Một số phương pháp tìm giới hạn của hàm số một biến

LỜI CẢM ƠNĐề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn của hàm số một biến” là mộtnội dung không chỉ xuất hiện trong chương trình dạy học bộ môn Toán ởbậc trung học phổ thông mà còn là một nộ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Giảng viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

Lớp

: T.S.Lê Hải Trung: Nguyễn Ái Thư: 20ST2

Đà Nẵng - 2024

LỜI CẢM ƠN

Đề tài “Một số phương pháp tìm giới hạn của hàm số một biến” là mộtnội dung không chỉ xuất hiện trong chương trình dạy học bộ môn Toán ởbậc trung học phổ thông mà còn là một nội dung cơ bản của học phần Giảitích, với sự yêu thích của phần nội dung này nên em đã nghiên cứu và làmkhóa luận tốt nghiệp sau thời gian theo học tại khoa Toán, trường Đại học

Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóaluận, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, giúp đỡ từ quý thầy cô Để luậnvăn thành công nhất, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến với:

Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng đã tạo môi trườnghọc tập và rèn luyện rất tốt, cung cấp cho em những kiến thức và kỹ năng

bổ ích giúp em có thể áp dụng và thuận lợi thực hiện khóa luận

Giảng viên hướng dẫn - thầy giáo T.S Lê Hải Trung là người thầy tâmhuyết, đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu

và thực hiện đề tài Thầy đã có những trao đổi và góp ý để em có thể hoànthành tốt đề tài nghiên cứu này

Dù đã cố gắng nhiều, song vì những lý do khách quan và chủ quan, luậnvăn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được góp ý, chỉdẫn và giúp đỡ của quý thầy cô giáo, và các bạn đồng nghiệp

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

1.1 Định nghĩa và một số tính chất của giới hạn 6

1.1.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 6

1.1.2 Giới hạn hàm số một phía 9

1.1.3 Một số tính chất cơ bản về giới hạn của hàm số 10

1.1.4 Vô cùng bé và vô cùng lớn 11

1.2 Một số định lý, nguyên lý và quy tắc liên quan đến giới hạn 13 1.2.1 Định lý giá trị trung bình Cauchy 13

1.2.2 Quy tắc L’Hôpital 14

1.2.3 Nguyên lý kẹp về giới hạn của hàm số 14

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN 17 2.1 Phương pháp biến đổi đại số 17

2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp 20

2.3 Phương pháp sử dụng vô cùng bé tương đương 21

2.4 Phương pháp sử dụng các giới hạn đặc biệt 23

2.5 Phương pháp sử dụng quy tắc L’Hôpital 25

Tài liệu tham khảo 30

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Một phần rất quan trọng của Toán học là Giải tích, Douglas (1986) đãviết: "Giải tích là nền tảng của Toán học, Giải tích là con đường, là trungtâm của Toán học, là cơ sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và

kỹ thuật khác" Giải tích ở lớp 11 đóng vai trò hết sức quan trọng trong toánhọc phổ thông bởi lẽ: Khái niệm Giới hạn là cơ sở; hàm số liên tục là vật liệu

để xây dựng các khái niệm đạo hàm, vi phân và tích phân Đó là những nộidung bao trùm chương trình Giải tích ở THPT Ngoài ra đây cũng là mộttrong những nội dung cơ bản và quan trọng được giảng dạy trong chươngtrình đại học

2 Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài

Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến giới hạn của hàm số

để rút ra được phương pháp giải cho một số dạng toán về giới hạn của hàm

số một biến và ứng dụng

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các giáo trình, tài liệu liên quantới phương pháp giải bài toán giới hạn của hàm số một biến và ứng dụng đểphân loại và hệ thống hóa các kiến thức

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trìnhrút ra được kinh nghiệm để giải các bài toán giới hạn của hàm số một biến

4 Bố cục khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính củakhóa luận gồm 2 chương

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản về giới hạn,các quy tắc tìm giới hạn của hàm số một biến nhằm củng cố kiến thức, tạonền tảng để tìm cực trị

Chương 2 Một số phương pháp tìm giới hạn của hàm số một biếnChương này chúng tôi tiến hành hệ thống, phân loại các dạng bài tậpgồm: bài toán tìm giới hạn của hàm một biến số; bài toán giới hạn có tham

số Việc phân loại các dạng bài tập giúp cho việc giải quyết các bài tập mộtcách thuận lợi hơn

CHƯƠNG1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong toán học, khái niệm giới hạn (tiếng anh: limit, viết tắt: lim) được

sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến

số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó Nội dung của chương này đượctham khảo chủ yếu tại tài liệu [3]

1.1 Định nghĩa và một số tính chất của giới hạn

Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a; b); nói rằng f (x) có giới hạn

là L (hữu hạn) khi x dần đến x0, x0 ∈ [a; b] và viết là lim

x→x 0

f (x) = L nếu với

bất kỳ dãy {xn} trong (a; b) \ {x0} mà xn → x0 thì lim

n→∞f (xn) = L Theothuật ngữ của giới hạn của dãy số thì định nghĩa trên có thể diễn đạt thành

"hàm số f (x) có giới hạn là L nếu với bất ký dãy số {xn} hội tụ đến x0 thìdãy số {f (xn)} cũng hội tụ đến L"

Định nghĩa giới hạn của hàm số f (x) khi x → x0 như trên có thuận lợi làchuyển khái niệm giới hạn của hàm số f (x) về khái niệm giới hạn của dãy

số nhưng cũng có chỗ không thuận lợi là muốn chứng tỏ f (x) → L(x → x0)

thì phải chứng tỏ f (xn) → L với mọi dãy {xn} → x0 Vì thế người ta dùngđịnh nghĩa tương đương (ở đây chúng ta không chứng minh điều này) vớiđịnh nghĩa trên

Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a; b), nóirằng f (x) có giới hạn là L (hữu hạn), khi x dần tới x0(x0 ∈ [a; b]) nếu vớibất kì ϵ > 0 cho trước tìm được δ > 0 sao cho khi 0 < |x − x0| < δ thì

|x|; chứng minh rằngx→0limf (x) = 0 Để ý rằng điểm x = 0

không thuộc miền xác định củaf (x); nhưng với x ̸= 0thì f (x) = |x|; do vậy

dùng kết quả của ví dụ 1.1.1 (b) có thể suy ra lim

x2 − 9

x − 3 − 6

= |(x + 3) − 6| = |x − 3|

Do đó chỉ cần chọn δ = ϵ thì với mọi x mà 0 < |x − 3| < ϵ = δ thì

x0

< ϵ, điều phảichứng minh

⇔ |cos x − 1| = 2

sinx2

sinx2

≤ 2