LỜI CẢM ƠNĐề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn của hàm số một biến” là mộtnội dung không chỉ xuất hiện trong chương trình dạy học bộ môn Toán ởbậc trung học phổ thông mà còn là một nộ
Định nghĩa và một số tính chất của giới hạn
Giới hạn của hàm số tại một điểm
Hàm số f(x) được xác định trong khoảng (a;b) có giới hạn L (hữu hạn) khi x tiến gần đến x₀, với x₀ thuộc [a;b] Điều này được ký hiệu là lim x→x₀ f(x) = L, nghĩa là với bất kỳ dãy {xₙ} trong (a;b) \ {x₀} mà xₙ tiến đến x₀, thì lim n→∞ f(xₙ) = L Định nghĩa này có thể được diễn đạt theo thuật ngữ giới hạn của dãy số.
Hàm số f(x) có giới hạn là L khi với bất kỳ dãy số {x_n} hội tụ đến x_0, dãy số {f(x_n)} cũng hội tụ đến L Định nghĩa này giúp chuyển đổi khái niệm giới hạn của hàm số f(x) thành khái niệm giới hạn của dãy số, nhưng để chứng minh f(x) → L khi x → x_0, cần chứng minh f(x_n) → L với mọi dãy {x_n} → x_0 Do đó, người ta sử dụng định nghĩa tương đương với định nghĩa trên Cụ thể, hàm số f(x) xác định trong khoảng (a;b) có giới hạn là L khi x tiến gần đến x_0 (x_0 ∈ [a;b]), nếu với bất kỳ ϵ > 0 cho trước, có thể tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < |x − x_0| < δ, thì f(x) gần L.
Ví dụ 1.1.1 (a) Cho f(x) =C, C là hằng số; ta sẽ chứng minh rằng x→xlim0 f(x) = C.
Lời giải.Thật vậy, cho trướcϵ > 0, vìf(x) = C,∀x, do vậy với bất kìδ > 0:
(b) Cho f(x) = x; sẽ chứng minh rằng lim x→x 0 f(x) = x 0 Thật vậy, cho trước ϵ > 0, chỉ cần chọn δ = ϵ thì luôn có |x−x 0 | < δ thì
|x|; chứng minh rằng lim x→0f(x) = 0 Để ý rằng điểm x = 0 không thuộc miền xác định củaf(x); nhưng với x̸= 0 thì f(x) = |x|; do vậy dùng kết quả của ví dụ 1.1.1 (b) có thể suy ra lim x→0f(x) = 0.
Ví dụ 1.1.2 Chứng minh lim x→1(6x−2) = 4.
Lời giải Thật vậy, để cho |(6x−2)−4| = 6|x−1| < ϵ, ta chỉ cần chọn δ = ϵ
Ví dụ 1.1.3.Chứng minh lim x→3 x 2 −9 x−3 = 6.
Lời giải Thật vậy, theo định nghĩa, khi x →3 phải có x ̸= 3 cho nên ta có rút gọn cho x−3: x 2 −9 x−3 −6
Do đó chỉ cần chọn δ = ϵ thì với mọi x mà 0 < |x−3| < ϵ = δ thì x 2 −9 x−3 −6
Ví dụ 1.1.4 Chứng minh lim x→x 0
.(x 0 ̸= 0, x 0 < ∞) Lời giải ∀ϵ > 0, giả sử δ là một số sao cho |x−x0| < δ.
|x||x 0 | Với x 0 là số cố định, chọn δ sao cho δ < |x 0 |
2 Khi đó do ||x| − |x 0 || < |x−x 0 | < δ nên −δ < |x| − |x 0 | < δ hay
|x 0 | 2 Bây giờ ta hãy chọn δ = min
Lời giải Ta có công thức: cosx−cosx 0 = −2 sinx−x0
2 Áp dụng công thức với x 0 = 0, ta được: cosx−cos 0 =−2 sinx
Giả sử ∀ϵ >0 tùy ý, đặt δ = min n ϵ, π 4 o
0< |x−0| < δ ⇒ |cosx−1| < δ = ϵ Suy ra lim x→0cosx = 1.
Khi xem xét giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới dương vô cùng, chúng ta định nghĩa rằng hàm số này có giới hạn là L (hữu hạn) nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại một N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N, giá trị của f(x) sẽ nằm trong khoảng (L - ϵ, L + ϵ).
Hàm số f(x) có giới hạn L (hữu hạn) khi x tiến tới âm vô cùng, được biểu thị là: \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = L\) Điều này có nghĩa là với mọi ϵ > 0, tồn tại một số N < 0 với giá trị tuyệt đối đủ lớn, sao cho khi x nhỏ hơn N thì |f(x) - L| < ϵ.
Khi f(x) tiến tới 0 khi x tiến tới a, với a có thể hữu hạn hoặc vô cùng, thì f(x) được gọi là vô cùng bé Ngược lại, nếu trị tuyệt đối của f(x) trở nên lớn hơn bất kỳ số dương nào khi x tiến tới a, thì f(x) được xem là vô cùng lớn Trong trường hợp này, ta có thể viết: x → a lim f(x) = +∞ nếu f(x) trở thành dương vô cùng, và x → a lim f(x) = −∞ nếu f(x) trở thành âm vô cùng.
Lời giải Với mọi A > 0 cho trước, (ta có: x 2 > A ⇔ |x| > √
A, khi đó ∀x thỏa |x| > N thì x 2 > A ⇒ lim x→±∞x 2 = +∞.
Giới hạn hàm số một phía
Nếu x < x 0 mà x → x 0 thì ta quy ước viết x → x − 0 và nếu x > x 0 mà x →x0 thì ta quy ước viết x → x + 0 a Giới hạn bên trái
Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x → x − 0 nếu ∀ϵ >
Khi đó viết L = lim x→x − 0 f(x) = f(x − 0 ). b Giới hạn bên phải
Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x → x − 0 nếu ∀ϵ >
Chứng minh lim x→x − 0 f(x) = lim x→x + 0 f(x) =L ∈ R ⇒ lim x→x 0 f(x) = L.
Giả sử ϵ > 0 tùy ý, do lim x→x + 0 f(x) = L( lim x→x 0 | A + (x 0 ) (x) = L) ⇒ Tồn tại δ 1 > 0 sao cho ∀x ∈ A + (x 0 ) mà 0 < |x−x 0 | < δ 1 thì |f| A + (x 0 ) (x)−L| < ϵ.
A − (x0) mà 0 < |x−x0| < δ2 thì |f| A − (x 0 ) (x)−L| < ϵ. Đặt δ = min{δ 1 , δ 2 } > 0 Khi đó, ∀x ∈ A mà 0< |x−x 0 | < δ, ta có:
Một số tính chất cơ bản về giới hạn của hàm số
Chứng minh.(i) Ta có: lim x→x 0 f(x) = A
Chứng minh tương tự, ta có:|[f(x)−g(x)]−(A−B)| = |(f(x)−A) + (B −g(x))|
(iii) Ta có: lim x→x 0 f(x) g(x) = lim x→x 0 f(x) lim x→x 0
(iv) lim x→x 0 f(x) g(x) = lim x→x 0 e ln(f (x) g(x) ) = lim x→x 0 e g(x)ln(f (x)) = e x→x lim 0 g(x)ln(f (x))
=e x→x lim 0 g(x) x→x lim 0 ln(f (x)) = e B.ln( lim x→x 0 f (x)) = e B.lnA = A B
Vô cùng bé và vô cùng lớn
Định nghĩa 1.1.3 Hàm α(x) được gọi là vô cùng bé khi x →x 0 nếu x→xlim0 α(x) = 0.
• lim x→0sinx = 0 ⇔ sinx là vô cùng bé khi x →0.
• lim x→1sinx ̸= 0 ⇒ sinx không là vô cùng bé.
• lim x→x 0 tanx = 0 ⇔tanx là vô cùng bé khi x→ 0.
• lim x→1(x 2 −1) = 0⇔ x 2 −1 là vô cùng bé khi x → 1. Định nghĩa 1.1.4 Hàm α(x) được gọi là vô cùng lớn khi x → x 0 nếu x→xlim0 α(x) =∞.
1 x−1 = +∞ ⇔ 1 x−1 là vô cùng lớn khi x → 1 +
• lim x→0 + ln x = −∞ ⇔ ln x là vô cùng lớn khi x →0 +
Trong thực hành việc so sánh hai vô cùng bé được tiến hành như sau:
Xét hai vô cùng bé f(x) và g(x) (khi x →x 0 hay x → ∞), khi đó:
(i) Nếu lim x→x 0 f(x) g(x) = 0 hoặc lim x→∞ f(x) g(x) = 0 thì ta nói f(x) là vô cùng bé bậc cao so với g(x) (nghĩa là f(x) dần tới 0 nhanh hơn g(x)).
(ii) Nếu lim x→x 0 f(x) g(x) = k ̸= 0 hoặc lim x→∞ f(x) g(x) = k ̸= 0 thì ta nói f(x) và g(x) là vô cùng bé cùng bậc.
(iii) Nếu lim x→x 0 f(x) g(x) = 1 hoặc lim x→∞ f(x) g(x) = 1 thì f(x) và g(x) được gọi là hai vô cùng bé tương đương, ký hiệu là : f(x) ∼ g(x).
Ví dụ 1.1.6 Một số vô cùng bé tương đương khi x →0 :
Chú ý Nếu α(x) là vô cùng bé khi x → x0 thì 1 α(x) là vô cùng lớn khi x →x 0
Trong thực hành việc so sánh hai vô cùng lớn được tiến hành như sau: Xét hai vô cùng lớn f(x) và g(x) (khi x → x 0 hay x → ∞), khi đó:
= +∞ thì ta nói f(x) là vô cùng lớn bậc cao so với g(x).
= k ̸= 0 thì ta nói f(x) và g(x) là vô cùng lớn cùng bậc.
= 1 thì f(x) và g(x) được gọi là hai vô cùng lớn tương đương, ký hiệu là : f(x) ∼ g(x).
Trong thực hành người ta thường ứng dụng thay các vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương trong các bài toán đi tính giới hạn.
Giả sửf(x), F(x), g(x), G(x) là các vô cùng bé (hay các vô cùng lớn) đồng thời khi x → a, khi đó:
x→alimf(x).g(x) = lim x→aF(x).G(x) x→alim f(x) g(x) = lim x→a
Một số định lý, nguyên lý và quy tắc liên quan đến giới hạn 13
Định lý giá trị trung bình Cauchy
Định lý 1.1.5 khẳng định rằng, với hai hàm số liên tục f và g trên đoạn [a;b], nếu g' (x) khác 0 trong khoảng này, thì tồn tại ít nhất một điểm c trong [a;b] sao cho tỷ lệ biến thiên của f và g tại điểm c bằng tỷ lệ thay đổi giữa f và g trên đoạn [a;b].
1 Nội dung chứng minh định lý này có thể tham khảo tại tài liệu [3].
Quy tắc L’Hôpital
Định lý 1.1.6 Giả sử các hàm số f(x) và g(x) xác định, khả vi tại lân cận x = a (a ∈ R) có thể trừ tại x = a Nếu lim x→af(x) = lim x→ag(x) = 0 và g ′ (x) ̸= 0 ở lân cận x = a.
Ví dụ 1.2.1 Chứng minh lim x→+∞
Sử dụng quy tắc L’Hôpital ta được: lim x→+∞e xln
Từ đó suy ra: lim x→+∞
Mở rộng kết quả trên ta có:
Lời giải Ta có: lim x→0 e x −1 x có dạng
0 Áp dụng quy tắc L’Hôpital, ta có: limx→0 e x −1 x = lim x→0 e x
Mở rộng kết quả trên ta có: x→xlim0
Nguyên lý kẹp về giới hạn của hàm số
Định lý 1.1.8 Giả sử J là một khoảng chứa x 0 và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợpJ\{x 0 } Nếu f(x) ≤g(x) ≤h(x) với mọi x ∈ J\{x 0 } và lim x→x 0 f(x) = lim x→x 0 h(x) = L thì lim x→x 0 g(x) = L 3
Lời giải Vì x ̸= 0 nên ta chỉ cần xét x trong một khoảng nào đó chứa điểm
Trên đường tròn lượng giác, ta đặt cung
AB có số đo bằng x rad Tia OM cắt trục tang tại điểm T Ta có diện tích
∆OAM < diện tích hình quạt OAM < diện tích ∆OAT, tức là:
2 nên sinx > 0; do đó chia các vế của các bất đẳng thức trên cho 1
2 nên từ (1.1) suy ra: cosx < sinx x < 1 (1.2)
; áp dụng công thức (1.2) với (−x), ta được: cos(−x) < sin(−x)
3 Nội dung chứng minh định lý có thể xem tại tài liệu [4].
2;π 2 và x ̸= 0 ta luôn luôn có (1.2).
Dễ thấy lim x→0cosx = cos 0 = 1 nên theo định lý kẹp của giới hạn hàm số, từ (1.2) suy ra lim x→0 sinx x = 1.
Mở rộng kết quả trên ta có: x→xlim0 sinu(x) u(x) = 1,với u(x) →0 khi x → x 0
CHƯƠNG2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM
Có nhiều phương pháp để xác định giới hạn của hàm số một biến Chương này sẽ tập trung vào việc nghiên cứu một số phương pháp đó, với nội dung chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [3] Tác giả cũng sẽ mở rộng và giải quyết một số ví dụ liên quan.
Phương pháp biến đổi đại số
Giả sử ta cần đi tính giới hạn lim x→x 0 f(x) màmà nếu thay x = x 0 vào f(x) xuất hiện dạng vô định 0
0, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức thì sử dụng phương pháp biến đổi đại số.
Ví dụ 2.1.1 Tính giới hạn A 1 = lim x→6
Ví dụ 2.1.2 Tính giới hạn A 2 = lim x→−1
Ví dụ 2.1.3 Tính giới hạn A 3 = lim x→2
Ví dụ 2.1.4 Tính giới hạn A 4 = lim x→0
Ví dụ 2.1.5 Tính giới hạn A 5 = lim x→−∞(2x+ 1) r 4x+ 1 x 3 + x+ 2.
Ví dụ 2.1.6 Tính giới hạn A6 = lim x→+∞
Ví dụ 2.1.7 Tính giới hạn A 7 = lim x→0
Sử dụng vô cùng bé tương đương khi x →0 thì 1−cosx ∼ x 2
Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp
Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) thỏa mãn f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) và lim x→x 0 f(x) = lim x→x 0 h(x) =L thì lim x→x 0 g(x) =L.
Ví dụ 2.2.1 Tính giới hạn T 1 = lim x→0 + x 2 sin
Lời giải Ta có: −1 ≤sin
≤ x 2 , mà lim x→0 + x 2 = lim x→0 + (−x 2 ) = 0, nên theo nguyên lý kep thì
Ví dụ 2.2.2 Tính giới hạn T 3 = lim x→∞
Lời giải T 3 = lim 2 sinx−5 cos 2x
Theo nguyên lý kẹp thì T 3 = lim x→∞
Ví dụ 2.2.3 Tính giới hạn T 4 = lim x→+∞
3x−4x 2 →0, nên theo nguyên lý kẹp thì T 4.2 = 0
Phương pháp sử dụng vô cùng bé tương đương
Khi tính toán giới hạn của hàm số một biến, việc sử dụng các vô cùng bé tương đương giúp đơn giản hóa quá trình xác định giới hạn Một số vô cùng bé đặc biệt có thể được áp dụng để hỗ trợ trong các phép tính này.
Ví dụ 2.3.1 Tính giới hạn L 1 = lim x→0
Khi thay x = 0 vào giới hạn xuất hiện dạng vô định 0
0 nên ta sử dụng vô cùng bé Ta có: Khi x →0 thì √
1 + 4x 2 −1∼ 2x 2 , đồng thời khi x →0 thì sin 2x∼ 2x và tan 3x ∼ 3x Từ đó, suy ra: L 1 = lim x→0
Ví dụ 2.3.2 Tính giới hạn L 2 = lim x→1
Lời giải Khi thay x = 1 vào giới hạn xuất hiện dạng vô định 0
0 nên ta sử dụng vô cùng bé Ta có: Khi x →1 thì
2(1−x) và arcsin 3(x−1) ∼ 3(x−1) Từ đó ta được:
2(x−1) 2 ln[cos(x−1)]. Ngoài ra ta có: ln[cos(x−1)] = ln[1 + cos(x−1)−1] ∼ cos(x−1)−1
Ví dụ 2.3.3 Tính giới hạn L 3 = lim x→α
Vì giới hạn có dạng vô định 0 nên ta sử dụng vô cùng bé tương đương e u −1∼ u khi u →0 vào giới hạn hàm số L3, ta được:
Phương pháp sử dụng các giới hạn đặc biệt
Áp dụng những kết quả giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn
Kết quả 1 lim x→x 0 sinu(x) u(x) = 1, với u(x) → 0 khi x →x 0
Kết quả 4 lim x→x 0 e u(x) −1 u(x) = 1 với u(x) →0 khi x → x 0
Ví dụ 2.4.1 Tính giới hạn P 1 = lim x→0 tan 2x 3x
Lời giải P 1 = lim x→0 tan 2x 3x = lim x→0 sin 2x cos 2x 3x = lim x→0 sin 2x 3x.cos 2x
Sử dụng kết quả 1, ta có lim x→0 sin 2x 2x = 1, suy ra P 1 = 1 2
Ví dụ 2.4.2 Tính giới hạn P 2 = lim x→0
Sử dụng kết quả 1, ta có lim x→0 sinx x2 2
Ví dụ 2.4.3 Tính giới hạn P 3 = lim x→0 e 2 −e 3x+2 x
3x Áp dụng kết quả 3, ta được: lim x→0 e 3x −1 3x = 1.
Ví dụ 2.4.4 Tính giới hạn P 4 = lim x→∞ x 2 −x+ 1 x 2 + 2x−1 x
Phương pháp sử dụng quy tắc L’Hôpital
Giả sử ta có lim x→x 0 f(x) g(x) , nếu thay x = x 0 vào giới hạn xuất hiện dạng vô định 0
∞, trong đó f(x), g(x) có đạo hàm thì ta có thể sử dụng quy tắc L’Hôpital Nhắc lại quy tắc L’Hôpital:
Ví dụ 2.5.1 Tính giới hạn L 1 = lim x→0
Lời giải Thay x = 0 vào L1 , ta được L1 có dạng 0
0 nên ta sử dụng quy tắc L’Hôpital:
Giới hạn L1 vẫn còn ở dạng 0
0 nên tiếp tục sử dụng quy tắc L’Hôpital:
Ví dụ 2.5.2 Tính giới hạn L 2 = lim x→0
1−e x sinx Lời giải Thay x = 0 vào L 2 , ta được L 2 có dạng 0
0 nên ta sử dụng quy tắc L’Hôpital:
Ví dụ 2.5.3 Tính giới hạn L3 = lim x→0 ln(1 +x) arcsinx
Lời giải Thay x = 0 vào L 3 , ta được L 3 có dạng 0
0 nên ta sử dụng quy tắc L’Hôpital:
Ví dụ 2.5.4 Tính giới hạn L 5 = lim x→1 − lnx.ln(1−x)
Lời giải Cách 1: Đưa về dạng ∞
L 5 = lim x→1 − ln(1−x) 1 lnx = lim x→1 − ln(1−x) lnx
Sử dụng quy tắc L’Hôpital, ta được: x→1lim −
(ln 2 x+ 2 lnx) ′ (−1) ′ = 0 Cách 2: Kết hợp với vô cùng bé tương đương, ta được:
L 5 = lim x→1 − ln(1 +x−1).ln(1−x) = lim x→1 − (x−1).ln(1−x)
Sau khi dùng vô cùng bé tương đương để thu gọn thì L được đưa về dạng
∞ nên ta sử dụng quy tắc L’Hôpital, ta được:
Ví dụ 2.5.5 Tính giới hạn L 6 = lim x→0 cot 2 2x− 1
4x 2 tan 2 2x Áp dụng vô cùng bé tương đương tan 2x ∼ 2x ⇒ tan 2 2x∼ (2x) 2 = 4x 2 , ta được:
Sau khi thu gọn biểu thức, L 6 được đưa về dạng ∞
∞ nên ta sử dụng quy tắc
Giới hạn L7 được tính bằng công thức: L7 = lim x→0 (e^x + e^(-x) - 2) / ((e^x - 1)tan(sin x)) Khi x tiến tới 0, ta có e^x - 1 xấp xỉ x và tan(u) xấp xỉ u với u tiến tới 0, do đó tan(sin x) xấp xỉ sin x xấp xỉ x Áp dụng các quy tắc tương đương cho các đại lượng rất nhỏ trong mẫu số và sử dụng quy tắc L'Hôpital, ta có thể giải quyết giới hạn này.
Ví dụ 2.5.7 Tính giới hạn L 8 = lim x→0 + ln(sin 3x) ln(sin 2x)
∞ nên ta sử dụng quy tắc L’Hôpital, ta được:
2 tan 3x Áp dụng vô cùng bé tương đương u →0 : tanu ∼u, ta có:
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Một số phương pháp tìm giới hạn của hàm số một biến" đã đạt được một số kết quả sau đây:
• Trình bày tổng quan được các kiến thức cơ bản về giới hạn của hàm số một biến.
• Giới thiệu được các phương pháp tìm giới hạn của hàm số một biến.
• Đưa ra được các bài tập ứng dụng các phương pháp tìm giới hạn của hàm số một biến:
- Phương pháp sử dụng quy tắc L’Hôpital.
- Phương pháp sử dụng các kết quả "viên ngọc trai".
- Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp.
Hy vọng rằng khóa luận này sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, hỗ trợ trong việc xây dựng các khái niệm về đạo hàm, vi phân và tích phân Đề tài nghiên cứu về giới hạn hàm số một biến rất phù hợp với chương trình đào tạo Sư phạm toán Mặc dù đã nỗ lực trong nghiên cứu, nhưng vẫn còn nhiều thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ Hội đồng đánh giá để hoàn thiện luận văn hơn.
Em xin trân trọng cảm ơn Hội đồng!