Ứng dụng đạo hàm của hàm số một biến số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— ĐẶNG BẢO THI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoá luận: TS Chử Văn Tiệp Đà Nẵng, 5/2023 Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm đạo hàm 1.1.1 Tiếp tuyến đường cong điểm 1.1.2 1.1.3 1.2 Vận tốc chuyển động vật Khái niệm đạo hàm 10 1.1.4 Đạo hàm cấp cao Quy tắc đạo hàm hàm số sơ cấp 12 14 1.2.1 1.3 7 Đạo hàm hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ hàm mũ 14 1.2.2 1.2.3 Đạo hàm hàm số lượng giác Đạo hàm hàm số logarit 27 30 1.2.4 Đạo hàm hàm hyperbolic 31 Đạo hàm hàm hợp, hàm ngược 1.3.1 Đạo hàm hàm hợp 33 33 1.3.2 1.3.3 35 36 Một số trường hợp đặc biệt Đạo hàm hàm ngược Một số ứng dụng phép tính vi phân 2.1 Khảo sát, Vẽ đường cong cho hàm số, Phương trình tham 39 số phương trình tọa độ cực 2.1.1 Phác thảo đường cong 39 39 2.1.2 2.1.3 43 44 Phương trình tham số Giải tích với phương trình tham số 2.1.4 Tọa độ cực 48 2.1.5 2.1.6 Đường cong cực Tiếp tuyến đường cong cực 49 49 Một số ứng dụng khoa học tự nhiên xã hội 2.2.1 Giá lớn giá trị nhỏ 51 51 2.2.2 2.2.3 Định lý giá trị trung bình Ứng dụng phép tính vi phân vật lí, hóa học, 55 2.3 sinh học Độ tăng theo hàm mũ ứng dụng 60 61 2.4 Một số toán tối ưu 64 2.2 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành tri ân sâu sắc thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư phạm- Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực Khóa Luận Tốt Nghiệp Thời gian vừa rồi, nhờ có hướng dẫn tận tình hết lịng TS Chử Văn Tiệp, em hiểu thêm nhiều kiến thức khơng xoay quanh Khóa Luận cịn vấn đề thú vị Toán học nữa! Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy! Với vốn kiến thức hạn hẹp thân thời gian hạn chế, việc hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên em mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q thầy để Khóa luận tốt nghiêp em hoàn thành chỉnh chu Em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Đạo hàm khái niệm quan trọng tốn học nói chung Giải tích tốn nói riêng Trong lĩnh vực khoa học khác, khái niệm đạo hàm có nhiều ứng dụng đa dạng Tuy nhiên, vai trò đạo hàm khơng thể rõ nét chương trình tốn học phổ thông ứng dụng đạo hàm số lĩnh vực quen thuộc (vật lý, kỹ thuật, kinh tế ) không đề cập mức vơ tình gây đơn điệu khái niệm không gây động lực niềm đam mê học toán học sinh Trong chương trình tốn học phổ thơng, đạo hàm nội dung bắt buộc có nhiều ứng dụng hình học Trong chương trình tốn cao cấp, đạo hàm ứng dụng nhiều toán tiếp tuyến (xem thêm [4], [8]) toán chuyển động vật lí chất điểm (xem thêm [9]) Nội dung ứng dụng đạo hàm chương trình đào tạo đại học đa dạng Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết đạo hàm đặc biệt ứng dụng toán hàm số biến số hướng dẫn thầy giáo TS Chử Văn Tiệp, em chọn đề tài nghiên cứu "Ứng dụng đạo hàm hàm số biến số" cho khoa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài nghiên cứu số ứng dụng đạo hàm số toán liên quan tới khảo sát vẽ đường cong mặt phẳng, toán lĩnh vực khoa học khác vật lý, hóa học, kinh tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết đạo hàm hàm số biến số, ứng dụng đạo hàm hàm số biến số, số toán tối ưu b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực tốn giải tích Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương giành để xây dựng khái niệm đạo hàm Mở đầu chương số toán tiếp tuyến, chuyển động vật lý chất điểm nhằm dẫn tới khái niệm đạo hàm Tiếp theo định nghĩa khái niệm đào hàm tìm hiểu số tính chất bản, quy tắc tính đạo hàm hàm số sơ cấp tính xấp xỉ đạo hàm Các kiến thức chương bổ trợ cho phần nghiên cứu Chương Chương 2: Một số ứng dụng phép tính vi phân Trong chương này, ta nghiên cứu số ứng dụng khác biệt đạo hàm mức độ sâu sắc thuộc lính vực hình học vi phân, khoa học tự nhiên kinh tế • Kết luận • Tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Chương giành để xây dựng khái niệm đạo hàm Mở đầu chương số toán tiếp tuyến, chuyển động vật lý chất điểm nhằm dẫn tới khái niệm đạo hàm Tiếp theo định nghĩa khái niệm đào hàm tìm hiểu số tính chất bản, quy tắc tính đạo hàm hàm số sơ cấp 1.1 Khái niệm đạo hàm Các vấn đề tiếp tuyến đường cong, vận tốc chuyển động vật liên quan đến việc tìm kiếm loại giới hạn Loại giới hạn đặc biệt gọi đạo hàm ta thấy biểu diễn nhiều nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật đời sống 1.1.1 Tiếp tuyến đường cong điểm Nếu đường cong (C) có phương trình y = f (x) ta muốn tìm tiếp tuyến điểm P (a; f (a)) Sau ta xem xét điểm Q(x; f (x)) gần Khi x khác a đường thẳng P Q có hệ số mP Q = f (x) − f (a) x−a Sau đó, ta để Q tiến gần P dọc theo đường cong (C) cách cho x tiến tới a Nếu số mP Q tiến tới số m m hệ số góc tiếp tuyến t qua P đường cong (Hình vẽ) Định nghĩa 1.1.1 Tiếp tuyến đường cong y = f (x) điểm P (a; f (a)) đường thẳng qua P có hệ số góc f (x) − f (a) x→a x−a m = lim với điều kiện giới hạn tồn Ví dụ 1.1.2 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong (C) có phương trình y = x3 − 3x2 biết tiếp tuyến qua điểm A(−1; −4) Tiếp tuyến đường cong (C) điểm M (a; f (a)) đường thẳng qua M có hệ số f (x) − f (a) x3 − 3x2 − (a3 − 3a2 ) m = lim = lim x→a x→a x−a x−a = lim (x2 + ax + a2 − 3x − 3a) = 3a2 − 6a x→a Sử dụng cách viết phương trình đường thẳng biết hệ số góc điểm qua, ta phương trình tiếp tuyến (C) điểm M y = (3a2 − 6a)(x − a) + a3 − 6a Theo u cầu tốn tiếp tuyến qua điểm A(−1; −4) nên ta có −4 = (3a2 − 6a)(−1 − a) + a3 − 3a2 Suy a = −1 a = 2.Thay giá trị a vừa tìm vào phương trình tiếp tuyến ta kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm , y = 9x + y = −4 Đơi ta tham khảo hệ số góc tiếp tuyến đường cong điểm giống hệ số góc đường cong điểm Ý tưởng ta phóng to đủ xa điểm đường cong gần giống đường thẳng Minh họa cho ý tưởng đường cong y = x3 − 3x2 ví dụ 1.1.2, ta phóng to (C) giống đường thẳng đoạn ngắn Nếu h = x − a, x = a + h hệ số góc đường thẳng P Q mP Q = f (a + h) − f (a) h Để ý x tiến tới a, tức h dần số Và hệ số góc tiếp tuyến Định nghĩa 1.1.1 biểu thị f (a + h) − f (a) x→0 h m = lim 1.1.2 Vận tốc chuyển động vật Một vật chuyển động có phương trình chuyển động s = f (t), với s quãng đường dịch chuyển vật thời gian t, hàm f mô tả chuyển động vật Trong khoảng thời gian từ t = a tới t = a + h thay đổi vị trí vật f (a + h) − f (a) (Quan sát hình vẽ) Vận tốc trung bình vật khoảng thời gian VT B = f (a + h) − f (a) h Điều giống với hệ số góc đường thẳng P Q biểu thức 1.3 Bây ta tính vận tốc trung bình vật khoảng thời gian ngắn [a; a + h] Nói cách khác ta để h tiến tới 0, vận tốc vật thời điểm t = a f (a + h) − f (a) h→0 h v(a) = lim Sau giới thiệu khái niệm đạo hàm cách độc lập hàm số biến số thực 1.1.3 Khái niệm đạo hàm Ta thấy loại giới hạn phát sinh việc tìm kiếm hệ số góc tiếp tuyến đường cong (Phương trình 1.2) vận tốc thời điểm cụ thể chuyển động vật (Phương trình 1.5) Trong thực tế, giới hạn f (a + h) − f (a) h→0 h lim phát sinh ta tính tốn tỉ số thay đổi Loại giới hạn xảy rộng rãi, mang tên kí hiệu đặc biệt Định nghĩa 1.1.4 Đạo hàm hàm f (x) a kí hiệu f ′ (a) f (a + h) − f (a) h→0 h f ′ (a) = lim giới hạn tồn hữu hạn Nếu ta viết x = a + h, h = x − a h tiến tới x tiến tới a Vì thế, nói cách khác đạo hàm hàm f (x) a viết f (x) − f (a) x→a x−a f ′ (a) = lim 10 Thực tế f ′ (0) = đơn giản tiếp tuyến ngang (0; 0) đường cong tiếp xúc với tiếp tuyến ngang Định nghĩa 2.2.6 Số quan trọng hàm f số c thuộc miền xác định f mà thõa mãn f ′ (c) = f ′ (c) khơng tồn Ví dụ 2.2.7 Tìm số quan trọng hàm f (x) = x (4−x) Lời giải Ta có f ′ (x) = 12−8x 5x f ′ (x) = ⇔ 12 − 8x = ⇔ x = 23 Vậy số quan trọng hàm f 32 Nói số quan trọng định lí fermat phát biểu lại sau Định lí 2.2.8 Nếu hàm f có cực đại hay cực tiểu địa phương c c số quan trọng hàm f Mặt khác, để tìm mức tối đa tối thiểu tuyệt đối hàm f liên tục khoảng đóng ta thực theo quy tắc sau Quy tắc 2.2.9 Muốn tìm mức tối đa tối thiểu tuyệt đối hàm f liên tục khoảng đóng [a, b] ta thực theo quy trình gồm ba bước sau Bước Tìm số quan trọng hàm f khoảng (a, b) Bước Tìm giá trị hàm f số vừa tìm bước hai nút a; b Bước Giá trị lớn giá trị nhỏ bước giá trị tối đa tuyệt đối tối thiểu tuyệt đối hàm f [a; b] Ví dụ 2.2.10 Sử dụng thiệt bị vẽ đồ thị để ước tính giá trị tối đa giá trị tối thiểu tuyệt đối hàm f (x) = x − 2sinx với ≤ x ≤ 2π Lời giải 54 Hình cho thấy biểu đồ tắt hình chữ nhật với ≤ x ≤ 2π −1 ≤ y ≤ Bằng cách di chuyển trỏ đến gần điểm tối đa, ta thấy y không di chuyển nhiều lân cận để tối đa giá trị đối đa tuyệt đối khoảng 6, 97 xảy x ≈ 5, Tương tự, cách di chuyển trỏ đến gần điểm tối thiểu, ta thấy giá trị tuyệt đối tối thiểu khoảng −0, 68 xảy x ≈ 1, 2.2.2 Định lý giá trị trung bình Trước đến định lí giá trị trung bình, ta xét sau Định lý 2.2.11.(Định lí Rolles) Gọi f hàm thỏa mãn ba giả thuyết sau: f liên tục khoảng đóng [a; b] f khả vi khoảng mở (a; b) f (a) = f (b) Khi có số c khoảng (a, b) cho f ′ (c) = 55 Trước đưa chứng, xem đồ thị số hàm thỏa mãn ba giả thuyết định lí Rolle Hình cho thấy có bốn khả Rõ ràng, trường hợp, ln có điểm (c; f (c)) đồ thị cho tiếp tuyến đồ thị nằm ngang f ′ (c) = Như vậy, định lí Rolle hợp lí Chứng minh Có ba trường hợp TH1: Nếu f (x) = k số Khi f ′ (x) = Do đó, số c lấy số (a, b) TH2: f (x) > f (a) cho vài x ∈ (a, b)(xem hình c d) Theo định lí giá trị cực trị f (x) phải đạt giá trị tối đa số c ∈ (a, b) Theo giải thiết 2, f khả vi khoảng (a, b) nên áp dụng định lí Fermat ta có f ′ (c) = TH3: f (x) < f (a) cho vài x ∈ (a, b)(Xem hình c d) Theo định lí giá trị cực trị f (x) phải đạt giá trị tối thiểu số c ∈ (a, b) Theo giải thuyết 2, f khả vi khoảng (a, b) nên áp dụng định lí Fermat ta có f ′ (c) = Như vậy, định lí Rolle chứng minh Ví dụ 2.2.12 Chứng minh phương trình x3 + x − = có nghiệm thực Lời giải Sử dụng định lí giá trị trung gian Đặt f (x) = x3 + x − Ta có f (0) = −1 < f (1) = > Mặt khác, f hàm đa thức nên liên tục Từ định lý giá trị trung gian, ta suy có số c ∈ (a, b) cho f (c) = Tức phương trình cho có 56 nghiệm Ứng dụng định lý Rolle lần đưa nhà toán học người Pháp khác - Joseph Louis Lagrange chứng minh điều quan trọng sau gọi định lý Lagrange Định lý 2.2.13.(Định lí Lagrange) Gọi f hàm thõa mãn giả thuyết sau: f liên tục khoảng đóng [a, b] f khả vi khoảng mở (a, b) Khi tồn số c ∈ (a; b) cho f ′ (c) = f (b) − f (a) b−a Hay f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a) Trước chứng minh định lí này, ta thấy hợp lí Hai hình cho thấy điểm A(a, f (a)) B(b; f (b)) hai đồ thị khác 57 Hệ số góc đường thẳng AB mAB = f (b) − f (a) b−a Vì f ′ (c) có hệ số góc tiếp tuyến đường cong y = f (x) điểm (c, f (c)).Rõ ràng, (C) có tiếp tuyến song song với đường thẳng AB Điều có nghĩa f ′ (c) = f (b) − f (a) b−a Chứng minh định lí Áp dụng định lí Rolle cho hàm h(x) định nghĩa h(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (x − a) b−a (a) Ta có h′ (x) = f ′ (x) − f (b)−f b−a Trước tiên, ta kiểm tra ba giả thiết định lý Rolle GT1: Hàm h(x) liên tục [a, b] tổng f (x) đa thức bậc GT2: Hàm h(x) khả vi (a, b) f (x) khả vi (a, b) GT3: Ta có h(a) = f (a) − f (b) − f (b) − f (a) (a − b) = b−a h(a) = f (b) − f (a) − f (b) − f (a) (b − a) = b−a Từ ta có h(a) = h(b) = Như vậy, h(x) thỏa mãn ba giả thuyết định lí Rolle Khi đó, áp dụng định lí Rolle ta có tồn số c ∈ (a, b) thõa mãn h′ (c) = Tức 58 h′ (c) = f ′ (c) − f (b) − f (a) f (b) − f (a) = ⇔ f ′ (c) = b−a b−a Như vậy,định lí Lagrange chứng minh Ví dụ 2.2.14 Giả sử f (0) = f ′ (x) ≤ Hỏi f (2) lớn bao nhiêu? Lời giải Vì f khả vi với ∀x nên liên tục Cụ thể, ta áp dụng định lý giá trị bình cho f (x) đoạn [0, 2] Khi đó, tồn số c ∈ (1, 2) cho f (2) − f (0) = f ′ (c)(2 − 0) Vì f (2) = f (0) + 2f ′ (c) hay f (2) = −3 + 2f ′ (c) Theo đề f ′ (c) ≤ Do f (2) ≤ −310 = Định lý giá trị trung bình dùng để thiết lập số kiện phép tính khác Một kiện định lý sau Định lý 2.2.15 Nếu f ′ (x) = với ∀x ∈ (a, b) với x1 < x2 Vì f khả vi (a, b) nên khả vi (x1 , x2 ) liên tục đoạn [x1 , x2 ] Áp dụng định lý giá trị trung bình hàm f đoạn [x1 ; x2 ] ta suy có vơ số c ∈ (x1 , x2 ) cho f (x2 − f (x1 )) = f ′ (c)(x2 − x1 ) Vì f ′ (x) = với ∀x ∈ (x1 , x2 ) nên f (x2 ) = f (x1 ) với ∀x Nói cách khác, f có giá trị hai số thuộc (a, b) tức f hàm khoảng (a, b) Hệ 2.2.16 Nếu f ′ (x) = g ′ (x) với ∀x ∈ (a, b) f − g số khoảng (a, b), có nghĩa f (x) = g(x) + c ∀x ∈ (a, b) với c số Lưu ý phải cẩn thận việc sử dụng định lí 2.2.15 Chẳng hạn, ta xét hàm số f (x) = 59 x |x| Rõ ràng  1 ,x > f (x) = −1 , x < Hàm f có tập xác định D = {x\x ̸= 0} đương nhiên f ′ (x) = với ∀x ∈ D Tuy nhiên f (x) hàm Điều mâu thuẫn với định lí 1.2.15 D khơng phải khoảng Cũng lưu ý f (x) hàm (0, +∞) hàm (−∞, 0) Ví dụ 2.2.17 Chứng minh tan−1 x + cot−1 x = π2 Lời giải 1 Ta đặt f (x) = tan−1 x + cot−1 x, ta có f ′ (x) = 1+x − 1+x2 = với ∀x Theo định lý 2.2.16 f hàm , tức f (x) = c Để xác định c, chọn x = ta có f (1) = tan−1 + cot−1 = π π π + = 4 Vậy f (x) = π2 2.2.3 Ứng dụng phép tính vi phân vật lí, hóa học, sinh học Đầu tiên, ta nghiên cứu ứng dụng đạo hàm lĩnh vực vật lí Nếu s = f (t) hàm vị trí vật di chuyển theo đường thẳng ∆s ∆t biểu thị vận trung bình vật v = ds dt đại diện cho vận tốc tức thời vật tốc độ thay đổi vận tốc vận gia tốc a(t) = v ′ (t) = s′′ (t) Và đó, ta giải vấn đề liên quan đến chuyển động vật cách dễ dàng Ví dụ 2.2.18 Vị trí vật cho phương trình s = f (t) = t3 − 6t2 + 9t, t tính giây s tính mét a/ Tìm vận tốc vật thời điểm t? 60 b/ Vận tốc vật sau 2s, 4s? c/ Tìm gia tốc vật thời điểm t = 4s? d/ Khi tìm vật tăng tốc? Khi vật chậm lại? Lời giải a/ Vận tốc vật v(t) = ds = 3t2 − 12t + dt b/ Vận tốc vật sau giây v(t = 2) = −3m/s Vận tốc vật sau giây v(t = 4s) = 9m/s c/ Ta cần tính quãng đường dịch chuyển vật khoảng thời gian [0; 1], [1; 3]; [3, 5] Khi quãng đường dịch chuyển tổng quãng đường 28m d/ Gia tốc vật thời điểm t a(t) = v ′′ (t) = d (3t − 12t + 9) = 6t − 12 dt Như vậy, gia tốc vật thời điểm t = giây a(t = 5) = 6.5 − 12 = 18m/s2 2.3 Độ tăng theo hàm mũ ứng dụng Trong vật lí, số lượng chất phóng xạ phân rã với tốc độ tỉ lệ thuận với khối lượng Trong hóa học, tốc độ phản ứng tỉ lệ thuận với nồng độ chất Trong tài chính, giá trị tài khoản tiết kiệm với lãi suất gộp liên tục tăng theo tỉ lệ tương tứng với giá trị Nói chung, y(t) giá trị đại lượng y thời điểm t tốc độ thay đổi y t tỉ lệ thuận với kích thước nhiều thời điểm phương trình 2.2 61 dy = ky dx với k số Phương trình 2.2 gọi quy luật tăng trưởng tự nhiên (nếu k > 0) gọi quy luật phân rã từ nhiên (nếu k < 0) Nó gọi phương trình vi phân liên quan đến hàm y chưa biết Khơng khó để nghĩ giải pháp cho phương trình 2.2 Phương trình u cầu ta tìm hàm có đạo hàm bội số khơng đổi Bất kì hàm mũ có dạng y(t) = c.ekt , c số thỏa mãn y ′ (t) = c.(k.ekt ) = k.(c.ekt ) = ky(t) Bất kì hàm dy dt = ky phải có dạng y = e.c Để thấy tầm quan trọng số c, ta quan sát y(0) = c.ek0 = c Do đó, c giá trị ban đầu hàm Định nghĩa 2.3.1 Các giải pháp phương trình vi phân dy dt = ky hàm mũ y(t) = y(0).ekt Ví dụ 2.3.2 Sử dụng thực tế dân số giới 2560 triệu người vào năm 1950 3040 triệu người vào năm 1960 để mơ hình hóa dân số giới nửa sau kỉ 20 (giả sử tốc độ tăng trưởng tỉ lệ thuận với quy mô dân số) Sử dụng mơ hình hóa để ước tính dân số giới vào nam 1993 dự đoán dân số vào năm 2020 Giải pháp Ta đo thời gian t tính năm cho t = vào năm 1950 P (t) số dân(triệu người) Khi đó, P (0) = 2560 P (10) = 3040 Từ định lí ta có 62 P (t) = P (0).ekt = 2560.ekt P (10) = 2560.e10t = 3040 k= 3040 ln ≈ 0, 017185 10 2560 Tốc độ tăng trưởng tương đối khoảng 1,7 Ta ước tính dân số giới năm 1993 P (43) = 2560.e0,017185(43) ≈ 5360 Mơ hình dự đốn dân số năm 2020 P (70) = 2560.e0,017185(70) ≈ 8524 Ví dụ 2.3.3 Một chai soda pop nhiệt độ phòng 72o F , tủ lạnh có nhiệt độ 44o F Sau nửa giờ, soda pop nguội đến 61o F a/ Nhiệt độ soda pop sau nửa bao nhiêu? b/ Mất để soda nguội đến 50o F ? Giải pháp Gọi T (T ) nhiệt độ soda sau t phút Nhiệt độ xung quanh T (s) = 44o F Khi đó, ta có dT = K(T − 44) DT Đặt y = T − 44 y(0) = T (0) − 44 = 72 − 44 = 28 63 dy Vì thế, y thỏa mãn dx = ky; y(0) = 28 Ta lại có y(t) = y(0).ekt = 28ekt Ta cho T (30) = 61 Vì y(30) = 61 − 44 = 17 28.e30k = 17 Khi e30k = 17 28 Lấy logarit tự nhiên hai vế ta k = 17 ln 28 30 ≈ −0, 01663 Do y(t) = 28.e−0,01663t T (t) = 44 + 28.e−0,01663t T (60) = 44 + 28.e−0,01663(60) ≈ 54, Vì vậy, sau giờ, soda nguội đến khoảng 54o F b/ Ta có T (t) = 50 44 + 28.e−0,01663t = 50 ln 28 ≈ 92, Vậy soda pop nguội đến 50o F sau 33 phút Khi t = −0,1663 2.4 Một số toán tối ưu Một ứng dụng đạo hàm tìm giá trị cực đoạn nhiều lĩnh vực sống Một doanh nhân muốn giảm thiểu chi phí tối đa lợi nhuận, khách du lịch muốn giảm thiểu thời gian vận chuyển Trong phần này, ta nghiên cứu vấn đề tối đa tối thiểu Để giải vấn đề này, ta chuyển thành vấn đề tối ưu hóa toán học cách thiết lập hàm tối đa hóa hay tối thiểu hóa Cụ thể, phương pháp thực sau: Bước Đọc vấn đề đến hiểu rõ ràng, định lượng cho gì? Các điều kiện định gì? Bước Vẽ sơ đồ Trong hầu hết vấn đề, hữu ích vẽ sơ đồ xác định số lượng cho 64 Bước Giới thiệu kí hiệu Kí hiệu cho số lượng tối thiểu hay tối đa hóa Q Đồng thời, chọn kí hiệu a, b, c, x, y cho đại lượng chưa biết Bước Biểu thị Q từ kí hiệu bước Bước Nếu Q biểu thị hàm nhiều biến bước 4, sử dụng thông tin biết để tìm mối quan hệ (dưới dạng phương trình) biến Sau sử dụng phương trình để loại bỏ biến giữ biến Nói cách khác, chuyển biểu thức Q dạng hàm biến x, giả sử Q = f (x) Tìm miền xác định hàm Bước Sử dụng phương pháp biết để tìm giá trị tối đa tối thiểu hàm f Ví dụ 2.4.1.Một cơng ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2000000 đồng tháng hộ có người thuê lần tăng giá cho thuê hộ 100000 tháng có thêm hộ bị bỏ trống Muốn có thu nhập cao cơng ty phải cho thuê hộ với giá bao nhiêu? Lời giải Gọi x giá thuê thực tế hộ (x ≤ 2000000) Ta lập luận sau Tăng giá 1000000 tháng có hộ bị bỏ trống Như tăng hộ bị bỏ trống giá x − 2000000 có x−2000000 50000 Do đó, cho thuê với giá x đồng thời số hộ cho thuê 50 − x − 2000000 x =− + 90 50000 50000 Gọi F (x) hàm lợi nhuận thu cho thuê hộ F (x) = (− x + 90)x = − x2 + 90x, x ≤ 2000000 50000 50000 Ta có F ′ (x) = − 25000 x + 90 Cho F ′ (x) = ⇔ x = 2250000 Lập bảng biến thiên ta F (x) đạt giá trị lớn x = 250000 Như công ty cho thuê hộ với giá 2250000 có lợi nhuận cao 65 Ví dụ 2.4.2 Người ta muốn mạ vàng cho hộp có đáy hình vng khơng có nắp tích 4dm3 Tìm kích thước hộp để lượng mạ vàng Giả sử độ dày lớp mạ nơi mặt hộp Lời giải Độ dài cạnh đáy hộp x(dm)(x > 0) Chiều cao hộp h(dm)(x > 0) S(x) diện tích hộp cầu mạ Ta có khối lượng vàng cần mạ (P.d).S(x) = C.S(x) với C số P khối lượng riêng vàng Ta có khối lượng vàng cần mạ tỉ lệ thuận với S(x) Thể tích hộp V (x) = x2 h ⇔ h = xV2 = x42 S(x) = 4xh + x2 = 16 + x2 x Bài tốn trở thành tìm x để S(x) đạt giá trị nhỏ Ta có S ′ (x) = − x162 + 2x Khi S ′ (x) = ⇔ x = Lập bảng biến thiên ta S(x) đạt giá trị nhỏ x = Vậy để tiết kiệm lượng vàng cần mạ phải sản xuất hộp có cạnh đáy 2dm cao 1dm 66 Kết luận Đề tài nghiên cứu "Ứng dụng đao hàm chàm số biến số " đạt số kết sau đây: • Hệ thống lại số kiến thức khái niệm đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm sơ cấp bản, đạo hàm hàm ngược • Hệ thống lại phép tính vi phân trình bày ứng dụng phép tính vi phân việc khảo sát vẽ đường cong cho hàm số, phương trình tham số, số ứng dụng phép tính vi phân khoa học tự nhiên xã hội, vật lí hóa học sinh học Sau thời gian nghiên cứu, có nhiều cố gắng chắn cịn có nhiều khiếm khuyết Em mong nhận nhiều ý kiến góp ý Hội đồng đánh giá để khóa luận hồn thiện Xin trân trọng cảm ơn Hội đồng! 67 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đồn Quỳnh (2000), Hình học vi phân , Nhà xuất Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh (2011), Đại số Giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục [3] Đoàn Quỳnh (2008), Đại số Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục [4] Nguyễn Quảng (2008), Một số phương pháp toán học đại quản lí kinh tế, Nhà xuất Bưu điện [5] Lê Đình Thúy (2012), Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Đại học kinh tế quốc dân [6] Hoàng Tụy, Hàm đại), Nhà Tiếng Anh thực xuất Giải Đại học tích hàm Quốc gia (Giải tích Hà Nội [7] Vohra, Rakesh V (2005), Advanced mathematical, Routledge, London, England [8] Michael Artin (1991),algebra, College of science [9] Stewart J (2003), Calculus Early Transcendentals, Beooks/Cole PuBlishing company (6th) [10] Rogawski J and Adam (2015), Calculus Early Transcendentals, Edi., Freeman and company (3rd) 68