Đạo hàm

Ý nghĩa hình học của đạo hàm Phương trình tiếp tuyến của đường cong Giải Tích 12 Gv: Đỗ Hữu Vị ĐẠO HÀM 1. Nhắc lại: 1/ Hệ số góc của đường thẳng: ● (d) : y = ax + b a : hệ số góc của (d) y x O ϕ (d) a = tgϕ a > 0 ⇔ ϕ nhọn a < 0 ⇔ ϕ tù ϕ (d) ● Hệ số góc của đường thẳng qua A(x A ,y A ) và B(x B ,y B ) là: ( ) B A A B B A y y k x x x x − = ≠ − y x O A x A y A ϕ B x B y B ● Phương trình của đường thẳng qua M 0 (x 0 ,y 0 ) có hệ số góc k là: 0 0 ( ) : ( )d y k x x y = − + 2/ Tiếp tuyến của đường cong: M M M 0 . (C) Cho đường cong (C) và M 0 ∈ (C). Tiếp tuyến của (C) tại M 0 là vị trí giới hạn của cát tuyến M 0 M khi điểm M di động trên (C) dần tới M 0 . 3/ Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trong (a,b) và x 0 ∈(a,b),đạo hàm của y = f(x) tại x 0 là: 0 0 0 0 0 / ( ) ( ) ( ) lim lim x x x f x f x y f x x x x → ∆ → − ∆ = = − ∆ Hãy liên kết các kiến thức vừa được nhắc lại trên đây ta sẽ có Ý NGHIÃ HÌNH HỌC của ĐẠO HÀM. y xO x 0 M 0 . f(x 0 ) x M f(x) 2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Cho (C): y = f(x) và M 0 (x 0 ,f(x 0 ))∈(C). Lấy M(x,f(x))∈(C). Hệ số góc của cát tuyến M 0 M là: 0 0 ( ) ( )f x f x y x x x − ∆ = − ∆ Khi x →x 0 tức là M → M 0 thì ( ) 0 0 0 0 / ( ) ( ) lim x x f x f x f x x x → − = − và cát tuyến M 0 M → tiếp tuyến M 0 T Do đó hệ số góc của tiếp tuyến M 0 T là 0 / ( )f x ● Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong (C):y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) ∈ (C) là đạo hàm f / (x 0 ). ∆y ∆x @ T 3. Phương trình tiếp tuyến: ● Loại 1: Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M 0 (x 0 ,y 0 )∈(C): 0 0 0 / ( ) : ( )( )d y f x x x y = − + Ví dụ: Cho 2 2 3( ) : ( )P y f x x x = = − − 1/ Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại giao điểm của (P) và trục Ox. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm thuộc (P) có tung dộ là –4. 2 2 / / ( )y f x x= = − 1/ Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 3 0 1 3,x x x x − − = ⇔ = − = ▪ x 0 =-1,y 0 =0: 1 4 / ( )f − = − Phương trình tiếp tuyến: 4 1( )y x= − + 4 4hay y x= − − ▪ x 0 =3,y 0 =0: 3 4 / ( )f = Phương trình tiếp tuyến: 4 3( )y x = − 4 12hay y x= − 2/ 2 4 4 2 3 1.y x x x = − ⇒ − = − − ⇒ = 1 0 / ( )f = Phương trình tiếp tuyến: y = – 4 @ ● Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) biết hệ số góc k. ▪ Giải phương trình có nghiệm x 0 . / ( )f x k= ▪ Tính y 0 , dùng công thức pttt như loại 1. Ví dụ: Cho . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết: 3 1 ( ) : x C y x + = − 1/ Tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4 . 2/ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – y + 2 = 0 2 4 1 / ( ) y x − = − 1/ 2 2 4 4 4 1 1 1 / ( ) ( ) y x x − = − ⇔ = − ⇔ − = − 0 2,x x⇔ = = 0 0 0 3. , :x y = = − Phương trình tiếp tuyến y = – 4x – 3 0 0 2 5. , :x y = = Phương trình tiếp tuyến y = – 4x + 13 2/ Đường thẳng (d): x – y + 2 = 0 có hệ số góc bằng 1. Tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k thỏa: k.1 = –1⇔ k =–1 2 2 4 1 1 1 4 1 / ( ) ( ) y x x − = − ⇔ = − ⇔ − = − 3 1,x x ⇔ = = − Đáp: y = – x – 6 ; y = – x – 2 @ ● Loại 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) đi qua điểm A(x A ,y A ). ▪ Gọi M 0 (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến là: ▪ 0 0 0 / ( )( ) )( (( , ) ) AA A A y f x x xy fA x d x ∈ ⇔ = − + Giải phương trình này có nghiệm x 0 , từ đó có phương trình tiếp tuyến Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đó qua A(0,– 4). 2 2( ) : ( )C y f x x x= = − 0 0 2 2 2 2 / / / ( ) ( )y f x x f x x = = − ⇒ = − 2 0 0 0 0 2 2 2( ) : ( )( )d y x x x x x= − − + − 2 0 0 0 0 0 4 4 2 2 0 2( , ) ( ) ( )( )A d x x x x − ∈ ⇔ − = − − + − 2 0 0 0 4 2 2x x hay x⇔ = ⇔ = = − 0 2 2 4: ( ) :x pttt d y x = = − 0 2 6 4: ( ) :x pttt d y x = − = − − 0 0 0 / ( ) : ( )( ) ( )d y f x x x f x= − + 0 0 ( ( ))y f x = Phương trình tiếp tuyến là: Gọi M 0 (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm, 2 0 0 0 2y x x= − Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đó qua S(3,3). 2 ( ) : x C y x − = 0 2 2 0 2 2 / / ( )y y x x x = ⇒ = 0 0 2 0 0 2 2 3 3 3 3( , ) ( ) ( ) x S d x x x − ∈ ⇔ = − + 2 0 0 0 0 2 3 0 1 3x x x hay x⇔ + − = ⇔ = = − 0 1 2 3: ( ) :x pttt d y x= = − 0 2 7 3 9 3 : ( ) :x pttt d y x= − = + 0 0 2 0 0 2 2 ( ) : ( ) x d y x x x x − = − + Phương trình tiếp tuyến là Gọi M 0 (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm, 0 0 0 0 2 0( ) x y x x − = ≠ Bài học kết thúc 2 2 3y x x= − − y = 4x – 12 y = – 4x – 4 y = – 4 5 3 1 x y x + = − y= – 4x – 3 y= – 4x + 13 6 . động trên (C) dần tới M 0 . 3/ Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trong (a,b) và x 0 ∈(a,b) ,đạo hàm của y = f(x) tại x 0 là: 0 0 0 0 0 / (. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Phương trình tiếp tuyến của đường cong Giải Tích 12 Gv: Đỗ Hữu Vị ĐẠO HÀM 1. Nhắc lại: 1/ Hệ số góc của đường