Lưu ý khi dạy đạo hàm

Về kiến thức: • Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm; • Nhớ các công thức và các quy tắc tính đạo hàm; • Nắm được định nghĩa vi phân, công thức gần đúng nhờ vi phân; • Hiểu đượ

Chương V ĐẠO HÀM

(c: 13 tiết, nc: 16 tiết)SGK ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Chuẩn và nâng cao

I MỤC TIÊU CHUNG CỦA CHƯƠNG:

• 1 Về kiến thức:

• Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm;

• Nhớ các công thức và các quy tắc tính đạo hàm;

• Nắm được định nghĩa vi phân, công thức gần đúng nhờ

vi phân;

• Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp cao (cấp hai (sc)) và

ứng dụng trong cơ học của đạo hàm cấp hai.

I MỤC TIÊU CHUNG CỦA CHƯƠNG:

• Biết một số ứng dụng của đạo hàm và vi phân để giải

những bài toán liên quan đến tiếp tuyến, vận tốc, gia tốc, tính gần đúng

II NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý TRONG CHƯƠNG:

1 Những điểm mới về cấu trúc và thời lượng:

NHẬN XÉT

* Những ưu điểm:

• Tiếp nối ngay được chương Giới hạn (C.IV) đã học trước

đó nên vận dụng được dễ dàng các định lí, tính chất vừa học

• Không gây căng thẳng cho HS phải học liên tục học dồn dập nhiều giờ vào một vấn đề

• Đáp ứng kịp thời những kiến thức cần thiết phục vụ cho việc học tập các môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học,

• Bớt những bài tập: tính toán cồng kềnh, tính đạo hàm của các hàm số cho bởi nhiều biểu thức

• Đa dạng hóa các bài tập, nhiều bài tập ôn tập được những kiến thức mà HS đã học, bài tập áp dụng thực tế

2 Những điểm mới về nội dung:

• Đổi mới phương pháp trình bày một số khái niệm như: thay đổi định nghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp (NC)

• Giảm một số kiến thức khó như: đạo hàm một phía, đạo hàm trên đoạn, quan hệ giữa đạo hàm và liên tục (NC) ; bớt

Nhận xét

• Không chứng minh lim(sinx/x) = 1

• Không nêu công thức đạo hàm của hàm số

mũ và hàm số lôgarit

• chuẩn: đạo hàm cấp 2

• Nâng cao: đạo hàm cấp cao

§1.KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

I MỤC TIÊU:

* Về kiến thức : Giúp học sinh

• Nắm vững đn đạo hàm của hàm số tại một điểm

và trên một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng.

• Nhớ các công thức tính đạo hàm của một số hàm

số thường gặp.

• Hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa cơ học của đạo hàm

* Về kĩ năng :

• Biết tính đạo hàm của vài hàm số đơn giản tại một điểm

theo định nghĩa

• Nắm vững cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số tại một điểm cho trước thuộc đồ thị hoặc có hệ số góc cho trước

• Ghi nhớ và vận dụng thành thạo các công thức đạo hàm của những hàm số thường gặp

• Vận dụng được công thức tính vận tốc tức thời của một chất điểm khi cho phương trình chuyển động của chất điểm đó

II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý:

1 SỰ XUẤT HIỆN CỦA ĐẠO HÀM:

Đạo hàm là một khái niệm Toán học có xuất xứ từ những bài toán thực tiễn, kĩ thuật khác nhau như Cơ học, Vật lí, Hình học, Hóa học, Có thể trình bày sự xuất hiện đạo hàm như sau:

Vận tốc tức thời Cường độ dòng

điện tức thời Tốc độ phản ứng hóa học tức thời

0

0 0

0

( ) ( ) ( ) lim

0

( ) ( ) ( ) lim

0

( ) ( ) ( ) lim

0

( ) ( ) '( ) lim

• Các tác giả chỉ đưa kí hiệu x , y cùng với các kn số

gia của biến số và số gia của hàm số sau đn đạo hàm

• Khái niệm số gia của biến số vẫn được định nghĩa x = x – x0 Đây là một thủ pháp sư phạm nhằm đưa khái niệm vào một cách tự nhiên, giúp học sinh dễ tiếp nhận hơn

x

• Không xét đạo hàm của hàm số tại hai điểm mút của [a;b]

Chú ý: • Nếu hs f có đạo hàm trên J (J là một khoảng hoặc hợp những khoảng nào đó) thì hàm số f’(x) xác định bởi

Gọi là đạo hàm của hàm số f

• Việc đưa kí hiệu J vào nhằm đơn giản cách diễn đạt, đồng thời nhằm đnkn đạo hàm không chỉ trên một khoảng mà còn trên một hợp các khoảng VD: y = |x| có đh trên (-∞;0) và (0;+∞)

3 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

• Chuẩn: Không giải thích

Chú ý: Để có “vị trí giới hạn” nêu trên ta phải giả thiết giới hạn

limk M ( khi x M → x 0 ) là tồn tại (hữu hạn)

CHÚ Ý: (SGK) không xét các trường hợp sau:

• TH1: Tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 = R2 tại hai điểm R;0) và (R;0) vì đường tròn không phải là đồ thị của một hàm

(-số nào cả.(SGK không xét các tiếp tuyến hiểu theo nghĩa hình học)

R

-R

O y

x

CHÚ Ý: (SGK) không xét các trường hợp sau:

• TH2: “Tiếp tuyến” song song hoặc trùng với trục tung Chẳng hạn, “tiếp tuyến” của đồ thị hàm số y = tại điểm (0;0) vì hàm số không có đạo hàm tại x0 = 0

CHÚ Ý: (SGK) không xét các trường hợp sau:

• TH3: “Tiếp tuyến” từng bên, chẳng hạn, “tiếp tuyến” của đồ thị hàm số y = tại điểm (-2;0) và (2;0) , vì trong chương trình không có khái niệm đạo hàm một bên

§2.CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

I MỤC TIÊU:

• Về kiến thức: Giúp học sinh

- Hiểu cách Cm các quy tắc tính đh của tổng và tích các hs

- Nhớ hai bảng tóm tắt về đh của một số hàm số thường gặp

và các quy tắc tính đh của tổng, hiệu, tích, thương các hs

II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý:

• SGK không đưa công thức tính đạo hàm hs y =

• Khái niệm hàm số hợp

VD:

Hạn chế: - Không nêu đk tồn tại của hs và txđ của hàm số

- Có trường hợp khi thay vào hs không tồn tại

Cho y = f(u) và u = u(x) Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi u(x), ta được biểu thức

g(x)=f(u(x)) với biến x.Hàm số y=g(x) với g(x)=f(u(x)) gọi là

hàm số hợp

Cho u=g(x) xác định trên (a ; b), lấy giá trị trên

(c ; d); y=f(u) xđ trên (c ; d) và lấy giá trị trên R

Khi đó ta lập hàm số xđ trên (a ; b) và lấy giá trị

trên R theo quy tắc x f(g(x)).

Ta gọi y=f(g(x)) là hàm hợp

• Nhận xét:

- Định nghĩa theo quan điểm trên Đại học.

- Học sinh khó tiếp thu

• Đạo hàm của hàm số hợp

Nếu HS u=u(x) có đh tại x0 và HS

y=f(u) có đh tại u0=u(x0 ) thì hàm số hợp g(x)=f(u(x)) có đh tại x0 và

Nếu hàm số u=g(x) có đh tại x

là u’ x và HS y=f(u) có đh tại u

là y’ u thì hàm số hợp y=f(g(x))

có đh tại x là

y’ x =y’ u .u’ x

Hạn chế : SGK không nêu hai

công thức đạo hàm của hàm

§3.ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý:

• SGK không giới thiệu phép chứng minh

•SGK (nc) đưa ra một chú ý Nếu hàm số u = u(x) thỏa

mãn

0 0

(Do trong chương trình không đề cập đến giới hạn “kẹp” Để

HS dễ chấp nhận kết quả này SGK(nc) đã đưa ra một bảng giá trị tỉ số sinx/x với các giá trị dương càng ngày càng nhỏ của x

để HS đi đến nhận xét “ tỉ số sinx/x càng gần tới 1”)

§4.VI PHÂN

I MỤC TIÊU:

- Hiểu được định nghĩa vi phân.

- Nắm được công thức tính gần đúng nhờ vi phân.

- Biết cách tính vi phân của một số hàm số thường

gặp.

- Hiểu được ứng dụng của vi phân trong tính gần

đúng.

II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý:

1 • df(x)=f ’ (x).Δx là một đại lượng phụ thuộc vào x và Δx

• Nếu cố định x =x0 thì df(x0)=f ’ (x0).Δx phụ

thuộc vào Δx

• Nhưng các kí hiệu df(x) và df(x0) không phản ánh rõ điều đó (vì không thấy xuất hiện Δx ), nhất là ngay sau đó lại là nội dung ứng dụng vi phân vào việc tính gần đúng.

• Đặc điểm này dễ làm cho học sinh lầm tưởng rằng vi phân của hàm số tại một điểm là một

số không đổi.

II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý:

2 Khi tính gần đúng giá trị của một biểu thức dựa trên công thức gần đúng của vi phân (HS có thể dùng máy tính bỏ

túi), GV nên gợi ý để HS lựa chọn hàm số f, x0, x một cách thích hợp

3 Việc ước lượng sai số trong công thức tính gần đúng:

vậy, khi giải các bài toán có áp dụng công thức (1) GV nên cho

HS sử dụng máy tính bỏ túi để Cmr khi áp dụng công thức (1),

ta được kết quả khá chính xác (so với giá trị đúng của số phải tìm) miễn là |x| đủ nhỏ

§5.ĐẠO HÀM CẤP CAO (CẤP HAI (sc))

I MỤC TIÊU:

• Về kiến thức: Giúp học sinh

- Nắm vững định nghĩa đạo hàm cấp n (cấp hai (sc))

- Hiểu được ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

• Về kĩ năng: Giúp học sinh

- Có kĩ năng thành thạo trong việc tính đạo hàm cấp hữu

hạn của một số hàm số thường gặp

- Biết cách tính đạo hàm cấp n của một số hàm số đơn

giản như hàm đa thức, y = sinax, y = cosax (a: hằng số),

§5.ĐẠO HÀM CẤP CAO (CẤP HAI (sc))

II NHỮNG ĐIỀU CẦN LƯU Ý:

• Trước khi dạy HS tính đạo hàm cấp n của hàm số y=

GV nên dạy HS cách tìm đạo hàm cấp n của hs y = nhờ phương pháp quy nạp Sau đó suy ra công thức