LỜI CẢM ƠNĐề tài "Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằnghai mức và một số ứng dụng" là nội dung tôi chọn để nghiên cứu vàlàm luận văn tốt nghiệp sau hai năm theo học chương
Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển
Chương 2 Tính ổn định của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng hai mức
Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm
Chương 3 Ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng
3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc cân bằng.3.2 Tính ổn định của ánh xạ nghiệm.
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi chỉ hệ thống lại một số khái niệm cơ bản về giải tích đa trị để phục vụ cho nội dung chính của chúng tôi Các khái niệm này được chúng tôi trích ra từ các tài liệu chính [5, 6, 9, 17] và một số tài liệu khác.
1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị
1.1.1 Định nghĩa ([5, p 1]) Ánh xạ đa trị F từ tập X vào tập Y, ký hiệu F :X ⇒ Y là một quy luật cho tương ứng mỗi điểm x ∈ X với một tập F(x) ⊂ Y. Ánh xạ đa trị còn có tên gọi khác nữa là: Hàm đa trị hay ánh xạ điểm vào tập Nếu với mỗi x ∈ X tập F(x) chỉ gồm một phần tử của Y thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y.
Trước khi nghiên cứu sâu hơn, chúng ta làm quen với các định nghĩa cơ bản liên quan đến ánh xạ đa trị.
1.1.2 Định nghĩa ([6, Definition 1.3.1]) Miền hiệu quả domF và đồ thị graphF của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bởi các công thức: domF := {x ∈ X|F(x)6= ∅}, graphF :(x, y) ∈ X ×Y |y ∈F(x) Ánh xạ đa trị F được gọi là tầm thường nếu domF = ∅ và được gọi là chặt nếu domF = X.
1.1.3 Định nghĩa ([17, Definition 1.1]) Một tập con khác rỗng C của không gian véctơ tôpô X được gọi là một nón lồi nếu C + C ⊂ C và λC ⊂ C, ∀λ > 0 Một nón C được gọi là có đỉnh nếu C ∩(−C) ={0}.
1.1.4 Định nghĩa ([17]) Cho X, Z là hai không gian tuyến tính và hàm đa trị F : X ⇒ Z Khi đó, F được gọi là lồi (lõm) trên một tập con lồi
A ⊂ X nếu với mọi x1, x2 ∈ A và t ∈ [0,1], tF(x1) + (1−t)F(x2) ⊂ F(tx1+ (1−t)x2) (F(tx1+ (1−t)x2) ⊂ tF(x1) + (1−t)F(x2),tương ứng).
Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge.
1.2 Một số khái niệm tính nửa liên tục cổ điển
1.2.1 Định nghĩa ([5, Definitions 1-3]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô Hausdorff và F :X ⇒Y là ánh xạ đa trị.
(i) F được gọi lànửa liên tục trên (gọi tắt là usc) tại x0 ∈domF nếu với mọi lân cận V của F(x0), tồn tại lân cận U của x0 sao cho F(x) ⊂
(ii) F được gọi là nửa liên tục dưới (gọi tắt là lsc) tại x0 ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F(x0)∩V 6= ∅, tồn tại lân cận U của x 0 sao cho F(x)∩V 6= ∅,∀x ∈U.
(iii) F được gọi là liên tục tại x 0 ∈ domF, nếu F là usc và lsc tại x 0 ∈ domF.
(iv) F được gọi là đóng tại x 0 ∈ domF nếu với mỗi lưới {(x α , z α )} ⊂ graphF sao cho (x α , z α ) → (x 0 , z 0 ), thì z 0 ∈F(x 0 ).
Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu các khái niệm nửa liên tục theo nghĩa Hausdorff.
1.2.2 Định nghĩa ([9]) Giả sử X là không gian tôpô Hausdorff, Y là không gian véctơ tôpô Hausdorff và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị.
(i) F được gọi là nửa liên tục trên theo Hausdorff (gọi tắt là H-usc) tại x 0 ∈ domF nếu với mọi lân cận B của gốc trong Y, tồn tại một lân cận U của x 0 sao cho F(x)⊂ F(x 0 ) +B,∀x∈ U.
(ii) F được gọi là nửa liên tục dưới theo Hausdorff (gọi tắt là H-lsc) tại x 0 ∈ domF nếu với mỗi lân cận B của gốc trong Y, tồn tại một lân cận U của x 0 sao cho F(x 0 ) ⊂ F(x) +B,∀x∈ U.
(iii) F được gọi là liên tục Hausdorff tại x 0 ∈ domF, nếu F là H-usc và H-lsc tại x0 ∈ domF.
Nếu một ánh xạ thỏa mãn một tính chất nào đó tại mọi điểm của tập
A ⊂ X, thì nó thỏa mãn tính chất này trong A Nếu A = X, ta bỏ qua
Sau đây là một số tính chất quan trọng.
1.2.3 Bổ đề ([5, 6]) Giả sử X, Y là hai không gian véctơ tôpô Hausdorff và F :X ⇒ Y là ánh xạ đa trị.
(i) Nếu F là usc tại x 0 và F(x 0 ) là đóng thì F là đóng tại x 0 ;
(ii) Nếu F là usc tại x 0 thì F là H-usc tại x 0 Ngược lại, nếu F là H-usc tại x 0 và nếu F(x 0 ) compắc, thì F là usc tại x 0 ;
(iii) Nếu F là H-lsc tại x 0 thì F là lsc Ngược lại là đúng nếu F(x 0 ) là compắc;
(iv) F là lsc tại x 0 khi và chỉ khi với mọi lưới {x α } ⊂ X hội tụ đến x 0 và với mọi y 0 ∈ F(x 0 ), tồn tại y α ∈ F(x α ) sao cho y α → y 0
1.2.4 Bổ đề ([15, Lemma 2.1]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô Haus- nửa liên tục trên tại x0 khi và chỉ khi với mọi lưới {xα} ⊂ X hội tụ về x và với mọi {yα} ⊂ F(xα), tồn tại y ∈ F(x) và một lưới con {yβ} của {yα} sao cho yβ → y.
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM CHO
BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI MỨC
2.1 Bài toán cân bằng hai mức
Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô Hausdorff lồi địa phương,
A và Λ là các tập con khác rỗng của X và Y, tương ứng, C 1 ⊂ Z là nón lồi có đỉnh với intC 1 6= ∅, trong đó intC 1 là phần trong của C 1 Lấy
Ki : A ×Λ → A, i = 1,2 là các hàm đa trị, f : A ×A ×Λ → Z là hàm véctơ Với mỗi λ ∈ Λ, chúng ta xét hai bài toán tựa cân bằng phụ thuộc tham số sau:
(WQVEP) Tìm x¯ ∈ K1(¯x, λ) sao cho f(¯x, y, λ)6∈ −intC 1 ,∀y ∈ K 2 (¯x, λ).
Với mỗi λ ∈ Λ, đặt E(λ) = {x ∈ A : x ∈ K 1 (x, λ)}, chúng ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán (WQVEP) và (SQVEP) bởiS w (λ) và S s (λ), tương ứng.
Cho W, P là các không gian véctơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, Γ là một tập con khác rỗng của W, C2 ⊂ P là nón lồi có đỉnh với intC2 6= ∅,
B = A×Λ, h : B×B× Γ→ P là hàm véctơ Chúng ta xét hai bài toán cân bằng véctơ hai mức yếu và mạnh phụ thuộc tham số sau:
(WBVEP) Tìm x¯ ∗ ∈ graphS w −1 sao cho h(¯x ∗ , y ∗ , γ) 6∈ −intC 2 ,∀y ∗ ∈ graphS w −1 (SBVEP) Tìm x¯ ∗ ∈ graphS s −1 sao cho h(¯x ∗ , y ∗ , γ) ∈ C2,∀y ∗ ∈graphS s −1 , trong đó Sw(λ) và Ss(λ) là các tập nghiệm của bài toán (WQVEP) và (SQVEP), tương ứng, graphS w −1 và graphS s −1 ký hiệu là đồ thị của S w −1 và
S s −1 , nghĩa là graphS w −1 ={(x, λ) : x∈ Sw(λ)} và graphS s −1 = {(x, λ) : x ∈Ss(λ)}.
Chú ý rằng γ là tham số của (WBVEP) và (SBVEP), λ là tham số của (WQVEP) và (SQVEP).
Với mỗi γ ∈ Γ, λ ∈ Λ, chúng ta ký hiệu tập nghiệm của (WBVEP) và (SBVEP) bởi Ψ w (γ) và Ψ s (γ), tương ứng, nghĩa là Ψw(γ) ={¯x ∗ = (¯x, λ) ∈ graphS w −1 :h(¯x ∗ , y ∗ , γ) 6∈ −intC 2 ,∀y ∗ ∈graphS w −1 và f(¯x, y, λ) 6∈ −intC 1 ,∀y ∈ K 2 (¯x, λ)}, Ψs(γ) ={¯x ∗ = (¯x, λ) ∈ graphS s −1 :h(¯x ∗ , y ∗ , γ) ∈C2,∀y ∗ ∈ graphS s −1 và f(¯x, y, λ) ∈C 1 ,∀y ∈K 2 (¯x, λ)}.
Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, A ⊆ X là một tập con khác rỗng, f : A → Y, θ ∈ Y là hàm véctơ và C ⊂ Y là nón lồi đóng có đỉnh với intC 6= ∅ Chúng ta sẽ sử dụng các tập mức sau đây:
2.2 Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu các điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục trên Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bài toán (WBVEP) và (SBVEP). Đầu tiên, chúng tôi thiết lập tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm cho bài toán cân bằng hai mức yếu (WBVEP).
2.2.1 Định lý Với bài toán (WBVEP), ta giả sử rằng Λ compắc và các điều kiện sau đây thỏa mãn
(i) E là nửa liên tục trên với giá trị compắc và K2 là nửa liên tục dưới; (ii) L 6