ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMĐINH NGÔ THẢO LY TÌM HIỂU VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH ĐA BƯỚC TRONG GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Sư phạm Toán KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Gi
Phương trình vi phân
Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân là phương trình chứa ẩn là một hàm số cùng các đạo hàm của nó.
Một phương trình vi phân cấp n thường có dạng tổng quát:
Hàmy = φ(x) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân nếu như thay y = φ(x) vào phương trình vi phân thì ta được đẳng thức đúng.
Cách tiếp cận lời giải số cho bài toán Cauchy
Bài toán Cauchy
Bài toán tìm giá trị ban đầu hay còn gọi bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm y(x) = (y 1 (x), y 2 (x), , y n (x)) thỏa mãn các điều kiện:
Tiếp cận lời giải số bài toán Cauchy
Để giải bài toán Cauchy trên đoạn rời rạc [a,b], ta chia đoạn này thành N phần bằng nhau thông qua các điểm chia {x i } từ i = 0 đến N, với công thức x i = a + i*h, trong đó h = (b−a)/N.
N Tham số h gọi là bước nhảy
Giả sử y(x) là nghiệm của bài toán (1.1), ta có nghiệm số {y1, y2, , yN}, trong đó yn là xấp xỉ của y(xn) tại xn, ký hiệu là yn ≈ y(xn) Mục tiêu của chúng ta là tìm ra một phương pháp hiệu quả để tính dãy giá trị xấp xỉ {yn} từ n=0 đến N của nghiệm (1.1) trên tập rời rạc {xn} từ n=0 đến N.
Ví dụ 1.1 Cho hệ phương trình vi phân sau:
(y ′ (x) =f(x, y) =x+y y(0) = 0 , với x ∈ [0,1] và h = 0.1. Để giải bài toán bằng phương pháp Euler hiển, ta sử dụng các bước lặp sau: ( y n+1 = y n +hf(x n , y n ) y(x 0 ) =y 0
Ta có y 0 = y(0) = 0, và tiến hành tính toán: y 1 = y 0 + 0.1f(x 0 , y 0 ) = 0 + 0.1(0 + 0) = 0, y2 = y1 + 0.1f(x1, y1) = 0 + 0.1(0.1 + 0) = 0.01, y 3 = y 2 + 0.1f(x 2 , y 2 ) = 0.01 + 0.1(0.2 + 0.01) = 0.031, y 4 = y 3 + 0.1f(x 3 , y 3 ) = 0.031 + 0.1(0.3 + 0.031) = 0.0641, y 5 = y 4 + 0.1f(x 4 , y 4 ) = 0.0641 + 0.1(0.4 + 0.0641) = 0.11051. Để giải bài toán bằng phương pháp Euler ẩn, ta sử dụng các bước lặp sau: yn+1 = yn+hf(xn+1, yn+1).
Ta có y 0 = 1, và tiến hành tính toán: y 1 = y 0 + 0.1f(x 1 , y 1 ) = 1 + 0.1f(x 1 , y 1 ) ⇔x 1 + y 1 = 1.11111, y 2 = y 1 + 0.1f(x 2 , y 2 ) = 1.11111 + 0.1f(x 2 , y 2 ) ⇔ x 2 +y 2 = 1.234561, y 3 = y 2 + 0.1f(x 3 , y 3 ) = 1.234561 + 0.1f(x 3 , y 3 ) ⇔x 3 + y 3 = 1.3717171, y 4 = y 3 + 0.1f(x 4 , y 4 ) = 1.3717171 + 0.1f(x 4 , y 4 ) ⇔ x 4 +y 4 = 1.52408881, y5 = y4 + 0.1f(x5, y5) = 1.52408881 + 0.1f(x5, y5) ⇔ x5 + y5 = 1.693347691.
Tổng quan về phương pháp số về giải phương trình vi phân 6
Cấp chính xác của phương pháp số
Định nghĩa 1.3 (Xem[7]) Phương pháp số (1.2) được gọi là phương pháp số có cấp chính xác p nếu y(x n+1 )−[ k
= o(h p+1 ). trong đó o(h p+1 ) là vô cùng bé cùng cấp với h p+1 khi h →0.
Ví dụ 1.2 Phương pháp Euler hiển y n+1 = y n + h(x n , y n ).
⇒ y(xn+1) =y(xn) +hf(xn, y(xn)) +o(h 2 ).
trong đó o(h 2 ) là vô cùng bé cùng cấp với h 2 khi h → 0.
Vậy phương pháp Euler hiển có cấp chính xác p= 1.
Ví dụ 1.3 Phương pháp Euler cải tiến y n+1 = y n + h
= o(h 3 ) =o(h 2+1 ). trong đó o(h 3 ) là vô cùng bé cùng cấp với h 3 khi h →0.
Vậy phương pháp Euler cải tiến có cấp chính xác p = 2.
Tính phù hợp của phương pháp số
ĐặtR(x n+1 ) = y(x n+1 )−h P k j=1 α j y n+1−j +hϕ f (y n+1 , y n , , y n+1−k , x n+1−k , h)i, với R(x n+1 ) là sai số chặt cụt địa phương Định nghĩa 1.4 (Xem[7]) Phương pháp số (1.2) gọi là phù hợp nếu limh→0
Phương pháp số với cấp chính xác p≥ 1 là phù hợp, theo hệ quả 1.1 Cụ thể, các phương pháp như Euler hiển, Euler ẩn và Euler cải tiến đều đáp ứng tiêu chí này Định nghĩa 1.5 nêu rõ rằng đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số có dạng ρ(t) = t^k - k.
X i=1 α i t k−i Định lý 1.1 (Xem[7])Phương pháp số (1.2) phù hợp khi và chỉ khi
Tính zero - ổn định của phương pháp số
Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số được định nghĩa là thỏa mãn điều kiện nghiệm nếu tất cả các nghiệm của nó có modul nhỏ hơn hoặc bằng 1, và những nghiệm có modul bằng 1 phải là nghiệm đơn.
Ví dụ 1.4 trình bày hai trường hợp của đa thức đặc trưng Trường hợp a, đa thức ρ(t) = t^2 - 2t + 1 = (t - 1)^2 có nghiệm kép t = 1 với modul nhỏ hơn hoặc bằng 1, không thỏa mãn điều kiện nghiệm Trường hợp b, đa thức ρ(t) = t^3 - 3t^2 + 3t - 1 = (t - 1)^3 có nghiệm t = 1 cũng với modul nhỏ hơn hoặc bằng 1 và là nghiệm bội 3, cũng không thỏa mãn điều kiện nghiệm Định nghĩa 1.7 nêu rõ rằng phương pháp số (1.2) được coi là zero-ổn định nếu đa thức đặc trưng thỏa mãn điều kiện nghiệm.
Các phương pháp Euler có đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t−1nghiệm đơn t = 1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm.
Vậy phương pháp Euler có tính zero - ổn định.
Sự hội tụ của phương pháp số
Định nghĩa 1.8 (Xem[7]) Phương pháp số (1.2) gọi là hội tụ nếu h→0lim max n=0,N
∥y(x n )−yn∥ = 0. Định lý 1.2 (Xem[7]) Phương pháp số (1.2) hội tụ khi và chỉ khi nó vừa phù hợp vừa zero - ổn định.
Ví dụ 1.6. a Các phương pháp Euler vừa có tính zero - ổn định vừa phù hợp nên nó hội tụ. b Phương pháp Simpson hội tụ.
Đa thức nội suy Newton
Sai phân
Định nghĩa 1.9 Giả sử y = f(x) là một hàm số thực, xác định trên đoạn [a, b].
trong đó ∆y k ,∆ 2 y k , ,∇ m y k tương ứng lần lượt là các sai phân tiến cấp 1,
∆y k ,∆ 2 y k , ,∇ m y k tương ứng lần lượt là các sai phân lùi cấp 1, 2, ,m.
Đa thức nội suy Newton lùi với các mốc cách đều
Cho a = x0 < x1 < < xn = b và bảng giá trị x (x0, x1, , xn) cùng với y (y0, y1, , yn), bài toán nội suy nhằm tìm giá trị gần đúng của y(x) tại các điểm x không có trong bảng Để tính giá trị gần đúng của y(x), người ta thường sử dụng một đa thức nội suy và tính giá trị của đa thức đó tại x.
Khi đó có duy nhất một đa thức N n (x) bậc n thỏa mãn điều kiện
Trong trường hợp các mốc nội suy cách đều x i = x 0 +ih với i = 0, n thì
2! ∇ 2 y n +ã ã ã+ t(t+ 1)ã ã ã(t+n−1) n! ∇ 2 y n với t= x−x h n gọi là đa thức nội suy Newton - Gregory.
Trong trường hợp n = 2 ta có
Công thức Simpson
Xét f(x) xác định trên [a, b], chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia x i
Khi đóx i = a+ih, i = 0, n với h = b−a n Trên mỗi [x 2i−2 , x 2i ] ta thay đa thức nội suy bậc hai Q 2 (x) với các mốc nội suy x 2i−2 , x 2i−1 , x 2i
(x−x 2i−2 )(x−x 2i−1 ) (x 2i −x 2i−2 )(x 2i −x 2i−1 ). Theo công thức nội suy f(x) =Q 2 (x) +R 2 (x),∀x∈ [x 2i−2 , x 2i ].
Tương tự trên các đoạn còn lại và b
6n (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + + 4y 2i−1 +y 2i ).Đây là công thức Simpson (Xem[10]).
CHƯƠNG2 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH ĐA BƯỚC VÀ MỘT VÀI PHƯƠNG
Khái niệm chung về phương pháp tuyến tính đa bước
Trong các phương pháp một bước như Euler, Euler cải tiến và Runge-Kutta, giá trị y n+1 được tính dựa trên x n, y n và bước nhảy h, nhưng độ chính xác của chúng thường không cao Để cải thiện độ chính xác, người ta áp dụng phương pháp tuyến tính đa bước Theo định nghĩa, phương pháp tuyến tính đa bước là phương pháp số được biểu diễn bằng công thức y n+1 k.
Khi k = 1, α1 = β1 = 1, β0 = 0 phương trình (2.1) có dạng y n+1 = y n +hf(x n , y n ) (2.2) Phương pháp (2.2) là phương pháp Euler hiển.
Khi k = 1, α 1 = β 0 = 1, β 1 = 0 phương trình (2.1) có dạng y n+1 = y n +hf(x n+1 , y n+1 ) (2.3)
phương pháp số (2.3) là phương pháp Euler ẩn.
Ta nói rằng phương pháp (2.1) là hiển nếu β0 = 0 và ẩn nếu β0 ̸= 0.
Ví dụ 2.1 Phương pháp trung điểm. k = 2, α 1 = 0, α 2 = 1, β 0 = 0, β 1 = 2. y n+1 = y n−1 + 2hf(x n , y n ).
Ví dụ 2.2 Phương pháp Adams 2 bước hiển. k = 2, α 1 = 0, α 2 = 3
Phương pháp này còn gọi là phương pháp Adams-Bashforth 2 bước.
Ví dụ 2.3 Phương pháp BDF 3 bước. k = 3, α1 = 1
Tính zero - ổn định của phương pháp tuyến tính đa bước
Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (2.1) được gọi là thỏa mãn điều kiện nghiệm nếu mọi nghiệm của nó có modul nhỏ hơn hoặc bằng 1, và nghiệm có modul bằng 1 phải là nghiệm đơn Phương pháp số (2.1) được coi là zero - ổn định khi đa thức đặc trưng thứ nhất đáp ứng điều kiện nghiệm này.
Ví dụ 2.4 Phương pháp hình thang y n+1 = y n + 1
2h(f(x n+1 , y n+1 ) +f(x n , y n )). Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t−1 ρ(t) = 0 thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp hình thang là zero ổn định.
Ví dụ 2.5 Phương pháp Adams 2 bước hiển y n+1 = y n + h
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 2 −t = t(t−1). ρ(t) = 0 thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp Adams 2 bước hiển là zero ổn định.
Ví dụ 2.6 Phương pháp BDF 2 bước y n+1 = 3
3hf(x n+1 , y n+1 ). Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 2 − 3
2). ρ(t) = 0 thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp BDF 2 bước zero ổn định.
Tính phù hợp của phương pháp tuyến tính đa bước
Ta có phương pháp (2.1) theo phát biểu của định lý 1.1 phù hợp khi
ρ(1) = 0 ϕf(yn+1, yn, , y n+1−k , x n+1−k ,0) ρ ′ (1) = f(x n+1−k , y n+1−k ) (2.4) với đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t k − k
X j=1 α j = 1 (*) Đạo hàm ρ(t) ta được ρ ′ (t) =kt k−1 − k
Theo định lý 2.1, phương pháp tuyến tính đa bước (số 2.1) chỉ phù hợp khi nó đáp ứng một số điều kiện nhất định.
Ví dụ 2.7 Xét phương pháp y n+1 = y n + h
2(1−1) = 1. thỏa điều kiện (2.5) nên phương pháp trên phù hợp.
Ví dụ 2.8 Phương pháp Adams 2 bước y n+1 = y n + h
4 = 1. thỏa điều kiện (2.5) nên phương pháp Adams 2 bước phù hợp.
Ví dụ 2.9 Xét phương pháp y n+1 = 4
P2 j=0αj(2−j) = 2− 3 5 = P 2 j=0 βj = 2 5 thỏa điều kiện (2.5) nên phương pháp trên phù hợp.
Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính đa bước
Theo định lý 1.2 thì phương pháp số (2.1) hội tụ khi và chỉ khi nó zero - ổn định và phù hợp.
Ví dụ 2.10 Phương pháp Adams 2 bước y n+1 = y n + h
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 2 −t= t(t−1).
⇒ Phương pháp Adams 2 bước zero ổn định.
( α 1 +α 2 = 1 β 0 = 1. thỏa mãn điều kiện (2.5) nên phương pháp trên phù hợp.
Vậy phương pháp Adams 2 bước hội tụ.
Ví dụ 2.11 Xét phương pháp BDF 2 bước y n=1 = 4
3hf(x n+1 , y n+1 ). Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 2 − 4
⇒ Phương pháp BDF 2 bước zero ổn định. ta có
⇒ Phương pháp BDF 2 bước phù hợp.
Vậy phương pháp BDF 2 bước hội tụ.
Cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa bước
bước Định nghĩa 2.4 (Xem[10]) Đa thức đặt trưng thứ hai của phương pháp số (2.1) là đa thức được đặt trưng bởi công thức σ(t) k
X i=0 β i t k−i Định lý 2.2 (Xem[1])Phương pháp số (2.1) có cấp chính xác là p ≥1 khi và chỉ khi tồn tại c ̸= 0 sao cho ρ(t+ 1)−σ(t+ 1) ln(t+ 1) = C.t p+1 + o(t p+2 ).
( trong đó o(t p+2 ) là vô cùng bé cùng cấp với t p+2 khi t→ 0; ρ(t) = t k − k
X j=1 α j t k−j là đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số
X j=1 β j t k−j là đa thức đặc trưng thứ hai của phương pháp số (2.1))
Ví dụ 2.12 Tính cấp chính xác của phương pháp BDF 2 bước y n+1 = 4
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 2 − 4
3. Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 2
Vậy phương pháp BDF 2 bước có cấp chính xác là p = 2.
Các phương pháp Adams của phương pháp tuyến tính đa bước 19
Phương pháp Adams - Bashforth
Xét bài toán Cauchy (1.1) , tích phân 2 vế từ x n đến x n+1 của phương trình y ′ (x) =f(x, y(x)) ta có x n+1
Z x n y ′ (x)dx. Đặt x = x n +th ta có yn+1 = yn+h
0 y ′ (xn +th)dt (2.6) Áp dụng công thức nội suy Newton lùi cho y ′ n+t := y ′ (x n +th) ta được y ′ n+t = y n ′ +∇y n ′
Vì y ′ n+t := y ′ (x n + th) nên thay (2.7) vào (2.6) ta được yn+1 = yn+h k
Các hệ số ai;i = 1, k lần lượt là a 1 1
95800320. Suy ra công thức Adams - Bashforth y n+1 = y n +h
2 Một vài phương pháp Adams - Bashforth
Ví dụ 2.13 Phương pháp Adams - Bashforth 4 bước y n+1 = y n +h
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 4 −t 3 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 55
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 4 bước có cấp chính xác p= 4
Ta lại có ρ(t) = 0 ⇒ t 4 −t 3 = 0 ⇒t 1 = 0, , t 3 = 0, t 4 = 1 nhận thấy ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm do đó phương pháp trên zero - ổn định.
. nên phương pháp số trên là phù hợp.
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 4 bước hội tụ.
Ví dụ 2.14 Phương pháp Adams - Bashforth 5 bước yn+1 = yn +h
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 5 −t 4 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 1901
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 5 bước có cấp chính xác p= 5
Ta lại có ρ(t) = 0 ⇒ t 5 −t 4 = 0 ⇒t 1 = 0, , t 4 = 0, t 5 = 1 đa thức đặc trưng thứ nhất thỏa mãn điều kiện nghiệm suy ra phương pháp trên zero - ổn định.
. suy ra phương pháp số trên là phù hợp.
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 5 bước hội tụ.
Ví dụ 2.15 Phương pháp Adams - Bashforth 6 bước y n+1 = y n +h
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 6 −t 5 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 4277
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 6 bước có cấp chính xác p= 6
Ta lại có ρ(t) = 0 ⇒ t 6 −t 5 = 0 ⇒t 1 = 0, t 2 = 0, , t 5 = 0, t 6 = 1 đa thức đặc trưng thứ nhất thỏa mãn điều kiện nghiệm suy ra phương pháp trên zero - ổn định.
. suy ra phương pháp trên cũng phù hợp.
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 6 bước hội tụ.
3 Các phương pháp Adams - Bashforth bậc cao k β1 β2 β3 β4 β5 β6 β7 β8 C
* Với k = 9 ta cũng có phương pháp Adams - Bashforth 9 bước yn+1 = yn +h
Tính cấp chính xác và xét sự hội tụ của phương pháp Adams - Bashforth 9 bước. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 9 −t 8 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 14097247
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 9 bước có cấp chính xác p = 9
Ta lại có ρ(t) = 0 ⇒ t 9 −t 8 = 0 ⇒t 1 = 0, t 2 = 0, , t 8 = 0, t 9 = 1 nhận thấy ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm do đó phương pháp trên zero - ổn định.
. suy ra phương pháp trên cũng phù hợp.
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 9 bước hội tụ.
* Với k = 10 ta cũng tìm được phương pháp Adams - Bashforth 10 bước y n+1 = y n +h
Ta tính cấp chính xác và xét sự hội tụ của phương pháp Adams - Bashforth
10 bước. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 10 −t 9 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 4325321
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 10 bước có cấp chính xác p = 10
Ta lại có ρ(t) = 0 ⇒t 10 −t 9 = 0 ⇒t 1 = 0, t 2 = 0, , t 9 = 0, t 10 = 1 nhận thấy ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm do đó phương pháp trên zero - ổn định.
. suy ra phương pháp trên cũng phù hợp.
Vậy phương pháp Adams - Bashforth 10 bước hội tụ.
* Với k = 11 ta cũng tìm được phương pháp Adams - Bashforth 11 bước y n+1 = y n +h
Phương pháp Adams - Moulton
Từ (2.7) thay n bởi n+ 1 và thay t bởi t−1 ta được y n+t ′ = y n+1 ′ + ∇y n+1 ′
Vì y ′ n+t := y ′ (x n + th) nên thay (2.10) vào (2.6) ta được y n+1 = y n +h k
Các hệ số a i lần lượt là a 1 1
1036800. Suy ra công thức Adams - Moulton y n+1 = y n +h
2 Một vài công thức Adams - Moulton
Ví dụ 2.16 Công thức Adams - Moulton 2 bước y n+1 = y n +h
12f (x n−1 , y n−1 ) Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 2 −t. Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 5
24t 4 +o(t 5 ). Vậy cấp chính xác của phương pháp Adams - Moulton 2 bước là p= 3
Ta có ρ(t) = 0 ⇒ t 2 −t= 0 ⇒ t 1 = 0, t 2 = 1 ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm do đó phương pháp trên zero - ổn định.
. suy ra phương pháp trên phù hợp.
Vậy phương pháp Adams - Moulton 2 bước hội tụ.
Ví dụ 2.17 Công thức Adams - Moulton 3 bước y n+1 = y n +h
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 3 −t 2 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 3
Vậy cấp chính xác của phương pháp Adams - Moulton 3 bước là p= 4
Ta có ρ(t) = 0 ⇒ t 3 −t 2 = 0 ⇒t 1,2 = 0, t 3 = 1 ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm do đó phương pháp trên zero - ổn định.
. suy ra phương pháp trên phù hợp.
Vậy phương pháp Adams - Moulton 3 bước hội tụ.
3 Các phương pháp Adams - Moulton bậc cao k β 0 β 1 β 2 β 3 β 4 β 5 β 6 β 7 C
* Với k = 8 ta cũng tìm được công thức Adams - Moulton 8 bước y n+1 = y n +h
.Tính cấp chính xác và xét sự hội tụ của phương pháp trên. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 8 −t 7 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 1070017
Vậy cấp chính xác của phương pháp Adams - Moulton 8 bước là p = 9.
Ta có ρ(t) = 0 ⇒ t 8 −t 7 = 0 ⇒t 1 = 0, t 2 = 0, , t 7 = 0, t 8 = 1 ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm do đó phương pháp trên zero - ổn định. Xét
. suy ra phương pháp trên phù hợp.
Vậy phương pháp Adams - Moulton 8 bước hội tụ.
* Với k = 9 ta cũng tìm được công thức Adams - Moulton 9 bước y n+1 = y n +h
Tính cấp chính xác và xét sự hội tụ của phương pháp trên. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 9 −t 8 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 25713
Vậy cấp chính xác của phương pháp Adams - Moulton 9 bước là p= 10.
Ta có ρ(t) = 0 ⇒ t 9 −t 8 = 0 ⇒t 1 = 0, t 2 = 0, , t 8 = 0, t 9 = 1 ρ(t) thỏa mãn điều kiện nghiệm do đó phương pháp trên zero - ổn định Xét
. suy ra phương pháp trên phù hợp.
Vậy phương pháp Adams - Moulton 9 bước hội tụ.
* Với k = 10 ta cũng tìm được công thức Adams - Moulton 10 bước y n+1 = y n +h
4 Ví dụ giải số bằng phương pháp Adams - Bashforth 2 bước Chúng ta sẽ giải một bài toán Cauchy bằng cách tính nghiệm y(x) tại các điểm x0, x1 = x0 + h, sử dụng các phương pháp số học như phương pháp Euler và phương pháp Adams - Bashforth Bài toán Cauchy có dạng y ′ = f(x, y), với y(x 0 ) = y 0 , trong đó f(x, y) là một hàm đã cho và (x 0 , y 0 ) là điểm ban đầu Chúng ta sẽ tính toán giá trị xấp xỉ của y(x) tại các điểm x 1 , x 2 , sử dụng các phương pháp số học.
Chia đoạn [0,1] thành 10 phần bằng nhau khi đó h = 0,1.
Trong đoạn [0,0.1] chia thành 2 phần bằng nhau bởi x˜1 khi đó h 1 = 0.1 2 = 0.05 và x˜ 1 = 0.05. Áp dụng phương pháp Euler hiển: ˜ y 1 = y 0 + h 1 f(x 0 , y 0 )
= 1.05. Áp dụng phương pháp Adams - Bashforth 2 bước:
Phương pháp Nystr¨ om và Milne-Simpson
Phương pháp Nystr¨ om
Lấy tích phân hai vế từ x n−1 đến x n+1 ta được y n+1 = y n + x n+1
Z x n−1 y ′ (x)dx. Đặt t = x−x n h ⇒x = x n +th ⇒dx = hdt x = x n−1 ⇒t = −1. x = x n+1 ⇒t = 1.
−1 y ′ (x n +th)dt (2.13) Áp dụng công thức nội suy Newton lùi cho y ′ (x n +th) =y n+t ′ ta được y n+t ′ = y n ′ + t
Và sử dụng sai phân lùi ∇y ′ n = ∆y ′ n−1 = y n ′ −y ′ n−1 ,∇ k y n ′ = ∆ k y n−k ′ ta được y ′ n+t = y n ′ + t
30∇ 4 + y n ′ Định nghĩa 2.5 Phương pháp số Nystro¨m là phương pháp tuyến tính k bước với β 0 = 0, α 2 = 1, α j = 0, j = 0,1,3,4, , và có dạng y n+1 = y n−1 + h k
2 Một vài phương pháp Nystro¨m a Phương pháp Nystro¨m 2 bước yn+1 = y n−1 + 2hf(xn, yn).
Phương pháp Nystro¨m 2 bước gọi là quy tắc trung điểm. b Phương pháp Nystro¨m 3 bước y n+1 = y n−1 + h[2 + 0∇+ 1
3∇ 3 ]y ′ n Với ∇ 3 = ∇[y ′ n −2y n−1 ′ +y n−2 ′ ] = y ′ n −3y n−1 ′ + 3y n−2 ′ −y n−3 ′ ta có yn+1 = yn−1+h[2y ′ n + 1
−126f(x n−3 , y n−3 ) + 29f(x n−4 , y n−4 )]. Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số Nystro¨m có dạng ρ(t) =t k −t k−2
Phương pháp Nystro¨m hội tụ khi và chỉ khi nó vừa phù hợp vừa có tính zero
Phương pháp trung điểm được mô tả bằng công thức y n+1 = y n−1 + 2hf(x n , y n ) cho thấy tính hội tụ Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 2 −1 có hai nghiệm t = −1 và t = 1, chứng minh rằng phương pháp này thỏa mãn điều kiện nghiệm và đảm bảo tính zero - ổn định.
Phương pháp trung điểm có cấp chính xác p= 2 nên phù hợp.
Vậy phương pháp trung điểm hội tụ.
Ví dụ 2.19 Phương pháp Nystro¨m ba bước y n+1 = y n−1 + h
Đa thức đặc trưng thứ nhất được biểu diễn bằng ρ(t) = t³ - t, có ba nghiệm đơn là t = -1, t = 0 và t = 1 Tất cả các nghiệm này đều có mô-đun nhỏ hơn hoặc bằng 1, do đó thỏa mãn điều kiện nghiệm Kết quả là, hệ thống có tính zero-ổn định.
Suy ra phương pháp Nystro¨m ba bước phù hợp.
Vậy phương pháp Nystro¨m ba bước hội tụ.
Ví dụ 2.20 Phương pháp Nystro¨m bốn bước y n+1 = y n−1 +h
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình 3[8f(x_n, y_n)−5f(x_{n−1}, y_{n−1})+4f(x_{n−2}, y_{n−2})−f(x_{n−3}, y_{n−3})] và tính hội tụ của nó Đa thức đặc trưng thứ nhất được xác định là ρ(t) = t^4 − t^2, có hai nghiệm đơn t = −1 và t = 1 với môđun bằng 1, cùng một nghiệm kép t = 0 với môđun bằng 0, do đó thỏa mãn điều kiện nghiệm Kết quả cho thấy tính zero-ổn định của hệ thống.
Suy ra phương pháp Nystro¨m bốn bước phù hợp.
Vậy phương pháp Nystro¨m bốn bước hội tụ.
Phương pháp Nystro¨m là một kỹ thuật tuyến tính k bước, cho phép chúng ta áp dụng định nghĩa hoặc định lý để xác định cấp chính xác của nó.
Ví dụ 2.21 Phương pháp trung điểm y n+1 = y n−1 + 2hf(x n , y n ) có cấp chính xác p = 2.
Thật vậy, ta có Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp trung điểm ρ(t) =t 2 −1. Đa thức đặc trưng thứ hai của phương pháp trung điểm σ(t) = 2t.
Vậy phương pháp trung điểm có cấp chính xác p = 2
Ví dụ 2.22 Phương pháp Nystro¨m ba bước y n+1 = y n−1 + h
3[7f(x n , y n )−2f(x n−1 , y n−1 ) + f(x n−2 , y n−2 )] có cấp chính xác p = 3. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 3 −t. Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 7
Vậy phương pháp Nystro¨m ba bước có cấp chính xác p= 3
Ví dụ 2.23 Phương pháp Nystro¨m bốn bước y n+1 = y n−1 +h
3[8f(x n , y n )−5f(x n−1 , y n−1 )+4f(x n−2 , y n−2 )−f(x n−3 , y n−3 )] có cấp chính xác p = 4 Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 4 −t 2 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 8
Vậy phương pháp Nystro¨m bốn bước có cấp chính xác p = 4.
5 Ví dụ giải số phương pháp Nystro¨m 2 bước
Chúng ta sẽ giải bài toán Cauchy bằng cách tính nghiệm y(x) tại các điểm x 0 , x 1 = x 0 + h, thông qua các phương pháp số học như phương pháp Euler và phương pháp Nystrom Bài toán Cauchy có dạng y ′ = f(x, y) với điều kiện y(x 0 ) = y 0, trong đó f(x, y) là hàm đã cho và (x 0 , y 0 ) là điểm khởi đầu Việc tính toán giá trị xấp xỉ của y(x) sẽ được thực hiện tại các điểm x 1 , x 2 , bằng cách áp dụng các phương pháp số học này.
Chia đoạn [0,1] thành 10 phần bằng nhau khi đó h = 0,1.
Trong đoạn [0,0.1] chia thành 2 phần bằng nhau bởi x˜ 1 khi đó h 1 = 0.1 2 = 0.05 và x˜ 1 = 0.05. Áp dụng phương pháp Euler hiển: ˜ y 1 = y 0 +h 1 f(x 0 , y 0 )
= 1.05. Áp dụng phương pháp Nystro¨m 2 bước:
Phương pháp Milne-Simpson
Xét bài toán Cauchy (1.1) Kí hiệu y n ′ = f(x n , y n ) Lấy tích phân hai vế của bài toán Cauchy từ x n−1 đến xn+1 ta được yn+1 = yn + x n+1
Z x n−1 y ′ (x)dx. Đặt t= x−xn h ⇒ x = x n + th⇒ dx = hdt x = x n−1 ⇒t = −1 x = x n+1 ⇒t = 1
−1 y ′ (x n +th)dt (2.15) Áp dụng công thức nội suy Newton lùi cho y ′ (x n +th) =y n+t ′ ta được y n+t ′ = y n ′ + t
Và sử dụng sai phân lùi ∇y ′ n = ∆y ′ n−1 = y n ′ −y ′ n−1 ,∇ k y n ′ = ∆ k y n−k ′ ta được y ′ n+t = y n ′ + t
2! ∇ 2 y ′ n + + t(t+ 1) (t+k −1) k! ∇ k y n ′ + Xuất phát từ x n+1 ( thay n = n+ 1, t = t−1 ) ta có y ′ n+t = y n+1 ′ + t−1
(2.16) Thay (2.16) vào (2.15) ta được yn+1 = y n−1 + h[2−2∇+ 1
90∇ 5 + ]y ′ n+1 Định nghĩa 2.6 Phương pháp Milne - Simpson là phương pháp tuyến tính k bước với α 2 = 1, α j = 0, j = 0,1,3,4, có dạng y n+1 = y n−1 + h k
2 Một vài phương pháp Milne - Simpson a Phương pháp Milne - Simpson 2 bước
Phương pháp Milne - Simpson 2 bước gọi là phương pháp Simpson. b Phương pháp Milne - Simpson 4 bước
4f(x n−2 , y n−2 )−f(x n−3 , y n−3 )]. c Phương pháp Milne - Simpson 5 bước
Phương pháp Milne - Simpson hội tụ khi và chỉ khi nó vừa phù hợp vừa có tính zero - ổn định.
Ví dụ 2.24 Phương pháp Milne - Simpson 2 bước yn+1 = y n−1 + h
3[f(xn+1, yn+1) + 4f(xn, yn) +f(x n−1 , y n−1 )]. hội tụ
Ta có Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 2 − 1 khi đó ρ(1) = 0 và ρ ′ (t) = 2t ⇒ρ ′ (1) = 2 ϕ f (y n+1 , y n , y n−1 , x n−1 , h) = 1
Phương pháp Milne - Simpson phù hợp. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t 2 −1 có nghiệm t= −1, t = 1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero - ổn định.
Vậy phương pháp Milne - Simpson hội tụ.
Ví dụ 2.25 Phương pháp Milne - Simpson bốn bước yn+1 = y n−1 + h
90[29f(xn+1, yn+1) + 124f(xn, yn) + 24f(x n−1 , y n−1 )+ 4f(x n−2 , y n−2 )−f(x n−3 , y n−3 )]. hội tụ Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 4 −t 2 khi đó ρ(1) = 0 và ρ ′ (t) = 4t 3 −2t ⇒ρ ′ (1) = 2 ϕf(yn+1, , y n−3 , x n−3 , h) = 1
Phương pháp Simpson là một phương pháp phù hợp cho việc tính toán Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t^4 − t^2 có hai nghiệm đơn t = −1, t = 1 và một nghiệm bội hai t = 0, do đó thỏa mãn điều kiện nghiệm Kết quả cho thấy đa thức này có tính zero - ổn định.
Vậy phương pháp Milne - Simpson bốn bước hội tụ.
Phương pháp Milne - Simpson là một kỹ thuật tuyến tính k bước, cho phép chúng ta áp dụng định nghĩa hoặc định lý để xác định cấp chính xác của phương pháp này.
Ví dụ 2.26 Phương pháp Milne - Simpson 2 bước y n+1 = y n−1 + h
Cách 1: Sử dụng định nghĩa
Phương pháp số này có cấp chính xác p= 4.
Cách 2: Sử dụng định lý Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 2 −1. Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 1
90t 5 + o(h 6 ). Vậy phương pháp Milne - Simpson có cấp chính xác p= 4.
Ví dụ 2.27 Phương pháp Milne - Simpson bốn bước y n+1 = y n−1 + h
90[29f(x n+1 , y n+1 ) + 124f(x n , y n ) + 24f(x n−1 , y n−1 )+ 4f(x n−2 , y n−2 )−f(x n−3 , y n−3 )] có cấp chính xác p = 5. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 4 −t 2 Đa thức đặc trưng thứ hai σ(t) = 29
90t 5+1 + o(h 6+1 ).Vậy phương pháp Milne - Simpson bốn bước có cấp chính xác bằng 5.
Các phương pháp BDF
Phát biểu công thức
Phương pháp BDF là một phương pháp tuyến tính đa bước ẩn phổ biến để giải quyết các vấn đề trong bài toán cương, với σ(t) = β 0 t k Phương pháp này có tính ổn định tuyệt đối cao và chỉ ổn định với một số giá trị k thích hợp Công thức BDF được biểu diễn bằng y n+1 k.
Với k = 1,2, ,6, phương pháp là zero ổn định nhưng với k ≥ 7, phương pháp này không zero ổn định.( Xem [1])
Công thức trên được tìm thấy bằng cách đi từ công thức sai phân lùi áp dụng cho bài toán Cauchy.
(y ′ = f(x, y) y(a) = η Áp dụng công thức nội suy Newton-Gregory ta có
∇ i y n+1 (2.18) Đạo hàm hai vế theo r với x = xn+1 +rh nên dx= hdr
Công thức BDF áp dụng nội suy Newton-Gregory được viết lại như sau k
2(yn+1−2yn +y n−1 ) = hf(xn+1, yn+1)
Phương pháp BDF 2 bước có công thức y n+1 = 4
3(yn+1−3y n +3yn−1−y n−2 ) = hf(xn+1, yn+1)
Vậy phương pháp BDF 3 bước có công thức y n+1 = 18
Từ công thức (2.22)ta lập được bảng các hệ cố và sai số của phương pháp
6 360 147 − 450 147 400 147 − 225 147 147 72 − 147 10 147 60 6 343 20 Định lý 2.3 (Xem[1]) Một phương pháp k bước BDF có cấp chính xác là k có β 0
Xét sự hội tụ và cấp chính xác của phương pháp BDF
Xét phương trình BDF 2 bước k = 2 y n+1 = 4
• Sự hội tụ của phương pháp. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 2 −
⇒ Phương pháp BDF 2 bước có zero ổn định.
⇒ Phương pháp BDF 2 bước là phù hợp.
Vậy phương pháp trên là hội tụ.
• Cấp chính xác của phương pháp
Vậy phương pháp BDF 2 bước có cấp chính xác là 2.
Xét phương pháp BDF 3 bước y n+1 = 18
• Sự hội tụ của phương pháp. Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) =t 3 − 18
⇒ Phương pháp BDF 3 bước có zero ổn định. ta có
⇒ Phương pháp BDF 3 bước là phù hợp.
Vậy phương pháp trên là hội tụ.
• Cấp chính xác của phương pháp
Vậy phương pháp BDF 3 bước có cấp chính xác là 3.
Trong khóa luận này, tôi đã hệ thống lại các khái niệm cơ bản về phương pháp số giải phương trình vi phân, bao gồm cách thành lập các phương pháp tuyến tính đa bước, sự hội tụ và cấp chính xác Tôi cũng đã trình bày một số phương pháp cụ thể như Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF, Nystrom và Adams-Moulton Bên cạnh đó, tôi nhấn mạnh ứng dụng thực tiễn của các phương pháp này và tầm quan trọng của việc hiểu biết và áp dụng chúng trong các bài toán thực tế Hy vọng rằng nội dung khóa luận sẽ góp phần vào nghiên cứu và ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân và các lĩnh vực liên quan.