DAO HAM

Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa và công thức Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau: a. 43)( += xxf Tại x 0 = -1 b. x x xf + = 1 )( Tại x 0 = 0 Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số bằng công thức: a. y = (x-1)(x-2)(x-3) b. y= )13sin(1 +++ xx c. y = x x + 1 1 d. y = xtgx + sincos3x e. xxf sincoslog)( 2 = f. y = )12sin( 3 + x Bài 3: Tìm đạo hàm của hàm số bằng công thức: a. y = ln( x x . ) b. y = xxxx. c. y = xcos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 +++ x (0; 2 ) d. y = cotg 3 (2x+ 4 ) e. y = 32 2 + xx f. y = x x g. y = x x x h. y = (3x 2 + 1) 2x+1 tính giới hạn bằng đạo hàm Bài 1: Tính các giới hạn: I 1 = 0 sin lim x x x I 2 = 0 e 1 lim ax x x I 3 = 0 lim ax bx x e e x I 4 = sin 2 sin 0 lim x x x e e x I 5 = 2 0 1 lim 1 1 x x e x x + I 6 = ln 1 lim x e x x e I 7 = 0 7 5 lim 4 3 x x x x x I 8 = 2 0 7 3 lim x x x x x + I 9 = 2 2 2 lim 2 x x x x I 10 = 3 sin 3 lim 2cos 1 x x x I 11 = 0 lim n n x x a a x + I 12 = 0 1 1 lim n x ax x + I 13 = ax babx ax lim I 14 = 3 4 2 2 6 lim 1 1 x x x x + + I 15 = 1 1 lim 1 n m x x x I 16 = 6 sin( ) 6 lim 3 cos 2 x x x I 17 = 4 2 sin 2 lim 1 x x tgx I 18 = 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x x + I 19 = 0 1 . 1 1 lim , , n m x ax bx m n N x + + I 20 = 3 0 8 2 lim sin10 x x x + I 21 = 3 2 4 1 lim 2sin 1 x tgx x Đạo hàm cấp cao 1 Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai Bài 1: Chứng minh các công thức: a. n n n x n x )!1.()1( )(ln )1( )( = b. ) 2 sin(sin )( nxx n += Từ đó suy ra: )( ))(sin( n bax + , n N c. ) 2 cos(cos )( nxx n += Từ đó suy ra: n bax ))(cos( + , n N Bài 2: Tính f (n) (x), với f(x) = 1 1 + x Bài 3: a. Cho 1 )( 2 = x x xf Tính f (n) (x), từ đó tính f (n) (2). b. Cho x x xf + = 1 1 )( Tính f (n) (x), từ đó tính f (n) (0). c. Cho f(x) = x(3x+2) 2 (2x+3) 3 Tính f (6) (x), f (7) (x). Bài 4: a. Cho f(x) = 23 35 2 + xx x Tính f (n) (x). b. Cho f(x) = 12 23 2 2 + + xx xx Tính f (n) (x). c. Cho f(x) = cos3x.cosx Tính f (n) (x) Bài 5: Cho đa thức: P(x) = 01 1 1 . axaxaxa n n n n ++++ a. Chứng minh rằng: a k = ! )0( )( k P k b. Tìm hệ số của x 2 của đa thức: P(x) = (2x-1) 12 + (3x-2) 25 . c. Hãy khai triển đa thức: P(x) = 2x 5 3x 4 +2x 3 2x 2 + x + 2 theo nhị thức (x-1) tức là: P(x) = a 5 (x-1) 5 + a 4 (x-1) 4 +a 3 (x-1) 3 + a 2 (x-1) 2 + a 1 (x-1) + a 0 . Một số bài toán khác Bài 1: Cho hàm số: y = 2e x .sinx. Chứng minh: 2y 2y + y = 0. Bài 2: Chứng minh: a. Nếu y = sinx e Thì : y + y + y< 4e b. Nếu y = cos 3 x Thì : )33( 4 1 )( + nn y c. Nếu y = xx ee + 2 4 Thì : y 13y 12y = 0 Bài 3: Tính vi phân của hàm số: a. y = x 3 4x Tại x = 2. b. y = xcos 3 x Tại x = Bài 4: Chứng minh: a. nếu y = xxx x ln ln1 + Thì : 2x 2 dy = (x 2 y 2 + 1)dx b. Cho y = x 12 Thì : 0.1 = dxdyx 2 Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai c. Cho xy = 1+lny Chứng minh : y 2 dx + (xy-1)dy = 0. Bài 5: Tính gần đúng: a. cos31 o b. 399 c. 3 215 d. 92log 91 e. ln(1,001) f. 3 001,8 g. 4 17 h. cos(60 o 30). Bài 6: Tính tổng: T n (x) = 1+ 2x + 3x 2 + . + nx n-1 áp dụng tính: T n (1) và T n (2). Bài 7: Cho hàm số : y = sinx + 3 1 sin3x + 5 1 sin5x. Giải phơng trình : f(x) = 0. Bài 8: Cho hàm số f(x) = 2x 2 + 16cosx cos2x a. Tính f(x), f(x). Từ đó tính f(0), f( ). b. Giải phơng trình f(x) = 0. Tính đơn điệu của hàm số I Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: a. y = 4x 3 + 5x 2 22x + 1 b. y = x 4 - 6x 2 + 8x + 1 c. 1 1 2 + = x xx y d. 1 1 + = x x y e. 66 2 ++= xxxy f. xxy sin2 = , x (0;2 ) g. 2ln = xxy h. 1 = x ey i. 54 2 += xxy j. 1 1 2 + + = xx x y Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a. y = sinx + cosx , x (0;2 ) b. y = x 2 e x c. y = sin 2 x sinx + 2 d. xxxy 2 2 cos 2 1 sin 2 3 += e. 1 1 2 2 ++ + = xx xx y f. y = lnx(lnx-1) g. x e y x = h. y = xlnx II - Định tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng , đoạn: Bài 1: Tìm m để hàm số: a. y = x 3 3x 2 + (m-2)x + 7 Tăng trên R b. y = (m-3)x (2m 2 -1)sinx Giảm trên R c. 1 3)2( 2 + +++ = x mxmx y Tăng trên từng khoảng xác định. Bài 2: Tìm m để hàm số: a. y = x 3 mx 2 + x + 1 Giảm trên khoảng (1;2) 3 Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai b. 92 23 1 23 += xx m xy Tăng trên (1;+ ) c. mx mmxx y ++ = 22 2 Tăng trên (1;+ ) d. 53)1( 3 )1( 2 3 2 ++++= xxm x my Luôn luôn tăng Bài 3: Định m để các hàm số: a. y = (m-3)sinx + mcosx 3x Luôn giảm b. y = 4x 3 3mx + m Tăng với mọi x>1 c. mx mx y + = Luôn giảm trong khoảng (- ,1) d. mx mxmx y + +++ = 1)1(2 2 Giảm trên (2;+ ) Bài 4: Định m để các hàm số: a. mx mxmx y +++ = 1)1(2 2 Tăng trên (1;+ ) b. 1 1 2 + = x mxx y Tăng trên (- ;1) (1;+ ) c. xmxm x y )3()1( 3 2 3 +++ = Tăng trên (0;3) d. mx mmxx y 2 32 22 + = Có hai khoảng đồng biến trên tập xác định Bài 5: Tìm m để các hàm số: a. y = 2mx-2cos 2 x msinxcosx Luôn đồng biến b. y = x 3 3mx 2 + 6mx + 1 Nghịch biến trong khoảng (0; 2 1 ) c.y = - 3 1 x 3 + (m-1)x 2 + (m+3)x - 4 Đồng biến trên khoảng (0;3) cực trị của hàm số I Tìm các điểm cực trị của hàm số Bài 1: Dùng dấu hiệu I tìm cực trị của hàm số: a. y = 2x 3 + 3x 2 - 36x 10 b. x xy 1 += c. y = x 4 + 2x 3 -3 d. 1 32 2 + = x xx y Bài 2: Dùng dấu hiệu II tìm cực trị của hàm số: a. y= x 4 2x 2 + 1 b. y = sin2x + cos2x c. y = x 2 lnx d. 2 xx ee y + = Bài 3: Tìm cực trị của hàm số: a. 20 2 += xxy b. y = x m (3-x) 2 m N, m 2 4 Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai c. y = x n + (c-x) n c>0, 2 n N d. y = 1- 3x + 5 2 2 + x Bài 4: Tìm cực trị của hàm số: a. 3462 2 ++= xxxy b. 343 2 += xxxy c. 532 2 ++= xxy Bài 5: Tìm cực trị của hàm số: a. y = x sin2x với x [0;2 ] b. xxy 2sin 2 1 cos += x (0; ) Bài 6: Tìm các cực trị của hàm số: a. 2 sin 2 x xy = với x (0; ) b. 22 2 += xxy c. )5(1 += xxy d. 2 3 2 3 xxy = II - Định m để hàm số đạt cực trị tại x 0 : Bài 1: Tìm m để: a. 2 1 2 + ++ = x mxx y Có cực đại tại x = 2 b. mx mxx y + ++ = 5 2 Có cực tiểu tại x = 3 Bài 2: Tìm m để hàm số: a. 2)1(3 23 ++= xmmxxy Đạt cực tiểu tại x = 2 b. 5)3( 23 ++++= mmxxmxy Có cực tiểu tại x = 2 III - Định tham số để hàm số đạt 0, 1, 2, 3 cực trị. Bài 1: Cho hàm số )( )( xV xU y = Chứng minh rằng nếu y(x 0 ) = 0 và V(x 0 ) 0 thì ta có: )(' )(' )( )( )( 0 0 0 0 00 xV xU xV xU xy == Bài 2: Tìm m để hàm số: mx mxx y + ++ = 1 2 Có cực trị, khi đó hãy viết phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại cực tiểu. Bài 3: Tìm m để hàm số: y = 2x 3 - 3(3m+1)x 2 + 12(m 2 +m)x + 1 Có cực đại, cực tiểu khi đó viết phơng trình đờng thẳng qua cực đại, cực tiểu. Bài 4: Tìm m để hàm số: a. y = x 4 + mx 3 + mx 2 + mx + 1 Có cực đại, cực tiểu. b. y = mx 4 + (m 2 -9)x 2 + 10 Có 3 cực trị c. y = x 4 mx 2 + 4x + m Có 3 cực trị nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm. Bài 5: Tìm m để hàm số: a. 1 2 12 += x m xy Có cực trị. b. mx mmxx y + = 2 Có cực trị. c. y = (m+2)x 3 +3x 2 + mx - 5 Có cực trị. 5 Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai d. y = 2x 3 -3(2a+1)x 2 + 6a(a+1)x + 1 Không có cực trị. Bài 6: Cho hàm số y = x 4 6x 2 + 4x + 6 a. Chứng minh rằng hàm số có hai cực tiểu tại x 1 , x 3 và đạt cực đại tại x 2 . b. Xét tam giác mà đỉnh là các điểm cực trị nói trên, chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ấy là gốc toạ độ IV - Định tham số để hàm số có cực trị thoả mãn một điều kiện cho trớc Bài 1: Chứng tỏ rằng hàm số: 2 232 2 + ++ = x mxx y Đạt cực đại tại x 1 , cực tiểu tại x 2 lúc đó ta có: 2121 4)()( xxxyxy = Bài 2: Tìm m để hàm số: y = 3 1 x 3 - mx 2 + mx -1 Đạt cực trị tại x 1 , x 2 . Thoả mãn : 8 21 xx Bài 3: Tìm m để hàm số: y = 2x 3 + 3(m-3)x 2 + 11 3m Có CĐ, CT và ba điểm CĐ, CT, B(0;-1) thẳng hàng. Bài 4: Cho hàm số: y = x 3 x 2 1 Tìm m để CĐ, CT của hàm số nằm trong và nằm ngoài đờng tròn : x 2 + y 2 - 2mx 4my + 5m 2 -1 =0 Bài 5: Tìm m để hàm số: 1 123 2 +++ = x mmxmx y Có hai điểm CĐ, CT và hai điểm này nằm về hai phía đối với trục ox. Bài 6: Cho hàm số: 1 23)2( 2 + ++++ = x mxmx y a. Tìm m để hàm số có cực trị. b. Giả sử hàm số co CĐ, CT, chứng minh rằng: y 2 cđ +y 2 ct >1/2 Bài 7: Cho hàm số: y = (x- a)(x- b)(x- c) với a <b < c Chứng minh hàm số luôn có cực trị , đồng thời x cđ (a;b), còn x ct (b;c) Bài 8: Cho hàm số: y = x 3 3ax 2 +4a 3 Tìm m để: a. Hàm số cố cực trị. b. Hai điểm CĐ, CT của đồ thị đối xứng nhau qua đòng thẳng y = x. Bài 9: Cho hai hàm số: y = 3 1 x 3 - 2 1 x 2 + ax + 1 y = 3 1 x 3 + x 2 +3ax + a Tìm a để các hàm số có cực trị sao cho giữa hai cực trị của hàm số này có cực trị của hàm số kia. Bài 10: Cho hàm số: 1 2 + = x mmxx y a. Chứng minh hàm số có cực trị với mọi m và |y cđ -y ct | không phụ thuộc vào m b. Tìm m để y cđ .y ct nhỏ nhất Bài 11: Cho hàm số: y = x 3 -3x 2 + 3mx + 1 m 6 Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai a. Tìm m để hàm số có cực trị. b. Gọi điểm CĐ là M 1 (x 1 ;y 1 ), điểm CT là M 2 (x 2 ;y 2 ), chứng minh: 2 )1)(( 2121 21 = xxxx yy Bài 12: Cho hàm số: y = x 4 2mx 2 + 2m +m 4 Tìm m để hàm số có các điểm cực trị và các điểm cực trị này lập thành tam giác đều Bài 13: Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị của hàm số: y = -x 3 + 3mx 2 + (1- m 2 )x + m 3 m 2 Bài 14: Cho hàm số y = 2x 3 + ax 2 - 12x 13 Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm này cách đều trục tung. Bài 15: Tìm m để hàm số y = mx 3 +3mx 2 (m-1)x 4 không có cực trị Bài 15: Cho hàm số y = x 3 -2x 2 -2. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. Bài 16: Tìm m để hàm số y = mx 4 + (m 2 9)x 2 +10 có ba cực trị. Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) y = x 4 -2x 2 + 3 trên [-3; 2] b) y = x + cos 2 x trên [0; 4 ] c) y = x x 2 ln trên [1; e 3 ] d) y = x + 2 4 x Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) y = x x cos2 sin + trên [0; ] b) y = x 6 +4(1-x 3 ) 2 trên [-1; 1] c) y = sin 3 x + cos 3 x d) y = xx xx 24 24 cos2sin3 sin4cos3 + + Bài 3: Tìm giá trị nho nhất của hàm số: y = )])32()32[(8)32()32( 22 xxxx ++++ Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = 1cos 1coscos2 2 + ++ x xx Bài 5: a) Tìm GTNN của: T = zyx zyx 111 +++++ với x + y + z 2 3 b) Tìm GTNN của: T = xy xy 1 + với x + y = 1, x > 0, y > 0. Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của: a) y = 5sinx + cos2x b) y = 4cos 2 x + 3 3 sinxcosx + 7sin 2 x 7 Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai Bài 7: Cho phơng trình : x 2 + 2(m-3)x + m 13 = 0, m [1; + ) Tìm m để nghiệm lớn của phơng trình nhận giá trị nhỏ nhất. Bài 8: Gọi x 0 là nghiệm của phơng trình : x 2 + 2(m-n-3)x +m n 13 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của x 0 , biết m 2, n 1. Bài 9: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = (x+2) 2 4 x Bài 10: Tìm GTNN của hàm số: y = 4x + x x sin 9 + trên (0; + ) tính lồi lõm điểm uốn của hàm số Bài 1: Cho các hàm số: a) y = f(x) = x 3 6x 2 + 12x + 1 b) y = 2x 4 6x 2 + 5 c) y = 1 12 + x x d) y = 1 1 2 + x xx e) y = 3 3 124 x f) y = xx 22 cos 2 1 + với x 2 ; 2 Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số. Bài 2: Tìm điểm uốn và các khoảng lồi lõm của các hàm số: a) y = x 2 lnx b) y = (1 + x 2 )e x c) y = 1ln ln + x x d) y = 3 3 1 x Bài 3: Tìm m để hàm số y = 23 2 3 + mx m x nhận I(1; 0) làm điểm uốn Bài 3: Tìm a, b để hàm số y = ax 3 + bx 2 + x 4 nhận I(2; -6) làm điểm uốn. Bài 3: Tìm a, b, c, d để hàm số y = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d có hai điểm uốn là U 1 (1; 1), U 2 (3; - 7) Bài 4: Tìm m để hàm số y = x 4 + 8mx 3 + 3(2m + 1)x 2 1 có hai điểm uốn có hoành độ thoả mãn bất phơng trình 0 45 2 2 2 < xx xx Bài 5: CMR: đồ thị hàm số y = 1 12 2 ++ + xx x có ba điểm uốn thẳng hàng. Viết phơng trình đờng thẳng qua ba điểm uốn đó. Bài 6: CMR các đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng và viết phơng trình đờng thẳng qua ba điểm uốn đó. a) y = 1 2 + x x b) y = 1 3 2 2 + + x xx c) y = 1 12 2 + xx x d) y = 1 2 + + x mx Tiệm cận của đờng cong Bài 1: Tìm tiệm cận của các hàm số: a) y = 14 3 2 x x b) y = 1 1573 2 + x xx c) y = 45 14 2 + xx x e) y = 143 786 2 2 ++ + xx xx d) y = 4 24 2 23 + x xxx f) y = -2x + 3 1 2 + x g) y = x + 1 2 ++ xx Bài 2: Cho hàm số y = mx x 2 Tìm m để hàm số: a) Có tiệm cận b) Không có tiệm cận đứng Bài 3: Tìm các tiệm cận của hàm số y = 2 26 2 + + x xmx 8 Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai Bài 4: Cho hàm số y = 2 13 2 + x xx (C). CMR tích các khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận của (C) luôn không đổi. Bài 5: Cho hàm số y = sin2 1cos2 2 + ++ x xx (C), ( [ ] ;0 ) a) Tìm tiệm cận xiên của (C) b) Tìm khoảng cách từ O đến TCX là lớn nhất. Bài 7: Tìm m để: a)y = mmxx x 2 3 2 ++ chỉ có đúng một tiệm cận đứng. b) y = mx mxx + ++ 2 có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0) Bài 8: Tìm m để y = 1 22 2 + x mxx có tiệm cận xiên tạo với hai trục một tam giác có diện tích bằng 4 Bài 9: Cho y = 2 232 2 + x xx a) CMR tích các khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi. b) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ nó đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 10: Tìm tiệm cận của các hàm số sau: a) y = 4 1 2 + x x b) y = 1 2 2 x x c) y = x 2 + 9 2 2 x x d) y = -5x + 3 +2 74 2 + xx e) y = 2006 2 4 + x ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Câu 1: Chứng minh: a) lnx x e với mọi x > 0 b) sinx x tgx, với mọi x [0; 2 ] c) e x-1 x, với mọi x > 0. d) e x 1 + x, với mọi x > 0 Câu 2: Chứng minh: a) e x > 1 + x + 2 2! x , với mọi x > 0 b) e x > 1 + x + 2 3 . 2! 3! ! n x x x n + + + , với mọi x > 0, n N. c) ln(1+x) < x, x > 0, d) ln(1+x) > x - 2 2! x e) cosx > 1 - 2 2! x , x > 0 f) 2 2 2 2 3 4 1 x x x x + + < + + , với mọi x R Câu 3: Chứng minh: a) sinx + tgx > 2x, với x [0; 2 ] b) 2 sinx + 2 tgx 2 x+1 , với x [0; 2 ] Câu 4: a) Chứng minh rằng nếu ABC nhọn thì sinA + sinB + sinC + tgA + tgB + tgC > 2 9 Quach Duy Tuan-0914342498 THPT Hong Thai b) CM: (1 + x + 2 3 2 3 . )(1 . ) 1, 2! 3! ! 2! 3! ! n n x x x x x x x n n + + + − + − + − < víi mäi x ≠ 0, n ∈ N, n lÎ 10 . 1 2 2 ++ + = xx xx y f. y = lnx(lnx-1) g. x e y x = h. y = xlnx II - Định tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng , đoạn: Bài 1: Tìm m để hàm số: a. y =. cực tiểu tại x = 2 b. 5)3( 23 ++++= mmxxmxy Có cực tiểu tại x = 2 III - Định tham số để hàm số đạt 0, 1, 2, 3 cực trị. Bài 1: Cho hàm số )( )( xV xU y = Chứng