Tìm hiểu về tính Ổn Định của một vài lớp phương trình vi phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÌM HIỂU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên hướng dẫnSinh viên thực hiệnLớp : TS.Nguyễn Hoàng Thành

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÌM HIỂU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giảng viên hướng dẫnSinh viên thực hiệnLớp

: TS.Nguyễn Hoàng Thành: Đồng Đắc Vũ

: 20ST2

Đà Nẵng - 2024

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÌM HIỂU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Giảng viên hướng dẫnSinh viên thực hiệnLớp

: TS.Nguyễn Hoàng Thành: Đồng Đắc Vũ

: 20ST2

Đà Nẵng - 2024

MỤC LỤC

1.1 Kiến thức cơ sở trong đại số tuyến tính 5

1.2 Kiến thức cơ sở trong giải tích 7

1.3 Phương trình vi phân 13

2 Tính ổn định 18 2.1 Bài toán ổn định Lyanpunov 18

2.2 Tính ổn định của hệ tuyến tính 20

2.3 Tính ổn định của hệ phi tuyến 31

2.3.1 Ổn định hệ tựa tuyến tính 31

2.3.2 Phương pháp hàm Lyapunov 33

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Nguyễn HoàngThành, người đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu, tận tình giúp đỡ, hướngdẫn em trong suốt quá trình, đã giúp em tiếp thu nhiều kiến thức bổ íchtrong quá trình hoàn thành khóa luận Đồng thời, em cũng xin gửi lời cảm

ơn đến thầy cô khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đãgiảng dạy cho em nền tảng kiến thức toán học cần thiết trong suốt quá trìnhhọc tập tại giảng đường Nhân dịp này, em cũng xin được gửi lời cảm onchân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, cổ vũ, động viên, giúp

đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, ngày 15 tháng 4 năm 2024

Sinh viên

Đồng Đắc Vũ

LỜI NÓI ĐẦU

Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết địnhtính của hệ động lực được bắt đầu từ cuối thế kỉ mười chín bằng những côngtrình xuất sắc của nhà toán học Nga A M Lyapunov Mỗi khi phân tích

và thiết kế các hệ thống kĩ thuật hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng cácphương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thốngđó

Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạngthái cân bằng nào đó nếu các nhiễu bé trong điều kiện ban đầu hoặc trongcấu trúc của hệ thống không làm cho hệ thống đó bị thay đổi quá nhiều sovới trạng thái cân bằng đó Cho đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu

và phát triển như một lý thuyết toán học độc lập có rất nhiều ứng dụng hữuhiệu trong kinh tế, khoa học và kĩ thuật Đặc biệt từ các năm 60 của thế kỉhai mươi, bằng sự ra đời của lý thuyết điều khiển, tính ổn định ngày càngđược quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào các mô hình điều khiển kĩ thuật

Bố cục của khóa luận này gồm ba chương

• Chương 1 của khóa luận trình bày những định nghĩa, khái niệm và định lí

cơ bản của đại số tuyến tính, giải tích hàm và phương trình vi phân

• Chương 2 của khóa luận giới thiệu bài toán ổn định Lyapunov, phươngpháp hàm Lyapunov, tính ổn định của hệ tuyến tính và phi tuyến tính

Do thời gian thực hiện khóa luận không được nhiều, kiến thức của bảnthân còn hạn chế nên khóa luận này không tránh khỏi nhiều sai sót Em rấtmong nhận được những góp ý và ý kiến phản biện của thầy cô và các bạn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Đà Nẵng, ngày 15 tháng 4 năm 2024

Sinh viên

Đồng Đắc Vũ

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Kiến thức cơ sở trong đại số tuyến tính

với các số thực aij ∈ R có m hàng và n cột, gọi là ma trận (n × m) chiều

Ma trận nhận được từ một ma trận A bằng việc đổi các dòng thành cáccột được gọi là ma trận chuẩn vị của A, kí hiệu là AT

Cho A là một ma trận vuông cấp n Một ma trận vuông B cấp n đượcgọi là ma trận nghịch đảo của A nếu

Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A được gọi là khả nghịch Ma trậnnghịch đảo của một ma trận khả nghịch A được kí hiệu là A−1

Một ma trận vuông A = (aij) được gọi là một ma trận đối xứng nếu

aij = aji với mọi chỉ số i, j Điều này có nghĩa là

AT = A

Ma trận Ađược gọi là không suy biến nếu |A| ̸= 0 Ngược lại, nếu |A| = 0

Tập S được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính,

có nghĩa là từ mọi quan hệ tuyến tính

Định lý 1.1 (Định lí Cayley - Hamilton)

Mọi ma trận A − (n × n) chiều đều là nghiệm của đa thức đặc trưng củanó:

p(A) = An + a1An−1 + + an−1A + anI ≡ 0.Cho ma trận A − (n × n) chiều, A = [aij], i, j = 1, 2, , n Chuẩn của matrận A xác định bởi

1!A +

12!A

Zk = (A − λ1I)(A − λ2I) (A − λk−1I)(A − λk+1I) (A − λnI)

iii d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với mọi x, y, z ∈ X.

Khi đó cặp (X, d) được gọi là một không gian metric

Cho {xn} là dãy trong không gian metric X Ta nói: {xn} là dãy Cauchynếu ∀ε > 0, ∃N ∈ N∗ sao cho d (xn, xm) < ε với mọi m, n ≥ N

Không gian metric X được gọi là đầy đủ với mọi dãy Cauchy trong X

đều hội tụ đến một điểm của X

Cho X là không gian metric, A ⊂ X Ta nói:

- A là tập mở nếu ∀x ∈ A đều là điểm trong của A

- A là lân cận của x nếu x là điểm trong của A

- Phần trong của A là tập tất cả các điểm trong của A

Kí hiệu: IntA

- A là tập hợp đóng nếu X \ A là tập mở

- Bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A

Kí hiệu: A

- A được là tập không đâu trù mật nếu IntA = ∅

- X được gọi là thuộc phàm trù thứ nhất nếu nó là hợp đếm được cáctập hợp không đâu trù mật, nghĩa là

Mỗi không gian vectơ E trên K là một tập hợp có hai phép toán:

- Phép cộng vectơ xác định cho mỗi cặp phần tử x, y ∈ E một phần tửthuộc E được kí hiệu là x + y Phép cộng nay thỏa mãn các điều kiện:

iii Tồn tại vectơ 0 có tính chất x + 0 = 0 + x = x với mọi vectơ x

iv Mọi vectơ x có vectơ đối −x với tính chất x + (−x) = 0

- Phép nhân vô hướng xác định cho mỗi cặp phần tử a ∈ K, x ∈ E mộtphần tử thuộc E được kí hiệu là ax Phép nhân này thỏa mãn các điều kiện:

iii ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ với mọi x, y ∈ E.

Khi đó cặp (E, ∥.∥) được gọi là không gian định chuẩn

Cho E là không gian định chuẩn Khi đó, nếu E cùng với metric sinhbởi chuẩn là một không gian metric đầy đủ, thì E được gọi là không gianBanach

Cho A là tập con của không gian metric X Khi đó, A được gọi là tậpcompact nếu với mọi {xn} ⊂ A, tồn tại dãy con {xnk} ⊂ {xn} mà {xnk} →

i ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩

ii ⟨x1 + x2, y⟩ = ⟨x1y⟩ + ⟨x2y⟩

iii ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩

⟨x, x⟩ = 0 khi và chỉ khi x = 0 và

⟨x, x⟩

Khi đó X được gọi là không gian Hilbert.

Cho X, Y là không gian Banach, A : X → Y là toán tử tuyến tính nếu

Y = R, toán tử A ∈ L(X, Y ) gọi là phiếm hàm tuyến tính liên tục

X là không gian Banach, X∗ kí hiệu không gian tôpô đối ngẫu của X,tức là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X; kí hiệu

là ⟨x∗, x⟩ hoặc x∗(x) ∈ X∗ tại x ∈ X

Định lý 1.4 (Định lí ánh xạ mở)

Một ánh xạ tuyến tính liên tục f từ một không gian Banach E lên mộtkhông gian Banach F là mở, tức là với mọi tập mở U ⊂ E, f (U ) là tập mởtrong F

Định lý 1.5 (Định lí Banach tách các tập lồi)

Giả sử M, N là các tập lồi trong không gian Banach X và M ∩ N = ∅

i Nếu Int M ̸= ∅, sẽ tồn tại x∗ ∈ X∗, x∗ ̸= ∅ và λ ∈ R sao cho

⟨x∗, x⟩ ≤ λ ≤ ⟨x∗, y⟩ với mọi x ∈ M, y ∈ N

ii Nếu M là compact, N là đóng thì tồn tại λ1, λ2 ∈ R, x∗ ∈ X∗, x∗ ̸= ∅,sao cho

⟨x∗, x⟩ ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ ⟨x∗, y⟩ với mọi x ∈ M, y ∈ N.

mọi dãy hội tụ yếu trong M đều có thể trích được dãy hội tụ con yếu cũngtrong M

tại 0 ∈ M, kí hiệu là con M, xác định bởi:

con M = {δx : ∀δ > 0, ∀x ∈ M }.Nón M+ gọi là nón cực dương ủa M xác định bởi:

M+ = {x∗ ∈ X∗ : ⟨x∗, x⟩ ≥ 0, ∀x ∈ M }.Định lý 1.6 (Định lí Krein - Rutman)

Cho M là nón lồi trong không gian Banach vô hạn chiều, Int M ̸= ∅

Cho họ các toán tử tuyến tính liên tục tự giao hoán{Ai}i∈N ∈ L(X, X), AiAj =

AjAi, trong đó N là tập hữu hạn hoặc đếm được, có tính chất sau:

i Ai ( Int M) ⊂ Int M, với mọi i ∈ N.

Khi đó tồn tại phiếm hàm f∗ ∈ M+ ⊂ X∗ là vectơ riêng chung của

{A∗i}i∈N sao cho

ii x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.2)

Giả sử f (t, x) liên tục trên I × D, khi đó nghiệm x(t) cho bởi dạng tíchphân sau:

x(t) = x0 +

Z t

t 0

f (s, x(s))ds.Định lý 1.7 (Định lí Caratheodory)

Giả sử f (t, x) là hàm đo được theo t ∈ I và liên tục theo x ∈ D Nếu tồntại hàm khả tích m(t) trên (t0, t0 + b) sao cho

∥f (t, x)∥ ≤ m(t), ∀(t, x) ∈ I × D.Khi đó hệ (1.2) có nghiệm trên khoảng [t0, t0 + β] nào đó

Định lí Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứ không duynhất.

Đối với hệ tuyến tính

Định lý 1.8.

i Mọi nghiệm của hệ (1.4) với x(t0) = x0 là

ii Nếu p(t ∈ Rn) là nghiệm của hệ liên hợp (1.7) và Φ(t, s) là ma trậnnghiệm cơ bản của hệ (1.6) thì ta có hệ thức sau:

˙Φ(t, s)p(t) = p(s) với mọi t ≥ s ≥ 0

với mọi t ≥ t0.Cho X là không gian Banach A : X 7→ X, với mỗi t ≥ 0 cho g(t) là hàmliên tục theo t Xét phương trình vi phân trong không gian vô hạn chiều như

và khi đó nghiệm của hệ (1.8) được xác định bởi công thức tương tự (1.4).Trường hợp hệ (1.8) là không dừng:

Trong đó với mỗi t, A(t) là toán tử ánh xạ X vào X, nghiệm cơ bản của

hệ (1.9) với x(t0) = x0 sẽ được biểu diễn qua toán tử nghiệm cơ bản Φ(t, s)





˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rn

thì nghiệm cho bởi

x(t) = Φ(t, t0)x0 +

Z t

t 0

Φ(t, s)B(s)u(s)ds

CHƯƠNG2 TÍNH ỔN ĐỊNH

2.1 Bài toán ổn định Lyanpunov

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân

ˆ x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ

ˆ f : R+×Rn →Rn là hàm vectơ cho trước

Giả thiết f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bàitoán hệ Cauchy hệ (2.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0 ≥ 0 luôn cónghiệm Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi

x(t) = x0 +

Z t

t0

f (s, x(s)) ds.Định nghĩa 2.1 (Xem [2] và [4])

Nghiệm x(t) của hệ (2.1) được gọi là ổn định với mọi ε > 0, t0 > 0, tồntại δ > 0 (phụ thuộc vào ε, t0) sao cho bất kì nghiệm y(t), y(t0) = y0 của hệthỏa mãn ∥y0 − x0∥ < δ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức

∥y(t) − x(t)∥ < ε, ∀t ≥ t0

Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có giátrị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trong suốtthời gian t ≥ t0

Định nghĩa 2.2 (Xem [4])

Nghiệm x(t) của hệ (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định

và có một số δ > 0 sao cho với ∥y0 − x0∥ < δ thì

lim

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm

y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu của x0 sẽ tiến gần

x(t) khi t tiến tới vô cùng

Nếu số δ > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian banđầu t0, thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) được gọi là ổn định đều (ổnđịnh tiệm cận đều).

Hệ (2.3) được gọi là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả cácgiá trị riêng của A là âm

Chứng minh: Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester (Định

* αk là chỉ số mũ bội của các λk trong phương trình đa thức đặc trưng của

Vì Reλk < 0 nên ∥x(t)∥ → 0 khi t → +∞ Ngược lại, nếu hệ là ổn định

mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t0) = x0 của hệ (2.3) thỏa mãn điều kiện

Với µ > 0, δ > 0 Bây giờ ta giả sử phản chứng rằng có một λ0 ∈ λ(A)

sao cho Reλ0 ≥ 0 Khi đó với vectơ riêng x0 ứng với λ0 ta có

Ax0 = λ0x0

Và khi đó nghiệm của hệ với x(t0) = x0 là x0(0) = x0eλ0 t, lúc đó ta có

∥x0(t)∥ = ∥x0∥eReλ 0 t.Vậy nghiệm x0(t) → +∞ khi t → +∞ Vô lý với điều kiện (2.4) Định líđược chứng minh

Ví dụ 2.3 Xét tính ổn định hệ

= 0

Vậy A có các trị riêng là λ = −4

Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận

Định lý 2.2 (Dấu hiệu Routh-Hurwitz) (Xem [4])

Giả sử đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân x(n)+ a1x(n−1)+ +

an−1˙x + anx đã cho là

f (z) = zn+ a1zn−1 + + an.Khi đó nếu định thức tất cả các ma trận con Dk, k = 1, 2, , n là dương thìphần thực của tất cả các nghiệm của f (z) là âm, nghĩa là hệ đã cho là ổnđịnh tiệm cận, trong đó

detD1 = a1, detD2 = det

4 2

1 3

= 4 > 0

detD4 =

Ta có

detD1 = 1 > 0

detD2 =

3 4

1 2