TIỂU LUẬN môn TOÁN CAO cấp tính đạo hàm của các hàm sau tại những điểm mà hàm số xác định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIA ĐỊNH KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN TIỂU LUẬN MƠN:TỐN CAO CẤP Giảng viên hướng dẫn: Th.S Bùi Thị Khuyến Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thành Phước MSSV: 200811265 Lớp: K14DCTH06 Khóa: 14 TP HỒ CHÍ MINH NĂM 2021 LỜI MỞ ĐẦU Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Công Nghệ Thông Tin, trường Đại Học Gia Định tạo điều kiện thuận lợi cho chúng em học tập hoàn thành đề tài Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giảng viên - cô giáo Th.S Bùi Thị Khuyên dày công truyền đạt kiến thức hướng dẫn chúng em trình làm Em cố gắng vận dụng kiến thức học học kỳ qua để hoàn thành tiểu luận Nhưng kiến thức hạn chế khơng có nhiều kinh nghiệm thực tiễn nên khó tránh khỏi thiếu sót q trình làm trình bày Rất kính mong góp ý q thầy để tiểu luận em hoàn thiện Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn quan tâm giúp đỡ thầy cô giúp đỡ em trình thực tiểu luận Xin trân trọng cảm ơn! Mục Lục CHƯƠNG 1: GIẢI BÀI TẬP MSSV: 200811265 (6+5)/2= 5,5 Câu 1(2đ) Tính đạo hàm hàm sau điểm mà hàm số xác định: 1, 3, y = (ln x) y=2 M x 2, y = (arcsin x) x y = x arccos sin x 4, Giải : Câu 1: 1, y = (ln x) y= M x (x>0)  lny = Đạo hàm vế ta  = + = => y’ = y = (arcsin x) x y=  lny = x.ln Đạo hàm vế ta  = ln => y’ = y=2 sin x y= Mx  lny = Đạo hàm vế ta  = = => y’ = y = x arccos 4, Mx y= y’ = 2x + y’ = 2x + Câu 2(1đ) Tính vi phân hàm sau y= 1, 2, M M + arctan x x y = xe x x tăng từ đến 1.01 x giảm từ đến -0.15 Giải: y= 1, Ta có 5, 5,5 + arctan x x x tăng từ đến 1.01    −5,5 ÷ −5,5 5,5  x ÷dx = −  5,5 + dy = y ' dx =  + dx  2  x x + 30, 25 ÷  x   5,5  ÷ 1+   ÷ ÷  x    Suy vi phân cần tìm 2, y = xe x 5,5 1419  5,5  dy (1) = −  + x =1 ( 1, 01 − 1) = − ÷ x + 30, 25  25000  x x giảm từ đến -0.15 Ta có dy = y ' dx = ( e x + xe x ) dx Suy vi phân cần tìm dy (0) = ( e x + xe x ) x =0 (−0,15 − 0) = −0,15 Câu 3(2đ) Tìm cực trị hàm sau 1, 3, y = x − x2 y = ln x − arctan x 2, 4, y = x − M ln x  x = 2t − 4t   y = t − Giải: • y=x TXD : -1  y’ = Xét y’ =    2 x= -Xét x= f’( + f’’ ( < nên hàm số đạt cực đại -Xét x= f’( + f’’ ( > nên hàm số đạt cực tiểu • y = x – 5,5lnx (x>0) y’= Xét y’ =  - =0 1=  x =5,5 -Xét x= f’( + f’’ ( > nên hàm số đạt cực tiểu • y = lnx – arctan x y’= Xét y’ =0  =0  x=  Nhận thấy phương trình vơ nghiệm Nên suy hàm số khơng có cực trị 4,  x = 2t − 4t    y = t − y '( x) = dy 2tdt t = = dx (4t − 4) dt 2t − y '( x) = ⇔ Ta có x = t =0⇔t = 0⇒  2t −  y = −2 −2  t  dt d ÷ dy ' −1 2t −  (2t − 2)  y ''( x) = = = = dx (4t − 4) dt (4t − 4) dt (2t − 2) t=0 Tại Nên x=0 x=0 y ''(0) = −1 (2t − 2)3 t =0 = >0 điểm cực tiểu hàm số với giá trị cực tiểu t = 0) Vậy hàm số đạt cực tiểu x=0 với giá trị cực tiểu yCT = −2 Câu Khai triển Maclaurin hàm sau đến cấp 1, y = e2 x− x 2, y = ln(5,5 + x ) Giải: x x3 e = + x + + + o( x ) 2! 3! x 1) Ap dụng khải triển Do x→0 y=e x − x2 ( 2x − x ) → = + ( 2x − x ⇒ y = e2 x − x ⇒ y = e2 x − x 2 ) nên ta có ( 2x − x ) + ( 2x − x ) + 2 2! + o(( x − x ) ) 3! 1 = + x − x + ( x − x ) + ( x ) + o( x ) = + x + x − x + o( x ) ln(1 + x) = x − 2.Áp dụng khai triển x x3 + + o( x ) Ta có : y = ln ( 5,5 + ) = ln = ln(5,5) + ln [1] yCT = y (0) = −2 ( ứng với x→0 Do ì nên ta có y = ln(5,5) + ln = ln11 – ln + ln Xét : ln = + o(  y = ln11 – ln + + o( Câu 5(1đ) Tính tích phân suy rộng sau I= +∞ ∫ 1, 4x + dx x − x2 + x I= +∞ ∫x 2, x2 + dx Giải I= +∞ ∫x 1, 4x + dx − x2 + x • Xét I= +∞ ∫ Ta có [ 1, +∞ ) 4x + 4x + dx = ∫ dx + x − 2x + x x − 2x2 + x Với ta có x = điểm bất thường ∫x 4x + dx = I1 + I − 2x2 + x 4x + 4x + I1 = ∫ dx = ∫ dx x − 2x + x x( x − 1) 1 Ta có x →1 : Mà +∞ ∫1 ( x − 1)2 dx Phân kì α = >1 I1 = ∫ nên 4x + dx x − x2 + x phân kì +∞ ∫x I2 = Với I2 = +∞ ∫ Mà I= ∫x 2, dx x2 I = I1 + I +∞ 4x + dx − 2x2 + x x → +∞ Ta có Mà : Hội tụ α = >1 I2 = ∫x Nên 4x + dx − 2x2 + x Hội tụ I1 Phân kì I2 HT nên I phân kì x2 + dx ∫x Đầu tiên ta tìm nguyên hàm Đặt +∞ x +1 dx = ∫ x x x2 + dx  xdx = tdt t = x2 + ⇒ t = x2 + ⇒  2 x = t −1 Do ∫x = x2 + dx = ∫ x x2 x2 + dx = ∫ tdt dt  1  =∫ = ∫ − ÷dt t.(t − 1) (t − 1)(t + 1)  t − t +  1 t −1 ln t − − ln t + ) = ln = ln ( 2 t +1 Suy x2 + −1 x2 + + 1 −1 I = lim F ( x ) − F (1) = L − ln x →+∞ 2 +1 10 = F ( x) Với 1 L = lim F ( x) = lim  ln x →+∞ x →+∞  x2 + −   = ln1 = x + +  Nên ta suy −1 −1 I = L − ln = − ln 2 +1 +1 Vậy Tích phân I hội tụ Câu 6(1đ) Tính thể tích vật thể tròn xoay xoay quanh Ox, Oy 1, y = x , y = x + 2, x ≥ 2, y = − x , y = 0, y ≥ x Giải: 1, y = x , y = x + 2, x ≥ Ta có miền D giới hạn y = x , y = x + 2, x ≥ 11 phần màu vàng hình vẽ Ta xét Do x≥0 y = x+2 cắt y = x2 điểm A(2, 4) x + ≥ x , ∀x ∈ [ 0, ] Nên ta tích vật thể trịn xoay quay D quanh trục Ox 2  x3 x5  184 VOx ( D ) = π ∫  ( x + 2) − ( x )2 dx = π ∫  x + x + − x dx = π  + x + x − ÷ 20 = π 5 15  0 (đvtt) 2, y = − x , y = 0, y ≥ x 12 y = − x , y = 0, y ≥ x Ta có miền D giới hạn Giao điểm y = − x2 y=x miền phần màu vàng hình vẽ x ≥  y ≥ thỏa mãn − x2 = x ⇔ − x2 = x2 ⇒ x = ⇒ y = Khi quay D quanh Ox ta chia D thành miền với Ox, trục Oy Do miền trục Oy đường thằng   −2 ≤ x ≤ D1 :   0 ≤ y ≤ − x y=x Do miền D1 , miền giới hạn D2 y = − x2 trục y = − x2 giưới hạn 0 ≤ x ≤ D2 :   x ≤ y ≤ − x Do thể tích cần tìm VOx ( D) = π ∫ −2 ( − x2 ) dx + π ∫   ( − x2 )  − x  dx = π ∫ ( − x ) dx + π  −2 ∫ ( − x ) dx    x  x  16π 2  + 16 = π  x − ÷ 0−2 + π  x − ÷ = + π  − π , (dvtt ) ÷= 3 3 3 ÷     3 [2] Câu 7(1đ) Một cửa hàng bán xe đạp bán M xe tuần với giá 400 đôla/1 xe Người quản lý nhận thấy lần cửa hàng giảm giá M đơla/1 xe bán thêm xe Biết giá vốn xe 200 đôla a/ Nếu gọi x số lần giảm giá, tìm giá bán xe (p) số lượng xe bán (q) hàm theo x b/ Tìm doanh thu (R), lợi nhuận (P) cửa hàng tương ứng với số lần giảm giá 13 c/ Hãy tính số lần giảm giá để tối đa lợi nhuận cho cửa hàng tuần? Tính lợi nhuận tối đa? Giải : Giá vốn xe :C = 200 đô la / xe a,Gọi x số lần giảm giá : Vì giảm giá M đơla/1 xe bán thêm xe + Nên giảm x lần bán Q= 5,5 + 2x (xe) - Giá xe bán ban đầu 400 đơla/1xe + Giảm giá x lần giá xe bán : P = 400-x.5,5 Điều kiện : P > 200 cửa hàng cịn lợi nhuận ( giá vốn xe 200 đô la)  400- 5,5x > 200 x Vậy số lần giảm giá 37 lần - b, / Tìm doanh thu (R), lợi nhuận (P) cửa hàng tương ứng với số lần giảm giá -Hàm doanh thu theo tuần : A= Q P = (5,5 + 2x).( 400-x.5,5) -Hàm lợi nhuận : B = A – C = (5,5 + 2x).( 400-x.5,5) – 200 (5,5 + 2x) ( đv đô la) c, / Hãy tính số lần giảm giá để tối đa lợi nhuận cho cửa hàng tuần? Tính lợi nhuận tối đa? Xét hàm lợi nhuận: B = (5,5 + 2x).( 400-x.5,5) – 200(5,5 + 2x) Đặt B = f(x) 14  f(x) = -11 + 369,75x + 1100 Ta có : f’(x) = -22x + 369,75 xét : f’(x) =0  -22x + 369,75 =0 => x = 16,8 * f’’(34,98) = -22 0 điểm cực tiểu hàm số với giá trị cực tiểu t = 0) Vậy hàm số đạt cực tiểu x=0 với giá trị cực tiểu yCT = −2 Câu Khai triển Maclaurin hàm sau. .. [3] 16 CHƯƠNG 2: KẾT LUẬN • Kết đạt - Nâng cao khả tính đạo hàm, tính vi phân - Nắm bước tìm cực trị - Nắm cách khai triển Maclaurin - Nắm rõ cách tính tích phân suy rộng, tính thể tích vật thể