ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÌM HIỂU VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên hướng dẫnSinh viên thực hiệnLớp : TS.Nguyễn Hoàng Thành
Kiến thức cơ sở trong đại số tuyến tính
;i = 1,2, , m;j = 1,2, , n; với các số thực a ij ∈ R có m hàng và n cột, gọi là ma trận (n×m) chiều.
Ma trận nhận được từ một ma trận A bằng việc đổi các dòng thành các cột được gọi là ma trận chuẩn vị của A, kí hiệu là A T
Cho A là một ma trận vuông cấp n Một ma trận vuông B cấp n được gọi là ma trận nghịch đảo của A nếu
Nếu A có ma trận nghịch đảo thì A được gọi là khả nghịch Ma trận nghịch đảo của một ma trận khả nghịch A được kí hiệu là A −1
Một ma trận vuông A = (a ij ) được gọi là một ma trận đối xứng nếu a ij = a ji với mọi chỉ số i, j Điều này có nghĩa là
Ma trận Ađược gọi là không suy biến nếu |A| ̸= 0 Ngược lại, nếu |A| = 0 thì ma trận A là suy biến.
Cấp cực đại của các định thức con khác không của A được gọi là hạng của A và được kí hiệu là rankA.
Cho K là trường E là một không gian vectơ trên K và S là một tập hợp con của E Một ràng buộc a 1 x 1 + + a n x n = 0 với a i ∈ K và x i ∈
Tập hợp S (i = 1, 2, , n) được xem là một quan hệ tuyến tính Quan hệ này được coi là không tầm thường nếu tồn tại ít nhất một hệ số a_i khác 0 Nếu S có một quan hệ tuyến tính không tầm thường, thì tập S được gọi là phụ thuộc tuyến tính.
Tập S được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính, có nghĩa là từ mọi quan hệ tuyến tính a 1 x 1 + + a n x n = 0 (1.1)
Với x i ∈ S ta suy ra được a i = 0 với mọi i = 1,2, , n Tập ∅ cũng được coi là độc lập tuyến tính.
Ma trận vuông cấp n, được ký hiệu là A, có một giá trị riêng c ∈ K nếu tồn tại một vectơ khác không x ∈ K^n thỏa mãn phương trình Ax = cx Vectơ x này được gọi là vectơ riêng của ma trận A Theo định lý Cayley - Hamilton, ma trận A thỏa mãn phương trình đặc trưng của chính nó.
Mọi ma trận A−(n×n) chiều đều là nghiệm của đa thức đặc trưng của nó: p(A) =A n +a 1 A n−1 + +a n−1 A+a n I ≡0.Cho ma trận A−(n×n) chiều, A = [a ij ], i, j = 1,2, , n Chuẩn của ma trận A xác định bởi
Xét mỗi chuỗi lũy thừa hội tụ trên D ⊂ R là
X k=0 c k λ k có tổng là f(λ). Khi đó với A là một ma trận vuông thì f(A) được định nghĩa là f(A) ∞
X k=0 c k A k Chẳng hạn, nếu f(λ) = e λ , ta có e A = 1 + 1
2!A 2 + + 1 n!A n + Định lý 1.2 (Công thức Sylvester)
Cho A là ma trận (n ×n) chiều với các giá trị riêng λ 1 , λ 2 , , λ n khác nhau Cho f(λ) là đa thức bậc n nào đó dạng f(λ) n
Trong đó Z k xác định bởi
Kiến thức cơ sở trong giải tích
Cho X ̸= ∅ và d(x, y) : X ×X 7→R thỏa mãn: i d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X. d(x, y) = 0 ⇔ x = y. ii d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X. iii d(x, y) ≤ d(x, z) +d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Khi đó cặp (X, d) được gọi là một không gian metric.
Cho {x n } là dãy trong không gian metric X Ta nói: {x n } là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0,∃N ∈ N ∗ sao cho d(x n , x m ) < ε với mọi m, n ≥ N.
Không gian metric X được gọi là đầy đủ với mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ đến một điểm của X.
Cho X là không gian metric, A⊂ X Ta nói:
- A là tập mở nếu ∀x ∈ A đều là điểm trong của A.
- A là lân cận của x nếu x là điểm trong của A.
- Phần trong của A là tập tất cả các điểm trong của A.
- A là tập hợp đóng nếu X \A là tập mở.
- Bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A.
- A được là tập không đâu trù mật nếu IntA = ∅.
- X được gọi là thuộc phàm trù thứ nhất nếu nó là hợp đếm được các tập hợp không đâu trù mật, nghĩa là
- X được gọi là thuộc phạm trù thứ hai nếu X không thuộc phạm trù thứ nhất. Định lý 1.3 (Định lí phạm trù Baire)
Mỗi không gian metric đầy đủ thuộc phạm trù thứ hai, nghĩa là, nếu X là không gian metric đầy đủ và
Mỗi không gian vectơ E trên K là một tập hợp có hai phép toán:
Phép cộng vectơ là một phép toán xác định cho mỗi cặp phần tử x, y ∈ E, cho ra một phần tử thuộc E, ký hiệu là x+y Phép cộng này tuân theo các quy tắc sau: (i) tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+ (y +z); (ii) tính chất giao hoán: x+ y = y +x; (iii) tồn tại vectơ 0, với tính chất x+ 0 = 0 +x = x cho mọi vectơ x; và (iv) mỗi vectơ x có vectơ đối −x, với tính chất x+ (−x) = 0.
Phép nhân vô hướng là một phép toán xác định cho mỗi cặp phần tử a ∈ K và x ∈ E, cho ra một phần tử thuộc E, ký hiệu là ax Phép nhân này tuân theo các điều kiện sau: Thứ nhất, phép nhân có tính chất kết hợp, tức là (ab)x = a(bx) Thứ hai, phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng, thể hiện qua (a+b)x = ax + bx Thứ ba, phép nhân cũng có tính chất phân phối đối với phép cộng trong phần tử thứ hai, cụ thể là a(x+y) = ax + ay Cuối cùng, phần tử đơn vị 1 có vai trò giữ nguyên phần tử x, tức là 1x = x.
Trong đó a, b là những phần tử tùy ý và 1 là phần tử đơn vị của K. Cho E là một không gian vectơ và hàm ∥.∥ : E 7→R thỏa mãn: i ∥x∥ ≥ 0 với mọi x ∈ E.
∥x∥ = 0 ⇔ x= 0. ii ∥αx∥ = α∥x∥ với mọi α ∈ K với mọi x ∈ E (K = R,C). iii ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥ với mọi x, y ∈ E.
Khi đó cặp (E,∥.∥) được gọi là không gian định chuẩn.
Cho E là không gian định chuẩn Khi đó, nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn là một không gian metric đầy đủ, thì E được gọi là không gian Banach.
Cho A là tập con của không gian metric X Khi đó, A được gọi là tập compact nếu với mọi {x n } ⊂ A, tồn tại dãy con {x n k } ⊂ {x n } mà {x n k } → x 0 ∈ A.
Tập A ⊂ X gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ A và λ ∈ [0; 1] thì λx+ (1−λ)y ∈ M. Ánh xạ f(x) : X → Y gọi là liên tục tại x 0 nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ >0 sao cho d(f(x), f(x 0 )) < ε với mọi x ∈ X.
Nếu X là không gian Banach trong đó trang bị một hàm tích vô hướng
⟨., ⟩ : X ×X →R thỏa mãn: i ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩. ii ⟨x 1 +x 2 , y⟩ = ⟨x 1 y⟩+ ⟨x 2 y⟩. iii ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩. iv ⟨x, x⟩ ≥ 0
⟨x, x⟩ = 0 khi và chỉ khi x = 0 và
Khi đó X được gọi là không gian Hilbert.
Cho X, Y là không gian Banach, A : X →Y là toán tử tuyến tính nếu
Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính liên tục kí hiệu là L(X, Y) sẽ là một không gian Banach với chuẩn là
A ∈ L(X, Y) gọi là ánh xạ mở nếu A(V) là tập mở với V là tập mở Khi
Y = R, toán tử A ∈ L(X, Y) gọi là phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Không gian Banach X có không gian tôpô đối ngẫu X ∗, bao gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X, được ký hiệu là ⟨x ∗ , x⟩ hoặc x ∗ (x) ∈ X ∗ tại x ∈ X Định lý 1.4, hay còn gọi là định lý ánh xạ mở, là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực này.
Một ánh xạ tuyến tính liên tục f từ không gian Banach E đến không gian Banach F được coi là mở, nghĩa là với mọi tập mở U thuộc E, hình ảnh f(U) sẽ là tập mở trong F Định lý 1.5, hay còn gọi là định lý Banach, khẳng định rằng các tập lồi có thể được tách rời trong không gian Banach.
Giả sử M, N là các tập lồi trong không gian Banach X và M ∩ N = ∅. i Nếu Int M ̸= ∅, sẽ tồn tại x ∗ ∈ X ∗ , x ∗ ̸= ∅ và λ ∈ R sao cho
⟨x ∗ , x⟩ ≤ λ ≤ ⟨x ∗ , y⟩ với mọi x ∈ M, y ∈ N. ii Nếu M là compact, N là đóng thì tồn tại λ 1 , λ 2 ∈ R, x ∗ ∈ X ∗ , x ∗ ̸= ∅,sao cho
Tập M ⊂ X ∗ được gọi là compact yếu khi nó là compact trong tôpô yếu, nghĩa là mọi dãy hội tụ yếu trong M đều tồn tại một dãy hội tụ con yếu cũng thuộc M.
Cho M ⊂ X, bao lồi của M, kí hiệu là conv M là tập lồi nhỏ nhất chứa
Bao tuyến tính của M, kí hiệu sp M là không gian nhỏ nhất sinh bởi M, hay là sp M ( y n
Tập M ⊂ X gọi là nón nếu λM ⊂ M, với mọi λ > 0 Nón sinh của M tại 0 ∈ M, kí hiệu là con M, xác định bởi: con M = {δx :∀δ > 0,∀x ∈ M}. Nón M + gọi là nón cực dương ủa M xác định bởi:
M + = {x ∗ ∈ X ∗ :⟨x ∗ , x⟩ ≥ 0,∀x ∈ M}. Định lý 1.6 (Định lí Krein - Rutman).
Cho M là nón lồi trong không gian Banach vô hạn chiều, Int M ̸= ∅.
Cho họ các toán tử tuyến tính liên tục tự giao hoán{A i } i∈
N ∈ L(X, X), AiAj A j A i , trong đó N là tập hữu hạn hoặc đếm được, có tính chất sau: i A i (Int M) ⊂ Int M, với mọi i ∈ N. ii M ̸= X.
Khi đó tồn tại phiếm hàm f ∗ ∈ M + ⊂ X ∗ là vectơ riêng chung của
Phương trình vi phân
Xét phương trình vi phân:
Nghiệm x(t) của phương trình vi phân (1.2) sẽ là hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: i (t, t(t)) ∈ X ×D. ii x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.2).
Giả sử f(t, x) liên tục trên I ×D, khi đó nghiệm x(t) cho bởi dạng tích phân sau: x(t) = x 0 +
Z t t 0 f(s, x(s))ds. Định lý 1.7 (Định lí Caratheodory)
Giả sử f(t, x) là hàm đo được theo t ∈ I và liên tục theo x ∈ D Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên (t0, t0 +b) sao cho
∥f(t, x)∥ ≤ m(t), ∀(t, x) ∈ I ×D.Khi đó hệ (1.2) có nghiệm trên khoảng [t 0 , t 0 +β] nào đó. Định lí Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứ không duy nhất. Đối với hệ tuyến tính
Trong đó A là ma trận hằng số, g(t) : [0; +∞) →R n là hàm khả tích, thì hệ (1.3) luôn có nghiệm (duy nhất) cho bởi công thức Cauchy sau: x(t) = e A(t−t 0 ) +
Trường hợp đối với hệ không dừng
Trong đó giả thiết A(t) là hàm đo được (hoặc liên tục theo t) và
Nếu m(t) và g(t) đều là các hàm khả tích, thì hệ phương trình (1.5) sẽ có nghiệm duy nhất Tuy nhiên, nghiệm của hệ này không thể biểu diễn theo công thức nghiệm Cauchy (1.4), mà được xác định thông qua ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) của hệ thuần nhất ˙x = A(t)x (1.6) Nghiệm của hệ (1.5) được biểu diễn dưới dạng x(t) = Φ(t, t0) +
Z t t 0 Φ(t, s)g(s)ds.Trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.6) thỏa mãn phương trình ma trận
Cho ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s) của hệ thuần nhất (1.6), mọi nghiệm của hệ (1.4) với điều kiện x(t0) = x0 được biểu diễn dưới dạng x(t) = Φ(t, t0)x0 Nếu Φ1(t, t0) là một ma trận nghiệm cơ bản khác của hệ (1.6), thì có thể viết Φ(t, t0) = Φ1(t, t0)C với t ≥ t0.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét ma trận hằng số C và mối liên hệ của nó với ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, t₀) Cụ thể, nếu C là ma trận hằng số, thì Φ(t, t₀) cũng sẽ là ma trận nghiệm cơ bản Tiếp theo, chúng ta phân tích hệ phương trình liên hợp được mô tả bởi phương trình ˙x(t) = −A(x)x, với t ≥ 0 Đặt F(t, s) là ma trận cơ bản của hệ liên hợp này Theo Định lý 1.9, nếu Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.6), thì nó sẽ có những đặc điểm quan trọng trong việc giải quyết các phương trình liên hợp.
Nếu p(t ∈ R n ) là nghiệm của hệ liên hợp (1.7) và Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ (1.6), thì có hệ thức Φ(t, s)p(t) =˙ p(s) áp dụng cho mọi t ≥ s ≥ 0 Đây là nội dung của Định lý 1.10, được biết đến với tên gọi Bất đẳng thức Gronwall.
Giả sử u(t), a(t) là hai hàm không âm, liên tục trên [t 0 ; +∞) Giả sử u(t) ≤ C +
Z t t 0 a(s)u(s)ds với mọi t ≥t 0 ≥ 0. Trong đó C là hằng số không âm Khi đó nghiệm đúng bất đẳng thức sau u(t) ≤ Ce
Cho X là không gian Banach A :X 7→X, với mỗi t ≥0 cho g(t) là hàm liên tục theo t Xét phương trình vi phân trong không gian vô hạn chiều như sau:
GọiS(t), t ≥ 0là nửa nhóm liên tục sinh bởiA, khi đó với mọix 0 ∈ D(A), nghiệm của hệ (1.8) sẽ được cho bởi công thức Cauchy: x(t) =S(t−t0)x0 +
Nếu A là toán tử tuyến tính giới nội, thì S(t) được xác định bởi S(t) = e At, và nghiệm của hệ (1.8) tương tự như công thức (1.4) Đối với hệ không dừng (1.9), phương trình được biểu diễn là ˙ x(t) = A(t)x(t) + g(t), với t ≥ 0, trong đó A(t) là toán tử ánh xạ X vào X Nghiệm cơ bản của hệ (1.9) với điều kiện x(t0) = x0 sẽ được biểu diễn qua toán tử nghiệm cơ bản Φ(t, s) của hệ thuần nhất.
Xét hệ điều khiển phi tuyến dạng:
Trong đó, u(t) là hàm đo được và khả tích, với giả định rằng hàm f(t, x, u) đáp ứng các điều kiện của định lý Caratheodory, đảm bảo hệ có nghiệm Nghiệm của hệ (1.11) có thể được biểu diễn dưới dạng: x(t) = x 0 +.
Khi hệ (1.11) là hệ tuyến tính dừng dạng
˙ x = Ax+Bu, t ≥ 0 x(t 0 ) = x 0 Thì nghiệm được xác định bởi x(t) = S(t−t 0 )x 0 +
Còn đối với hệ (1.11) là hệ tuyến tính không dừng
Bài toán ổn định Lyanpunov
Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân
Trong đó, x(t) ∈ R n là vectơ trạng thái của hệ. f : R + ×R n →R n là hàm vectơ cho trước.
Giả thiết f(t, x) là hàm thỏa mãn điều kiện để đảm bảo hệ Cauchy với điều kiện ban đầu x(t₀) = x₀, t₀ ≥ 0 luôn có nghiệm Do đó, nghiệm của hệ được biểu diễn dưới dạng tích phân là x(t) = x₀ +.
Z t t 0 f (s, x(s))ds. Định nghĩa 2.1 (Xem [2] và [4])
Nghiệm x(t) của hệ (2.1) được coi là ổn định khi với mọi ε > 0 và t0 > 0, tồn tại một δ > 0 phụ thuộc vào ε và t0 Điều này có nghĩa là nếu bất kỳ nghiệm y(t) nào thỏa mãn điều kiện y(t0) = y0 và ∥y0 − x0∥ < δ, thì nghiệm y(t) sẽ thỏa mãn bất đẳng thức liên quan.
Nghiệm x(t) được coi là ổn định khi mọi nghiệm khác trong hệ, với giá trị ban đầu gần với x(t), vẫn duy trì khoảng cách gần trong suốt thời gian t ≥ t0.
Nghiệm x(t) của hệ (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một số δ > 0 sao cho với ∥y 0 −x 0 ∥ < δ thì t→∞lim ∥y(t)−x(t)∥ = 0.
Nghiệm x(t) được coi là ổn định tiệm cận khi nó duy trì tính ổn định, và mọi nghiệm y(t) khác với giá trị ban đầu y0 gần với x0 sẽ tiến gần đến x(t) khi thời gian t tiến tới vô cùng.
Bằng phép biến đổi (x−y) → z,(t−t0) → τ hệ phương trình (2.1) sẽ đưa về dạng ˙ z = F(τ, z) (2.2)
Sự ổn định của nghiệm x(t) trong hệ (2.1) được nghiên cứu thông qua tính ổn định của nghiệm 0 của hệ này, với điều kiện F(τ,0) = 0 Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ gọi hệ (2.1) là ổn định thay vì nói về nghiệm.
0 của hệ là ổn định.
Từ bây giờ, ta xét hệ (2.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, nghĩa là f(t,0) 0, t ∈ R + Ta nói
- Hệ (2.1) là ổn định nếu với mọi ε > 0, t 0 ∈ R + , tồn tại δ > 0 (phụ thuộc vào ε, t0) sao cho bất kì nghiệm x(t) : x(t0) = x0 thỏa mãn ∥x 0 ∥ < δ thì ∥x(t)∥ < ε,∀t ≥ t0.
- Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số δ > 0 sao cho nếu ∥x 0 ∥ < δ thì t→∞lim |x(t)| = 0.
Nếu số δ > 0 trong các định nghĩa không phụ thuộc vào thời gian ban đầu t0, thì tính ổn định được gọi là ổn định đều.
Hệ (2.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (2.1) với x(t0) = x0 thỏa mãn
Tính ổn định của hệ tuyến tính
Xét hệ tuyến tính ˙ x= Ax(t), t ≥0 (2.3)
Trong đó A là ma trận cấp (n×n) Nghiệm của hệ (2.3) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t 0 ) cho bởi x(t) = x 0 e A(t−t 0 ) , t ≥ 0. Định lý 2.1 (Tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov) (Xem [4])
Hệ (2.3) được gọi là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm.
Chứng minh: Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester (Định lí 1.2) áp dụng cho f(λ) =e λ , ta có: e At q
* λ k là các giá trị riêng của A.
* αk là chỉ số mũ bội của các λk trong phương trình đa thức đặc trưng của
* Z k i là các ma trận hằng số xác định bởi dạng (1.5).
Do đó ta có đánh giá sau:
Vì Reλk < 0 nên ∥x(t)∥ → 0 khi t → +∞ Ngược lại, nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t 0 ) = x 0 của hệ (2.3) thỏa mãn điều kiện
Với à > 0, δ > 0 Bõy giờ ta giả sử phản chứng rằng cú một λ 0 ∈ λ(A) sao cho Reλ 0 ≥ 0 Khi đó với vectơ riêng x 0 ứng với λ 0 ta có
Và khi đó nghiệm của hệ với x(t 0 ) = x 0 là x 0 (0) = x 0 e λ 0 t , lúc đó ta có
Vậy nghiệm x 0 (t) →+∞ khi t →+∞ Vô lý với điều kiện (2.4) Định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.1 Xét tính ổn định hệ
Xét phương trình đặc trưng của A:
Vậy A có các trị riêng là λ1 = −8, λ 2 = 4.
Vậy hệ không ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.2 Xét tính ổn định hệ
Xét phương trình đặc trưng của A:
Vậy A có các trị riêng là λ1 = −1−2√
2i. Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.3 Xét tính ổn định hệ
Xét phương trình đặc trưng của A:
Vậy A có các trị riêng là λ = −4.
Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận. Định lý 2.2 (Dấu hiệu Routh-Hurwitz) (Xem [4])
Giả sử đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân x (n) +a 1 x (n−1) + + a n−1 x˙ +a n x đã cho là f(z) = z n +a 1 z n−1 + + a n
Nếu định thức của tất cả các ma trận con D_k (k = 1, 2, , n) là dương, thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) sẽ là âm Điều này cho thấy hệ thống đã cho là ổn định tiệm cận, với detD1 = a1 và detD2 = det.
Ví dụ 2.4 Xét tính ổn định của phương trình vi phân x (4) + 4x (3) + 3x (2) + 2 ˙x+x = 0
Ta có phương trình đa thức đặc trưng là λ 4 + 4λ 3 + 3λ 2 + 2λ+ 1 = 0
Hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.5 Xét tính ổn định của phương trình vi phân x (3) + 3x (2) + 2 ˙x+ 4x = 0
Ta có phương trình đa thức đặc trưng là λ 3 + 3λ 2 + 2λ+ 4 = 0
Hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.6 Xét tính ổn định của phương trình vi phân x (3) + 4x (2) + 2 ˙x+ 6x = 0
Ta có phương trình đa thức đặc trưng là λ 3 + 4λ 2 + 2λ+ 6 = 0
Hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Tính ổn định của hệ tuyến tính dừng tương đương với sự tồn tại nghiệm của phương trình ma trận, được gọi là phương trình Lyapunov dạng.
Trong đó phương trình (2.5) gọi là phương trình Lyapunov (LE) và X, Y là các ma trận cấp (n×n) và được gọi là cặp nghiệm của (LE). Định lý 2.3 (Xem [4])
Ma trận A được xem là ổn định nếu và chỉ nếu với mọi ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng xác định dương X.
Giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X >0 với Y > 0 Với x(t) là một nghiệm tùy ý của hệ (2.3) với x(t0) =x0, t0 ∈ R + , ta xét hàm số
Ta có d dtV (x(t)) = ⟨Xx, x⟩˙ +⟨Xx,x⟩˙
Vì x xác định dương nên V (x(t)) ≥ 0,∀t≥ t 0 và do đó
Mặt khác, vì Y là xác định dương nên ∃α > 0 sao cho
Ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0 ∀λ ∈ λ(A).
Thật vậy, giả sử có một số λ 0 ∈ λ(A) mà Reλ 0 ≥ 0.
Lấy x 0 ∈ R n ứng với trị riêng λ 0 này thì nghiệm của hệ (2.3) sẽ được cho bởi x1(t) =e λ 0 t x0 và do đó
Vì Reλ > 0, vô lý với điều kiện (2.6).
Ngược lại, giả sử A ổn định, nghĩa là Reλ 0. Khi đó hệ là ổn định tiệm cận với a > 0 đủ nhỏ.
Chứng minh: Viết phương trình (2.8) dưới dạng ˙ x(t) =Ax(t) +C(t)x(t), t≥ 0.
Do đó nghiệm của hệ với x(t 0 ) = x 0 cho bởi x(t) = e A(t−t 0 ) +
Vì A là ma trận ổn định, theo định lí 1.1, hệ x ′ = Ax là ổn định mũ, do đó theo định nghĩa, sẽ cú một số à > 0, δ > 0 sao cho e At ≤àe −δt , ∀t≥ 0.
Z t t 0 àe −δ(s−t 0 ) a∥x(s)∥ds. Đặt u(t) =e δ(t−t 0 ) ∥x(t)∥, C = à∥x 0 ∥, a(t) =àa. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân, ta có e δ(t−t 0 ) ∥x(t)∥ ≤ à∥x 0 ∥e àa(t−t 0 ) ∀t ≥t0.
Chọn a < δ à, khi đú hệ sẽ là ổn định tiệm cận. Định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.7 Xét hệ phương trình vi phân
A là ma trận ổn định vì λ(A) = −1
2. Nên hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.8 Xét hệ phương trình vi phân
A là ma trận ổn định vì λ(A) = −3−√
3.Nên hệ là ổn định tiệm cận.
Tính ổn định của hệ phi tuyến
Ổn định hệ tựa tuyến tính
Xét hệ phương trình vi phân ˙ x(t) = f(t, x(t)), t≥ 0 (2.9)
Hàm f(t, x) : R + × R n → R n là hàm phi tuyến với điều kiện f(t, 0) = 0 cho mọi t ∈ R + Chúng ta giả thiết rằng các điều kiện trên f(.) đảm bảo rằng hệ (2.9) luôn có nghiệm x(t) với x(t 0 ) = x 0, t 0 ≥ 0 Định lý 2.5 cung cấp điều kiện đủ để hệ (2.9) đạt được sự ổn định tiệm cận khi hàm vế phải f(t, x) có thể được phân tích thành tổng của một ma trận hằng và một nhiễu phi tuyến đủ nhỏ.
Xét hệ (2.9) trong đó f(t, x) = A+g(x) giả sử A là ma trận ổn định và g(x) =o(∥x∥) thì hệ là ổn định tiệm cận.
Nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ (2.9) với f(x, t) = A+g(x) bởi x(t) = e A(t−t 0 ) +
Vì A là ma trận ổn định nến có K >0, δ > 0 sao cho e At ≤ Ke −δt ∀t ≥ 0.
Ta có đánh giá nghiệm sau đây
∥x∥ = 0. nên mọi ε > 0 cho trước nào đó, tồn tại δ 1 > 0 sao cho với ∥x(t)∥ < δ 1 ta có
Ke −δ(t−s) ε(∥(x(s))∥)ds. Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta nhận được đánh giá
K thì ∥x(t)∥ tiến tới 0 khi t → ∞ hay là hệ ổn định tiệm cận. Định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.9 Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân
Vì A là ma trận ổn định và
Do đó hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.10 Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân
Vì A là ma trận ổn định và
Do đó hệ là ổn định tiệm cận.
Phương pháp hàm Lyapunov
Xét hệ phương trình cho hệ phi tuyến dừng ˙ x = f(x), f(0) = 0, t ∈ R + (2.10)Cho hàm V(x) : R n →R Hàm V(x) được gọi là xác định dương nếu a V(x) ≥0,∀x ∈ R n b V(x) = 0 ⇔ x = 0. Định nghĩa 2.4 (Xem [4])
Cho hàm V : D →R, D ⊆ R n là lân cận mở tùy ý của 0 Hàm V(x) được gọi là hàm Lyapunov của hệ (2.10) nếu a V(x) là hàm khả vi liên tục trên D. b V(x) là hàm xác định dương. c D f V(x) := ∂V
∂xf(x) ≤0,∀x ∈ D. Hàm V(x) được gọi là hàm Lyapunov chặt nếu
Để hệ (2.10) ổn định tiệm cận, cần có một hằng số c > 0 sao cho D f V(x) ≤ −c∥x∥ < 0 với x thuộc D \ {x} Định lý 2.6 cung cấp điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại của hàm Lyapunov.
Nếu hệ (2.10) có hàm Lyapunov thì ổn định Hơn nữa, nếu hàm Lyapunov đó chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh Hệ là ổn định: Lấy tùy ý ε > 0, chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho Vε(0)⊆ D Với mỗi số k > 0 xây dựng các tập Dk sau đây
Trong trường hợp này, D_k là các tập mở do hàm V(.) liên tục và bất đẳng thức trên là chặt Vì 0 thuộc D_k, nên 0 cũng nằm trong int D_k Thêm vào đó, nhờ tính liên tục của hàm V(.) và việc V(0) = 0, tồn tại một số k_0 > 0 đủ nhỏ để đảm bảo điều kiện cần thiết.
Lúc này ta sẽ chọn δ > 0 nhỏ sao cho V δ (0) ⊆ D k điều này làm được vì
0∈ Int D k Bây giờ lấy bất kì x 0 ∈ V δ (0).
Xét nghiệm x(t) của hệ (2.10) với x(t0) = x0, vì theo giả thiết V(.) là hàm Lyapunov nên d dtV(x(t)) ≤ 0. Tích phân hai vế từ t 0 đến t ta có
Z t t 0 d dtV(x(t)) = V(x(t))−V(x 0 ) ≤ 0. Suy ra V(x 0 ) ≥ V(x(t)), với mọi t ≥ t 0 Mặt khác vì x0 ∈ Vδ(0) ⊆ Dk 0 nên V(x 0 ) < k 0 và do đó V(x(t)) < k 0 Vậy x(t) ∈ D k ⊆ V ε (0).
Hay là hệ đã cho ổn đinh.
Hệ là ổn định tiệm cận: Ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm x(t) của hệ tiến tới 0 khi t → +∞ Vì V(.) là hàm Lyapunov chặt, mọi nghiệm x(t) sẽ thỏa mãn d dtV(x) ≤ −c∥x∥, c > 0, ∀x ∈ D\ {0} (2.11)
Vì hàm V(x(t)) là giảm theo t nên luôn tồn tại giới hạn lim V(x(t)) = a, và vì V(.) là hàm xác định dương nên a ≥ 0 Theo tính chất liên tục của
V(x) để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minha = 0 là đủ Giả sửa > 0.Khi đó ta có
Xét nghiệm x(t), x(T) = x 0 , từ bất đẳng thức (2.10), lấy tích phân hai vế từ T đến t, ta có
Vì V(x(t)) ≥ 0, ∀t ≥T, cho t →+∞ thì bất đẳng thức nghiệm đúng ca(t−T) ≤ V(x0) < +∞
Khi cho t tới vô cùng thì vế trái tiến tới vô cùng, suy ra mẫu thuẫn, định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.11 Xét hệ phương trình vi phân
Hệ là ổn định, nhưng không ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.12 Xét hệ phương trình vi phân
Do đó D f V(x) < −2∥x∥ 2 < 0 với mọi x ∈ R + \ {0} Hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.13 Xét hệ phương trình vi phân
Do đó D f V(x) < −∥x∥ 4 < 0 với mọi x ∈ R + \ {0} Hệ là ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.14 Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân ˙ x = Ax+f(x).
Trong đó A là ma trận ổn định và ∥f(x)∥< L∥x∥.
Vì A là ma trận ổn định, khi đó với Y là ma trận đối xứng xác định dương thì tồn tại X là ma trận xác định dương sao cho
XA+A T X = −Y.Lấy hàm Lyapunov V(x) =⟨Xx, x⟩, ta có
= ⟨XAx, x⟩ +⟨Xx, Ax⟩ +⟨Xf, x⟩+ ⟨Xx, f⟩
Và vì Y là ma trận đối xứng xác định dương nên có một số α > 0 sao cho
Hệ là ổn định tiệm cận.
Khóa luận đã trình bày được:
1 Những định nghĩa, khái niệm và định lí cơ bản của đại số tuyến tính, giải tích hàm và phương trình vi phân.
2 Bài toán ổn định Lyapunov, phương pháp hàm Lyapunov, tính ổn định của hệ tuyến tính, phi tuyến tính và đưa ra được một số ví dụ minh họa.