Kho¡luªn n y tªp trung v o vi»c nghi¶n cùu v· mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p i·u khiºn quan trång nh§t - ti¶u chu©n Kalman.. Ti¶u chu©n Kalman, ÷ñcph¡t triºn bði Rudolf E.
CĂc kián thực chuân bà trong Ôi số tuyán tẵnh
; i = 1,2, ., m; j = 1,2, , n; vợi cĂc số thỹc a ij ∈ R cõ m h ng v n cởt, ữủc gồi l ma trên (mìn) chiãu. Vẵ dử 1.1 A
Ma trên chuyến và A' thu hút từ ma trên A bằng cách thể hiện sự khác biệt của A trong thời kỳ hiện tại, trong khi A' lại mang đến những trải nghiệm mới mẻ Điều này tạo ra một sự tương phản rõ rệt giữa hai phong cách, với A là biểu tượng của sự truyền thống và A' là đại diện cho sự đổi mới.
Ma trên vuổng A = (a ij ) vợi i = 1,2, , m;j = 1,2, , n ữủc gồi l ma trên ối xựng náu nõ bơng ma trên chuyºn và cừa chẵnh nõ hay
Cho ma trên vuổng A cĐp n Ma trên vuổng B cũng cĐp n vợi A ữủc gồi l ma trên nghàch Êo cừa A náu thoÊ mÂn
Ma trên nghàch Êo náu tỗn tÔi thẳ nõ l duy nhĐt Mởt ma trên vuổng
A cõ ma trên nghàch Êo khi v ch¿ khi |A| ̸= 0 Khi õ, ta gồi A l ma trên khÊ nghàch hay ma trên khổng suy bián, kỵ hiằu A −1 Ngữủc lÔi, náu
|A| = 0 thẳ A l ma trên suy bián.
HÔng cừa ma trên A l cĐp cao nhĐt cừa cĂc ành thực con khĂc khổng cõ trong A, kỵ hiằu l rank (A).
Cho K l trữớng, V l mởt khổng gian v²ctỡ v S l mởt têp con cừa V.
Ta cõ mởt mối quan hằ a 1 x 1 +a 2 x 2 + .+a n x n = 0 vợi a i ∈ K v x i ∈ S, (i = 1, , n) ữủc gồi l mởt quan hằ tuyán tẵnh cừa S.
Têp S ữủc gồi l phử thuởc tuyán tẵnh náu n số a 1 , a 2 , , a n thuởc trữớng K khổng ỗng thới bơng khổng.
Tập hợp các véc tơ riêng của một ma trận vuông cấp n sẽ là không rỗng nếu và chỉ nếu tất cả các hệ số a1, a2, , an trong phương trình a1x1 + a2x2 + + anxn = 0 đều bằng 0 Nếu A là một ma trận vuông cấp n, thì một số λ thuộc K được gọi là một giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại một véc tơ khác không x thuộc K^n sao cho Ax = λx Véc tơ x được gọi là véc tơ riêng tương ứng với A Các giá trị riêng của A được xác định bởi nghiệm của phương trình đặc trưng của ma trận A.
A: det(λI −A) = 0 hay p(λ) =λ n +a 1 λ n−1 +a 2 λ n−2 + .+a n−1 λ+ a n = 0. ành lþ 1.1 (Xem [6]) (ành lþ Cayley - Hamilton)
Mồi ma trên vuổng cĐp n chiãu ãu l nghiằm cừa a thực °c trững cừa nâ p(A) = A n +a 1 A n−1 + .+a n−1 A+a n I ≡ 0. Vẵ dử 1.3.
a thực °c trững cừa ma trên A l : p(A) = det(A−λI)
Theo ành lþ Cayley - Hamilton, a thùc °c tr÷ng p(A) A 2 −3A+ 2I s³ cõ nghiằm l ma trên A Vẳ vêy, ta cõ:
Chuân cừa mởt ma trên l số khổng Ơm, ối vợi ma trên vuổng A cĐp n,
A= [a ij ], i, j = 1,2, , n; ữủc xĂc ành bði:
X²t mội chuội lụy thứa hởi tử trản D ⊂ R l
X k=0 ckλ k câ têng l f(λ). Khi õ vợi A l mởt ma trên vuổng thẳ f(A) ữủc ành nghắa l f(A) ∞
Ch¯ng hÔn, náu f(λ) = e λ , ta cõ e A = 1 + 1
CĂc kián thực chuân bà trong giÊi tẵch
Cho X là tập hợp không rỗng Một hàm số d: X × X → R+ được gọi là metric nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: i) d(x, x) = 0 với mọi x ∈ X ii) d(x, y) > 0 với mọi cặp phân biệt x, y ∈ X iii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.
Mởt dÂy {xn} trong khổng gian metric X ữủc gồi l dÂy Cauchy náu vợi mồi số thỹc dữỡng ε > 0, tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng N sao cho náu m, n > N, thẳ d(xm, xn) < ε.
Khổng gian metric X ữủc gồi l Ưy ừ náu vợi mồi dÂy Cauchy trong
X ãu hởi tử án mởt iºm cừa X.
Vợi khổng gian metric X cõ A ⊂ X Ta nõi:
• A l têp mð náu ∀x ∈ A ãu l iºm thuởc phƯn trong A.
• A l lƠn cên cừa x náu x l iºm thuởc phƯn trong A.
• PhƯn trong cừa A l têp tĐt cÊ cĂc iºm thuởc phƯn trong A.
• A l têp õng náu X \A l têp mð.
• Bao õng cừa A l giao cừa tĐt cÊ cĂc têp õng chựa A.
• A ữủc gồi l têp khổng Ơu trũ mêt náu Int A = ∅
• X ữủc gồi l thuởc phÔm trũ thự nhĐt náu nõ l hủp ám ữủc cĂc têp hủp khổng Ơu trũ mêt, nghắa l :
• X ữủc gồi l thuởc phÔm trũ thự hai náu X khổng thuởc phÔm trũ thù nh§t. ành lþ 1.2 (Xem [1]) (ành lþ ph¤m trò Baire)
Mội khổng gian metric Ưy ừ ãu thuởc phÔm trũ hai, nghắa l , náu X l khổng gian metric Ưy ừ v
Khổng gian E l khổng gian v²ctỡ trảnK náu nõ thoÊ mÂn tẵnh chĐt cởng cĂc phƯn tỷ ∀x, y ∈ E ữủc kỵ hiằu l x+ y v ph²p nhƠn phƯn tỷ vợi số a ∈ K, x ∈ E kỵ hiằu l ax Trong õ:
• Ph²p cởng n y thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn: i) (x+y) +z = x+ (y+ z) ii) x+y = y +z iii) Tỗn tÔi v²ctỡ khổng sao cho x+ 0 = x vợi mồi v²ctỡ x. iv) Mồi v²ctỡ x cõ v²ctỡ ối −x cõ tẵnh chĐt x+ (−x) = 0.
• Ph²p nhƠn thoÊ mÂn cĂc iãu kiằn: i) (ab)x = a(bx) ii) (a+b)x = ax+bx iii) a(x+y) = ax+by iv) 1x = x trong â a, b tuý þ v 1 l ph¦n tû ìn và.
Cho E l mởt khổng gian v²ctỡ v h m ||.|| : E → R thoÊ mÂn: i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ E
Khi õ c°p (E,||.||) ữủc gồi l khổng gian ành chuân.
Náu khổng gian ành chuân E, k±m theo metric ữủc tÔo ra tứ chuân, thọa mÂn tẵnh chĐt l mởt khổng gian metric Ưy ừ, thẳ E ữủc phƠn loÔi l mởt khổng gian Banach.
Cho A l têp con cừa khổng gian metric X Khi õ, A ữủc gồi l têp compact náu vợi mồi {x n } ⊂ A, tỗn tÔi dÂy con {x nk } ⊂ {x n } m x nk → x 0 ∈ A.
Têp A được gọi là têp lỗi trong không gian vectơ nếu với mọi x, y ∈ A và mọi số thực λ ∈ [0,1], thì λx + (1−λ)y cũng thuộc A Hàm f(x) : X → Y được gọi là liên tục tại x₀ nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho d(f(x), f(x₀)) < ε, ∀x ∈ X.
Náu X l khổng gian Banach trong õ trang bà mởt h m tẵch vổ hữợng
⟨ .⟩ : X ×X → R tho£ m¢n: i) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ ii) ⟨x 1 +x 2 , y⟩ = ⟨x 1 , y⟩+⟨x 2 , y⟩ iii) ⟨λx, y⟩ = λ⟨x, y⟩ iv) ⟨x, x⟩ ≤ 0, ⟨x, x⟩ = 0 khi v ch¿ khi x = 0 v
CĂc khổng gian Hilbert thữớng dũng l khổng gian l 2 - khổng gian tĐt cÊ c¡c d¢y sè {xn} sao cho l2 ( {x n } ⊂ K :
) , v khổng gian Lp([0, T], X),1 ≤ p < +∞ - khổng gian tĐt cÊ cĂc h m x(t) ∈ L p ([0, T], X) sao cho
Cho X, Y l cĂc khổng gian Banach, A : X → Y l toĂn tỷ tuyán tẵnh náu:
A(αx+βy) = αAx+βBy. vợi mồi α, β ∈ R,(x, y) ∈ X ìY.
Têp hủp tĐt cÊ cĂc toĂn tỷ tuyán tẵnh liản tửcL(X, Y) l mởt khổng gian Banach vợi chuân l
A ∈ L(X, Y) gồi l Ănh xÔ mð náu A(V) l têp mð vợi V l têp mð Khi
Y = R, toĂn tỷ A ∈ L(X, Y) gồi l phiám h m tuyán tẵnh liản tửc.
CĂc kián thực chuân bà trong phữỡng trẳnh vi phƠn
Nghiằmx(t) cừa phữỡng trẳnh vi phƠn (1.2) s³ l h m số x(t) khÊ vi liản tửc tho£ m¢n: i) (t, x(t)) ∈ I ×D, ii) x(t) thoÊ mÂn phữỡng trẳnh vi phƠn (1.2)
GiÊ sỷ h m f(t, x)liản tửc trản IìD, khi õ nghiằmx(t) ữủc cho bði dÔng tẵch phƠn sau: x(t) = x 0 + t
Z t 0 f(s, x(s)) dt ành lþ 1.3 (Xem [2]) (ành lþ Caratheodory)
GiÊ sỷ f(t, x) l h m o ữủc theo t ∈ I v liản tửc theo x ∈ D Náu tỗn tÔi h m khÊ tẵch m(t) trản (t 0 , t 0 +b) sao cho
||f(t, x)|| ≤ m(t), ∀(t, x) ∈ I ×D. Khi õ hằ (1.2) cõ nghiằm trản khoÊng [t0, t0 +β] n o õ. ành lỵ Caratheodory ch¿ kh¯ng ành sỹ tỗn tÔi nghiằm chự khổng duy nh§t. ối vợi hằ tuyán tẵnh
(x˙ = Ax+g(t), t ≥ 0, x(t0) = x0 t0 ≥ 0, (1.3) trong õ A l ma trên hơng số, g(t) : [0,∞) → R n l h m khÊ tẵch, thẳ hằ (1.3) luổn cõ nghiằm (duy nhĐt) cho bði cổng thực Cauchy sau: x(t) =e A(t−t 0 ) x 0 + t
Trữớng hủp ối vợi hằ khổng dứng
(x˙ = A(t)x+g(t), t ≥ 0, x(t 0 ) = x 0 , t 0 ≥ 0, (1.5) trong õ giÊ thuyát A(t) l h m o ữủc (ho°c liản tửc theo t) v
Trong bài viết này, ta xem xét bất đẳng thức ||A(t)|| ≤ m(t) và m(t) liên quan đến hàm g(t) Hệ phương trình (1.5) cho thấy rằng hàm này là duy nhất, mặc dù hàm hằng y không biểu diễn như các cổng thực của phương trình Cauchy (1.4) Phương trình động lực học được mô tả bởi ˙x = A(t)x (1.6) cho thấy rằng x(t) có thể được biểu diễn dưới dạng x(t) = ϕ(t, t₀)x₀ + t.
Z t 0 ϕ(t, s)g(s) ds, trong õ ϕ(t, s) l ma trên nghiằm cỡ bÊn cừa hằ (1.6) thoÊ mÂn hằ phữỡng trẳnh ma trên
Cho ϕ(t, s) là ma trận trên nghiệm cục bộ của hệ (1.6) khi có các điều kiện sau: i) Mỗi nghiệm cục bộ (1.4) với x(t₀) = x₀ là x(t) = ϕ(t, t₀)x₀ ii) Nếu ϕ₁(t, t₀) là ma trận trên nghiệm cục bộ khác của hệ (1.6), thì ta có ϕ(t, t₀) = ϕ₁(t, t₀)C, ∀t ≥ t₀, trong đó C là ma trận hằng số iii) Nếu C là ma trận hằng số, thì ϕ(t, t₀)C cũng là ma trận trên nghiệm cục bộ Hệ phương trình liên hợp của hệ (1.6) được biểu diễn bằng ˙x(t) = −A′(t)x, t ≥ 0.
Ta gồi F(t, s) l ma trên cỡ bÊn cừa hằ liản hủp (1.7). ành lþ 1.5 (Xem [2]). i) Náu ϕ(t, s) l ma trên nghiằm cỡ bÊn cừa hằ (1.6) thẳ
F(t, s) = [ϕ ′ (t, s)] −1 ii) Náu p(t) ∈ R n l nghiằm cừa hằ liản hủp (1.7) v ϕ(t, s) l ma trên nghiằm cỡ bÊn cừa hằ (1.6) thẳ ta cõ hằ thực ϕ ′ (t, s)p(t) = p(s), ∀t≥ s ≥ 0.
Tiảu chuân Kalman cho mởt số hằ iãu khiºn tuyán tẵnh
Mởt v i ành nghắa cỡ bÊn vã hằ iãu khiºn tuyán tẵnh
Hệ thống điều khiển mờ được mô tả bởi phương trình vi phân tĩnh dạng: x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), với t ≥ 0, trong đó x(t) ∈ R^n là vector trạng thái, u(t) ∈ R^m là vector điều khiển với n ≥ m Các ma trận A(t) và B(t) phụ thuộc vào thời gian t, thể hiện sự biến đổi trong hệ thống Một hàm điều khiển u(t) xác định trên khoảng [0,∞) là một hàm liên tục trong R^m và được gọi là điều khiển chấp nhận được cho hệ thống (2.1) Các hàm điều khiển chấp nhận được thường được sử dụng trong các ứng dụng điều khiển hiện đại.
Trong không gian Lp([0,∞), Rm), chúng ta xem xét phương trình vi phân tuyến tính (2.1) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 Với mọi điều kiện đầu vào u(t), bài toán Cauchy cho phương trình vi phân tuyến tính (2.1) có nghiệm x(t, x0, u), được xác định bởi biểu thức x(t, x0, u) = ϕ(t, 0) + t.
0 ϕ(t, s)B(s)u(s) ds, t ≥0 (2.2) trong õ ϕ(t, s) l ma trên nghiằm cỡ bÊn cừa hằ tuyán tẵnh thuƯn nhĐt: ˙ x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0. ành nghắa 2.1 (Xem [7]).
Cho hai trạng thái \( x_0, x_1 \in \mathbb{R}^n \), điều kiện kiểm soát được gọi là khả thi khi tồn tại một điều khiển \( u(t) \) sao cho nghiệm \( x(t, x_0, u) \) thỏa mãn điều kiện \( x(0, x_0, u) = x_0 \) và \( x(t_1, x_0, u) = x_1 \) với \( t_1 > 0 \).
Hằng số điều kiện (2.1) xác định hằng số điều kiện được hoàn toàn (GC) trong khoảng thời gian t1 > 0, sao cho (x0, x1) là hằng số điều kiện được sau khoảng thời gian t1.
Trong trướng hợp tồn tại một vùng mở lớn cận gốc V(0) ⊂ R n, sao cho hàm (2.1) là điều kiện đủ để hàm này luôn có nghiệm trong V(0), và điều này được gọi là điều kiện đủ của phương trình (LC).
Hằng số khiển (2.1) được gọi là ổn định toàn cục (GR) nếu với mọi trạng thái x₁ ∈ Rⁿ, tồn tại một thời gian t₁ > 0 sao cho (0, x₁) là hằng số khiển được đạt được sau thời gian t₁.
Hằng số điều kiện (2.1) được gọi là điều kiện đủ để tồn tại một thời gian t1 > 0 sao cho điểm (x0, 0) trở thành điều kiện đủ sau thời gian t1 trong không gian R^n.
Mởt cĂch hẳnh hồc, náu ta ành nghắa têp R t (x 0 ) l têp hủp tĐt cÊ cĂc trÔng thĂi x ∈ R n m tứ õ hằ thống Ôt ữủc tứ trÔng thĂi x 0 sau thới gian t 1 > 0, tùc l ,
R t (x 0 ) = {x ∈ R n : ∃u(t) ∈ u, x(t, x 0 , u) =x}. Khi õ ta cõ thº nõi hằ (2.1) l :
+ GNC náu ∀x 0 ∈ R n , 0∈ R(x 0 ) trong õ kỵ hiằu
Nhên x²t 2.1 (Xem [7]) Tứ ành nghắa trản ta thĐy quan hằ sau thoÊ mÂn:
Tiảu chuân Kalman trong trữớng hủp hằ tuyán tẵnh dứng
X²t hằ iãu khiºn tuyán tẵnh dứng dÔng: ˙ x(t) = Ax(t) +Bu(t), t ≥0, (2.3) trong õx(t) ∈ R n , u(t) ∈ R m , A, B l cĂc ma trên hơng số cõA∈ R nìn , B ∈
R nìm ối vợi hằ dứng (2.3), theo cổng thực nghiằm (2.2), ta cõ ma trên nghiằm cỡ bÊn l ϕ(t,0) = e At cho nản, nghiằm x(t, x 0 , u) cừa hằ (2.3) s³ ữủc cho bði x(t, x 0 , u) =e At x 0 + t
V khi õ, têp Ôt ữủc R t cừa hằ (2.2) sau thới gian t:
ành lỵ 2.1 (Xem [7]) (Tiảu chuân Kalman)
Hằ tuyán tẵnh dứng (2.3) l iãu khiºn ữủc ho n to n khi v ch¿ khi rank [B, AB, , A n−1 B] = n (2.5)
GiÊ sỷ phÊn chựng rơng hằ (2.3) l GC những iãu kiằn hÔng (2.5) khổng tho£ m¢n, tùc l rank [B, AB, , A n−1 B] < n.
Khi õ ta cõ ữủc v²ctỡ khĂc khổng v ∈ R n , v ̸= 0 sao cho v ′ [B, AB, , A n−1 B] = 0.
Sỷ dửng ành lỵ Cayley - Hamilton (ành lỵ 1.1) ta ữủc p(A) = A n +a n−1 A n−1 + .+a 0 I = 0.cho nản
Nhơn vỗ hướng hai và phương trình ma trên trần với vecto khác khổng v ∈ R n dẫn đến điều kiện v ′ A n B = 0 Từ đó, ta có thể suy ra rằng v ′ A n+k B = 0 cho mọi k = 0,1,2, (2.6) Hơn nữa, dựa vào khai triển hàm số e At, với mọi t > 0, ta có v ′ e At B = v ′ B + tv ′ AB + t^2.
Tứ iãu kiằn (2.6) suy ra v ′ e At B = 0 vợi mồi t > 0 Theo giÊ thuyát hằ l
GC, v tứ Nhên x²t 2.1, hằ l GR, tực l , vợi bĐt ký x ∈ R n , theo cổng thực nghiằm (2.4), tỗn tÔi thới giant 1 > 0v iãu khiºn chĐp nhên ữủc u(t) ∈ U sao cho x t
0 e A(t 1 −s) Bu(s) ds. NhƠn vổ hữợng hai vá ¯ng thực trản vợi v²ctỡ v v Ăp dửng (2.7) ta cõ:
Vẳ x l v²ctỡ tuý ỵ nản v = 0, suy ra mƠu thuăn vợi iãu kiằn v ̸= 0, vêy iãu phÊn chựng l vổ lỵ, ta cõ iãu kiằn hÔng (2.5)
BƠy giớ ta giÊ sỷ iãu kiằn (2.5) thoÊ mÂn Trữợc tiản ta chựng minh rơng hằ (2.3) s³ Ôt ữủc ho n to n sau mởt thới gian t1 > 0 n o õ, tực l ,
Giá sỉ phiến chừng ròng dã xảy ra khi R_t không bằng R_n với mồi t lớn hơn 0 Cố định một thời gian t1 lớn hơn 0, ta có R_t là lệnh của ánh xô tuyến tính liên tục Hàm U_t xác định bối cảnh trong không gian R^n.
0 e A(t−s) Bu ds qua mởt khổng gian U t = L 2 ([0, t],R m ) nản R t l mởt khổng gian con trong
R n Vẳ R t ̸= R n nản s³ tẳm ữủc v²ctỡ v ∈ R n , v ̸= 0, sao cho v ′ x = 0, ∀x ∈ R t Theo ành nghắa vã têp Ôt ữủc cừa hằ sau thới gian t 1 , ta cõ t 1
Vẳ h m dữợi tẵch phƠn l liản tửc theo s ∈ [0, t 1 ] v tẵch phƠn triằt tiảu vợi mồi u(t) ∈ U t 1 nản v ′ e A(t 1 −s) B = 0, ∀s ∈ [0, t] (2.9)
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một số điều kiện liên quan đến các hàm và ma trận trong không gian R^n Đầu tiên, từ điều kiện (2.9) với \( v' B = 0 \), chúng ta có thể suy ra \( v' AB = 0 \) khi \( s = t_1 \) Tiếp tục, từ biểu thức \( v' A^{r} A(t_1 - s) B = 0 \), khi \( s = t_1 \), ta có \( v' A^2 B = 0 \) Điều này dẫn đến việc kiểm tra điều kiện rank của tập hợp \( [B, AB, \ldots, A^{n-1}B] < n \) và \( v' \neq 0 \) Thêm vào đó, với các điểm \( x_0, x_1 \in R^n \) và \( a = x_1 - e^{At_1} x_0 \), chúng ta có thể xác định các điều kiện cần thiết từ (2.8) Cuối cùng, có một điều kiện liên quan đến kiểm soát \( u(t) \in U \) sau thời gian \( t_1 \).
0 e A(t 1 −s) Bu(s) ds.Theo ành nghắa vã tẵnh GC, hằ Â cho l iãu khiºn ữủc ho n to n.ành lỵ ữủc chựng minh.
Chú ỵ 2.1 đề cập đến việc xác định điều kiện cần thiết cho một hàm tuyến tính dừng Để thực hiện điều này, chúng ta chỉ cần xác lập ma trận trên khoảng [B, AB, , A n−1 B] - (nìnm) Sau đó, cần kiểm tra tính hợp lệ của các điều kiện đã thiết lập Ma trận này sẽ được gọi là điều kiện cần thiết cho việc hiểu rõ hơn về [A/B].
Vẵ dử 2.1 X²t tẵnh iãu khiºn ữủc cừa hằ
Vẵ dử 2.2 X²t tẵnh iãu khiºn ữủc cừa hằ
⇒ rank [A/B] = 3 Vêy hằ Â cho l GC.
Vẵ dử 2.3 X²t tẵnh iãu khiºn ữủc cừa hằ
= 1 < 2. nản hằ Â cho khổng iãu khiºn ữủc.
Vẵ dử 2.4 X²t tẵnh iãu khiºn ữủc cừa hằ
⇒rank [A/B] = 3. nản hằ Â cho l GC.
Nhên x²t 2.2 (Xem [7]) Tứ chựng minh iãu kiằn cƯn cừa ành lỵ 2.1 ta thĐy quan hằ sau nghiằm úng
V tứ chựng minh iãu kiằn ừ ta cụng cõ rank [A/B] = n =⇒ GR t 1 =⇒ GC.
Nhữ vêy ta cõ quan hằ
Mặt khác, chúng ta có thể xem xét việc sử dụng phương pháp xấp xỉ 2.1 và chú ý rằng trong chứng minh điều kiện cần, ta có thể thay việc xấp xỉ GR bằng GNC Chứng minh sẽ không thay đổi khi xem xét xấp xỉ trong không gian R^n, điều này được xác định bởi điều kiện x ≥ 0 theo cổng thực.
GC =⇒ GN C =⇒ rank [A/B] = n Để chứng minh điều kiện này, ta cần sử dụng phương pháp chứng minh điều kiện (2.8) với các biến liên quan Điều này cho thấy rằng khi t1 > 0, tồn tại một hàm số Lt: U → R n, và điều này có thể được thay thế trong quá trình chứng minh.
0 e −As Bu ds, nản ta cụng cõ rank [A/B] = n =⇒ GN C t1 =⇒ GN C hay l
Kát hủp cĂc quan hằ (2.10), (2.11), ta cõ ành lỵ sau Ơy. ành lþ 2.2 (Xem [7]).
CĂc iãu kiằn sau l tữỡng ữỡng i) Hằ (2.3) l GC. ii) Hằ (2.3) l GR ho°c GR sau mởt thới gian t1 > 0. iii) Hằ (2.3) l GNC ho°c GNC sau mởt thới gian t 1 > 0. iv) rank [A/B] = n.
Vẵ dử 2.5 X²t tẵnh iãu khiºn ữủc cừa hằ
= 2.Nản hằ Â cho l GC, GR hay GNC.
XĂc ành iãu khiºn chĐp nhên ữủc u(t)
Nhữ vêy iãu kiằn (2.5) trong ành lỵ 2.1 cho ta tiêu chuẩn về điều kiện điều khiển (ô tường hoặc điều kiện điều khiển vã 0) Những điều này giúp xác định hoặc tầm cỡ thời điều kiện chấp nhận được u(t), đồng thời nhớ rằng hệ thống chuyển động từ một trạng thái này sang trạng thái khác Để xác định điều kiện điều khiển hằng (2.1), ta có phương trình: ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), với t ≥ 0, trong đó A(t) và B(t) là các ma trận hàm theo t theo một cách liên tục khác nhau.
Ta biát rơng vợi trÔng thĂi ban Ưu x(t 0 ) = x 0 v vợi iãu khiºn chĐp nhên ữủc u(t) ∈ U, nghiằm x(t, x 0 , u) cừa hằ (2.1) ữủc cho bði x(t, x 0 , u) =ϕ(t, t 0 )x 0 + t
Z t 0 ϕ(t, s)B(s)u(s) ds. XĂc ành ma trên L t −(nìn) chiãu bði
Ma trên L t thữớng ữủc gồi l ma trên tẵch phƠn iãu khiºn ữủc. ành lþ 2.3 (Xem [7]).
Hằ (2.1) l iãu khiºn ữủc ho n to n khi v ch¿ khi ma trên L T l khổng suy bián vợi T > t 0 n o õ.
Giá sỉ hằng (2.1) là GC, những lý thuyết liên quan đến biến động với mồi t > t0 Trước hết, với v²ctỡ tuý ỵx ∈ Rn và vặn mà trên lý thuyết lối xựng (với mồi t > t0), ta có thể thiết lập dạng toán phương sau x′ L t x t.
Vẳ hằ l GC nản hằ l GR, theo ành lỵ 2.2, cụng s³ l GR sau một thời gian T > t 0 n o õ Vẳ L T theo giả thuyết phân chứng là suy biến nản có một vectơ x ∈ R n, x ̸= 0 sao cho L T x = 0 Từ (2.12), ta có: x ′ L t x T.
M°t khĂc vẳ hằ (2.1) l GR sau thới gian T > 0, cho nản s³ tỗn tÔi mởt iãu khiºn chĐp nhên ữủc u(t) ∈ U sao cho x T
Z t 0 ϕ(T, s)B(s)u(s) ds. NhƠn hai vá ¯ng thực trản vợi x ̸= 0, ta cõ:
⟨u(s), B ′ (s)ϕ ′ (T, s)x⟩ds ≡ 0. iãu n y dăn tợi mƠu thuăn vẳ x ̸= 0.
GiÊ sỷ ma trên L T l khổng suy bián vợi T > t 0 n o õ Nhữ vêy ma trên
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày phương pháp xác định điều khiển ngẫu nhiên cho hệ thống động lực học, cụ thể là trong trường hợp với hai trạng thái ban đầu \(x_0\) và \(x_1\) thuộc không gian \(R^n\) Công thức điều khiển được xác định bởi \(u(t) = -B' (t)\phi' (T, t)L^{-1}_T(\phi(T, t_0)x_0 - x_1)\), cho phép điều chỉnh trạng thái từ \(x_0\) đến \(x_1\) tại thời điểm \(T\) Qua đó, chúng ta có thể thấy rằng điều khiển ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng trong việc điều chỉnh các trạng thái của hệ thống theo yêu cầu.
= ϕ(T, t0)x0 −LTL −1 T [ϕ(T, t0)x0 −x1] = x1. ành lỵ Â ữủc chựng minh.
Vẵ dử 2.6 X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn sau
; B 2 0 ϕ(t, s) l ma trên nghiằm cỡ bÊn thoÊ mÂn hằ phữỡng trẳnh x˙ = A(t)x.
V ma trên tẵch phƠn iãu khiºn ữủc
Ta ữủc: d dtφ 1 (t, s) dt d φ 2 (t, s) d dtφ 3 (t, s) dt d φ 4 (t, s)
Ta tẳm ữủc ma trên nghiằm cỡ bÊn ϕ(t, s) cừa hằ l : ϕ(t, s)
Do õ ma trên tẵch phƠn iãu khiºn ữủc L t l :
Vợi mồi t ̸= 0, L t l ma trên khổng suy bián Hằ Â cho l GC theo ành lỵ 2.3 vợi cĂc trÔng thĂi x 0 = (0,1), x 1 = (0,0) thẳ iãu khiºn u(t) =−B ′ (t)ϕ ′ (T, t)L −1 T (ϕ(T, t 0 )x 0 −x 1 ) s³ chuyºn trÔng thĂi x 0 tợi 0 sau thới gian T >0.
Vẵ dử 2.7 X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn sau
1 1 ϕ(t, s) l ma trên nghiằm cỡ bÊn thoÊ mÂn hằ phữỡng trẳnh x˙ = A(t)x.
V ma trên tẵch phƠn iãu khiºn ữủc
Ta ữủc: d dtφ 1 (t, s) dt d φ 2 (t, s) d dtφ3(t, s) dt d φ4(t, s)
Ta tẳm ữủc ma trên nghiằm cỡ bÊn ϕ(t, s) cừa hằ l : ϕ(t, s) 1 t 2 −s 2
Do õ ma trên tẵch phƠn iãu khiºn ữủc Lt l :
Vợi mồi t ̸= 0, L t l ma trên khổng suy bián Hằ Â cho l GC theo ành lỵ 2.3 vợi cĂc trÔng thĂi x 0 = (0,1), x 1 = (0,0) thẳ iãu khiºn u(t) =−B ′ (t)ϕ ′ (T, t)L −1 T (ϕ(T, t 0 )x 0 −x 1 ) s³ chuyºn trÔng thĂi x 0 tợi 0 sau thới gian T >0.
thẳ u(t) =−3(15T 4 + 18t 4 −15T 2 + 25t 2 −35T 2 t 2 + 15) t(4t 4 + 45) Vẵ dử 2.8 X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn sau
1 1 ϕ(t, s) l ma trên nghiằm cỡ bÊn thoÊ mÂn hằ phữỡng trẳnh x˙ = A(t)x.
V ma trên tẵch phƠn iãu khiºn ữủc
Ta ữủc: d dtφ1(t, s) dt d φ2(t, s) d dtφ 3 (t, s) dt d φ 4 (t, s)
Ta tẳm ữủc ma trên nghiằm cỡ bÊn ϕ(t, s) cừa hằ l : ϕ(t, s)
Do õ ma trên tẵch phƠn iãu khiºn ữủc L t l :
Vợi mồi t ̸= 0, L t l ma trên khổng suy bián Hằ Â cho l GC theo ành lỵ 2.3 vợi cĂc trÔng thĂi x 0 = (0,1), x 1 = (0,0) thẳ iãu khiºn u(t) =−B ′ (t)ϕ ′ (T, t)L −1 T (ϕ(T, t 0 )x 0 −x 1 ) s³ chuyºn trÔng thĂi x 0 tợi 0 sau thới gian T >0.
Tiảu chuân Kalman ối vợi hằ khổng dứng
Hằ h m v²ctỡ fi(t), i = 1,2, , n gồi l phử thuởc tuyán tẵnh trản [a, b] náu tỗn tÔi cĂc số λi, i = 1,2, , n khổng ỗng thới bơng 0 sao cho n
X i=1 λ i f i (t) = 0, ∀t ∈ [a, b]. v ngữủc lÔi vợi kh¯ng ành trản, thẳ gồi l ởc lêp tuyán tẵnh.
Cho cĂc h m f i (.) : [t 0 , t 1 ] → R m , i = 1,2, , n Hằ h m f i (t) l ởc lêp tuyán tẵnh trản [t 0 , t] khi v ch¿ khi ma trên Ψ(t0, t1) t 1
F(t)F ′ (t) dt (2.14) l khổng suy bián, trong õ F(t) ≜ (f 1 (t), f 2 (t), , f n (t)) ′
GiÊ sỷ hằ f i (t), i = 1,2, , nl ởc lêp tuyán tẵnh những Ψ(t 0 , t 1 ) l ma trên suy bián Khi õ tỗn tÔi v²ctỡ a ∈ R n , a ̸= 0, sao cho a ′ Ψ(t0, t1) = 0.
Nếu \(\|a' F(t)\|^2 dt = 0\), thì suy ra \(a' F(t) = 0\) với mọi \(t \in [t_0, t_1]\) Điều này dẫn đến việc hàm \(f_i(t)\) có tính chất đồng nhất trong khoảng thời gian này Ngược lại, giá trị ma trận trên \(\Psi(t_0, t_1)\) không suy biến, điều này có nghĩa là hàm \(f_i(t)\) là một hàm phụ thuộc tuyến tính Khi tồn tại một vector \(a \in \mathbb{R}^n\), với \(a \neq 0\), sao cho \(a' F(t) = 0\) cho mọi \(t \in [t_0, t_1]\), thì ta có \(a' \Psi(t_0, t_1) = t_1\).
Suy ra, Ψ(t 0 , t 1 ) l suy bián, iãu n y lÔi mƠu thuăn vợi giÊ thuyát.
X²t hai h m v²ctỡ vợi f 1 : [0,1] →R 2 v f 2 : [0,1] →R 2 sao cho: f 1 = t 2 −t ;f 2 = 3t t+ 1
l ma trên khổng suy bián.
Vêy hằ Â cho l ởc lêp tuyán tẵnh.
X²t cĂc h m v²ctỡ vợi f1 : [0,1] →R 2 , f2 : [0,1] → R 2 v f3 : [0,1] → R 2 sao cho: f 1 = t 2 2t t 3 ;f 2 = −3t 0 t f 3 = t+ 1 2t 2t 2
l ma trên khổng suy bián.
Vêy hằ Â cho l ởc lêp tuyán tẵnh.
Cho f i (.) : [t 0 , t 1 ] → R m , i = 1,2, , n l cĂc h m v²ctỡ khÊ vi liản tửc theo t tợi bêc (n−1) Khi õ hằ f i (t) l ởc lêp tuyán tẵnh náu cõ t 2 ∈ [t 0 , t 1 ] sao cho rank [F(t 2 ),F˙(t 2 ), , F (n−1) (t 2 )] = n (2.15)
Ta xét hệ phương trình ràng buộc trong không gian R^n với điều kiện a'F(t) = 0 cho mọi t trong khoảng [t0, t1] Điều này có nghĩa là khi a là một vector không bằng 0, thì ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa các thành phần của F(t) và các đạo hàm của nó Cụ thể, khi áp dụng điều kiện này, ta nhận được mối quan hệ: a' [F(t), F˙(t), , F(n-1)(t)] = 0 cho mọi t trong khoảng [t0, t1].
Tứ Ơy suy ra mƠu thuăn vợi iãu kiằn (2.15).
X²t cĂc h m v²ctỡ vợi f 1 : [0,1] → R 2 v f 2 : [0,1] → R 2 sao cho: f1 = t t 2 ; f2 = t+ 1 t 2 −t
Khi â [F(t),F˙(t)] t t 2 1 2t t+ 1 t 2 −t 1 2t−1 vợi t= 0 thẳ ta ữủc rank [F(t 2 ),F˙(t 2 )] = rank
= 2 nản hằ Â cho l ởc lêp tuyán tẵnh.
X²t cĂc h m v²ctỡ vợi f 1 : [0,1] →R 2 , f 2 : [0,1] → R 2 v f 3 : [0,1] → R 2 sao cho: f 1 = 2t t 3 t 2 −t f 2 = 1 −2t 2 4 f 3 = 3t 0 t 2 Suy ra
vợi t= 1 thẳ ta ữủc rank [F(t 2 ),F˙(t 2 ),F¨(t)] = rank
= 3 nản hằ Â cho l ởc lêp tuyán tẵnh.
Nhữ vêy Bờ ã 2.1, 2.2 cho ta iãu kiằn º kiºm tra hằ f i (t) cõ ởc lêp tuyán tẵnh hay khổng Bờ ã 2.2 ch¿ l iãu kiằn ừ cừa hÔng Kalman, cỏn
Bờ ã 2.3 sau Ơy s³ l iãu kiằn cƯn.
Giá sỉ các hàm \( f_i(t) \), với \( i = 1,2, \ldots, n \), là các hàm khép kín liên tục trên đoạn \([t_0, t_1]\) Hàm \( f_i(t) \) có thể là hàm liên tục khi thỏa mãn điều kiện (2.15) hoặc điều kiện (2.14) trong trường hợp thỏa mãn điều kiện.
GiÊ sỷ cĂc ma trên A(t), B(t) l cĂc h m khÊ vi mồi cĐp liản tửc trản [t 0 ,∞) Hằ (2.1) l iãu khiºn ữủc ho n to n khi v ch¿ khi
Trữợc tiản ta nhên x²t rơng hằ thực sau thoÊ mÂn: d k dt k (ϕ(t, t 0 )B(t)) =ϕ(t, t 0 )M k (t), k = 0,1, , n−1. trong õ ϕ(t, t 0 ) l ma trên nghiằm cỡ bÊn cừa hằ (2.12) Tứ õ vợi tuý ỵ t 2 > t 0 , ta câ: ϕ(t 2 , t 0 )[M 0 (t 2 ), M 1 (t 2 ), , M n−1 (t 2 )] ϕ(t 2 , t 0 ), d dtϕ(t, t 0 )B(t)| t=t 2 , , d n−1 dt n−1 ϕ(t, t 0 )B(t)| t=t 2
Gồi cĂc h ng cừa ma trên F(t) l cĂc h m fi(t), i = 1,2, , n BƠy giớ náu ta giÊ sỷ hằ (2.1) l GC, thẳ khi õ theo ành lỵ 2.3, ma trên Ψ(t1, t0) l khổng suy bián vợi t1 > t0 n o õ Tứ Bờ ã 2.1 suy ra hằ fi(t) l ởc lêp tuyán tẵnh trản [t 1 , t 0 ].
M°t khĂc, vẳ A(t), B(t) l cĂc h m giÊi tẵch nản cĂc h m f i (t) s³ khÊ vi liản tửc cĐp vổ hÔn, Ăp dửng Bờ ã 2.2, cõ t 2 ∈ [t 1 , t 0 ] sao cho (2.15) thoÊ m¢n Theo ¯ng thùc (2.17) ta câ: rank ϕ(t 2 , t 0 )[M 0 (t 2 ), M 1 (t 2 ), , M n−1 (t 2 )] = n.
Vẳ ma trên ϕ(t 2 , t 0 ) không suy biến, nản (2.16) thể hiện các điều kiện cần thiết để chứng minh Để chứng minh điều kiện này, ta sử dụng lý thuyết có liên quan trong (2.16) Từ thực tiễn (2.17) có thể suy ra rank h.
F(t 2 ),F˙(t 2 ), , F n−1 (t 2 )i= n. p dửng Bờ ã 2.3, 2.1, ma trên Ψ(t1, t0) l khổng suy bián v iãu kh¯ng ành s³ ữủc suy ra ngay tứ ành lỵ 2.3. ành lỵ ữủc chựng minh.
= 2 vợi mồi t > t 0 = 0, nản theo ành lỵ 2.4 hằ l GC.
Vẳ rank [M 0 (t), M 1 (t), M 2 (t)] = 3 vợi mồi t > t 0 = 0, nản theo ành lỵ 2.4 hằ l GC.
Nhên x²t 2.3 (Xem [7]) Náu hằ l dứng, tực l cĂc ma trên Ặ), B(.) l hơng số, thẳ cĂc iãu khiºn hÔng Kalman (2.5) v (2.16) l ỗng nhĐt.
Trong khoĂ luên n y, em  trẳnh b y:
- Mởt số kián thực cỡ bÊn vã Ôi số tuyán tẵnh, giÊi tẵch thỹc v phữỡng trẳnh vi phƠn ữủc tham khÊo tứ cĂc t i liằu [1, 2, 3, 4, 5, 6].
- Tẳm hiºu ữủc mởt số khĂi niằm cỡ bÊn vã hằ iãu khiºn tuyán tẵnh liản tửc [7, 10].
Nảu ra ữủc ành lỵ v cĂch chựng minh tiảu chuân hÔng Kalman ối vợi hằ dứng, mởt số ành lỵ vã tẵnh iãu khiºn ữủc cừa cĂc hằ dứng v khổng dứng, cho vẵ dử minh hoÔ º hiºu ró hỡn.
- Nảu ró r ng cĂch xĂc ành v cho vẵ dử cử thº cĂch xĂc ành iãu khiºn chĐp nhên ữủc u(t) [4, 7].