TIỂU LUẬN ỨNG DỤNG đạo hàm

Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số là phần cực kỳ quan trọng trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh vào Đại học.. Chính vì những lý do trên và mong muốn thực hiệ

A- PHẦN MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Ngày nay, khi Toán học trở thành một yếu tố hết sức gần gũi, quen thuộc và không kém phần quan trọng trong các lĩnh vực nghiên cứu, lĩnh vực kinh tế - kỹ thuật, đời sống chúng ta Đặc biệt là Toán Giải tích có một ý nghĩa hết sức quan trọng, nó giúp ta giải được các bài toán nhanh, gọn và chính xác Và ứng dụng đạo hàm của hàm số trong giải toán phổ thông luôn luôn là đề tài mới mẻ, hấp dẫn đối với giáo viên, sinh viên và học sinh khi nghiên cứu vần đề này Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số là phần cực kỳ quan trọng trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh vào Đại học Chính vì những lý do trên và mong muốn thực hiện đề tài nghiên cứu

khoa học tốt nghiệp ra trường nên tôi chọn đề tài : “Đạo hàm và một số ứng dụng trong khảo sát hàm số”.

2.Mục đích nghiên cứu

Xuất phát từ việc nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm trong khảo sát hàm số giúp tôi

có cái nhìn sâu sắc, toàn diện hơn và cũng cố lại kiến thức phổ thông của mình, rèn luyện kỹ năng nghiên cứu tài liệu của mình Đặc biệt, việc hoàn thành đề tài này giúp tôi hoàn thành học phần Tiểu luận tốt nghiệp – Toán học để tốt nghiệp ra trường

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu kỹ từng dạng toán của ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

4.Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo các tài liệu ứng dụng của đạo hàm về khảo sát hàm số sau đó trình bày lại một cách lôgic cho từng chủ đề nghiên cứu

5.Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các dạng toán trong chương trình toán phổ thông và thi tuyển sinh vào Đại học

6.Cấu trúc nội dung

Nội dung bao gồm 2 chương : Chương 1 nêu lại kiến thức về đạo hàm và chương 2 gồm bốn chủ đề liên quan đến ứng dụng đạo hàm trong khảo sát hàm số Mỗi chủ đề bao gồm các kiến thức liên quan đến chủ đề và các dạng toán ứng dụng cho chủ đề đó.Chương 2 có 4 chủ đề :

+Tính đơn điệu của hàm số

+ Cực trị của hàm số

+ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

+ Sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số và tiếp tuyến của đồ thị hàm số.



B - PHẦN NỘI DUNG

1.1 Một số khái niệm và định nghĩa đạo hàm.

1.1.1 Đạo hàm tại một điểm.

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0∈ (a; b) Khi đó đạo hàm tại điểm

0 0

( ) ( )'( ) lim f x f x

1.1.4 Đạo hàm trên khoảng.

Cho J là khoảng hoặc đoạn hoặc nữa khoảng Khi đó ta nói:

 Hàm số y = f(x) gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc J.

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên J thì hàm số f’(x) xác định bởi f ' :x J →f x'( )R

là đạo hàm của hàm số f(x)

1.2 Ý nghĩa của đạo hàm

1.2.1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị là ( )C và điểm M x f x0( 0; ( )0 ) ( )∈ C Khi đó, nếu tồn tại đạo hàm tại x thì 0 f x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị '( )0 ( )C tại điểm M0

* Phần này sẽ được trình bày kỹ ở chương sau

1.2.2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Vận tốc tức thời v t tại thời điểm ( )0 t (hay vận tốc tại 0 t ) của một chuyển động có 0

phương trình s s t= ( ) bằng đạo hàm của hàm số s s t= ( ) tại điểm t , tức là 0

v t = s t

1.3 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Mệnh đề : Nếu hàm f có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại 0 x 0

Lưu ý: Điều khẳng định ngược lại của mệnh đề trên là không đúng Ví dụ như hàm số

y= x liên tục tại x= 0 nhưng không có đạo hàm tại x= 0( vì y' 0( )+ = ≠ − =1 1 y' 0( )− )

v = − v , với c là hằng số.

1.5 Công thức tính đạo hàm các hàm số sơ cấp và các hệ quả

Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm trên khoảng J

1(tan ) '

sin x x≠ πk k∈ Z

2

'(tan ) '

cos

u u

u , u≠0

'(log )'

.ln

=

a

u u

u a , u≠0, 0<a≠1

(e u)'= u e' u( )'a u = u a' .lnu a , 0<a≠1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f’(x) Nếu f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó

được gọi là đạo hàm cấp 2 Ta kí hiệu là :

 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai : Cho một chuyển động có phương trình

chuyển động s s t= ( ) Khi đó đạo hàm cấp một s t'( ) ( )= v t là vận tốc tức thời của chuyển động Do đó v t'( ) = s t"( ) là tốc độ biến thiên vận tốc hay chính là gia tốc chuyển động a t( ) = s t"( )

1.7 Ứng dụng đạo hàm trong một số bài toán về tốc độ biến thiên

Bài toán có mô hình toán học chung là : “ Xác định tốc độ biến thiên của một hàm theo biến thời gian nhờ vào tốc độ biến thiên của một hàm khác đã biết ” Sau đây là một số bước cơ bản khi giải dạng toán này

Bước 1 : Đọc kỹ đề bài và đặt tên các đại lượng biến đổi có mặt trong bài toán

dưới dạng các hàm số theo biến thời gian : h t V t( ) ( ), ,

Bước 2 : Xác định mối liên hệ giữa những đại lượng trên (thường là một công thức

liên hệ theo bản chất các đại lượng đang xét và trong một số trường hợp, để thuận tiện cần xét thêm một đại lượng trung gian)

Bước 3 : Lấy đạo hàm (theo t) công thức trên để nhận được một liên hệ về các tốc

độ biến thiên giữa các đại lượng đã nêu Trong mối liên hệ này, tại thời điểm đang xét,

xác định các giá trị đã cho, giá trị nào cần tìm Chú ý quy đổi về cùng một đơn vị tính

và dấu của các giá trị được cho dựa theo ý nghĩa của chúng.

Ví dụ 1 : Mực nhiên liệu trong một hồ chứa hình trụ đang thay đổi như thế nào khi

ta đang bơm nhiên liệu ra khỏi hồ với tốc độ 1500 lít/giờ Cho biết bán kính của đáy hồ

V t là thể tích nhiên liệu trong hồ tại thời điểm t

Liên hệ giữa h t và ( ) V t được cho bởi công thức ( )

50

V t = π h t Lấy đạo hàm công thức trên theo t ta được :

V t

h t

π ππ

Vậy mực nhiên liệu trong hồ đang giảm với tốc độ 3

5π dm/giờ

Ví dụ 2 : Người ta nhúng vào một thanh thõi sắt hình trụ vào một dung dịch acid để

làm thí nghiệm Giả sử quá trình thõi sắt tan trong dung dịch thì nó vẫn giữ nguyên dạng hình trụ ban đầu Hãy tính tốc độ biến thiên của thể tích thõi sắt tại thời điểm mà

chiều cao của nó là 50 cm và đang giảm với tốc độ 2 mm/phút; còn bán kính đáy là 15

cm và đang giảm với tốc độ 1 mm/phút Nếu tốc độ biến thiên thể tích này không đổi và thời gian cần làm thí nghiệm thêm 1 giờ thì thõi sắt có đủ dùng cho thí nghiệm không? Giải

Gọi h t là chiều cao của thõi sắt tại thời điểm t,( )

0

15 50

57,69195

× ×

Vậy, theo kết quả trên thì thanh thõi sắt không đủ dùng cho thí nghiệm

Ví dụ 3 : Diện tích của một hình chử nhật đang giảm ở tốc độ 5 m2/giây , trong khi chiều dài đang tăng ở tốc độ 10 m/ giây Nếu chiều dài đang là 20 m và chiều rộng là

16 m thì chiều rộng đang thay đổi như thế nào?

Theo giả thuyết ta có :

Vậy chiều rộng của hình chử nhật đang giảm với tốc độ 7,75 m/giây

Ví dụ 4: Khi một bản phẳng kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với

tốc độ 0,01 cm/ phút Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khi bán kính của nó đang là 50 cm Nếu tốc độ này không đổi thì cần thời gian bao lâu, bán kính của bản sẽ là 52 cm.

t là thời điểm đang xét.

Theo giả thiết ta có :

Do đó diện tích bản kim loại đang tăng với tốc độ 3,14 cm 2 / phút

Nếu tốc độ này không đổi để bán kính của bản sẽ là 52 cm thì cần thời gian là :

Ví dụ 5 : Người ta bơm nước vào một hồ chứa hình trụ có bán kính đáy 5 m, độ sâu 2

m với tốc độ 5 m3/giờ Vì hồ nước bị rò rỉ nên nước trong hồ bị chảy ra ngoài Hãy tính tốc độ rò rỉ ra ngoài tại thời điểm độ sâu của nước trong hồ là là 0,8 m, đang tăng ở tốc

độ 4 cm/ giờ Nếu tốc độ rò rỉ này không đổi thì sau thời điểm đó bau lâu hồ sẽ đầy? Giải

Gọi V t là thể tích nước bơm vào hồ ở thời điểm t ( )

t là thời điểm đang xét.

Theo giả thiết ta có h= 2m, r= 5m,

Ví dụ 6 : Những trái dưa được trồng có dạng hình cầu đang tăng trưởng Tìm tốc độ

tăng thể tích của lứa dưa tại thời điểm chu vi đường tròn lớn của chúng đang là 20 cm

và đang tăng ở tốc độ 2cm/ giờ Nếu tốc độ tăng thể tích này không đổi thì tiêu chuẩn

để thu hoạch dưa là thể tích phải đạt cở 100 dm thì sau đó bao lâu sẽ thu hoạch được 3

Ví dụ 7: Giả sử nước đang được bơm ra khỏi một bình thủy tinh hình cầu có bán kính 1

m Nếu tại thời điểm đang xét, độ sâu của nước trong bình là 0,5 m và đang giảm với tốc độ 0,2 m/phút thì bán kính mặt nước đang giảm với tốc độ nào?

Giải

Gọi R t h t lần lược là bán kính và độ sâu của nước trong bình ở thời điểm t ( ) ( ),

t là thời điểm đang xét.

CHƯƠNG 2 : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO

SÁT HÀM SỐ

2 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

2.1.1 Kiến thức cần nhớ

2.1.1.1 Định nghĩa tính đơn điệu hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là khoảng hoặc đoạn hoặc nữa khoảng

Định lí 1: Điều kiện cần của tính đơn điệu

Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

i Nếu f(x) đồng biến trên K thì '( ) 0 f x ≥ , ∀ x∈K

ii Nếu f(x) nghịch biến trên K thì '( ) 0 f x ≤ , ∀ x∈K

Định lí 2: Điều kiện đủ của tính đơn điệu

i Nếu '( ) 0f x > , ∀ x∈K thì f(x) đồng biến trên K.

ii Nếu '( ) 0f x < , ∀ x∈K thì f(x) nghịch biến trên K.

iii.Nếu '( ) 0f x = , ∀ x∈K thì f(x) không đổi trên K.

Ta mở rộng định lí 2 như sau :

Định lí 3 : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

i Nếu '( ) 0f x ≥ , ∀ x∈K, đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) đồng biến trên khoảng K

ii Nếu '( ) 0f x ≤ , ∀ x ∈K, đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì f(x) nghịch biến trên khoảng K.

Như vậy, ta có thể tóm tắt định lí trên trong các bảng biến thiên và chọn K=(a; b), với

( )

f x liên tục và khả vi trên [ ]a b ;

2.1.2 Một số dạng toán về tính đơn điệu hàm số

PHƯƠNG PHÁP CHUNGChúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1Tìm tập xác định

Bước 2Tính đạo hàm f’(x) Tìm các điểm xi (i=1,2…n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc

không xác định

Bước 3Tính các giới hạn.

Bước 4Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

Bước 5Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0), (1; + ∞ ) và nghịch biến trên khoảng (

x .Giải

→ = + ∞

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng (− ∞;1)và (1;+ ∞ )

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số

+ ∞+

0+ ∞

- 00+-

10-1

1

-

Giới hạn : lim→ − ∞ = lim→ + ∞ = + ∞

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (3;+ ∞ ), nghịch biến trên khoảng (-∞ ;-1)

Ví dụ 4: Xét tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số y= x+ x2− +x 1

-31-1

Dạng 2 : Chứng minh hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định

Vậy hàm số đồng biến   ∀ ∈x R

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng hàm số 2

1

=+

x y

x đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch

biến trên các khoảng (− ∞ ;-1) và (1;+∞ )

Giải

Tập xác định : D = R

Đạo hàm : ( )

2 2 2

1'

1

− +

=+

x y

x y

x đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng

mx y

x m Chứng minh rằng với mọi giá trị m, hàm số luôn

đồng biến trên khoảng xác định của nó

+-

1-1

Đạo hàm ( )

2 2

2

2

m y

x m

+

= >

+ , ∀ ∈m R,∀ ∈x DVậy với mọi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó

PHƯƠNG PHÁP CHUNGChúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1:Tìm miền xác định của hàm số.

Bước 2:Tính đạo hàm f’(x).

Bước 3:Lập luận cho từng trường hợp

(*) Để giải các biểu thức điều kiện f x phương pháp được sử dụng phổ biến nhất '( )

là phương pháp tam thức bậc hai, tuy nhiên trong những trường hợp riêng biệt có thể

sử dụng ngay phương pháp hàm số để giải, cụ thể là

m m S

Vậy hàm số nghịch biến trên [1; + ∞ ) khi 14

Dựa vào bảng biếng thiên ta suy ra 4

Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1

⇔ ' 0y ≤ trên một đoạn có độ dài bằng 1

⇔ y’=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn : |x1− x2| 1=

x x

0-

−

-∞

Vậy hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài đúng bằng 1 khi 9

4

=

PHƯƠNG PHÁP CHUNGDùng đạo hàm chúng ta có thể xét được tính đồng biến và nghịch biến của một hàm

số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khá nhiều bất đẳng thức Cụ thể như sau :

Xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b] :

i Nếu f’(x)≥0, với mọi x∈[a; b] ⇔ hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] ⇒

và để giải phương trình, bất phương trình và hệ, ta sử dụng một số tính chất sau:

i Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x)=0 không quá một nghiệm trong khoảng (a; b).

ii Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a; b) thì :

f(u)=f(v) ⇔ u=v với mọi u, v thuộc khoảng (a; b).

iii Nếu hàm f tăng trong khoảng (a; b) và hàm g là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a, b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong

-Dạng 5 :Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình và

hệ phương trình

khoảng (a; b) Do đó nếu ∃ ∈x0 ( ; ) : ( )a b f x0 = g x thì đó là nghiệm duy nhất của ( )0

phương trình f(x)=g(x).

Ta cũng cần lưu ý rằng:

 Hàm f tăng trong khoảng (a; b) ⇔ ∀ u,v∈ (a; b): u<v ⇒ f(u)< f(v)

 Hàm f giảm trong khoảng (a; b) ⇔ ∀ u,v∈ (a; b): u<v ⇒ f(u)>f(v)

x

Vậy phương trình có nghiệm là x=-1, x=-2.

⇒ f(x) đồng biến trong đoạn [-2; 4]

Mặc khác : (1) 2 3f = nên ( )f x > f(1)⇒ < ≤1 x 4 là nghiệm của bất phương trình (1)

Ví dụ 3 : Tìm x, y ∈(0, π) thỏa mãn hệ phương trình cot cot

π

⇔ x= =y

Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình

2 2 2

Nên f(t) đồng biến trên R

x y

g) y= −2x 4 x+ 2 + 1 h) y s inx cos x= + trên [0; 2π)

Bài 2 : Chứng minh rằng hàm số y= 3x− sin(3x+ 1) luôn đồng biến.

a) y= (m− 3)x− (2m− 1)cosx luôn nghịch biến.

b) sin 1sin 2 1sin 3

d) y= − + −x 1 m 4− x luôn nghịch biến trên miền xác định của nó.2

Bài 6 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a)

2 2

12

12

sinsinsin

a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một

khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a, b) ⊂D và f(x)<f(x0 ) với mọi

x thuộc khoảng (a; b)\{x 0}.

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f và

0 0, ( )0

M x f x được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số f.

b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x0 sao cho (a, b) ⊂D và f(x)>f(x0 ) với mọi x thuộc khoảng

(a; b)\{x0}

Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f và

0 0, ( )0

M x f x được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f.

Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị

2.1.2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lí 1 : Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì

f’(x)=0.

Ý nghĩa hình học của định lí : Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực

trị tại đó thì tiếp tuyến của đường cong y=f(x) tại điểm M0(x0 ; f(x 0 )) cùng phương với trục Ox.

Lưu ý : Định lí 1 chỉ nêu điều kiện cần để hàm số có cực trị Điều kiện này có

nghĩa là tại điểm nào đó mà đạo hàm bằng không thì hàm số chưa chắc đạt cực trị

Ví dụ : Hàm số y=x3 có đạo hàm y’=3x2 triệt tiêu tại x=0 nhưng hàm số đó không đạt cực trị tại x=0 vì:

y<0 với x<0 y=0 với x=0

y>0 với x>0.

Điều đó vi phạm định nghĩa

2.1.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 2 :Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trong khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo

hàm trên các khoảng (a, x0) và (x0 , b).

i Nếu f ’(x)<0 với mọi x∈ (a; x0) và f ’(x)>0 với mọi x∈( x0; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

ii.Nếu f ’(x)>0 với mọi x∈ (a; x0) và f ’(x)<0 với mọi x∈( x0; b) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

Nhận xét:

 Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt

cực tiểu tại điểm x0

 Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt

cực đại tại điểm x0

Ta có thể tóm tắt lại định lí như sau :

Định lí 3 : Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trong khoảng (a; b) chứa điểm x0,

f’(x0)=0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

i Nếu f ”(x0)<0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

ii Nếu f ”(x0)>0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

Định lí 4 : Cho đa thức y=P(x), giả sử y g x P x= ( ) '( )+ h x( ) khi đó nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là y x( )0 = h x và y = h(x) được gọi là ( )0phương trình quỹ tích các điểm cực trị.

Định lí 5 : Cho hàm phân thức hữu tỉ ( )

'( )'( )

= u x

y

v x

ii Đối với hàm đa thức

Lấy y chia cho y’, giả sử ta được y x( )= y x q x'( ) ( )+ r x( ) thì tung độ cực trị tại x0 là

( )

y = r x

Dạng 1 : Tìm cực trị của hàm số

() Lưu ý: Tùy theo hàm số và công việc mà mình đang thực hiện mà áp dụng cách

nào Nếu việc xét chiều biến thiên và tìm các cực trị của hàm số thì nên làm theo cách

1 Còn nếu chỉ cần tìm cực trị của hàm số và gặp hàm số xét dấu đạo hàm phức tạp thì nên dùng cách 2

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=2 và giá trị cực đại là yCĐ=3,

hàm số đạt cực tiểu tại x=0 và giá trị cực tiểu là yCT=-1

+-

20

-Vậy hàm số đạt cực đại tại x=2 và giá trị cực đại là yCĐ=3,

hàm số đạt cực tiểu tại x=0 và giá trị cực tiểu là yCT=-1

a) Tập xác định D = R\{2}

+ ∞0

-

-30

Vậy hàm số đạt cực đại tại x=1 − 5 , giá trị cực đại là yCĐ= −4 2 5

và hàm số đạt cực tiểu tại x=1 + 5 , giá trị cực tiểu là yCĐ= +4 2 5

= ⇔ − < < ⇔  = ± ⇒ =Mặc khác ( 2)3

7

26

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 7 2

Đạo hàm y'= e x.cos - sinx e x x e= x(cos - sinx x)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=-3 và x=-1 và giá trị cực tiểu là yCT=0

hàm số đạt cực đại tại x=-2 và giá trị cực đại là yCĐ=1

3 Áp dụng điều kiện cần tìm ra tham số.

 Dùng định lí 2 : Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì  'f x( )0 = 0

 Dùng định lí 3 : Nếu hàm số có đạo hàm tới cấp hai tại điểm x0 thì

Hàm số đạt cực đại tại x=x0

0 0

+ ∞ +

1+ ∞

0+-

1-2-3

Giả sử hàm số đạt cực đai tại x = 2 ⇒ y'(2) 0=

2 2

02

21

x

y

x x

=



−

⇒ = − = ⇔  =Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=2 ⇒ m=-1 (không thỏa)

+

2

10

Với2+ m≠ ⇔0 m≠ −2 thì hàm số đạt cực đại tại x=2 khi và chỉ khi

2 2

3

1

2'(2) 0

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=2 khi m=1.

Ví dụ 3: Cho hàm số y= − (m2+ 5m x) 3+ 6mx2+ 6x− 6 Với giá trị nào của m thì hàm

Vậy hàm số đạt cực đại tại x= 1khi m= 1

Ví dụ 4 : Với giá trị nào của m thì hàm số y= 2(m2− 3)sinx− 2 sin 2m x+ 3m−1 đạt