Tìm hiểu về các phương pháp tuyến tính Đa bước trong giải số phương trình vi phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMĐINH NGÔ THẢO LY TÌM HIỂU VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH ĐA BƯỚC TRONG GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Sư phạm Toán KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Gi

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH NGÔ THẢO LY

TÌM HIỂU VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH ĐA BƯỚC TRONG GIẢI

SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Sư phạm Toán

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn

TS NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng - 2024

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH NGÔ THẢO LY

TÌM HIỂU VỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH ĐA BƯỚC TRONG GIẢI

SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn

TS NGUYỄN HOÀNG THÀNH

Đà Nẵng - 2024

MỤC LỤC

1.1 Phương trình vi phân 5

1.2 Cách tiếp cận lời giải số cho bài toán Cauchy 5

1.2.1 Bài toán Cauchy 5

1.2.2 Tiếp cận lời giải số bài toán Cauchy 5

1.3 Tổng quan về phương pháp số về giải phương trình vi phân 6 1.3.1 Cấp chính xác của phương pháp số 7

1.3.2 Tính phù hợp của phương pháp số 8

1.3.3 Tính zero - ổn định của phương pháp số 9

1.3.4 Sự hội tụ của phương pháp số 9

1.4 Đa thức nội suy Newton 10

1.4.1 Sai phân 10

1.4.2 Đa thức nội suy Newton lùi với các mốc cách đều 10

1.5 Công thức Simpson 11

2 Các vấn đề cơ bản về phương pháp tuyến tính đa bước và một vài phương pháp cụ thể 13 2.1 Khái niệm chung về phương pháp tuyến tính đa bước 13

2.2 Tính zero - ổn định của phương pháp tuyến tính đa bước 14

2.3 Tính phù hợp của phương pháp tuyến tính đa bước 15

2.4 Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính đa bước 17

2.5 Cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa bước 18

2.6 Các phương pháp Adams của phương pháp tuyến tính đa bước 19 2.6.1 Phương pháp Adams - Bashforth 19

2.6.2 Phương pháp Adams - Moulton 27

2.7 Phương pháp Nystr¨om và Milne-Simpson 34

2.7.1 Phương pháp Nystr¨om 34

2.7.2 Phương pháp Milne-Simpson 41

2.8 Các phương pháp BDF 46

2.8.1 Phát biểu công thức 46

2.8.2 Xét sự hội tụ và cấp chính xác của phương pháp BDF 2 bước, 3 bước 48

Tài liệu tham khảo 52

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình vi phân có vai trò rất quan trọng trong khoa học kỹ thuật,được nghiên cứu rộng rãi trong toán học thuần túy và ứng dụng, vật lý, cácngành kỹ thuật, Việc tìm nghiệm chính xác của phương trình vi phân cụthể gặp nhiều khó khăn và lớp các phương trình vi phân tìm được nghiệmgiải tích là rất hẹp Đối với các vấn đề phức tạp, phương pháp số hóa là mộtlựa chọn hiệu quả để tìm ra giải pháp gần đúng Bằng cách chia nhỏ khônggian hoặc thời gian thành các đoạn nhỏ, chúng ta có thể xấp xỉ nghiệm củaphương trình vi phân với độ chính xác mong muốn

Phương pháp số là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các phương trình

vi phân thường Vì vậy việc tìm hiểu và liệt kê các phương pháp số giảiphương trình vi phân là công việc hữu ích Trong các phương pháp số thì lớpcác phương pháp tuyến tính đa bước là lớp phương pháp dễ xét sự hội tụbằng các kết quả của giải tích Khóa luận này sẽ đi khảo sát lớp các phươngpháp tuyến tính đa bước giải số phương trình vi phân

Khoá luận gồm 2 chương:

1 Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về giải số phương trình viphân

2 Chương 2: Các vấn đề cơ bản về phương pháp tuyến tính đa bước vàmột vài phương pháp cụ thể

Để hoàn thành quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này, lời đầutiên em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn HoàngThành thuộc Khoa Toán – Trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng Thầy đã giớithiệu đề tài, cung cấp tài liệu, trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn em trong suốtquá trình nghiên cứu để em hoàn thiện khóa luận này Ngoài ra em xin chânthành cảm ơn các thầy, cô trong Khoa Toán đã dạy em trong suốt bốn nămcủa chương trình Sư phạm Toán

Mặc dù đã cố gắng song khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót

Do đó em rất mong nhận được các nhận xét góp ý từ quý thầy cô và các bạn

để khóa luận được tốt nhất có thể

Cuối cùng, em xin cảm ơn những người thân, bạn bè đã luôn bên em,động viên em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Ngày 15 tháng 4 năm 2024

Sinh viên

Đinh Ngô Thảo Ly

CHƯƠNG1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Hàmy = φ(x)được gọi là nghiệm của phương trình vi phân nếu như thay

y = φ(x) vào phương trình vi phân thì ta được đẳng thức đúng

1.2 Cách tiếp cận lời giải số cho bài toán Cauchy

Bài toán tìm giá trị ban đầu hay còn gọi bài toán Cauchy là bài toán tìmnghiệm y(x) = (y1(x), y2(x), , yn(x)) thỏa mãn các điều kiện:

(

y′ = f (x, y)

trong đóf : [a, b]×Rn → Rn,y : [a, b] →Rn, vàη = (y1(a), y2(a), , yn(a))

Để tìm nghiệm của bài toán Cauchy trên một tập rời rạc của [a,b], ta chianhỏ đoạn [a,b] ra thành N phần bằng nhau bởi các điểm chia {xi}N

i=0 đượcđịnh nghĩa bởi xi = ai + ih, i = 0, N , h = b − a

Tham số h gọi là bước nhảy

Giả sử y(x) là nghiệm của bài toán (1.1) Khi đó nghiệm số của (1.1) là

{y1, y2, , yN} trong đó yn là xấp xỉ của y(xn) tại xn Kí hiệu: yn ≈ y(xn).Mục đích của chúng ta là tìm ra một phương pháp hữu hiệu để tính dãy giátrị xấp xỉ {yn}N

n=0 của nghiệm của (1.1) trên tập rời rạc {xn}N

n=0

Ví dụ 1.1 Cho hệ phương trình vi phân sau:

Với k = 1 phương pháp số (1.2) gọi là phương pháp số một bước, k ≥ 2

phương pháp số (1.2) gọi là phương pháp số đa bước

Nếu ϕf không phụ thuộc vào yn+1 thì phương pháp số (1.2) là phươngpháp hiển

Nếu ϕf phụ thuộc vào yn+1 thì phương pháp số (1.2) là phương pháp ẩn

trong đó o(hp+1) là vô cùng bé cùng cấp với hp+1 khi h → 0

Ví dụ 1.2 Phương pháp Euler hiển

⇒ y(xn+1) − y(xn) − hf (xn, y(xn)) = o(h2) = o(h1+1)

trong đó o(h2) là vô cùng bé cùng cấp với h2 khi h → 0

Vậy phương pháp Euler hiển có cấp chính xác p = 1

Ví dụ 1.3 Phương pháp Euler cải tiến

yn+1 = yn + h

2[f (xn, yn) + f (xn+1, yn+1)]

Ta có

trong đó o(h3) là vô cùng bé cùng cấp với h3 khi h → 0.

Vậy phương pháp Euler cải tiến có cấp chính xác p = 2

ĐặtR(xn+1) = y(xn+1)−hPk

j=1αjyn+1−j + hϕf(yn+1, yn, , yn+1−k, xn+1−k, h)i,

với R(xn+1) là sai số chặt cụt địa phương

Định nghĩa 1.4 (Xem[7]) Phương pháp số (1.2) gọi là phù hợp nếu

Định nghĩa 1.6 (Xem[7]) Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số(1.2) gọi là thỏa mãn điều kiện nghiệm nếu mọi nghiệm của nó đều có modulnhỏ hơn hoặc bằng 1 và các nghiệm có modul bằng 1 phải là nghiệm đơn.

Ví dụ 1.4

a Đa thức đăc trưng thứ nhất ρ(t) = t2− 2t + 1 = (t − 1)2, có nghiệm kép

t = 1 có modul nhỏ hơn hoặc bằng 1 nên không thỏa mãn điều kiện nghiệm

b Đa thức đăc trưng thứ nhất ρ(t) = t3 − 3t2 + 3t − 1 = (t − 1)3, cónghiệm t = 1 có modul nhỏ hơn hoặc bằng 1 và là nghiệm bội 3 nên khôngthỏa mãn điều kiện nghiệm

Định nghĩa 1.7 (Xem[7]) Phương pháp số (1.2) được gọi là zero- ổn địnhnếu đa thức đặc trưng thứ nhất thỏa mãn điều kiện nghiệm

Ví dụ 1.5

Các phương pháp Euler có đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t−1nghiệmđơn t = 1 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm

Vậy phương pháp Euler có tính zero - ổn định

Định nghĩa 1.8 (Xem[7]) Phương pháp số (1.2) gọi là hội tụ nếu

1.4 Đa thức nội suy Newton

∆myk = ∆m−1yk+1 − ∆m−1yk

∇yk = yk − yk−1

∇2yk = ∇yk − ∇yk−1

∇myk = ∇m−1yk − ∇m−1yk−1

trong đó ∆yk, ∆2yk, , ∇myk tương ứng lần lượt là các sai phân tiến cấp 1,

2, , m;

∆yk, ∆2yk, , ∇myk tương ứng lần lượt là các sai phân lùi cấp 1, 2, ,m

(Xem[10]) Cho a = x0 < x1 < < xn = b và bảng sau

x x0 x1 xn−1 xn

y y0 y1 yn−1 yn

với x0, x1, x2, , xn là các mốc nội suy Bài toán nội suy là bài toán tìm giátrị gần đúng của y(x) tại các điểm x không có trong bảng trên Người tathường tính giá trị gần đúng của y(x)bằng cách thay y(x) bởi đa thức, gọi

là đa thức nội suy, rồi tính giá trị của đa thức đó tại x

Khi đó có duy nhất một đa thức Nn(x) bậc n thỏa mãn điều kiện

(x − x2i−2)(x − x2i−1)(x2i− x2i−2)(x2i− x2i−1).

Theo công thức nội suy

CHƯƠNG2 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH ĐA BƯỚC VÀ MỘT VÀI PHƯƠNG

Định nghĩa 2.1 (Xem[7]) Một phương pháp tuyến tính đa bước là phươngpháp số cho bởi công thức

phương pháp số (2.3) là phương pháp Euler ẩn

Ta nói rằng phương pháp (2.1) là hiển nếu β0 = 0 và ẩn nếu β0 ̸= 0

Ví dụ 2.1 Phương pháp trung điểm

k = 2, α1 = 0, α2 = 1, β0 = 0, β1 = 2

yn+1 = yn−1+ 2hf (xn, yn)

Ví dụ 2.2 Phương pháp Adams 2 bước hiển.

Định nghĩa 2.2 Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (2.1) gọi

là thỏa mãn điều kiện nghiệm nếu mọi nghiệm của nó đều có modul nhỏ hơnhoặc bằng 1, nghiệm có modul bằng 1 phải là nghiệm đơn

Định nghĩa 2.3 (Xem[7]) Phương pháp số (2.1) được gọi là zero - ổn địnhnếu đa thức đặc trưng thứ nhất thỏa mãn điều kiện nghiệm

Ví dụ 2.5 Phương pháp Adams 2 bước hiển

thỏa điều kiện (2.5) nên phương pháp trên phù hợp.

Ví dụ 2.8 Phương pháp Adams 2 bước

P2 j=0αj(2 − j) = 2 − 35 = P2

j=0βj = 25

thỏa điều kiện (2.5) nên phương pháp trên phù hợp

2.4 Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính đa bước

Theo định lý 1.2 thì phương pháp số (2.1) hội tụ khi và chỉ khi nó zero

⇒ Phương pháp Adams 2 bước zero ổn định

Ta có

(

α1 + α2 = 1

β0 = 1

thỏa mãn điều kiện (2.5) nên phương pháp trên phù hợp

Vậy phương pháp Adams 2 bước hội tụ

⇒ Phương pháp BDF 2 bước zero ổn định

Vậy phương pháp BDF 2 bước hội tụ.

2.5 Cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa

Vậy phương pháp BDF 2 bước có cấp chính xác là p = 2.

2.6 Các phương pháp Adams của phương pháp tuyến

Áp dụng công thức nội suy Newton lùi cho y′n+t := y′(xn+ th) ta được

y′n+t = yn′ +∇yn′

1! t +

∇2yn′2! t (t + 1) + +

∇kyn′k! t (t + 1) (t + k − 1) (2.7)

Vì y′n+t := y′(xn+ th) nên thay (2.7) vào (2.6) ta được

2 Một vài phương pháp Adams - Bashforth

Ví dụ 2.13 Phương pháp Adams - Bashforth 4 bước

nên phương pháp số trên là phù hợp.

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 4 bước hội tụ

Ví dụ 2.14 Phương pháp Adams - Bashforth 5 bước

suy ra phương pháp số trên là phù hợp.

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 5 bước hội tụ

Ví dụ 2.15 Phương pháp Adams - Bashforth 6 bước

suy ra phương pháp trên cũng phù hợp

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 6 bước hội tụ

3 Các phương pháp Adams - Bashforth bậc cao

* Với k = 9 ta cũng có phương pháp Adams - Bashforth 9 bước

1814400 f (xn−2, yn−2) −

69927631

1814400 f (xn−3, yn−3)+862303

22680 f (xn−4, yn−4) −

45586321

1814400 f (xn−5, yn−5)+19416743

suy ra phương pháp trên cũng phù hợp.

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 9 bước hội tụ

* Với k = 10 ta cũng tìm được phương pháp Adams - Bashforth 10 bước

181440 f (xn−2, yn−2) −

28416361

453600 f (xn−3, yn−3)+269181919

3628800 f (xn−4, yn−4) −

222386081

3628800 f (xn−5, yn−5)+15788639

Đa thức đặc trưng thứ hai

suy ra phương pháp trên cũng phù hợp

Vậy phương pháp Adams - Bashforth 10 bước hội tụ

* Với k = 11 ta cũng tìm được phương pháp Adams - Bashforth 11 bước

31933440 f (xn−2, yn−2) −

1921376209

19958400 f (xn−3, yn−3)+3539798831

26611200 f (xn−4, yn−4) −

82260679

623700 f (xn−5, yn−5)+2492064913

26611200 f (xn−6, yn−6) −

186080291

3991680 f (xn−7, yn−7)+2472634817

159667200 f (xn−8, yn−8) −

52841941

17107200f (xn−9, yn−9)26842253

∇kyn+1′k! (t − 1)t (t + k − 2) +

2 Một vài công thức Adams - Moulton

Ví dụ 2.16 Công thức Adams - Moulton 2 bước

suy ra phương pháp trên phù hợp.

Vậy phương pháp Adams - Moulton 2 bước hội tụ

Ví dụ 2.17 Công thức Adams - Moulton 3 bước

Vậy cấp chính xác của phương pháp Adams - Moulton 3 bước là p = 4

suy ra phương pháp trên phù hợp

Vậy phương pháp Adams - Moulton 3 bước hội tụ

3 Các phương pháp Adams - Moulton bậc cao

suy ra phương pháp trên phù hợp.

Vậy phương pháp Adams - Moulton 8 bước hội tụ

* Với k = 9 ta cũng tìm được công thức Adams - Moulton 9 bước

Ta có

ρ (t) = 0 ⇒ t9 − t8 = 0 ⇒ t1 = 0, t2 = 0, , t8 = 0, t9 = 1

ρ (t) thỏa mãn điều kiện nghiệm do đó phương pháp trên zero - ổn định Xét

suy ra phương pháp trên phù hợp

Vậy phương pháp Adams - Moulton 9 bước hội tụ

* Với k = 10 ta cũng tìm được công thức Adams - Moulton 10 bước

y′ = f (x, y), với y(x0) = y0, trong đó f (x, y) là một hàm đã cho và (x0, y0)

là điểm ban đầu Chúng ta sẽ tính toán giá trị xấp xỉ của y(x) tại các điểm

Trong đoạn [0,0.1] chia thành 2 phần bằng nhau bởi x˜1 khi đó

2 Một vài phương pháp Nystro¨m

a Phương pháp Nystro¨m 2 bước yn+1 = yn−1 + 2hf (xn, yn)

Phương pháp Nystro¨m 2 bước gọi là quy tắc trung điểm

b Phương pháp Nystro¨m 3 bước

yn+1 = yn−1+ h[2 + 0∇ + 1

3∇2]yn′

Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t2 − 1 có nghiệm t = −1, t = 1 nênthỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero - ổn định.

Phương pháp trung điểm có cấp chính xác p = 2 nên phù hợp

Vậy phương pháp trung điểm hội tụ

Ví dụ 2.19 Phương pháp Nystro¨m ba bước

Suy ra phương pháp Nystro¨m ba bước phù hợp

Vậy phương pháp Nystro¨m ba bước hội tụ

Ví dụ 2.20 Phương pháp Nystro¨m bốn bước

có 2 nghiệm đơn t = −1, t = 1 có môđun bằng 1, có 1 nghiệm kép t = 0

có môđun bằng 0 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero - ổnđịnh

Suy ra phương pháp Nystro¨m bốn bước phù hợp

Vậy phương pháp Nystro¨m bốn bước hội tụ

4 Cấp chính xác

Vì phương pháp Nystro¨m là phương pháp tuyến tính k bước nên ta có thểdùng định nghĩa hoặc dùng định lý để tính cấp chính xác của phương phápNystro¨m

Ví dụ 2.21 Phương pháp trung điểm

Vậy phương pháp trung điểm có cấp chính xác p = 2

Ví dụ 2.22 Phương pháp Nystro¨m ba bước

Vậy phương pháp Nystro¨m ba bước có cấp chính xác p = 3

Ví dụ 2.23 Phương pháp Nystro¨m bốn bước

Vậy phương pháp Nystro¨m bốn bước có cấp chính xác p = 4.

5 Ví dụ giải số phương pháp Nystro¨m 2 bước

Chúng ta sẽ giải một bài toán Cauchy bằng cách tính nghiệm y(x) tại cácđiểm x0, x1 = x0 + h, sử dụng các phương pháp số học như phương phápEuler và phương pháp Nystro¨m Bài toán Cauchy có dạng y′ = f (x, y), với

y(x0) = y0, trong đó f (x, y) là một hàm đã cho và (x0, y0) là điểm ban đầu.Chúng ta sẽ tính toán giá trị xấp xỉ của y(x) tại các điểm x1, x2, sử dụngcác phương pháp số học

Giả thiết



y′ = f (x, y) = x2 + y

Chia đoạn [0,1] thành 10 phần bằng nhau khi đó h = 0, 1

Trong đoạn [0,0.1] chia thành 2 phần bằng nhau bởi x˜1 khi đó

2 Một vài phương pháp Milne - Simpson

a Phương pháp Milne - Simpson 2 bước

= yn−1 + h

3[y

′ n+1+ 4yn′ + yn−1′ ]

= yn−1 + h

3[f (xn+1, yn+1) + 4f (xn, yn) + f (xn−1, yn−1)].

Phương pháp Milne - Simpson 2 bước gọi là phương pháp Simpson

b Phương pháp Milne - Simpson 4 bước

− 1

90(y

′ n+1− 4yn′ + 6yn−1′ − 4yn−2′ + yn−3′ )]

= yn−1 + h[29

90y

′ n+1+ 62

45y

′ n−2− 1

90y

′ n−3]

= yn−1 + h

90[29y

′ n+1+ 124yn′ + 24yn−1′ + 4yn−2′ − yn−3′ ]

90(y

′ n+1 − 4yn′ +6yn−1′ − 4yn−2′ + yn−3′ ) − 1

90(y

′ n+1 − 5yn′ + 10yn−1′ − 10yn−2′ + 5yn−3′ − yn−4′ )]

= yn−1 + h[14

45y

′ n+1+ 43

45y

′ n−2− 1

15y

′ n−3 + 1

90y

′ n−4]

= yn−1 + h

90[28y

′ n+1+ 129yn′ + 14yn−1′ + 14y′n−2− 6y′n−3+ y′n−4]

Phương pháp Milne - Simpson phù hợp.

Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t2 − 1 có nghiệm t = −1, t = 1 nên thỏamãn điều kiện nghiệm Suy ra có tính zero - ổn định

Vậy phương pháp Milne - Simpson hội tụ

Ví dụ 2.25 Phương pháp Milne - Simpson bốn bước

yn+1 = yn−1 + h

90[29f (xn+1, yn+1) + 124f (xn, yn) + 24f (xn−1, yn−1)+4f (xn−2, yn−2) − f (xn−3, yn−3)]

Chọn h = 0

⇒ ϕf(yn+1, , yn−3, xn−3, 0) = 1

90[29f (xn, yn) + 124f (xn, yn) + 24f (xn, yn)+4f (xn, yn) − f (xn, yn)]

Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(t) = t4 − t2 có hai nghiệm đơn t = −1, t = 1

và một nghiệm bội hai t = 0 nên thỏa mãn điều kiện nghiệm Suy ra có tínhzero - ổn định

Vậy phương pháp Milne - Simpson bốn bước hội tụ

4 Cấp chính xác

Vì phương pháp Milne - Simpson là phương pháp tuyến tính k bước nên ta

có thể dùng định nghĩa hoặc dùng định lý để tính cấp chính xác của phươngpháp Milne - Simpson

Ví dụ 2.26 Phương pháp Milne - Simpson 2 bước