skkn cấp tỉnh một số giải pháp tìm giới hạn của dãy số

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TÔ HIẾN THÀNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Người thực hiện: Trịnh Thị MaiChức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2024

MỤC LỤC

1 Mở đầu……… 1

1.1 Lý do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm………2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 2

2.3 Một số giải pháp tìm giới hạn của hàm số 3

2.3.1 Các kiến thức cơ bản.… 3

2.3.2 Một số giải pháp tìm giới hạn của dãy số ……….……… 4

Dạng toán 1 Tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa 4

Dạng toán 2 Tìm giới hạn bằng cách dùng các định lí cơ bản……….……5

Dạng toán 2.1 Giới hạn hữu hạn……….……… 5

Giải pháp 1: , .5

Giải pháp 2: hoặc với và ………7

Dạng toán 2.2 Giới hạn vô cực ……….……….……….8

Giải pháp 1: Giới hạn của hàm đa thức hoặc hàm chứa căn……….8

Giải pháp 2: Giới hạn của hàm phân thức……….8

Giải pháp 3: Giới hạn của hàm chứa lũy thừa bậc n……… 10

Dạng 2.3 Giới hạn dãy truy hồi……….……….………11

Giải pháp 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số để tính giới hạn dãy số bằngcác quy tắc tính giới hạn……… 11

Giải pháp 2: Sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp……….12

Giải pháp 3: Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass 13

Dạng toán 3 Cấp số nhân lùi vô hạn và ứng dụng thực tế……… 13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bảnthân, đồng nghiệp và nhà trường……… ……… 17

3 Kết luận và kiến nghị………18

3.1 Kết luận………18

3.2 Kiến nghị……… 18

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong dạy học bộ môn ở trường THPT ngoài việc giúp cho học sinh nắmvững kiến thức cơ bản, giáo dục chính trị tư tưởng, phẩm chất đạo đức cho cácem, người giáo viên còn phải giúp cho các em năng lực nhận thức Sự yếu kémcủa học sinh 11 trong vấn đề giải tự luận khi học đến chương giới hạn, nhiềuhọc sinh nhất là học sinh trung bình và yếu thường gặp nhiều khó khăn khi giảicác bài toán về giới hạn của dãy số Học sinh thường không biết phải từ đâu vàlàm như thế nào để giải được Đặc biệt trong tình hình thi trắc nghiệm môn toánnhư hiện nay thì việc tìm ra kết quả của bài toán nhanh, chính xác là hết sứcquan trọng Vì thế việc hướng dẫn cho học sinh, nhất là học sinh trung bình vàyếu giải được một số bài toán về giới hạn của hàm số sao cho có kết quả nhanhmà chính xác là rất cần thiết Từ đó mới giúp được các em có điểm số tốt trongcác kỳ thi Học kỳ và thi Tốt nghiệp Với mục đích đó tôi viết sáng kiến “Một sốgiải pháp tìm giới hạn của dãy số” Sáng kiến kinh nghiệm nhằm giúp các emhọc sinh trung bình và yếu giải được đúng đáp số bài toán nhanh chóng

Năm học 2023-2024 nhà trường phân công tôi giảng dạy hai lớp: 11 A4 và11 A5, đa số các em học yếu môn toán, bằng cách dạy cho các em nắm được cơsở lý thuyết, trên cơ sở có sự hỗ trợ của máy tính Tôi thấy kết quả so sánh giữalàm tự luận thông thường so với sử dụng những dạng toán do tôi cung cấp trongsáng kiến có sự chênh lệch đáng kể, theo chiều hướng điểm số tốt hơn (cụ thểkết quả tôi nêu ở mục kết quả nghiên cứu) Vì thế năm nay tôi viết đề tài này,với mong muốn giúp các em học sinh nhất là học sinh trung bình và yếu có thểđạt được điểm tốt trong kỳ thi Học kỳ và thi Tốt nghiệp 2024-2025 sắp tới

1.2 Mục đích nghiên cứu

Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 11 ở trườngTHPT Tô Hiến Thành, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã

tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề giúphọc sinh giải được một số dạng toán tìm giới hạn của dãy số.

Qua nội dung của đề tài này tôi muốn bồi dưỡng cho học sinh về phươngpháp, kỹ năng giải nhanh trong một số bài toán về giới hạn dãy số Hy vọng vớiđề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cáinhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về tìm giới hạncủa dãy số.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Giới hạn của dãy số Nội dung nằm ở sách giáo khoa Toán 11 Xây dựngcác bài toán về tím giới hạn của dãy số và các giải pháp giúp học sinh khắc phụcsai lầm trong các bài toán tìm giới hạn của dãy số.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung.

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 11 trong năm học - Thời gian nghiên cứu: Năm học 2023– 2024.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nhiệm vụ trung tâm trong Trường THPT là hoạt động dạy của thầy vàhoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạonhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sốngcủa con người Môn toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiếnthức rộng, đa phần các em ngại học môn này.

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ởmôn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải.

Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đíchgiúp học sinh giải được một số bài toán tìm giới hạn của dãy số.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua quá trình giảng dạy lớp 11 nhiều năm ở Trường THPT Tô HiếnThành tôi thấy học sinh thường lúng túng trước một bài toán tìm giới hạn củadãy số, chưa hệ thống được kiến thức, không định được hướng giải quyết, vìthế tôi đã hệ thống một số dạng bài tập yêu cầu học sinh phải nắm vững và từđó có thể giải được bài toán đã nêu.

Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉrõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợplý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận cólogic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên cơ sở đóhình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán tìm giới hạn củadãy số.

2.3 Một số giải pháp tìm giới hạn của dãy số

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến củađồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinhvới những giải pháp cụ thể giúp học sinh khắc phục những sai lầm trên và quađó rèn luyện kĩ năng giải các bài toán tìm giới hạn của dãy số.

2.3.1 Các kiến thức cơ bản

Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ các kiến thức cơ bản sau:

I Định nghĩa

1 Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số

- Định nghĩa 1: Ta nói dãy số có giới hạn là khi dần tới dương vô

cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó

- Định nghĩa 2: Ta nói dãy số có giới hạn là khi , nếu

2 Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số

- Ta nói dãy số có giới hạn là khi , nếu có thể lớn hơn mộtsố dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

II Một số giới hạn đặc biệt và định lí về giới hạn dãy số.

Giới hạn hữu hạnGiới hạn vô cực1 Giới hạn đặc biệt:

2.3.2 Một số giải pháp tìm giới hạn của dãy số

Dạng toán 1 Tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩaPhương pháp giải:

Nếu thì nếu

Lời giải

Ví dụ 2 Cho dãy số với Chứng minh rằng [1]

Giải pháp 1: ,

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho

Áp dụng định lý cơ bản và giới hạn hữu hạn đặc biệt để tính giới hạn.

Chia cả tử và mẫu cho n với số mũ cao nhất.

Áp dụng định lý cơ bản và giới hạn hữu hạn đặc biệt để tính giới hạn

Dạng toán 2.2 Giới hạn vô cực

Giải pháp 1: Giới hạn của hàm đa thức hoặc hàm chứa cănPhương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung Áp dụng các quy tắc tính giới hạn để tính.

Giải pháp 2: Giới hạn của hàm phân thức

Phương pháp giải: Rút bậc cao nhất của tử và rút bậc cao nhất của mẫu.

Dạng 2.3 Giới hạn dãy truy hồi

Giải pháp 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số để tính giới hạn dãy số

Dãy là một cấp số nhân có số hạng với số hạng đầu

Giải pháp 2: Sử dụng ‘nguyên lý giới hạn kẹp’.

thì

Lời giải

Từ công thức xác định dãy suy ra

Giải sử dãy có giới hạn L, giải phương trình ta được nghiệm dương Ta chứng minh

Vì nên theo nguyên lý giới hạn kẹp suy ra

Giải pháp 3: Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass

Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì dãy số đó có giới hạn.

Ví dụ 28 Cho dãy số : Tính [1]

Lời giải

Ta chứng minh quy nạp được

) Suy ra dãy tăng và bị chặn trên nên có giới

Vậy

Lời giải

Từ công thức xác định dãy suy ra

Ta chứng minh là dãy số bị chặn trên bởi 2 bằng phương quy nạp Thật vậy ta có Giả sử thì

nên Ta chứng minh dãy ( ) tăng

Thật vậy

Dãy là dãy tăng và bị chặn trên nên có giới hạn.

2 Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Ví dụ 30 Tính tổng vô hạn của biểu thức [1]

Ta có là tổng số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số

hạng đầu là và công bội là , nên

Tương tự: Do đó

Ví dụ 33 Cho hình vuông cạnh bằng Người ta lấy bốn trung điểm các cạnh

của hình vuông trên để được hình vuông nhỏ hơn nằm bên trong hình vuông bênngoài Quy trình làm như vậy diễn ra tới vô hạn Tính tổng diện tích tất cả hình

Lời giải

Ta có hình vuông ngoài cùng có cạnh là nên diện tích Hình vuông thứ hai chỉ có cạnh là nên có diện tích là Cứ tiếp tục như vậy ta có: Hình vuông thứ ba có diện tích , hình vuông thứ tư có diện tích là

…Vì thế dãy số lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có

nên tổng diện tích các hình vuông có trong bài toán là

Ví dụ 34 Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô

màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1 Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,… trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.Giả sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây) Tính tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu.

Lời giải

Ta có cạnh của hình vuông thứ nhất là nên diện tích

Cạnh hình vuông thứ hai là nên diện tích ,…

Cứ tiếp tục như vậy thì ta có được lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có , nên ta có tổng diện tích chuột Mickey cần tô màu là

Ví dụ 35 Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả

bóng cao su xuống đất Giả sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất [3]

Lời giải

Ta thấy: Ban đầu bóng cao 63m nên chạm đất lần 1 bóng di chuyển quãng

Từ lúc chạm đất lần một đến chạm đất lần hai bóng di chuyển được quãng

đầu)

Từ lúc chạm đất lần hai đến chạm đất lần ba bóng di chuyển được quãng đường là (do độ cao lần ba bằng độ cao lần hai) Cứ tiếp tục như vậy kéo dài ra vô tận thì ta có được tổng quãng đường mà bóng cao su đã di chuyển là

Vậy quãng đường di chuyển của bóng là

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Sáng kiến kinh nghiệm này giúp cho tôi và các đồng nghiệp thực hiện tốtnhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duylogic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bàitoán tính giới hạn của dãy số, học sinh biết các dạng toán và phân biệt được cáchtìm giới hạn của dãy số

Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối11 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán Cácthầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốcđể đặt và giải quyết các bài tập cụ thể.

Đề tài này tôi đã kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 11, đãđược học sinh đồng tình và đạt được kết quả cao, nâng cao khả năng giải các bàitoán về tìm giới hạn của dãy số Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp cóhướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học từ trung bình hay trung bình khá trởlên đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt

Đợt đầu mới học theo SGK tôi tiến hành kiểm tra trên cả hai lớp với nộidung như nhau đã có kết quả thu được như sau:

Lớp sốSĩ Số HsĐiểm Giỏi% Số HsĐiểm Khá% Số HsĐiểm TB% Điểm yếu kémSố Hs %

Sau một thời gian dạy theo chuyên đề này tôi tiếp tục tiến hành kiểm tratrên cả hai lớp cũng với nội dung như nhau đã có kết quả thu được như sau:

Lớp Sĩsố Số HsĐiểm Giỏi% SốĐiểm Khá Điểm TB Điểm yếu kém

3 Kết luận và kiến nghị3.1 Kết luận

Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạytại Trường THPT Tô Hiến Thành

Các bài tập về giới hạn của dãy số, thường học sinh không biết bắt đầu từgiả thiết như thế nào? Tuy nhiên khi tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này họcsinh sẽ không thấy khó khăn ở một số dạng toán về giới hạn của dãy số Đồngthời, đứng trước bài toán giới hạn dãy số khó có chứa tham số thì học sinh đã cóhướng suy nghĩ và có kĩ năng tính toán, các em sẽ có tự tin hơn khi giải các bàitoán về tìm giới hạn của hàm số Phân loại các dạng toán về tìm giới hạn củadãy số là một chủ đề giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo.

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sótvà hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sungvà góp ý cho tôi để bản sáng kiến kinh nghiệm này ngày càng được hoàn thiệnvà ứng dụng trong thực tế tốt hơn nữa Tôi xin chân thành cảm ơn.

3.2 Kiến nghị

Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủsách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm đểlàm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNGĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 4 năm 2024

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung củangười khác

Trịnh Thị Mai

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Toán 11 của bộ sách ‘Kết nối tri thức với cuộc sống ’ Nhàxuất bản giáo dục.

[2] Sách Bài tập Toán 11 của bộ sách ‘Kết nối tri thức với cuộc sống ’ Nhàxuất bản giáo dục.

[3] Diễn đàn ‘ STRONG TEAM TOÁN VD-VDC’.

[4] Các đề thi tuyển sinh Đại học, Đề thi THPT Quốc gia của Bộ Giáo dục &Đào tạo.

[5] Các đề thi thử THPT Quốc gia từ năm 2020 đến năm 2023 của các trườngTHPT trên toàn quốc.