skkn cấp tỉnh một số tính chất của dãy số fibonacci và áp dụng

Việc nghiên cứu tính chất của các dãy số được các nhà toán học quan tâmtừ rất sớm và trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu đó các nhà toán học đã chỉ ra rấtnhiều dãy số có những tính chất

Việc nghiên cứu tính chất của các dãy số được các nhà toán học quan tâm

từ rất sớm và trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu đó các nhà toán học đã chỉ ra rấtnhiều dãy số có những tính chất đẹp, gắn liền với các thuộc tính của tự nhiên

Điển hình trong đó là dãy số được nhà toán học người Ý Leonardo Fibonacci

công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci, được tìm ra qua 2 bài toánkinh điển: bài toán con thỏ và bài toán số "cụ tổ" của một con ong đực

Bài toán thứ nhất đưa ra giả thiết các đôi thỏ nếu đủ 2 tháng tuổi thì saumỗi tháng sẽ đẻ được một đôi thỏ con (giả sử các đôi thỏ luôn gồm 2 con đực vàcái và không chết) Từ một đôi thỏ sơ sinh ở tháng đầu tiên, Finonnaci muốn tính

số thỏ có được ở 1 tháng bất kỳ Sau khi thống kê, Fibonacci nhận thấy tháng thứ

1 và tháng 2 chỉ có 1 đôi thỏ Tháng thứ 3 có 2 đôi, tháng thứ 4 có 3 đôi, tháng 5

có 5 đôi, và cứ thế, số thỏ tháng sau sẽ bằng tổng số thỏ của 2 tháng trước cộnglại Cuối cùng thu được dãy số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 55… mà ngày nay thường

gọi là dãy Fibonacci.

Bài toán thứ hai yêu cầu tìm số tổ tiên của loài ong đực Trong sinh học,ong nếu được thụ tinh - tức có cả bố và mẹ, sẽ thành ong cái, ngược lại sẽ là ongđực Khi đi tìm nguồn gốc của ong đực, Fibonacci nhận thấy: nếu bắt đầu với 1con ong đực thì thế hệ trước của nó là 1 con ong cái Thế hệ trước con ong cái này

là 2 con ong gồm 1 đực, 1 cái Thế hệ trước đó nữa sẽ bao gồm 3 con ong gồm 1ong cái (sinh ra ong đực) và 2 ong đực và cái (sinh ra ong cái) Cứ thế tính tiếptục ta cũng sẽ được dãy 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 55…

Dãy số Fibonacci còn xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên, chẳng hạnnhư số cánh của những bông hoa Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là mộttrong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89 Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa maolương vàng có 5 cánh, hoa phi yến thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh,hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh Các sốFibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa hướng duơng Những nụ nhỏ sẽ kếtthành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các đường xoắnốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kimđồng hồ Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34 còn

ngược chiều kim đồng hồ là 55 Đôi khi các số này là 55 và 89, và thậm chí là 89

và 144 Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kế tiếp nhau

Việc tiếp tục nghiên cứu các tính chất của dãy Fibonacci không chỉ làmtăng thêm tri thức toán học mà còn giúp người học cảm nhận được vẻ đẹp củatoán học, mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn Điều đó làm cho học sinh thêmyêu thích bộ môn toán, có cảm hứng để tìm tòi, nghiên cứu sâu hơn để nâng caotri thức cũng như khả năng tư duy

Với lý do như vậy, tôi đã tham khảo, lựa chọn và biên soạn một số bài toánthành một chuyên đề để giảng dạy cho học sinh ở các lớp chuyên toán, qua đóphần nào giúp cho học sinh phát triển tư duy, giúp học sinh thấy được sự liên hệthú vị giữa toán học và thực tế Các bài toán được lựa chọn ở nhiều thể loại, ởnhiều mức độ khác nhau được đan xen trong chuyên đề sẽ tạo cho học sinh thóiquen nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng và qua đó còn được rèn luyện cả tư duy

sáng tạo Chuyên đề này mang tên “Một số tính chất của dãy số Fibonacci và

áp dụng”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là giúp học sinh tìm hiểusâu hơn về một số tính chất của dãy số Fibonacci và có thể áp dụng để giải quyếtmột số dạng bài toán khó trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi thuộc các lĩnh vựcđại số, giải tích, số học, lí thuyết trò chơi hay tổ hợp

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các lớp chuyên Toán,các đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Trường THPT chuyên Lam Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về hàm số, dãy số, lí thuyết chiahết, giải tích, phương pháp dạy học môn Toán có liên quan đến đề tài Sáng kiếnkinh nghiệm

Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học của các lớp chuyên Toán 10, 11,

12 nói chung và đội tuyển HSG môn Toán nói riêng, phần dãy số ở Trường THPTchuyên Lam Sơn

Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khảthi và hiệu quả của việc vận dụng dạy học một số nội dung trong phần dãy số vàodạy các lớp chuyên Toán 10, 11, 12 và đội tuyển học sinh giỏi Toán ở TrườngTHPT chuyên Lam Sơn

2 NỘI DUNG

1 Dãy số Fibonacci và công thức tổng quát của nó.

1.1 Định nghĩa Dãy số ( )F được xác định bởi hệ thức truy hồi sau đây n

1 1

F  , F  , 2 1 F n F n1F n2,n3,4, gọi là dãy Fibonacci

1.2 Định lí Số hạng tổng quát của dãy Fibonacci được cho bởi công thức

Bằng qui nạp chứng minh được u n F n n, 1,2,

2 Một số tính chất của dãy số Fibonacci.

Ở các bài toán dưới đây, mỗi bài toán cho chúng ta một tính chất của dãy sốFibonacci Trong một số bài toán chỉ trình bày vắn tắt hoặc gợi ý hướng dẫn giải

mà không trình bày tường minh lời giải bài toán bởi lẽ việc trình bày chi tiết lờigiải ở những bài toán đó không phải là mục tiêu hướng đến của bài viết này

n

F F

   Suy ra n

n n

HD

Chứng minh các khẳng định a) b) c) trên bằng phương pháp qui nạp theo n

(hoặc sử dụng định nghĩa của dãy Fibonacci)

Sử dụng câu b) và c) suy ra câu d)

1 2 1 1( 2 ) 1, 1,2, , 1

F F   F F F F  F F k  n Cộng cácđẳng thức vế theo vế suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét Từ kết quả câu b) suy ra bài toán thi IMO - 1981 Tìm nghiệm nguyên

dương của phương trình: (n2  mn m 2 2) 1

b) Chứng minh bằng qui nạp theo n,

c) Cố định m Kí hiệu khẳng định trên là P(n) Ta chứng minh P(n) đúng

với n 3 bằng qui nạp mạnh

(Mở rộng: Nếu a m n( , ) khi đó tồn tại các số nguyên x y x, ( 0,y0) sao cho

Vậy khẳng định bài toán được chứng minh.

Bài 9 Chứng minh rằng với mọi n 1, hai số hạng liên tiếp của dãy số Fibonacci

cho d Vì F n3 F n1  F n2 nên F n3 cũng chia hết cho d.

Cứ tiếp tục như vậy ta dẫn đến F cũng chia hết cho d Mà F2 2 = 1, nên ta có mâuthuẫn

3 Áp dụng dãy số Fibonacci trong một số dạng bài toán nâng cao.

Các bài toán dưới đây áp dụng dãy số Fibonacci vào một số dạng bài toánkhó trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi thuộc các lĩnh vực đại số, giải tích, số học,

lí thuyết trò chơi hay tổ hợp Cũng như trên, trong mục này một số bài toán chỉtrình bày vắn tắt hoặc gợi ý hướng dẫn giải mà không trình bày tường minh lờigiải bài toán

Bài 10 Chứng minh rằng nếu x2  x 1 thì với n 2, ta có n 1

n k n k

Do đó  3 3 

3 1

Bài 13 (IMO-1981) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức m2 n2, với m ,n là hai số

nguyên dương thoả mãn m n , 1,2, ,1981 và (n2  mn m 2 2) 1 (1)

Giải

Nếu m 1 thì chỉ có hai cặp (1;1) và (2;1)thoả mãn (1).

Giả sử cặp ( ; )n m thoả mãn (1) với 1 1 m  Vì 1 1 2

Như vậy ta được dãy n1 n2  , do đó sau hữu hạn bước ta đi đến cặp (1;1).Nếu cặp ( '; ')n m nhận được từ cặp ( ; )n m thì n m n m n ' ',  '. (*)

Ngược lại với cặp ( '; ')n m thoả mãn (1) thì cặp ( ; )n m nhận được từ (1) cũng thoảmãn (1)

Như vậy, mọi cặp ( ; )n m thoả mãn (1) đều nhận được từ (1; 1) nhờ quan hệ (*)

Do đó ta có tất cả các cặp thoả mãn (1) là : (1;1),(2;1),(3;2),(5;3), (1597;897)

(tức là các cặp (F F i i1; ),i 1,2, ,F i là số Fibonacci thứ i) và các hoán vị của cácthành phần trong từng cặp.

Vậy giá trị lớn nhất của m2 n2 là 15972 8972

Bài 14 Khi kiểm tra tính nguyên tố của số Mersenne, người ta thường dùng dãy

truy hồi sau: 2

3,

F a F

n

F F

n r

n n

Bài 18 Cho dãy Fibonacci ( )F và k, n là các số tự nhiên tuỳ ý Chứng minh rằng n

phân số sau đây là tối giản: 2

Áp dụng lập luận trên với kF n1F n1 và kF n2 F n, suy ra kF n F n2d

Tiếp tục quá trình trên ta đi đến kF4 F d2 và kF3F d1 Suy ra

 là phân số tối giản

Bài 19 Cho dãy số Fibonacci ( ) :F n F1 F2 1,F n2 F n1F n n, 1 Đặt

2( ) 1985 1956 1960

Nói cách khác dãy ( )v là dãy sinh ra bởi dãy Fibonacci ( ) n F bằng cách thêm vào n

trước dãy này ba số hạng 1,1,0

Gọi r là phần dư trong phép chia i v cho 1989 ( i i 0,1,2, ). Như vậy ta có

0 r 1988 Xét dãy các cặp sau đây ( , ),( , ),( , ), r r0 1 r r1 2 r r2 3 vì mỗi số r chỉ i

nhận một trong 1989 giá trị, vậy các cặp khác nhau tối đa là 1989 2 Từ đó theonguyên lí Dirichlet thì trong 19892 1 cặp đầu tiên có ít nhất hai cặp trùng nhau

Giả sử hai cặp trùng nhau đó là ( ,r r p p1), (r p s ,r p s 1), ,p s  Điều ấy có nghĩa là

r r  r  r   Bây giờ ta sẽ chứng minh bằng qui nạp rằng r k r k s , k p.

Thật vậy, Giả sử ta đã có r k r k s với mọi k thoả mãn p k m  với số m nào đó

mà m p 1 Xét k m 1 Từ (1) và giả thiết qui nạp suy ra

v    v   v   v  v    v   r   r  r    r  

Do đó r m 1 s r m1 Vậy, theo nguyên lí qui nạp, ta có r k r k s , k p

Nếu p 0 thì ta chứng minh thêm rằng r k r k s với mọi k thoả mãn 0  k p 1.

Nói cách khác không tồn tại số F nào của dãy Fibonacci để n f F  ( ) 2 1989.n

Bài 20 Cho dãy số Fibonacci : F1 F2 1,F n2 F n1F n n, 1 Tìm

1960 1988

gcd(F ,F ).

Giải.

Ta sẽ chứng minh rằng ( , )F F m n F( , )m n (1)

Từ định nghĩa dãy số Fibonacci, ta suy ra (F n1, ) 1,F n  n1 (2)

Tiếp theo sử dụng bài 3c) suy ra với m n , ta có F m F F n m n 1F F n1 m n (3)

Từ (3) suy ra ước chung lớn nhất của F m n và F là ước của n F (và m F ), ước n

chung lớn nhất của F và m F là ước của n F F n1 m n Do (2), nó cũng là ước số của

(p1)( )(p p 1) (p n 2) (1)(0)( 1) (   n 2) 0(mod ) p  đpcm

c) Áp dụng định lí Binet và khai triển nhị thức Niutơn, ta có:

 1 3 2 5 

1

1

5 5 2

5p 1(modp)

 (với p 5) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 24 Đặt L1 2,L2 1,L n2 L n1L n n, 1 gọi là dãy Lucas Chứng minh

Thay 1003 bởi n và chứng minh bài toán tổng quát:

Nếu P(x) là đa thức có bậc lớn hơn n (n 3)thoả mãn

( )P k F k n k,  2,n3, ,2n2, thì P F( 2n3)F2n3

Ta chứng minh khẳng định bằng qui nạp theo n

Với n 1, thì theo giả thiết, ta có

P(3) 2, (4) 3 P   P x( )  x 1 P(5) 5 F5 1 Như vậy khẳng

định đúng với n =1.

Giả sử khẳng định của bài toán đúng đến n  1, ta chứng minh khẳng định cũng

đúng với n Thật vậy giả sử P(x) có bậc < n và có

( ) k, 2, 3, ,2 2

P k F k n  n n Xét ( )Q x P x( 2) P x( 1), suy ra Q x( )

có bậc  n 1

Lại có Q k( )P k( 2) P k( 1)F k2  F k1F k n k,  1,n2, ,2 n Do đótheo giả thiết qui nạp ta có Q n(2 1)F2 1n  1 Nhưng

Vậy khẳng định đúng với n Lấy n 1003, ta được điều phải chứng minh.

(Nhận xét: Bài toán trên là mở rộng của bài toán thi Olympic RUMANIA 1983sau: Với dãy Fibonacci F và đa thức P(x) bậc 990 thỏa mãn P(k) = F n k , k =

992, …, 1982 thì P(1983)= F1982 -1)

Bài 26 Cho số nguyên dương n và S 1,2, , n Tìm số các tập con (kể cả tập

rỗng) của S mà không chứa hai số nguyên dương liên tiếp.

Loại 2: Gồm các tập không chứa n 2

Nếu A là tập loại 1 thì A không chứa n + 1 Do đó nếu bỏ đi khỏi A phần tử n 2

ta được một tập con của An Ngược lại với mỗi tập con B của An thì tập

 2

A B  n là tập loại 1 của An+2 thành thử số tập loại 1 là an

Mỗi tập loại 2 rõ ràng là một tập con của An+1 và ngược lại Thành thử số tập loại

Bài 27 Cho số nguyên dương n và S 1,2, , n Gọi c n là số các tập con của S

mà chứa đúng hai số nguyên dương liên tiếp Chứng minh rằng

1

.5

- Nếu C là tập loại 1 thì C không chứa n (vì nếu C chứa n thì C chứa hai

cặp số nguyên liên tiếp n n , 1 và n1,n2) Bỏ đi khỏi C các phần tử

n n thì ta được một tập con của 1,2, ,n 1 không chứa hai số nguyêndương liên tiếp, do đó nó là phần tử của An-1 (trong bài 31) Ngược lại với mỗi tậpcon A của An-1 thì tập C  A n1,n2 là tập loại 1 của C n2 Phép tương ứng

này là song ánh Thành thử số tập loại 1 là a n-1 F n1

- Mỗi tập loại 2 rõ ràng là một tập con của C n+1 và ngược lại Thành thử số

tập loại 2 là c n+1

- Nếu C là tập loại 3 thì C không chứa n +1 Do đó loại bỏ đi khỏi C phần

tử n 2 ta được một tập con của C n Ngược lại mỗi tập con B của C n thì tập

Bài 28 (VMO – 94B) Cho dãy số Fibonacci ( ), (u n n 1,2, )được xác định bởi:

Bài 29 (Putnam - 1998) Đặt A 1 = 0, A 2 = 1 Với mỗi số tự nhiên n 2, A n đượcđịnh nghĩa là số được tạo thành bằng cách viết liên tiếp các chữ số của số A n1 và2

n

A (trong hệ thập phân) từ trái sang phải (ví dụ A3 A A2 1 10, A4 A A3 2 101,

5 4 3 10110,

A A A  và các số tiếp theo tiếp tục như vậy) Hãy xác định tất cả các

số nguyên dương n sao cho A chia hết cho 11 n

Giải

Xét dãy số Fibonacci : F1 F2 1, F n F n1F n2, n2

Theo định nghĩa A thì số chữ số của n A bằng số chữ số của n A n1 cộng với

số chữ số của A n2. Ta có số chữ của A bằng 1 F số chữ số của 1, A bằng 2 F , số2

chữ số của A bằng 3 F Bằng qui nạp ta chứng minh được số chữ số của 3 A bằng n

Bằng qui nạp ta có các số hạng của (mod 2)F n là 1,1,0,1,1,0,1,1,0,

Ta xét vài số hạng của A n(mod11):

Bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được A n6 A n(mod11),n1

Do đó A chia hết cho 11 khi và chỉ khi n n6k 1,k 1

Bài 30 Cho dãy F xác định bởi n F1F2 1,F n2 F n1F n, n 1 Chứngminh rằng F  không là số nguyên tố với mọi n 1 n 4

Giải

Giả sử tồn tại n 4 sao cho F n  1 P (P là tập số nguyên tố).

Theo tính chất của dãy Fibonacci, ta có  2 1

1

k n

n

F n

n k

n

n k

n n

k k

Bài 34 Cho dãy số Fibonacci: F1 F2 1,F n2 F n1 F n n, 1 Giả sử với một số

n nào đó và a, b là hai số nguyên dương thoả mãn điều kiện

Bài 35 Cho dãy số Fibonacci F1F2 1,F n2 F n1F n n, 1 Chứng minh rằng

với mỗi số m nguyên dương điều tồn tại số tự nhiên n sao cho F m n

Bài 36 Tìm giá trị của biểu thức

1994

1995 1

( 1)k k

k k

a) Tìm p và q sao cho với mọi số tự nhiên n *, đẳng thức sau đây đúng

c) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên dương n, a là một số nguyên, và n

nếu n chia hết cho 3 thì a là số chẵn n

Bài 39 Cho dãy ( )u được định nghĩa như sau: n

1 0, 2 1, n 2 n n 1 1, 1

u  u  u  u u   n

Chứng minh rằng nếu n 5 là số nguyên tố, thì (u u  chia hết cho n n n 1)

3 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN,

ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG

Là giáo viên dạy chuyên Toán nhiều năm, khi cùng các đồng nghiệp triểnkhai sáng kiến kinh nghiệm này cho các lớp chuyên Toán và đội tuyển dự thichọn HSG quốc gia hàng năm, tôi thấy đã đạt được những kết quả rất tích cực Cụthể, các em đã nắm bắt được các tính chất cơ bản của dãy số Fibonacci và có thể

tự giải quyết được ngay một số bài toán liên quan trong đề thi hay bài tập nângcao

Trước khi áp dụng sáng kiến này: các em chưa có cái nhìn hệ thống về dãy

số Fibonacci, còn lúng túng khi gặp các bài toán nâng cao có liên quan đến dãy sốnày

Sau khi áp dụng sáng kiến: các em đã nắm bắt được các tính chất cơ bản,quan trọng của dãy số Fibonacci và có thể tự giải quyết được ngay một số bài toánliên quan trong đề thi hay bài tập nâng cao Nhờ đó, trong kì thi HSG quốc gia lớp

12 các năm học 2022-2023, 2023-2024 có 100% (10/10) các em đều đạt giải Cụthể, năm học 2022-2023 có 2 giải nhì, 2 giải ba và 6 giải KK; năm học 2023-2024

có 01 giải Nhì, 04 giải Ba, 05 giải KK

Sáng kiến này với hệ thống bài tập là một tài liệu để các em tra cứu và tựluyện Giáo viên nên cho các em làm hết tất cả các bài tập, xem kĩ các bài tậpmẫu Các bài tập này giúp các em biết vận dụng cao hơn, tư duy sâu hơn, pháttriển kĩ năng giải Toán