N©ng cao toan 12 I. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x 2 - 2x+3. Kq: R Min f(x) = f(1) = 2 2) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 - 2x+3 trên [0;3]. Kq: ]3;0[ Min f(x)=f(1)=2 và ]3;0[ Max f(x)=f(3)=6. 3) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) = 1x 4x4x 2 − +− với x<1. Kết quả : )1;( Max −∞ f(x) = f(0) = - 4 4) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m 3 , có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m 5) Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y = 1xx x 24 2 ++ . Kết quả : R Max y = f(±1) = 3 1 6) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 - 3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng(-1;0). Kết quả : m ≤ 3 4 − 7) Tìm trên (C): y = 2x 3x 2 − − điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0; 2 3 ) 8) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số a) y = 3 sinx – 4 cosx. b) y = 3sin cos sin cos 3 x x x x + − + HD: dïng ®k cã nghiƯm cđa pt a.sinx+b.cosx = c lµ 2 2 2 a b c+ ≥ ®Ĩ t×m tËp gi¸ trÞ cđa hµm sè. c) y = 2 2 1 4 x x x − − + HD: dïng ®k cã nghiƯm cđa pt bËc hai ®Ĩ t×m tËp gi¸ trÞ cđa hµm sè. 9) Tìm GTLN: y=−x 2 +2x+3. Kết quả: R Max y=f(1)= 4 10 ) Tìm GTNN y = x – 5 + x 1 với x > 0. Kết quả: );0( Min ±∞ y=f(1)= −3 11) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 2 x4 − . Kết quả: 522)2(fyMax ]2;2[ −== − ; 7)2(fyMin ]2;2[ −=−= − 12 ) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x 3 +3x 2 −1 trên đoạn − 1; 2 1 Kết quả: 4)1(fyMax ]1; 2 1 [ == − ; 1)0(fyMin ]1; 2 1 [ −== − 13) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x 4 -2x 2 +3. Kết quả: R Min y=f(±1)=2; Không có R Max y b) y = x 4 +4x 2 +5. Kết quả: R Min y=f(0)=5; Không có R Max y c) 2xcos 1xsin22 y + − = . Kết quả: R Min y= 3 7 − ; R Max y=1 d) 1xx 3x3x y 2 2 ++ ++ = . Kết quả: R Min y= 3 1 ; R Max y=3 14) Cho hàm số 2xx 1x3 y 2 ++ + = . Chứng minh rằng : 1y 7 9 ≤≤− 15) Cho hàm số ( ) π∈α +α− α+−α = ;0 1cosx2x cosx2cosx y 2 2 . Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1 Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin 2 α . x 2 −2sin 2 α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1 Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1. 16) Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx− xsin 3 4 3 trên đoạn [0;π] (Đề thi TNTH PT 2003 − 2004) Kết quả: ];0[ Max π f(x)=f(π /4)= f(3π /4)= 3 22 ; ];0[ Min π f(x)=f(0)=f(π )=0 II. TIỆM CẬN 1 )Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số : a) y = 2x3x 1x2 2 2 +− − . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y = 2x 1xx 2 + +− . Kết qua û: x = -2 và y = x-3 2 ) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số : y = x 1xx 2 ++ . Kết quả: y = ±1 3) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y = 1x 2 + . Kết qua û: y = ±x 4) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y = 3 32 xx3 − . Kết quả : y = - x+1. 5) Cho (C m ) : ( ) 1x mmx1mx y 222 + ++++ = . a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C m ). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C m ) đi qua I(1;2). 6 )Tìm trên đồ thò (C):y = 1x 2x + + điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 7) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) = 2x 1x3x 2 − −+ . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d 1 .d 2 = 2 9 . III. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 ) Khảo s¸t sù biÕn thiªn vµ vµ ®å thÞ hµm sè : Hµm sè bËc ba 1 ) y = x 3 – 3x 2 . 2 ) y = x 3 – 6x 2 + 9x. 3) y = 2x 3 – 3x 2 + 5. 4) y = - x 3 + 3x 2 + 1 5) y = x 3 – 3x 2 + 3x + 2 6) y = 3 2 3 x x x − + − 7) y = x 3 + 3x + 4 8)y= −x 3 +3x 2 −4x+2 Hµm sè bËc bèn trïng ph¬ng 9) y = 24 2 1 4 1 xx − 10) y = x 4 – 2x 2 + 2 11) y = - x 4 + 2x 2 - 2 12 ) y = x 4 – 2x 2 + 1 13) y = x 4 – x 2 + 1 14 ) y = 4 2 1 3 4 4 x x− + − Hµm h÷u tØ 15) y = 3 1 x x − + 16) y = 2 1 x x + − 16) y = 3 2 2 x x − + − 18) y = 2 1 2 x x + − 19) y = 2 1 2 + −+ x xx 20) y = 1 1 1 − ++ x x 21) y = - x - 2 1x + 22) y = 2 )1( 2 + − x x 23) y = 6 86 2 − −+ x xx 24) y = 1 1 + − x x 25) y = 1 13 2 − −− x xx 26) y = 2 3 1 2 x x x + − − + IV.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 1) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thò: a) (C): y = 2x 3x6x 2 + +− và d: y = x−m. Hd: Lý luận x= 2 m8 3m2 −≠ − + b) (H): 1x 1x y − + = và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ giao điểm. 2) a.KSVẽ đồ thò (C) hàm số y = x 3 +3x 2 −2 b.Biện luận bằng đồ thò (C) số nghiệm của pt: x 3 +3x 2 −(m−2) = 0 3) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= 4 1 x+3 và tiếp xúc với đồ thò (C) hàm số y= −x 3 +3x 2 −4x+2. 4) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y=x 3 +3x 2 +1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 5) Dùng đồ thò (C): y = x 3 −3x 2 +1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình | x 3 −3x 2 +1 | −m = 0. 6) Cho parabol (P): y=x 2 −2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thò (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. 7) Cho hàm số 1x 1x y − + = , có đồ thi (H). a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H). b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. 8) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x 3 −3x 2 +1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng. 9) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y = 2x 2x + − . Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò của các hàm số: a) (C 1 ): y = f 1 (x) = 2x 2x + − b) (C 2 ): y = f 2 (x) = 2x 2x + − c) (C 3 ): y = f 3 (x) = 2x 2x + − d) (C 4 ): |y| = f 4 (x) = 2x 2x + − e) (C 5 ): y = f 5 (x) = 2x 2x + − f) (C 6 ): |y| = f 6 (x) = 2x 2x + − 10) a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) hàm số : y = f(x) = x 3 −3x 2 +2. b) Từ đồ thò (C), suy ra đồ thò (C’): y = g(x) = | x| 3 −3x 2 +2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x| 3 −3x 2 +1 − m = 0. 11 ) Chứng tỏ rằng (C m ): y=x 2 +(2m+1)x+m 2 −1 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình đường thẳng đó. Lời giải 1: 1. Dự đoán đường thẳng cố đònh: Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m 2 +2xm+x 2 +x−1−y=0, phương trình này có ∆= (x) 2 −1.(x 2 +x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố đònh. Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m 2 +2xm=−x 2 −x+1+y (2) Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1 là đường thẳng cố đònh. 2. Chứng tỏ (C m ) tiếp xúc với đường thẳng cố đònh: ( Bắt đầu lời giải) Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và d:y=x−1 là: x 2 +(2m+1)x+m 2 −1=x−1 ⇔ x 2 +2mx+m 2 =0 ⇔ (x+m) 2 =0 ⇔ x=−m (nghiệm kép) Vậy (C m ) luôn tiếp xúc d:y=x−1. Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau ⇔ phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” . Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc. 12) Chứng tỏ rằng (C m ): y=mx 3 −3(m+1)x 2 +x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố đònh tại một điểm cố đònh. Hướng dẫn giải: Tìm được (C m ) đi qua hai điểm cố đònh A(0;1) và B(3;−23) và tiếp tuyến của (C m ) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố đònh. . thò (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. 7) Cho hàm số. x – 5 + 2 x4 − . Kết quả: 522)2(fyMax ]2;2[ −== − ; 7)2(fyMin ]2;2[ −=−= − 12 ) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x 3 +3x 2 −1 trên đoạn − 1; 2