Chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm một biến trong thực tế và ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến trong thực tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA ĐIỆN TỬ    BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH Tên chủ đề Ứng dụng đạo hàm của hàm một biến trong thực tế và ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến trong thực tế Nhó[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA ĐIỆN TỬ  BÁO CÁO NHĨM HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH Tên chủ đề : Ứng dụng đạo hàm hàm biến thực tế ứng dụng cực trị hàm nhiều biến thực tế Nhóm sinh viên thực : Nhóm Lớp : KTMT01 Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Thị Minh Nguyệt Hà Nam, tháng 11, năm 2022 Danh sách thành viên STT 10 11 12 13 14 15 Họ tên Nguyễn Thành Đạt Lê Anh Đức Trần Thọ Đức Bùi Mạnh Dũng Nguyễn Hoàng Dương Nguyễn Minh Dương Giáp Văn Duy Nguyễn Thị Hà Phạm Thu Hà Trương Văn Hiếu Nguyễn Văn Hoàng Nguyễn Viết Hoàng Võ Huy Hoàng Đoàn Văn Huấn Nguyễn Huy Hùng Mã sinh viên 2022600774 2022602765 2022603142 2022603463 2022602688 2022603267 2022607127 2022602873 2022607204 2022601787 2022602301 2022601184 2022602321 2022603484 2022603196 Đánh giá MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU Chương 1: Ứng dụng đạo hàm hàm hàm biến thực tế 1.1 Ví dụ 1.2 Ví dụ Chương 2: Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến thực tế 2.1 Cực trị tự 2.1.1 Ví dụ .7 2.1.2 Ví dụ .8 2.1.3 Ví dụ .8 2.2 Cực trị có điều kiện 2.2.1 Ví dụ .9 2.2.2 Ví dụ 10 2.2.3 Ví dụ 12 KẾT LUẬN 14 LỜI CẢM ƠN Bộ mơn Giải tích mơn thực bổ ích, thú vị có tính thực tế cao Vì suốt thời gian học tập nghiên cứu chúng em có hội tìm hiểu ứng dụng thú vị đạo hàm cực trị đời sống Từ vận dụng linh hoạt tình huống, đưa phương án giải hữu hiệu đời sống Để góp phần tạo nên thành công nghiên cứu môn chúng em nhận quan tâm, hướng dẫn tận tình, chu đáo cô bạn Lời nhóm chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Minh Nguyệt– giảng viên Khoa Điện Tử– Trường Đại học Công Nghiệp Hà Nội trực tiếp hỗ trợ chúng em hoàn thành tốt báo cáo Bằng tất kiến thức, hiểu biết, tâm huyết với nghề tình cảm mà dành cho học trị ln ln dạy giúp đỡ chúng em buổi học Báo cáo thực hành thực khoảng thời gian không dài Bước đầu vào nghiên cứu chiến lược thực tế chúng em cịn nhiều bỡ ngỡ, trình độ lý luận kiến thức kinh nghiệm hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Nhóm chúng em mong nhận đóng góp quý báu cô Nguyễn Thị Minh Nguyệt để báo cáo nhóm hồn thiện đạt kết tốt Cuối nhóm chúng em xin chúc thật dồi sức khỏe, vui tươi, nhiệt huyết công việc mà cô chọn Chân thành cảm ơn cô! LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, Toán học trở thành yếu tố gần gũi, quen thuộc không phần quan trọng lĩnh vực nghiên cứu, lĩnh vực kinh tế - kỹ thuật đời sống Đặc biệt tốn Giải Tích có ý nghĩa quan trọng, giúp giải tốn nhanh, gọn xác Và ứng dụng đạo hàm hàm biến ứng dụng cực trị hàm nhiều biến giải tích ln ln đề tài mẻ giáo viên, học sinh sinh viên nghiên cứu vấn đề Chính lý nên nhóm muốn thực đề tài nghiên cứu: Ứng dụng đạo hàm hàm biến thực tế ứng dụng cực trị hàm nhiều biến thực tế Ý nghĩa đề tài chọn Việc tìm hiểu, nghiên cứu ứng dụng đạo hàm hàm biến ứng dụng cực trị hàm nhiều biến giải tích giúp nhóm nghiên cứu có nhìn sâu sắc hơn, tồn diện giá trị thực tế tốn giả tích nói chung ứng dụng đạo hàm, cực trị nói riêng sống Từ dễ dàng bình tĩnh xử lý tình phát sinh sống Cấu trúc báo cáo nhóm Chương 1: Ứng dụng đạo hàm hàm biến thực tế Chương 2: Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến thực tế Chương 1: Ứng dụng đạo hàm hàm hàm biến thực tế 1.1 Ví dụ Có hồ hình chữ nhật rộng 40 m dài 160 m Một vận động viên tập luyện chạy phối hợp với bơi sau: Xuất phát từ vị trí điểm A chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm M bơi từ vị trí điểm M thẳng đến đích điểm B (đường nét đậm) hình vẽ Hỏi vận động viên nên chọn vị trí điểm M điểm A mét (kết làm tròn đến hàng đơn vị) để đến đích nhanh nhất, biết vận tốc bơi 1,6m/s, vận tốc chạy 4,8m/s Đặt AM=x (0≤x≤160) ta có: • Thời gian chạy đoạn AM t1= AM X = 4,8 4,8 √(160-x)x))2 + 402 MB • Thời gian bơi đoạn MB t2 = 1,6 = 1,6 Tổng thời gian xuất phát từ A để đến đích B t(x) = t1 + t2 = 2 X + √(160-x)x)) + 40 4,8 1,6 Khảo sát hàm số t(x) đoạn [0;160], ta có t′(x) = 4,8 - 160-x)x) 1,6 √(160-x)x))2 + 402 t′(x) =  3(160-x)x)) = √(160-x)x))2 + 402  x) = 174,14 (loại) x) = 145,85 (T/m) [ 0;160 ] t(x) = { t(0), t (160), t (145,85) } = t (145,85) dấu đạt x = 145,85 m 1.2 Ví dụ Một xe khách từ Việt Trì Hà Nội chở tối đa 60 hành khách chuyến Nếu chuyến chở m hành khách giá tiền cho hành khách tính (30-5m/ 2)^2 đồng Tính số hành khách chuyến xe để nhà xe thu lợi nhuận chuyến xe lớn nhất.? Gọi x số hành khách chuyến xe để số tiền thu lớn nhất, (0 ≤x) ≤ 60) Gọi F(x) hàm lợi nhuận thu (F(x): đồng) Số tiền thu : x(30-5m/2)^2 =90000x-1500 x2 +(25 x3 )/4 Bài toán trở thành tìm x để F(x) đạt giá trị lớn F’(x) =90000-3000x+(75/4) x2 F’(x)=0 90000-3000x+(75/4) x2=0  x)=120 (loại) x)= 40(t/m) F’’(x))=-x)3000+(150/4)x F’’(40) F(x)) max) -x)> Vậy để thu số tiền lớn chuyến xe khách phải chở 40 người hương 2: Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến thực tế 2.1 Cực trị tự 2.1.1 Ví dụ Một công ty chuyên sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng x (đơn vị) y (đơn vị) Giả sử giá tính theo đơn vị USD sản phẩm loại loại hai cho đơn vị p(x) = 30 - x q(y)= 30 - y Biết tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm C (x,y) = x2 + xy + y2 (USD) Vậy công ty nên sản xuất đơn vị sản phẩm loại để tổng lợi nhuận thu cực đại? Bài giải Gọi x, y số đơn vị sản phẩm loại loại hai cần sản xuất ( x,y ≥ ) Ta có: Lợi nhuận = Tổng doanh thu – Tổng chi phí Tổng doanh thu: R=x(30-x) + y(30-y) Tổng chi phí: C= x2 + xy + y2 Vậy Lợi nhuận: π = x(30−x) + y(30 – y) − ( x2 +xy+ y2 ) = 30x – x2 + 30y – y2 − x2 – xy − y2 = −2x2 − 2y2 – xy + 30x + 30y Ta có hệ phương trình π’x= -4x – y + 30=0 x=6 π’x= -4y - x + 30=0 y=6 Ta có: π”xx = - π”xy = - π”yy = - Tại điểm (10:10) ta có: A = π”xx (6;6) = - B = π”xy (6;6) = - C = π”yy (6;6) = - Do B2 – AC = 15 < 0; = − < nên hàm số π đạt cực đại điểm (6;6) Vậy công ty cần sản xuất loại sản phẩm đơn vị đạt lợi nhuận cực đại 2.1.2 Ví dụ Giả sử cơng ty sản xuất độc quyền loại sản phẩm tiêu thu tạo hai thị trường tách biệt Giả sửu hàm cầu hai thị trường là: p1 p2 ; Q D =80− Hàm tổng chi phí: C ( Q ) =Q2+ 30Q+10 , Q=Q1 +Q tổng sản lượng Q p 1=80− u cầu: tìm lượng sản phẩm Q1 ,Q2 mà cơng ty cung cấp cho thị trường cho lợi nhuân đạt cao nhất? Bài giải Giả sử công ty cung cấp cho thị trường Q1 sản phẩm, thị trường Q2 sản phẩm Q 1=80− ⇒ P1=240−3 Q1 ; P2=320−4 Q2 P1 P2 ; Q 2= v Q=Q +Q Do doanh thu thị trường là: R1=( 240−3 Q1 ) Q1 R2=( 320−4 Q ) Q Khi tổng lợi nhuận là: π=R1 + R2 −C ¿ ( 240−3 Q1) Q1 + ( 320−4 Q2 ) Q2−( Q 2+30 Q+10 ) (Q=Q1 +Q ¿ ' Γ Q =210−8Q1 −2Q =0 Γ 'Q =290−10 Q 2−2Q 1=0 ⇔ Q =20,Q 2=25 Cực đại hàm π (Q1 ,Q ¿=(20,25) Vậy công ty cung cấp cho thị trường thứ Q 1=20 đơn vị hàng vói đơn giá P1=240−3 Q1=180 ;cung cấp cho thị trường thứ Q2=25 đơn vị hàng hóa với đơn giá P2=320−4 Q 2=220 2.1.3 Ví dụ Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại linh kiện điện tử, biết hàm cầu hai loại sản phẩm : Q1 =240-p1, Q2 =300- p2, hàm chi phí để doanh nghiệp sản xuất là: C= Q12 +2Q1Q2+Q22+20 Xác định cấu sản xuất (Q1,Q2) giá bán sản phẩm để lợi nhuận doanh thu lại tối đa? Bài giải Bài tốn dẫn tới cần tìm cực trị hàm lợi nhuận : +2Q1Q2+Q22+20) =240Q1- 2Q12+300Q2-2Q22-2Q1Q2-20 Xét hệ: Q1=30 π ' Q1=240−4 Q 1−2 Q2=0 => Q2=60 π ' Q 2=300−4 Q 2−2 Q1=0 { { π = p1Q1+p2Q2-(Q12 Ta có: A= π ' ' Q12 = - B= π ' ' Q1Q2 = -2 C= π ' ' Q22 = - Tại (Q1,Q2)= (30,60) có : B2-AC= -12 G(x)= x+y-16 x y  Hàm Lagrange: L = x ( 10 - ) + y.( 12 - ) + λ) ( x +y -16) Ta có : L’x = 10-x + λ) =0 x= L’y= 12 -y + λ) =0 => y= L’λ)= x+y -16 =0 λ)=-3 Ta có : L’’xx= -1 L’’xy=0 L’’yy=-1 g’(x)=1 g’(y)=1 H= g’(x) g’(x) L’’xx g’(y) = g’(y) L’’xy L’’yx 1 -1 -1 L’’yy Det H = > => cực đại có điều kiện ( 7;9) Z max=113 Vì hàm có cực trị nên cực đại ( 7;9) cực trị cần tìm Vậy cần nuôi tôm sú cá ba sa để sản lượng đạt lớn 113 12 2.2.3 Ví dụ Cho hàm tiêu dùng: U = x1 + x2 + x1.x2 Trong x1 , x2 tương ứng lượng cầu mặt hàng U lợi ích tiêu dùng hai mặt hàng Giả sử giá hai mặt hàng p1 = 2$ p2 = 5$ thu nhập người tiêu dùng M = 53$ Hãy xác định lượng của mặt hàng để người tiêu dùng lợi Ta có tổng chi phí người tiêu dùng lợi TC = x1p1 +x2p2 = 2x1 + 5x2 Vì tổng thu nhập người tiêu dùng 53$ => 2x1 + 5x2 = 53 Bài toán đặt xác định x1 , x2 cho U = x1 + x2 + x1x2 max Với điều kiện ràng buộc 2x1 + 5x2 = 53 lập hàng lagrange G = x1 + x2 + x1x2 + A( 53 – 2x1 – 5x2 ) Ta có : G’x1 = + x2 - 2A G’x2 = + x1 - 5A G’A = 53 – 2x1 – 5x2 Điều kiện cần G’x1 = G’x2 = + x2 - 5A =  x2 - 5A = -1 + x1 - 2A = G’A =  53 – 2x1 – 5x2 = x1 - 2A = -1  x1 = 14 -2x1 – 5x2 = 53 Vậy M ( 14 ,5 ) ứng với A =3 điểm dừng G’’x1x1 = G’’x1x2 = G’’x2x2 = g’x1 = g’x2 = Tại M ( 14, ) A= ta có : G11 = G12 = G21 = G22 = 13 x2 = g = g2 = A= |H| = 20>  Hàm số đạt cực đại M( 14 ,5 ) với điều kiện 2x1 + 5x2 = 53 Vậy với x1 = 14 x2 = lợi ích tiêu dùng đạt lớn 14 KẾT LUẬN Ngày trọng nhiều khía cạnh thực hành lý thuyết sách Bất nghiên cứu mảng kiến thức lĩnh vực điều người ta quan trọng ứng dụng thực tế sao, có vận dụng tốt vào sống hàng ngày họ hay khơng tốn học Đặc biệt Giải tích khía cạnh việc ứng dụng khiến thức học vào đời sống lại trọng Thông qua báo cáo mà nhóm nghiên cứu ta thấy số ứng dụng tiêu biểu đạo hàm hàm biến ứng dụng cực trị hàm nhiều biến Giải tích ứng dụng thực tế nào, qua thấy vai trị, tầm quan trọng Giải tích nói riêng Tốn học nói chung việc áp dụng vào xử lý vấn đề thực tiễn sống Bài báo cáo nhóm hồn thành thời gian ngắn cịn nhiều thiếu sót q trình tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Nhóm chúng em mong góp ý để báo cáo nhóm ngày hồn thiện Một lần nhóm chúng em xin cám ơn Nguyễn Thị Minh Nguyết hỗ trợ, cung cấp tài liệu giải đáp thắc mắc cho chúng em suốt trình làm báo cáo 15 ... cứu: Ứng dụng đạo hàm hàm biến thực tế ứng dụng cực trị hàm nhiều biến thực tế Ý nghĩa đề tài chọn Việc tìm hiểu, nghiên cứu ứng dụng đạo hàm hàm biến ứng dụng cực trị hàm nhiều biến giải tích... xác Và ứng dụng đạo hàm hàm biến ứng dụng cực trị hàm nhiều biến giải tích ln ln đề tài mẻ giáo viên, học sinh sinh viên nghiên cứu vấn đề Chính lý nên nhóm muốn thực đề tài nghiên cứu: Ứng dụng. .. Chương 1: Ứng dụng đạo hàm hàm hàm biến thực tế 1.1 Ví dụ 1.2 Ví dụ Chương 2: Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến thực tế 2.1 Cực trị tự