ℕ) Với mọi 𝜀 > 0 cho trước thì 𝑟 + 𝜀 không là cận dưới đúng của dãy {𝑣𝑛} Do đó, tồn tại 𝑘 ∈ ℕ sao cho:

Định lý 1.2.7 (Nguyên lý kẹp) Nếu các dãy {𝑎𝑛}, {𝑏𝑛} là các dãy hội tụ thỏa mãn

các điều kiện lim

Chứng minh: Giả sử lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑎 Với 𝜀 > 0 cho trước, ta tìm được 𝑛1 ∈ ℕ*, sao cho với mọi 𝑛 ≥ 𝑛1, ta có: |𝑎𝑛− 𝑎| < 𝜀

Hay 𝑎 − 𝜀 < 𝑎𝑛 < 𝑎 + 𝜀

Tương tự, giả sử lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝑎 Với 𝜀 > 0 cho trước, ta tìm được 𝑛2 ∈ ℕ*, sao cho với mọi 𝑛 ≥ 𝑛2, ta có: |𝑏𝑛− 𝑎| < 𝜀

Định lý 1.2.8 (Nguyên lý Cauchy) Dãy {𝑎𝑛} là dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy

Cauchy

Chứng minh: Để có thể chứng minh được định lý này, ta sẽ sử dụng nguyên lý

Bolzano – Weierstrass, nguyên lý này được chứng minh trong tài liệu [4]

Nguyên lý Bolzano – Weierstrass Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy

con hội tụ

Giả sử dãy {𝑎𝑛} hội tụ, lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑎 Khi đó, với mọi 𝜀 > 0, tồn tại 𝑛0 ∈ ℕ*, sao cho với mọi 𝑛 ≥ 𝑛0, ta có:

|𝑎𝑛− 𝑎| < 𝜀

2 Khi đó, với 𝑚 ≥ 𝑛0, 𝑛 ≥ 𝑛0 ta có:

|𝑎𝑚− 𝑎𝑛| = |𝑎𝑚− 𝑎 + 𝑎 − 𝑎𝑛| ≤ |𝑎𝑚− 𝑎| + |𝑎𝑛− 𝑎| < 𝜀

𝜀

2= 𝜀 Vậy {𝑎𝑛} là dãy Cauchy

Đảo lại, giả sử {𝑎𝑛} là dãy Cauchy Theo bổ đề 1.1.13 nó là một dãy bị chặn

Theo nguyên lý Bolzano – Weierstrass, từ dãy {𝑎𝑛} ta có thể trích ra một dãy con hội tụ {𝑎𝑛𝑘}

CHƯƠNG 2 NHỮNG PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Ở chương này, chúng tôi sẽ hệ thống một vài phương pháp tìm giới hạn dãy số

mà chúng tôi tìm hiểu được Ở mỗi phương pháp bao gồm phương pháp chung và các ví dụ minh họa

2.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa

2.1.1 Phương pháp chung

Để tìm giới hạn của một dãy số bằng cách sử dụng định nghĩa, ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Dự đoán giới hạn 𝑎 của dãy số (nếu chưa biết)

Bước 2: Chứng minh 𝑎𝑛 ⟶ 𝑎 theo định nghĩa Tức là:

( lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑎) ⇌ ∀(𝜀 > 0)∃(𝑁 = 𝑁(𝜀) ∈ ℕ)∀(𝑛 > 𝑁)[|𝑎𝑛− 𝑎| < 𝜀] Thông thường, ta có thể chỉ ra công thức tường minh biểu diễn 𝑁 qua 𝜀

2.1.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1.1 Tìm giới hạn của dãy {𝑎𝑛} biết:

𝑎𝑛 =2𝑛 − 12𝑛 + 2

Lời giải Ta dự đoán, lim

32𝑛 + 2 < 𝜀 ⟺ 2𝑛 + 2 >

3

𝜀 hay 𝑛 >

32𝜀− 1

Khi đó, ∀𝑛 > 𝑁 thì:

32𝑁 + 2< 𝜀

Vậy ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 = [3

2𝜀− 1] + 1 ∈ ℕ: ∀𝑛 > 𝑁 ⇒ |𝑎𝑛− 1| < 𝜀 Theo định nghĩa ta có lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

Nhận xét: Để áp dụng một cách đúng đắn định lý trên, ta cần chú ý một số nhận

xét sau đây:

- Ở ý iv) về giới hạn của thương sẽ không áp dụng được nếu tử số và mẫu số không có giới hạn hữu hạn hoặc mẫu số có giới hạn bằng 0 Trong những trường hợp đó nên biến đổi sơ bộ dãy thương, chẳng hạn bằng cách nhân hoặc chia tử số

và mẫu số với cùng một biểu thức

- Đối với các ý i), ii) và iii) cũng cần phải thận trọng khi áp dụng Trong trường hợp này ta cần phải biến đổi các biểu thức 𝑎𝑛± 𝑏𝑛 và 𝑎𝑛∙ 𝑏𝑛 trước khi tính giới hạn

ii) {𝑣𝑛} và {𝑤𝑛} đều là các dãy số mà dễ dàng tìm được giới hạn của chúng

iii) {𝑣𝑛} và {𝑤𝑛} có chung giới hạn

tan 𝑥sin 𝑥

sin 𝑥 ≤

1cos 𝑥

Lấy nghịch đảo ta được:

Áp dụng nguyên lý kẹp, ta suy ra:

Lời giải Trước hết, ta chứng minh lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 1 Từ đó, áp dụng nguyên lý kẹp suy ra lim

𝑛→∞𝑐𝑛 = 1

2.4 Phương pháp sử dụng dãy đơn điệu và bị chặn

2.4.1 Phương pháp chung

Ở phương pháp này, chúng ta sử dụng các định nghĩa 1.1.2, định nghĩa 1.1.3,

định nghĩa 1.1.4 và định lý 1.2.6 để chứng minh dãy số hội tụ và tìm giới hạn dãy

số Ta sẽ thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chứng minh dãy số đơn điệu: Để chứng minh dãy {𝑎𝑛} tăng, ta thường chứng minh 𝑎𝑛+1− 𝑎𝑛 ≥ 0, hoặc trong trường hợp dãy số dương ta chứng minh

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛 ≥ 1 Chứng minh tương tự với dãy số giảm

Bước 2: Chứng minh bị chặn: Dựa vào định nghĩa 1.1.2, định nghĩa 1.1.3 ta

chứng minh dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới

Bước 3: Tìm giới hạn của dãy