ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN

A ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN I Cơ sở lý thuyết Một số kết toán cao cấp a.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x), xác định (a,b) Đạo hàm f xo là: b.Đạo hàm độ dốc đường cong: y (C) M (T) y0+ y0 M0 N x0 x0+ x Cho y = f(x) có đồ thị đường cong (C), xo D: miền xác định hàm số - Gọi góc nghiêng đường thẳng MoM so với trục Ox - Gọi góc nghiêng tiếp tuyến MoT so với trục Ox Ta có: Khi đường thẳng (MoM) đến vị trí tiếp tuyến MT Ta kết luận: Đạo hàm y = f(x) xo hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số Mo(xo,yo) Và số đo độ dốc đường cong y = f(x) Mo(xo,yo) c Đạo hàm xu hướng biến thiên hàm số Cho y = f(x) có đạo hàm (a,b) R, đó: hàm số tăng hàm số giảm f hàm d Cực trị hàm số Cho y = f(x), xác định (a,b) - Điểm cực trị địa phương x0 (a,b) hàm f điểm mà hàm số đạt trị lớn (cực đại), trị nhỏ (cực tiểu) - Điều kiện cần: f đạt cực đại cực tiểu x0 (a,b) x0 hàm f có đạo hàm Thì - Điều kiện đủ: cho y = f(x), có (a,b) R Giải x1,… gọi điểm tới hạn Nếu: + Tại x0, đổi dấu từ + sang – f có cực đại + Tại x0, đổi dấu từ - sang + f có cực tiểu + Nếu khơng đổi dấu hàm f khơng có cực trị - Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp 2: + Hàm số y = f(x), có đạo hàm đến cấp + Nếu x0 ta có =0  x0 điểm mà f đạt cực đại  x0 điểm mà f đạt cực tiểu , ta tìm nghiệm x0, hàm số đạt cực trị x0 Ý nghĩa đạo hàm kinh tế Đạo hàm giá trị biên tế kinh tế Cho mơ hình hàm số y = f(x), x y biến kinh tế x: biến độc lập hay biến đầu vào y: biến phụ thuộc hay biến đầu Trong quản trị kinh doanh, quan tâm đến xu hướng thay đổi y, x thay đổi lượng nhỏ Với định nghĩa đạo hàm tốn bản, ta có: đủ nhỏ, ta viết: Khi Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi biến số y biến số x tăng thêm đơn vị Với quan hệ hàm y = f(x), để mô tả thay đổi biến kinh tế y, biến kinh tế x thay đổi, ta gọi giá trị biên tế y x0 (còn gọi biên tế) Với hàm kinh tế, ta có tên gọi riêng: Thí dụ: a Với hàm doanh thu: TR = p.Q gọi doanh thu biên tế b Với hàm chi phí: TC = f(x), x: sản lượng :chi phí biên tế c Với hàm sản xuất: Q = f(L), L: lao động sản lượng biên tế II Một số toán ứng dụng sản xuất kinh doanh Bài toán giá trị biên a Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu MQ: Là số đo đại lượng thay đổi sản lượng lao động vốn tăng lên đơn vị Thí dụ 1: Giả sử hàm sản xuất doang nghiệp là: Q = f(L) = L: số công nhân Ở mức L = 100 đơn vị lao động = 100 cơng nhân Q = = 50 đơn vị sản phẩm Sản phẩm biên tế lao động L = 100 là: = f’(L) = = = 0.25 L = 100 Điều có nghĩa là: tăng mức sử dụng lao đông từ 100  101 sản lượng tăng thêm 0.25 đơn vị sản phẩm Thử xét: L 100 110 120 150 200 400 1.000 MQ 0.25 0.23 0.22 0.2 0.17 0.125 0.079 Nhận xét: MQ hàm số giảm dần, đến số lượng cơng nhân định đó, việc tuyển thêm cơng nhân khơng cịn hiệu quả, tăng thêm chi phí MQ 0.25 0.17 0.12 sử 200 4001 doanh nghiệp may mặc: Thí dụ 210 : Giả hàm sản xuất Q= f(L) = + L:số công nhân Ở mức L=2500 dơn vị lao động = 2500 cơng nhân Q= 355 dơn vị sản phẩm Sản phẩm biên tế lao động L=2500 là: = f’(L) = = = 0.07 L= 2500 Điều có nghĩa : tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 sản lượng tăng 0.07 đơn vị sản phẩm b Sự thay đổi giá theo cầu: Là số đo thay đổi giá mức sản lượng tăng lên đơn vị Thí dụ 1: Hàm cầu sản phẩm: P = 10 – Q2 , Q sản lượng, P giá bán Sự thay đổi cuả giá bán theo lượng cầu là: P’ = -2Q Gỉa sử mức Q = đơn vị P’(5) = -10: Nghĩa tăng sản lượng lên đơn vị (từ lên 6), giá giảm 10 đơn vị tiền tệ Thí dụ 2: Giả sử shop cửa hàng quần áo có hàm cầu áo :P= -2Q 2, Q sản lượng , P giá bán Sự thay đổi giá theo lượng cầu :P’ = -4Q Giả sử mức Q= 10 đơn vị P’(10) =-40 nghĩa tăng sản lượng đơn vị giá giảm 40 đơn vị tiền tệ c Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu MC: Hàm chi phí: TC = TC(Q) Chi phí biên đại lượng đo thay đổi chi phí sản lượng Q tăng lên 1đơn vị Thí dụ 1: Hàm chi phí sản phẩm cho là: TC = 0.0001Q3 – 0.02Q2 + 5Q + 100 Tìm MC MC Q = 50 đơn vị sản lượng ? = (0.0001Q3 – 0.02Q2 + 5Q + 500) =0.0003Q2 – 0.04Q + Khi Q = 50, MC = 3.75 Điều có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51) chi phí tăng thêm 3.75 đơn vị tiền tệ Chúng ta tính MC số mức sản lượng khác nhau: Q MC 30 4.07 40 3.88 50 3.75 60 3.68 70 3.67 80 3.72 90 3.83 Q MC 100 120 4.52 150 5.75 180 7.52 200 300 20 500 60 Nhận xét: -Chi phí biên hàm tăng -Sản lượng sản xuất lớn chi phí biên lớn 4.07 30 200 300 d Doanh thu biên (Marginal revenue), kí hiệu MR: Xét hàm doanh thu: TR = P.Q; P: giá; Q: sản lượng Nếu: Q thị trường định, giá doanh nghiệp định, MR hay giá trị cận biên doanh thu đại lượng đo thay đổi doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị Nếu: Q doanh nghiệp định, P thị trường định MR hay giá trị cận biên cảu doanh thu đại lượng đo thay đổi cảu doanh thu giá tăng đơn vị Ví dụ1: Cho hàm chi phí C =C(Q) giá trị biên chi phí MC(Q) đại lượng đo thay đổi chi phí Ckhi Q tăng lên đơn vị Cho hàm chi phí trung bình để san xuất máy tính là: = 0.0003Q2 - 0.001Q + + Tìm giá trị cận biên chi phí mức sản xuất Q.giá trị cận biên chi phí mức sản xuất Q =70 Giải: Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là: C =Q =0.0003Q3 -0.001Q2 +3Q+200 Gía trị cận biên chi phí là: MC(Q) = =0.0009Q2 -0.002Q +3 Khi Q =70 MC(70) =7,72.Như vậy, tăng Q lên đơn vị từ 70 lên 71 chi phí tăng lên khoảng 7,72 đơn vị Ví dụ 2: Một sản phẩm có hàm cầu Q=1000-14P, Q sản lương, P giá bán.tìm doanh thu biên P=10,50 Ta có hàm doanh thu: TR = PQ =P(1000-14P) =1000P – 14P2 Có : MR= 1000 – 28P Với P=10, ta có MR=720 nghĩa tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng đơn vị tiền tệ) doanh thu tăng 720 đơn vị tiền tệ Với P=50, ta có MR=-400 nghĩa tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 doanh thu giảm mức 400 đơn vị tiền tệ Thí dụ 3: Một sản phẩm thị trường có hàm cầu là: Q= 1.000 - 14P, Q sản lượng, P giá bán Tìm MR P = 40 P = 30 Hàm doanh thu là: TR = PQ = P(1.000 – 14P) = 1.000P – 14P2 MR = 1.000 – 28 P *Khi P = 40, MR = 1000 – 28(40) = -120 Nghĩa doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 (tăng đơn vị tiền tệ), doanh thu giảm 120 đơn vị tiền tệ *Khi P = 30, MR = 1.000 – 28(40) = 160 Nghĩa doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 (tăng đơn vị tiền tệ), doanh thu tăng 160 đơn vị tiền tệ Ta tính MR số mức khác nhau: P MR Nhận xét: 30 120 32 104 34 48 35 20 35.5 36 -8 38 -64 40 -120 - MR hàm số giảm, - Có mức giá MR = MR 120 40 P 30 -120 Cũng với thí dụ Q = 1000 – 14P, tính cách khác P= 14P = 1.000 – Q , doanh thu TR = PQ = MR = = = đo lượng thay đổi doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị MR số mức sản lượng sau: Q MR 200 42.8 Nhận xét: 300 28.5 400 14.9 - MR hàm số giảm, - Có mức sản lượng MR = 500 600 -14.9 700 -28.5 800 -42.8 MR 42.8 200 800 500 Q -42.8 e Lợi nhuận biên Xét hàm lợi nhuận sản phẩm A: = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)), Trong đó: - TR hàm doach thu; - TC hàm chi phí; - FC định phí, VC(Q) biến phí Lợi nhuận biên hay lợi nhuận cận biên số đo thay đổi lợi nhuận giá tăng thê đơn vị tiền tệ hay sản lượng tăng thêm đơn vị Một doanh nghiệp ln muốn đạt lợi nhuận tối đa, có hai cách để lựa chọn: Cách 1: Gía bán P xách định theo yêu cầu thị trường, doanh nghiệp ấn định mức sản lượng sản xuất Q Giả định hàm xác định, liên tục, có đạo hàm đến cấp Muốn có lợi nhuận tối đa phải thỏa điều kiện: (1) = (2) (TR-TC) = = - = MR – MC = (TR – TC) < Từ (1)  MR = MC, nghĩa doanh thu biên = chi phí biên Từ (2)  < Đã biết: Doanh thu biên hàm giảm, chi phí biên hàm tăng Cách 2: Doanh nghiệp ấn định giá bán P, sản lượng Q xác định theo yêu cầu thị trường = TR – TC = (TR – TC) = =0 - (1) = Ta có: (TR – TC) = MPK : giảm K tăng, L không đổi Và: = < => = MPL : giảm L tăng, K khơng đổi Tính hệ số co dãn (trường hợp nhiều biến) Gọi y đại lượng kinh tế phụ thuộc vào biến kinh tế khác : x1, x2,…, xn biểu diễn qua quan hệ làm: Y = f(x1, x2,…, xn ) Khi độ co dãn y theo biến xj định nghĩa là: E xj = , y Thí dụ: j = Với hàm sản xuất Q = AKL1- ; A < 0, <  Tìm cự trị cùa hàm lợi nhuận = p = p - - Điều kiện cần để có cực trị là: (1) Gọi : R= , s= , t= Điều kiện đủ để cực trị cực đại (Lợi nhuận tối đa)  (2) Điều kiện (1) : Cho biết : Điều kiện cần để công ty đạt lợi nhuận tối đa : công ty sử dụng yếu tố đầu vào cho sản phẩm biên tế tư (tính tiền) chi phí tư bản, sản phâm biên tế lao động chi phí lao động Điều kiện (2) : Cho thấy tương quan yếu tố K L đến lợi nhuận tối đa cơng ty Thí dụ : Cơng ty Nhôm Văn Hải, chuyên sản xuất đồ gia dụng nồi cơm điện có thơng tin sau (10/2008): Hàm số sản xuất : Q = f(K,L) = -K2 – L2 + 25K + 60L Hàm chi phí : C = 10K + 20L + 150 (150 chi phí cố định) Đơn vị tính : 1.000.000 Giá bán : p = 2.106 = (đơn vị tính) Hỏi : Nhăm Văn Hải cần phối hợp yếu tố K L để đạt lợi nhuận tối đa? Ta có : Doanh thu : R = pQ = 2(-K2 – L2 + 25K + 60L) = -2 K2 – 2L2 + 50K + 120L Hàm lợi nhuận :  = R – C = -2K2 + 40K + 100L – 150 Để đạt lợi nhuận tối đa,  phải thỏa điều kiện: (1) (2) Và - = -16 < Vậy Nhơm Văn Hải cần có phối hợp : K = 10 L = 25  = 130, Q = 1025 đơn vị sản phẩm, R = 2050, C = 750 Tháng 10/2008 – Lãi 1.300.000.000  1,3 tỷ Bài toán tìm tổ hợp sản phẩm sản xuất cho đạt lợi nhuận tối đa Thí dụ 1: Doanh nghiệp tư nhân Trần Hiền chuyên sản xuất độc quyền loại sản phẩm võng xếp giường xếp Thông tin xưởng sản xuất cung cấp sau : Q1 : Số lượng võng xếp, giá P1 Q2 : Số lượng giường xếp, giá P2 Hàm cầu : Q1 = 14 - 1/4P1 võng xếp Q2 = 24 – 1/2P2 giường xếp Hàm tổng chi phí là: TC = + 5Q1Q2 + Trần Hiền nên định giá bán loại sản phẩm để đạt lợi nhuận tối đa? Ta có : Hàm doanh thu : TR = Q1P1 + Q2P2 Hàm lợi nhuận :  = TR – TC = P1Q2 + P2Q2 - 5Q1Q2  = (56 – 4Q1) Q1 + (48 – 2Q2) Q2 = 56Q1 + 48Q2 - (1) -3 - 5Q1Q2  - 5Q1Q2 -  Q2  ; Q1  Vậy sản xuất đạt lợi nhuận tối đa mức giá là: P1 = 56 – 4.3 = 44 (đv : 10.000đ) = 440.000đ/1 sản phẩm P2 = 48 – 2.6 = 36 (đv : 10.000đ) = 360.000đ/1 sản phẩm Thí dụ : Cơng ty Vissan sản xuất thịt hộp lạp xưởng phục vụ Tết âm lịch 2008 Các thông tin cho sau: - Lạp xưởng : Q1, giá thị trường P1 = 80.000đ/ 1kg - Thịt hộp : Q2, giá thị trường P2 = 50.000đ/ 1kg Hàm chi phí cho hai sản phẩm : TC = C(Q1,Q2) = -5 - 3Q1Q2 Nhà quản trị hỏi : Chọn tổ hợp sản xuất (Q1,Q2) để công ty Vissan đạt lợi nhuận tối đa Gọi hàm doanh thu : TR = P1Q1 + P2Q2 = 80Q1 + 50Q2 Hàm lợi nhuận :  = TR – TC = 80Q1 + 50Q2 - Điều kiện cần để Vissan có lợi nhuận tối đa : -5 - 3Q1Q2 Giải hệ phương trình ta được: Được : Ở tổ hợp (Q1Q2)  (9,2,5) Điều kiện để có lợi nhuận tối đa : Kết luận Công ty Vissan nên sản xuất mức : Tức sản xuất đơn vị sản phẩm lạp xưởng 2,5 đơn vị sản phẩm thịt hộp Bài tốn tìm mức phân phối sản phẩm để có lợi nhuận tối đa: Giả định cơng ty có sản phẩm A, bán thị trường khác nhau, với mức giá khác nhau, hàm cầu khác Tìm mức sản lượng cần phân bổ cho công ty đạt lợi nhuận tối đa? Gọi: Q =D (P ); Q =D (P ), đó: Q , P cầu giá bán thị trường thứ Q , P cầu giá trị bán thị trường thứ Hàm tổng chi phí là: TC=C(Q), Q= Q + Q ( đơn vị thời gian) Ta có: D (P ) = Q D (P ) = Q ; P = P (Q ).P = P (Q ) Doanh thu thị trường 1: R (Q ) = P (Q )Q Doanh thu thị trường 2: R (Q ) = P (Q )Q Tổng doanh thu: TR = R (Q ) + R (Q ) Hàm lợi nhuận: = TR – TC = R (Q ) + R (Q ) – C(Q), Q = Q + Q Ta có: =R -C; = R '2 - C Từ điều kiện để có cực trị: = 0; =0 MR = MR = MC (*) Từ (*) ta có kết luận rằng: Để đạt lợi nhuận tối đa, số lượng sản phẩm A cần phân bố cho hai thị trường cho doanh thu biên thị trường chi phí biên Ứng dụng cực trị có điều kiện kinh doanh: Bài tốn 1: Một sinh viên, tháng bố mẹ cho 1.500.000đ, sau trừ khoản chi tiêu bắt buộc như: ăn, thuê nhà, sinh hoạt cần thiết, 200.000đ cho mua sách xem ca nhạc, hai sở thích sinh viên Gọi x lần xem ca nhạc, với giá vé p = 25.000đ/1 vé Gọi y sách với giá p = 20.000đ/1 Hỏi sinh viên nên xem ca nhạc mua sách tháng để đạt dụng ích tối đa? Biết hàm dụng ích là: U(x,y) = (x + 4)(y + 5) Giải: Bài tốn đưa tìm cực trị có điều kiện sau: Tìm cực trị U(x,y) = (x +4)(y +5) (1) thỏa điều kiện 25.000x + 20.000y = 200.000 (2) Tương đương: Tìm cực trị (1) thỏa điều kiện: 5x + 4y = 40 (2) Cách 1: Từ (2) ta suy y = U(x,y) = (x + 4)( Ux ’ = - x +10; Ux’ = , thay vào (1) ta được: + 5) = (x +4)(15 – x) = - x2 + 10x +60 x = 4, y = Umax (x = 4,y = 5) Cách 2: Dùng phương pháp Lagrange Tìm cực trị U(x,y) = (x + 4)(y + 5) thỏa điều kiện 5x + 4y = 40 (2) Hàm Lagrange L(x,y) = (x + 4)(y +5) + (40 – 5x – 4y) Lx = y – + = Lập hệ phương trình Ly = x – + = L ’ = 40 – 5x – 4y = Giải hệ phương trình (4) ta nghiệm (4,5,2), tronh Như (1) thỏa điều kiện (2), đạt cực trị x = y = Để kết luận cực trị cực đại hay cực tiểu, ta lập: p = 5, q = 4, r = 0, s = 1, t = H= , có detH = 40 > (1) (3) (4) =2 Kết luận sinh viên đạt dụng ích tối đa xem ca nhạc lần mua sách tháng Bài toán 2: Trong mùa tuyển sinh đại học, trường đại học thành phố Hồ Chí Minh tuyển 5.000 sinh viên, đào tạo sở: Cơ sở A với số lượng x sinh viên, hàm chi phí là: CA = 0,01x2 + 70x + 9300 Cơ sở B với số lượng y sinh viên, hàm chi phí là: CB = 0,015y2 + 72y + 5200 Lãnh đạo nhà trường nên phân bổ sinh viên để chi phí đào tạo thấp nhất? Giải: Dùng phương pháp Lagrange Vấn đề đưa tốn tìm cực trị có điều kiện sau: Tìm cực trị: CA + CB = 0,01x2 + 70x + 9300 + 0,015y2 + 72y + 5200 = 0,01x2 +70x + 0,015y2 + 72y + 14.500 Thỏa điều kiện: x + y = 5.000 sinh viên (2) Hàm Lagrange: L(x,y, ) = 0,01x2 + 70x +0,015y2 + 14.500 + (5.000 – x –y) (3) Lập hệ phương trình: Lx’ = 0,02x +70 - = Ly’ = 0,03y + 72 - = (4) L ’ = 5.000 –x – y = Giải hệ phương trình ta được: x = 3040,y = 1960, = 130,8 (x,y) điểm (1) đạt cực trị thỏa (2), để kết luận cực trị cực tiểu, ta lập: p = 1, q = 1, r = 0,02, s = 0, t = 0,03 H = Kết luận: Tại sở A: 3040 sinh viên Tại sở B: 1960 sinh viên Thì chi phí đào tạo thấp , có detH = -0,05 < 0, nên có cực tiểu  ... là: Q= 1. 00 0 - 14 P, Q sản lượng, P giá bán Tìm MR P = 40 P = 30 Hàm doanh thu là: TR = PQ = P (1. 00 0 – 14 P) = 1. 00 0P – 14 P2 MR = 1. 00 0 – 28 P *Khi P = 40 , MR = 10 00 – 28( 40 ) = -12 0 Ngh? ?a doanh nghiệp... Q = 10 00 - 14 P, Q sản lương, P giá bán.tìm doanh thu biên P = 10 , 50 Ta có hàm doanh thu: TR = PQ =P ( 10 00 - 14 P) = 10 00P – 14 P2 Có : MR= 10 00 – 28P Với P = 10 , ta có MR=7 20 ngh? ?a tăng giá bán lên từ 10 đến... -2 50 Với P = 40 , R’’ < nên hàm R ? ?a? ?t cực ? ?a? ?i tại P= 40 _Doanh thu lúc đó là Rmax= R ( 40 ) = 200 000 ( đơn vị) _Với mức doanh thu đó số vé bán được là Q= 10 000 – 12 5 . 40 = 500 0 ( vé