tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng hai mức và ứng dụng

LỜI CẢM ƠNĐề tài "Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằnghai mức và một số ứng dụng" là nội dung tôi chọn để nghiên cứu vàlàm luận văn tốt nghiệp sau hai năm theo học chương

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI:TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCMCán bộ hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HƯNG

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS NGUYỄN BÁ THICán bộ chấm nhận xét 2: TS NGUYỄN MINH TÙNG

Luận văn thạc sĩ được bảovệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQGTp HCM ngày 12 tháng 01 năm 2020.

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 Chủ tịch: PGS TS Nguyễn Đình Huy2 Thư ký: TS Nguyễn Tiến Dũng3 Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi4 Phản biện 2: TS Nguyễn Minh Tùng5 Ủy viên: TS Cao Thanh Tình

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng khoa quản lýchuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

Đại Học Quốc Gia TP.HCMCộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

MSHV: 1770485Họ và tên học viên: NGÔ THỊ HOÀI AN

Nơi sinh: Đồng ThápNgày, tháng, năm sinh: 01.05.1995

Mã số: 60460112Chuyên ngành: Toán Ứng dụng

TÊN ĐỀ TÀI: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHOBÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC VÀ ỨNG DỤNG.

I NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:- Kiến thức chuẩn bị.

- Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng hai mức.- Ứng dụng.

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19/08/2019

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 18/12/2019IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN VĂN HƯNG

Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm

LỜI CẢM ƠN

Đề tài "Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằnghai mức và một số ứng dụng" là nội dung tôi chọn để nghiên cứu vàlàm luận văn tốt nghiệp sau hai năm theo học chương trình cao học chuyênngành Toán Ứng Dụng tại trường Đại học Bách Khoa TP HCM.

Để hoàn thành quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này, lờiđầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy, TS Nguyễn VănHưng, người đã trực tiếp hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp đỡ, hỗ trợtôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành Luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả quý Thầy Cô trong Bộ môn ToánỨng Dụng, khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thànhphố Hồ Chí Minh đã hết lòng giảng dạy và truyền thụ kiến thức giúp tôicó một nền tảng kiến thức khoa học để thực hiện Luận văn.

Tôi cũng xin cảm ơn những người thân và những người bạn lớp Cao họcToán Ứng Dụng khóa 2017 đã luôn đồng hành, hỗ trợ, giúp đỡ tôi trongsuốt quá trình học cũng như quá trình thực hiện và hoàn thành Luận văn.Sau cùng, tôi xin trân trọng tiếp nhận tất cả những đánh giá và ý kiếnđóng góp quý báu của quý Thầy Cô, các bạn bè và đồng nghiệp cũng nhưtất cả những ai có quan tâm đến Luận văn này, để tôi có thêm kiến thứcnhằm bổ sung và hoàn thiện tốt hơn cho những hạn chế và thiếu sót khótránh khỏi trong quá trình thực hiện luận văn.

Rất trân trọng và xin chân thành cảm ơn.

Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 01 năm 2020Người thực hiện Luận văn

Ngô Thị Hoài An

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tóm tắt Mục tiêu của luận văn này để thiết lập tính ổn định của ánhxạ nghiệm cho bài toán cân bằng hai mức véctơ trong không gian Hausdorfflồi địa phương Đầu tiên, chúng tôi nghiên cứu điều kiện ổn định như tínhnửa liên tục trên, tính nửa liên tục trên Hausdorff, nửa liên tục dưới, nửaliên tục dưới Hausdorff, tính liên tục và tính liên tục Hausdorff cho ánhxạ nghiệm của bài toán này Sau đó, chúng tôi ứng dụng cho bài toán bấtđẳng thức biến phân véctơ với ràng buộc cân bằng Nhiều ví dụ được đưara để minh họa cho các kết quả của chúng tôi.

Từ khóa Bài toán cân bằng hai mức; Bất đẳng thức biến phân với ràngbuộc cân bằng; Tính nửa liên tục trên(dưới); Tính nửa liên tục trên(dưới)Hausdorff, Tính liên tục (Hausdorff).

Keywords Bilevel vector equilibrium problems; Variational inequalitywith equilibrium constraints; Upper (lower) semicontinuity; Upper (lower)

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Ngô Thị Hoài An, mã số học viên: 1770485, học viên cao họcchuyên ngành Toán ứng Dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố HồChí Minh, khóa 2017 - 2019 Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quảtham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các nộidung được trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hưng và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệmtính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp Hồ Chí Minh, ngày 12 tháng 01 năm 2020Học viên thực hiện

Ngô Thị Hoài An

1 Tổng quan và tính cấp thiết của đề tài 1

2 Cơ sở và phương pháp nghiên cứu 2

3 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 3

4 Nội dung nghiên cứu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 41.1 Khái niệm ánh xạ đa trị 4

1.2 Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển 5

2 Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng haimức 82.1 Bài toán cân bằng hai mức 8

2.2 Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm 9

2.3 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm 15

3 Ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràngbuộc cân bằng 213.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng 213.2 Tính ổn định của ánh xạ nghiệm 22

Kết luận chung và kiến nghị 25Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận văn 26

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU

R Tập các số thực

R+ Tập hợp các số thực không âmRn Không gian thực n-chiều

K K = R hoặc K = Cx ∈ M x thuộc M

x 6∈ M x không thuộc M∀x ∈ M Với mọi x thuộc M∃x ∈ M Tồn tại x thuộc MdomF Miền hiệu quả của FgraphF Đồ thị của F

(WQVEP) Bài toán tựa cân bằng yếu phụ thuộc tham(SQVEP) Bài toán tựa cân bằng mạnh phụ thuộc tham(WBVEP) Bài toán cân bằng hai mức yếu phụ thuộc tham số(SBVEP) Bài toán cân bằng hai mức mạnh phụ thuộc tham số

(WVIEC) Bài toán bất đẳng thức biến phân yếu với ràng buộc cân bằng(SVIEC) Bài toán bất đẳng thức biến phân mạnh với ràng buộc cân

bằng

MỞ ĐẦU

Lý thuyết tối ưu là một trong những lĩnh vực quan trọng của Toánhọc và có ảnh hưởng đến nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, kinh tế vàxã hội Trong những năm gần đây, lý thuyết tối ưu phát triển mạnh mẽvới nhiều công trình nghiên cứu về nhiều hướng khác nhau của nhiều tácgiả trong và ngoài nước Những hướng nghiên cứu trên các loại bài toántối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng được khaithác nhiều, chẳng hạn như sự tồn tại của tập nghiệm, tính đặc chỉnh củabài toán, tính hội tụ của tập nghiệm và tính ổn định của tập nghiệm baogồm các loại nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên, liên tục và một số chủđề khác chúng ta có thể xem trong các tài liệu ([2, 8, 10, 4, 13, 11] và cáctài liệu tham khảo ở trong đó).

Bài toán cân bằng được giới thiệu và nghiên cứu lần đầu tiên vào năm1994 bởi Blum và Oettli [7] Sau đó, bài toán này đã được mở rộng chonhiều mô hình khác nhau với những không gian khác nhau cho những chủđề khác nhau chẳng hạn như sự tồn tại của các nghiệm, tính ổn định củacác nghiệm và tính đặt chỉnh theo nghĩa của Hadamard và Tikhonov.

Mặt khác, bài toán cân bằng hai mức lần đầu tiên đươc nghiên cứu bởiMordukhovich trong năm 2004 [18], bài toán này đã được kết hợp giữahai bài toán cân bằng nghĩa là bài toán cân bằng thứ hai (mức trên) phụthuộc vào dữ liệu của bài toán thứ nhất (mức dưới) Bài toán cân bằnghai mức chứa rất nhiều các bài toán khác như là các trường hợp đặc biệtbao gồm bài toán quy hoạch hai mức, bài toán tối ưu hai mức, bài toánbất đẳng thức biến phân hai mức, bài toán quy hoạch với ràng buộc cânbằng, bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng, Về sau, bài toán này đã

có nhiều sự quan tâm trong việc nghiên cứu các điều kiện tồn tại, ổn địnhvà tính đặt chỉnh ([1, 12, 3]).

Tính ổn định của các nghiệm là một chủ đề quan trọng trong lý thuyếttối ưu và ứng dụng Cho đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu vềcác điều kiện ổn định nghiệm cho bài toán liên quan đến tối ưu như cácbài toán tối ưu ([14, 11]), các bài toán bất đẳng thức biến phân ([15, 16]),các bài toán về tựa cân bằng ([2, 4]) Gần đây Anh và Hưng [1] đã thiếtlập bài toán cân bằng véctơ hai mức mạnh, sau đó các tác giả đã thiếtlập điều kiện ổn định nghiệm như tính nửa liên tục trên, tính mở ngoài,tính nửa liên tục dưới, tính mở trong, tính liên tục dưới Hausdorff và tínhliên tục cho bài toán này Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi đến thờiđiểm hiện tại chưa có bất kì công trình nào nghiên cứu về tính ổn định củanghiệm chính xác cho bài toán cân bằng véctơ hai mức yếu Vì vậy, đây làmột chủ đề mở và thú vị đang được nhiều người quan tâm nghiên cứu.

Xuất phát từ động cơ nghiên cứu như đã đề cập ở trên, chúng tôi chọnchủ đề về “Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng haimức” để làm luận văn thạc sĩ Chúng tôi xét các bài toán cân bằng véctơhai mức yếu phụ thuộc tham số trong không gian véctơ tôpô Hausdorff.Ngoài ra, chúng tôi cũng nhắc lại bài toán cân bằng véctơ hai mức mạnhtrong [1] Điều kiện đủ cho sự ổn định nghiệm của các bài toán này là đượcthiết lập bao gồm: nửa liên tục trên, nửa liên tục trên Hausdorff, nửa liêntục dưới, nửa liên tục dưới Hausdorff, liên tục và liên tục Hausdorff, đóng.Để ứng dụng cho các kết quả chính, tính ổn định của các nghiệm cho bàitoán bất đẳng thức biến phân véctơ với ràng buộc cân bằng cũng đượcchúng tôi đề xuất và nghiên cứu.

- Đọc sách và tham khảo các tài liệu có liên quan.- Phân loại và hệ thống kiến thức có liên quan.

- Phân tích, xử lý tài liệu, báo cáo seminar, trao đổi với thầy hướngdẫn và các đồng nghiệp cùng hướng nghiên cứu.

3Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán cân bằng véctơ hai mức yếu vàmạnh, bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng yếu và mạnh.

- Phạm vi nghiên cứu: Toán ứng dụng.

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày trong ba chương TrongChương 1, chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong giải tíchđa trị Trong Chương 2, chúng tôi sẽ thiết lập tính ổn định nghiệm chobài toán cân bằng véctơ hai mức yếu và mạnh Trong Chương 3, chúng tôiđưa ra một số ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ vớicác ràng buộc cân bằng Cụ thể là:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị.

1.2 Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển.

Chương 2 Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng haimức

2.1 Bài toán cân bằng hai mức.

2.2 Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm.2.3 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm.

Chương 3 Ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràngbuộc cân bằng

3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng.3.2 Tính ổn định của ánh xạ nghiệm.

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi chỉ hệ thống lại một số khái niệm cơ bảnvề giải tích đa trị để phục vụ cho nội dung chính của chúng tôi Các kháiniệm này được chúng tôi trích ra từ các tài liệu chính [5, 6, 9, 17] và mộtsố tài liệu khác.

1.1.1 Định nghĩa ([5, p 1]) Ánh xạ đa trị F từ tập X vào tập Y , kýhiệu F : X ⇒ Y là một quy luật cho tương ứng mỗi điểm x ∈ X với mộttập F (x) ⊂ Y

Ánh xạ đa trị còn có tên gọi khác nữa là: Hàm đa trị hay ánh xạ điểmvào tập Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm một phần tử của Y thì tanói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y

Trước khi nghiên cứu sâu hơn, chúng ta làm quen với các định nghĩacơ bản liên quan đến ánh xạ đa trị.

1.1.2 Định nghĩa ([6, Definition 1.3.1]) Miền hiệu quả domF và đồ thịgraphF của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bởi cáccông thức:

domF := {x ∈ X | F (x) 6= ∅},graphF :=(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x)

Ánh xạ đa trị F được gọi là tầm thường nếu domF = ∅ và được gọi làchặt nếu domF = X.

1.1.3 Định nghĩa ([17, Definition 1.1]) Một tập con khác rỗng C củakhông gian véctơ tôpô X được gọi là một nón lồi nếu C + C ⊂ C vàλC ⊂ C, ∀λ > 0 Một nón C được gọi là có đỉnh nếu C ∩ (−C) = {0}.1.1.4 Định nghĩa ([17]) Cho X, Z là hai không gian tuyến tính và hàmđa trị F : X ⇒ Z Khi đó, F được gọi là lồi (lõm) trên một tập con lồiA ⊂ X nếu với mọi x1, x2 ∈ A và t ∈ [0, 1],

tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊂ F (tx1+ (1 − t)x2)

(F (tx1+ (1 − t)x2) ⊂ tF (x1) + (1 − t)F (x2), tương ứng).

Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục trên vànửa liên tục dưới theo nghĩa Berge.

1.2.1 Định nghĩa ([5, Definitions 1-3]) Giả sử X, Y là hai không giantôpô Hausdorff và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị.

(i) F được gọi là nửa liên tục trên (gọi tắt là usc) tại x0 ∈ domF nếu vớimọi lân cận V của F (x0), tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x) ⊂V, ∀x ∈ U

(ii) F được gọi là nửa liên tục dưới (gọi tắt là lsc) tại x0 ∈ domF nếu vớimọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x0) ∩ V 6= ∅, tồn tại lân cận U củax0 sao cho F (x) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈ U

(iii) F được gọi là liên tục tại x0 ∈ domF , nếu F là usc và lsc tại x0 ∈domF

(iv) F được gọi là đóng tại x0 ∈ domF nếu với mỗi lưới {(xα, zα)} ⊂graphF sao cho (xα, zα) → (x0, z0), thì z0 ∈ F (x0).

Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục theo nghĩaHausdorff.

1.2.2 Định nghĩa ([9]) Giả sử X là không gian tôpô Hausdorff, Y làkhông gian véctơ tôpô Hausdorff và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị.

(i) F được gọi là nửa liên tục trên theo Hausdorff (gọi tắt là H-usc) tạix0 ∈ domF nếu với mọi lân cận B của gốc trong Y , tồn tại một lâncận U của x0 sao cho F (x) ⊂ F (x0) + B, ∀x ∈ U

(ii) F được gọi là nửa liên tục dưới theo Hausdorff (gọi tắt là H-lsc) tạix0 ∈ domF nếu với mỗi lân cận B của gốc trong Y , tồn tại một lâncận U của x0 sao cho F (x0) ⊂ F (x) + B, ∀x ∈ U

(iii) F được gọi là liên tục Hausdorff tại x0 ∈ domF , nếu F là H-usc vàH-lsc tại x0 ∈ domF

Nếu một ánh xạ thỏa mãn một tính chất nào đó tại mọi điểm của tậpA ⊂ X, thì nó thỏa mãn tính chất này trong A Nếu A = X, ta bỏ qua“trong X” trong phát biểu.

Sau đây là một số tính chất quan trọng.

1.2.3 Bổ đề ([5, 6]) Giả sử X, Y là hai không gian véctơ tôpô Hausdorffvà F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị.

(i) Nếu F là usc tại x0 và F (x0) là đóng thì F là đóng tại x0;

(ii) Nếu F là usc tại x0 thì F là H-usc tại x0 Ngược lại, nếu F là H-usctại x0 và nếu F (x0) compắc, thì F là usc tại x0;

(iii) Nếu F là H-lsc tại x0 thì F là lsc Ngược lại là đúng nếu F (x0) làcompắc;

(iv) F là lsc tại x0 khi và chỉ khi với mọi lưới {xα} ⊂ X hội tụ đến x0 vàvới mọi y0 ∈ F (x0), tồn tại yα ∈ F (xα) sao cho yα → y0.

1.2.4 Bổ đề ([15, Lemma 2.1]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô

Haus-nửa liên tục trên tại x0 khi và chỉ khi với mọi lưới {xα} ⊂ X hội tụ về xvà với mọi {yα} ⊂ F (xα), tồn tại y ∈ F (x) và một lưới con {yβ} của {yα}sao cho yβ → y.

CHƯƠNG 2

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHOBÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC

Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô Hausdorff lồi địa phương,A và Λ là các tập con khác rỗng của X và Y , tương ứng, C1 ⊂ Z lànón lồi có đỉnh với intC1 6= ∅, trong đó intC1 là phần trong của C1 LấyKi : A × Λ → A, i = 1, 2 là các hàm đa trị, f : A × A × Λ → Z là hàmvéctơ Với mỗi λ ∈ Λ, chúng ta xét hai bài toán tựa cân bằng phụ thuộctham số sau:

(WQVEP) Tìm ¯x ∈ K1(¯x, λ) sao cho

f (¯x, y, λ) 6∈ −intC1, ∀y ∈ K2(¯x, λ).(SQVEP) Tìm ¯x ∈ K1(¯x, λ) sao cho

f (¯x, y, λ) ∈ C1, ∀y ∈ K2(¯x, λ).

Với mỗi λ ∈ Λ, đặt E(λ) = {x ∈ A : x ∈ K1(x, λ)}, chúng ta kýhiệu tập nghiệm của bài toán (WQVEP) và (SQVEP) bởi Sw(λ) và Ss(λ),tương ứng.

Cho W, P là các không gian véctơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, Γ làmột tập con khác rỗng của W , C2 ⊂ P là nón lồi có đỉnh với intC2 6= ∅,B = A × Λ, h : B × B × Γ → P là hàm véctơ Chúng ta xét hai bài toáncân bằng véctơ hai mức yếu và mạnh phụ thuộc tham số sau:

(WBVEP) Tìm ¯x∗ ∈ graphSw−1 sao cho

h(¯x∗, y∗, γ) 6∈ −intC2, ∀y∗ ∈ graphSw−1.(SBVEP) Tìm ¯x∗ ∈ graphSs−1 sao cho

h(¯x∗, y∗, γ) ∈ C2, ∀y∗ ∈ graphSs−1,

trong đó Sw(λ) và Ss(λ) là các tập nghiệm của bài toán (WQVEP) và(SQVEP), tương ứng, graphSw−1 và graphSs−1 ký hiệu là đồ thị của Sw−1 vàSs−1, nghĩa là

graphSw−1 = {(x, λ) : x ∈ Sw(λ)} và graphSs−1 = {(x, λ) : x ∈ Ss(λ)}.Chú ý rằng γ là tham số của (WBVEP) và (SBVEP), λ là tham số của(WQVEP) và (SQVEP).

Với mỗi γ ∈ Γ, λ ∈ Λ, chúng ta ký hiệu tập nghiệm của (WBVEP) và(SBVEP) bởi Ψw(γ) và Ψs(γ), tương ứng, nghĩa là

Ψw(γ) ={¯x∗ = (¯x, λ) ∈ graphSw−1 : h(¯x∗, y∗, γ) 6∈ −intC2, ∀y∗ ∈ graphSw−1và f (¯x, y, λ) 6∈ −intC1, ∀y ∈ K2(¯x, λ)},

Ψs(γ) ={¯x∗ = (¯x, λ) ∈ graphSs−1 : h(¯x∗, y∗, γ) ∈ C2, ∀y∗ ∈ graphSs−1và f (¯x, y, λ) ∈ C1, ∀y ∈ K2(¯x, λ)}.

Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, A ⊆ X là một tập con khácrỗng, f : A → Y , θ ∈ Y là hàm véctơ và C ⊂ Y là nón lồi đóng có đỉnhvới intC 6= ∅ Chúng ta sẽ sử dụng các tập mức sau đây:

L6<θf := {x ∈ A : f (x) 6∈ θ − intC},L≥θf := {x ∈ A : f (x) ∈ θ + C},L6>θf := {x ∈ A : f (x) 6∈ θ + intC},L≤θf := {x ∈ A : f (x) ∈ θ − clC}.

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu các điều kiện đủ cho tính nửa liêntục trên và tính nửa liên tục trên Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bàitoán (WBVEP) và (SBVEP).

Đầu tiên, chúng tôi thiết lập tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệmcho bài toán cân bằng hai mức yếu (WBVEP).

2.2.1 Định lý Với bài toán (WBVEP), ta giả sử rằng Λ compắc và cácđiều kiện sau đây thỏa mãn

(i) E là nửa liên tục trên với giá trị compắc và K2 là nửa liên tục dưới;(ii) L6<0f là đóng trong A × A × Λ;

(iii) L6<0h là đóng trong B × B × {γ0}.

Khi đó, Ψw là nửa liên tục trên và đóng tại γ0.

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng Ψw là không nửa liên tục trên tại γ0.Khi đó, tồn tại một tập mở V chứa Ψw(γ0) và một lưới {γα} ⊂ Γ hội tụđến γ0 sao cho tồn tại x∗α = (xα, λα) ∈ Ψw(γα) \ V với mọi α Từ tínhcompắc của Λ, ta có thể giả sử rằng λα → λ0 với λ0 ∈ Λ Vì xα ∈ E(λα) vàE là nửa liên tục trên với giá trị compắc, ta giả sử rằng xα → x0 ∈ E(λ0).Bây giờ ta chứng tỏ x∗0 = (x0, λ0) ∈ graphSw−1, nghĩa là, x0 ∈ Sw(λ0) Nếux0 6∈ Sw(λ0) khi đó tồn tại y0 ∈ K2(x0, λ0) sao cho