Sè thüc
CĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa têp số thỹc
Sỹ cƯn thiát mð rởng têp số hỳu t¿ Q
Số tự nhiên N = {0, 1, 2, } là tập hợp cơ bản trong toán học, trong khi tập hợp số nguyên Z = {0, ±1, ±2, } mở rộng ra các số âm và dương Tuy nhiên, trong Z không có các phân số hữu tỷ với mẫu số bằng 2 hoặc 3, dẫn đến việc hình thành tập hợp số hữu tỷ Q, bao gồm các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số Tập hợp này là nền tảng cho nhiều khái niệm trong toán học, đặc biệt là trong việc giải thích các hiện tượng trong cuộc sống Việc tính diện tích hình vuông có kích thước a và b, ví dụ, liên quan đến việc áp dụng các khái niệm về số hữu tỷ, với diện tích được tính bằng √.
2 khổng thº mổ tÊ bði số hỳu t¿ Thêt vêy náu √
2 = m n ∈ Q trong õ ìCLN(m, n) = 1 thẳ m 2 = 2n 2 ⇒ m = 2p v 4p 2 = 2n 2 ⇒ n = 2q iãu n y vổ lẵ vẳ m, n cõ ữợc chung l 2 Chựng tọ√
2 ∈/ Q Nhỳng số xuĐt hiằn v ữủc dũng thữớng xuyản trong giÊi tẵch nhữ e, π cụng khổng phÊi l số hỳu t¿.
Mởt số biºu diạn dữợi dÔng thêp phƠn vổ hÔn khổng tuƯn ho n, hay khổng thº biºu diạn dữợi dÔng t¿ số cừa hai số nguyản ữủc gồi l số vổ t¿.
TĐt cÊ cĂc số hỳu t¿ v số vổ t¿ tÔo th nh têp hủp số thỹc.
Kẵ hiằu têp số thỹc l R.
Người ta có thể xây dựng tiếp số thực R nhớ vào một hàm suy diễn hay nói cách khác nhớ vào một hàm tiệm cận Chúng ta không tránh khỏi việc coi rằng tiếp hợp số thực R là quen thuộc và kiểm tra lỗi số thỏa mãn tiệm cận của nó Chúng ta coi đó là các tính chất của tiếp hợp R.
Tẵnh chĐt 1.1 Têp R l mởt trữớng giao hoĂn vợi hai ph²p cởng v nhƠn: (R,+,ã)
4 R cõ phƯn tỷ trung hỏa ối vợi ph²p cởng l 0 v ối vợi ph²p nhƠn l 1:
5 PhƠn phối ối vợi ph²p cởng:
6 Tỗn tÔi phƯn tỷ ối cừa ph²p cởng:
Tỗn tÔi phƯn tỷ nghàch Êo cừa ph²p nhƠn:
Tẵnh chĐt 1.2 Têp R ữủc xáp thự tỹ to n phƯn v õng kẵn ối vợi cĂc số thüc d÷ìng.
Gồi a l cên trản cừa X trong R náu x ≤ a,∀x ∈ X.
Gồi a l cên dữợi cừa X trong R náu x ≥ a,∀x∈ X.
Gồi X bà ch°n trản trong R (bà ch°n dữợi) khi v ch¿ khi tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt cên trản (cên dữợi) cừa X trong R.
Gồi số nhọ nhĐt trong cĂc cên trản cừa X trong R l cên trản úng cừa
X trong R, kẵ hiằu số õ l M ∗ hay supX (ồc l Supr²mum cừa X). Gồi số lợn nhĐt trong cĂc cên dữợi cừa X trong R l cên dữợi úng cừa
X trong R, kẵ hiằu số õ l M ∗ hay infX (ồc l Infimum cừa X).
Tẵnh chĐt 1.3 Têp R l Ưy theo nghắa sau Ơy:
Mồi têp con có kích thước lớn và rộng, được sử dụng để câu cá trong môi trường nước Mồi này có khả năng thu hút cá hiệu quả, giúp người câu dễ dàng bắt được cá hơn Sự kết hợp giữa kích thước mồi và phương pháp câu cá phù hợp sẽ mang lại hiệu quả cao trong việc câu têp con.
Ngoài ra, việc nấu nhẵn theo khái niệm giợi hôn (cửa mở dây) thể hiện rõ ràng ý nghĩa của một dây số thực nấu hỏi tử, bao gồm cả số thực và một số thực.
Chú ỵ 1.1 1 Têp R\Q khổng ờn ành ối vợi ph²p cởng v ph²p nhƠn, ch¯ng h¤n ±√
3 Náu M l cên trản cừa têp X thẳ supX ≤M v náu m l cên dữợi cừa têp X thẳ Inf M ≥m.
6∈/ Q (t÷ìng tü nh÷ chùng minh √
2∈/ Q) Theo chú ỵ trản suy ra q + 1 = 0 v q 2 + 1 = 0 iãu n y l mƠu thuăn Vêy q /∈ Q.
Vẵ dử 1.2 Tẳm cĂc cên dữợi úng v cên trản úng trong R náu chúng tỗn tÔi cừa têp X 1
Vẵ dử 1.3 Cho A, B l hai têp khổng rộng cừa R v bà ch°n trản. a Chùng minh sup(A∪B) = Max(sup(A),sup(B)). b Gồi A+ B = {x ∈ R,∃(a, b) ∈ AìB, x= a+ b}, chựng minh sup(A+ B) = sup(A) + sup(B).
Lới giÊi a Kẵ hiằu α = supA, β = supB, γ = M ax(α, β).
Vêy têp hủp cĂc cên trản cừa A∪B chẵnh l X = {x, x ≥ α v x ≥ β} hay X = {x, x ≥ γ} Vêy γ = sup(A∪B). b Ta câ:
∀b∈ B, b > supB − ε thỹc hiằn bián ời ta cõ ∃a2+b ∈ A+B, a+b > supA+ supB −ε,hay ∃M ∗ = supA+ supB = sup(A+B).
Têp số thỹc mð rởng
Số thực được phân thành hai phần tỷ lệ: âm vô cực (-∞) và dương vô cực (+∞) Tập số thực mở rộng bao gồm R¯, với R¯ = R ∪ {−∞, +∞} Các phép toán cộng và nhân trong tập hợp này có quan hệ thực tế rõ ràng.
C¡c kho£ng sè thüc
Cho a, b ∈ R v a ≤b Trong R cõ chẵn loÔi khoÊng sau Ơy:
[a, b] = {x ∈ R;a ≤ x ≤b} ữủc gồi l oÔn hay khoÊng õng bà ch°n.
[a,+∞) = {x ∈ R;a ≤ x} ữủc gồi l khoÊng nỷa õng ho°c nỷa mð. (−∞, a] = {x ∈ R;x ≤a}
(a, b) ={x ∈ R;a < x < b} ữủc gồi l cĂc khoÊng mð.
CĂc số thỹc a, b gồi l cĂc mút cừa khoÊng.
GiĂ trà tuyằt ối cừa số thỹc
ành nghắa 1.1 GiĂ trà tuyằt ối cừa số thỹc x, kẵ hiằu |x| l mởt số thỹc khổng Ơm xĂc ành nhữ sau:
KhoÊng cĂch thổng thữớng trong R
ành nghắa 1.2 KhoÊng cĂch trong R l Ănh xÔ: d : R×R → R
(x, y) 7→ |x−y| õ l hẳnh Ênh trỹc quan vã khoÊng cĂch giỳa 2 iºm x v y trản ữớng th¯ng trửc số thỹc R.
D¢y sè thüc
CĂc khĂi niằm cỡ bÊn cừa dÂy số thỹc
ành nghắa 1.3 Mởt dÂy số thỹc l mởt Ănh xÔ tứ N v o R, kẵ hiằu: u :N → R hay ỡn giÊn nhĐt, kẵ hiằu (u n ).
Vợi n= n 0 ∈ N xĂc ành,u n 0 gồi l số phƯn tỷ thự n 0 cừa dÂy, u n thữớng l mởt biºu thực phử thuởc v o n gồi l phƯn tỷ tờng quĂt cừa dÂy, ch¯ng h¤n cho c¡c d¢y sau ¥y:
Sỹ hởi tử, sỹ phƠn kẳ cừa dÂy số
1 DÂy (un) hởi tử vã a ∈ R náu:
Kẵ hiằu lim n→∞ u n = a, ró r ng (u n −a) hởi tử vã 0
2 DÂy (u n ) hởi tử náu cõ số a ∈ R º lim n→∞ u n = a.
3 DÂy (un) phƠn kẳ náu nõ khổng hởi tử, nghắa l :
4 DÂy (un) nhên +∞ l m giợi hÔn náu:
Kẵ hiằu lim n→∞ u n = +∞, ổi khi nõi rơng (u n ) tián tợi +∞.
5 DÂy (u n ) nhên −∞ l m giợi hÔn náu:
DÂy cõ giợi hÔn l +∞ ho°c - −∞ cụng gồi l phƠn ký.
1 Nõi rơng (u n ) bà ch°n trản bði số A ∈ R náu ∀n ∈ N, u n ≤ A.
2 Nõi rơng (u n ) bà ch°n dữợi bði số B ∈ R náu ∀n∈ N, u n ≥ B.
3 Nõi rơng (un) l dÂy bà ch°n náu tỗn tÔi M ∈ R + sao cho:
Tẵnh chĐt cừa dÂy hởi tử
Tẵnh duy nhĐt cừa giợi hÔn ành lỵ 1.1 ( u n ) hởi tử vã a thẳ a l duy nhĐt.
Chùng minh Gi£ sû lim n→∞ = a 1 ,lim n→∞ = a 2 , a 1 ̸= a 2 °t ε = 1 3 |a 1 −a 2 |
Tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh
1 DÂy (u n ) hởi tử thẳ bà ch°n trong R.
2 DÂy (u n ) tián án +∞ thẳ bà ch°n dữợi.
3 DÂy (u n ) tián án −∞ thẳ bà ch°n trản.
Chùng minh 1 Gi£ sû lim n→∞ un = a ⇔ ∃n 0 ∀n > n 0 ⇒ |u n −a| < 1
2 Gi£ sû lim n→∞ un = +∞,∃n 0 ∀n > n 0 ⇒un > 1. °t m = M in{u 0 , , u n 0 ,1} ⇒ u n ≥ m.
Chú ỵ 1.2 1 Tỗn tÔi cĂc dÂy số bà ch°n những khổng hởi tử, ch¯ng hÔn:
2 Mồi dÂy khổng bà ch°n s³ phƠn ký.
3 Mởt dÂy tián tợi +∞ thẳ khổng bà ch°n trản, iãu ngữủc lÔi khổng úng, ch¯ng h¤n: (u n ) = ((−1) n n).
Tẵnh chĐt Ôi số cừa dÂy hởi tử
5 lim n→∞ un = 0,(vn) bà ch°n ⇒ lim n→∞ (unvn) = 0.
6 Gồi αn = un−a.Vêy (αn) hởi tử vã 0.
Ta câ u n v n = (a+α n )v n = av n +α n v n m lim n→∞ av n = ab vẳ (v n ) bà ch°n nản lim n→∞ α n v n = 0.
7 Trữợc hát ta s³ ch¿ ra lim n→∞ v 1 n = 1 b Vẳ lim n→∞ |v n | = |b| ̸= 0, nản ∃n 1 ∈ N, ∀n > n 1 ⇒ |v n | − |b| |b| 2 ⇒ v n
Ta câ 0≤ v 1 n − 1 b = |v |v n −b| n |ãb| ≤ b 2 2 |v n −b|, suy ra ∀ε > 0 ∃n 2 ∈ N,∀n > n 2 ⇒ |v n −b| < |b| 2 2 ε.
Ta th§y u v n n = u n v 1 n,theo (6) ta nhên ữủc lim n→∞ u v n n = a b
Tẵnh chĐt vã thự tỹ v ành lỵ kàp
2 Gi£ sû lim n→∞ u n = l v ∃n 0 ,∀n > n 0 câ a ≤ u n ≤b khi â a ≤ l ≤ b.
∃n 0 ,∀n > n 0 ⇒un ≤ vn ≤wn v lim n→∞un = lim n→∞wn = a.
4 Gi£ sû ∀n > n 0 m u n ≤ v n v lim n→∞ u n = +∞ Khi â lim n→∞ v n = +∞.
2 Lêp luên phÊn chựng v theo 1.
Chú ỵ 1.3 1 º chựng minh dÂy (un) hởi tử vã a, thổng thữớng ch¿ ra dÂy (ε n ) hởi tử vã 0 v thoÊ mÂn |u n −a| ≤ ε n
2 Bơng cĂch chuyºn qua phƯn tỷ ối, nhên ữủc kát quÊ sau Ơy:
Náu∃n 0 ,∀n > n 0 ⇒ u n ≥ v n v lim n→∞ u n = −∞ thẳ lim n→∞ v n = −∞. Vẵ dử 1.4 Chựng minh lim n→∞ 1 n = 0.
Vêy chồn n 0 = E 1 ε + 1 Kẵ kiằu E(x) l phƯn nguyản cừa x.
Vẵ dử 1.5 Tẵnh lim n→∞ un = lim n→∞ P n k=1 n 2 n +k, n ∈ N ∗
Vẵ dử 1.6 Chựng minh lim n→∞ a n
C n i h i ≥ 1 +nh, n→∞lim(nh) = +∞ ⇒ lim n→∞(1 +nh) = +∞ ⇒ lim n→∞a n = +∞.
Vẵ dử 1.7 Tẳm lim n→∞ √ n a, a∈ R ∗ + Líi gi£i X²t a = 1 rã r ng lim n→∞ √ n a = lim n→∞ 1 = 1. X²t a > 1, Ăp dửng cổng thực nhà thực Newton ta ữủc: a = (√ n a) n = {1 + (√ n a−1)} n n
−1 nản lim n→∞ √ n a = 1. Kát luên ∀a ∈ R ∗ ,lim n→∞ √ n a = 1. Vẵ dử 1.8 Tẵnh lim n→∞ n a n α
Lới giÊi Vẳ a α 1 > 1 nản ∃h ∈ R ∗ + º a α 1 = 1 +h, Ăp dửng cổng thực nhà thùc Newton ∀n∈ N\{0,1}, ta câ: a α 1 n
⇒ lim n→∞ n a n α = +∞. p dửng nguyản lẵ kàp dạ d ng thĐy ữủc kát quÊ văn úng ∀α ∈ R, vẳ thá ngữới ta nõi rơng h m mụ tông nhanh hỡn h m luÿ thứa.
|a| n = ε n , suy ra lim n→∞ a n! n = 0, vẳ thá ngữới ta nõi rơng giai thứa tông nhanh hỡn h m sè mô.
Tẵnh ỡn iằu cừa dÂy số
1 DÂy (un) tông náu ∀n ∈ N, un ≤ un+1.
3 DÂy (u n ) ỡn iằu náu nõ tông ho°c giÊm.
DÂy (u n ) ỡn iằu ng°t náu nõ tông ng°t ho°c giÊm ng°t. ành lỵ 1.2 1 Mồi dÂy tông v bà ch°n trản thẳ hởi tử.
2 Mồi dÂy giÊm v ch°n dữợi thẳ hởi tử.
Chựng minh 1.(u n ) bà ch°n trản ⇒ ∃l = sup (u n ) ⇒ ∀ε > 0,∃n ε sao cho l−ε ≤ u n ε ≤ l < l+ ε Vẳ (u n ) tông ⇒ ∀n > n ε ⇒ l −ε < u n < l + ε ⇒
2 p dửng kát quÊ 1 ối vợi dÂy (−u n ). ành lỵ 1.3 1 DÂy (u n ) tông v khổng bà ch°n trản thẳ dƯn án +∞.
2 DÂy (u n ) giÊm v khổng bà ch°n dữợi thẳ dƯn án −∞.
Chựng minh 1 (un) khổng bà ch°n trản ⇔ ∀A > 0,∃n 0 sao cho un 0 > A. Vẳ (u n ) tông nản ∀n > n 0 ⇒u n ≥ u n 0 > A ⇒ lim n→∞ = +∞.
2 p dửng kát quÊ 1 vợi dÂy (−u n ).
Chú ỵ 1.4 1 Náu (u n ) tông thẳ ho°c (u n ) hởi tử ho°c lim n→∞ u n = +∞.
2 Náu (un) tông v hởi tử án 1 thẳ l = sup (un, n ∈ N) v ∀n∈ N
3 Náu (u n ) tông thẳ dÂy bà ch°n dữợi bði u 0
Vẵ dử 1.10 Chựng minh rơng (u n ) = P n k=1 n+k 1 hởi tử.
Vêy (u n ) tông v bà ch°n trản nản nõ hởi tử.
Vẵ dử 1.11 Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số cho dữợi dÔng ân sau: x n = 5 +x 2 n−1
Lới giÊi Trữợc hát dũng quy nÔp chựng minh xn > 0 ∀n.
Thêt vêy ta cõ: x 1 > 5 úng vợi n= 1.
Gi£ sû x k > 0 ta s³ chùng minh x k+1 > 0.
Thêt vêy x k+1 = 5+x 2x k 2 k > 0 (do tỷ số v mău số ãu dữỡng).
M°t khĂc, dỹa v o bĐt ¯ng thực Cauchy thẳ: x n = 1
5, ∀n, suy ra x n 2 ≥ 5 hay x n ≥ x 5 n. Cởng v o cĂc vá vợi xn ta cõ:
Chựng tọ dÂy (x n ) ỡn iằu giÊm.
Kát hủp hai kát quÊ trản ta cõ lim n→∞ x n = a ≥ √
GiÊi phữỡng trẳnh ối vợi a nhên ữủc a = √
5. Vẵ dử 1.12 Cho 2 dÂy (u n ),(v n ) thoÊ mÂn: n→∞lim u n = lim n→∞v n = 0,(v n ) gi£m ng°t, lim n→∞ u n+1 −u n vn+1 −vn
|(u p −lv p )−(u p−1 −lv p−1 )| < ε(v p−1 −v p ). Cởng lÔi cĂc vá vợi vá s³ cõ:
|(u p −l ãvp)−(un −lãvn)| < εã(vn−vp). Cho p →+∞ v n cố ành, n > n 0 tứ trản nhên ữủc:
Vẳ (v n ) giÊm ng°t v dƯn vã 0 nản v n > 0,∀n > n 1
Hai dÂy (u n ),(v n ) gồi l kã nhau khi v ch¿ khi (u n ) tông (v n ) giÊm v lim n→∞ (v n −u n ) = 0. ành lỵ 1.4 Hai dÂy kã nhau thẳ hởi tử v cõ chung mởt giợi hÔn l,ngo i ra ta câ:
∀n∈ N, u n ≤ u n+1 ≤ l ≤ v n+1 < v n Chựng minh ∀n ∈ N gồi w n = v n − u n ⇒ (w n ) giÊm w n+1 − w n (v n+1 −u n+1 ) −(v n −u n ) = (v n+1 −v n )− (u n+1 −u n ) ≤ 0, nghắa l (w n ) giÊm v hởi tử vã 0⇒ w n ≥ 0 ∀n hay u n ≤ v n
Chựng tọ (un) tông v bà ch°n trản bði v0,(vn) giÊm v bà ch°n dữợi bði u0. Suy ra limn→∞un = l1,limn→∞vn = l2 Vẳ limn→∞(vn−un) = 0 nản l 1 = l 2 = l.
Vẵ dử 1.13 Chựng minh rơng (e n ) = 1 + 1 n n hởi tử.
Lới giÊi Trữợc hát ch¿ ra (en) tông.
Theo cổng thực nhà thực Newton ta cõ: e n = 1 + 1 n n = 1 +n n 1 + n(n−1) 1.2 n 1 2+n(n−1)(n−2)
Đối với dãy số hạng, ta có công thức 1 + 1 + 2! + 1/(1 - n + 1) + + n!/(1 - n + 1) + + (n + 1)!/(1 - n + 1) Số hạng en+1 lớn hơn en khi n tăng, cho thấy rằng dãy số này có xu hướng tăng Điều này dẫn đến kết luận rằng e(n+1) > e(n).
Gồi giợi hÔn cừa (e n ) l số e, ró r ng e > 0 Sau Ơy dũng số e l m cỡ số cõa logarit. n→∞lim
Vẵ dử 1.14 Chựng minh rơng (en ′) = P n k=0 k! 1 hởi tử vã e.
Lới giÊi ∀n ∈ N ∗ , °t v n = e ′ n + nãn! 1 ró r ng ( e n ′ ) tông ng°t v lim n→∞ (v n −e ′ n ) = lim n→∞ nãn! 1 = 0.
⇒(vn) giÊm ng°t Trữợc hát chựng minh e /∈ Q bơng phữỡng phĂp phÊn chùng:
Thêt vêy, náu e = lim n→∞ P n k=0 k! 1 m e ∈ Q tực l e = p q , p, q ∈ N ∗ , ta s³ câ: e ′ q q
2! +ã ã ã+ 1 q! = a q!, a ∈ N ∗ , e ′ q < e < vq ⇔ a q! < p q < a q! + 1 q ãq!. Hay a < p(q −1)! < a+ 1 q ≤ a+ 1 iãu n y mƠu thuăn vẳ
Sau ¥y ta s³ chùng minh lim n→∞ P n k=0 k! 1 = e Rã r ng khi k cè ành v n > k thẳ: e n > 2+1
Nhữ vêy e ≥e ′ n > e n Theo ành lẵ kàp suy ra e ′ n −−−→ n→∞ e.
Hằ quÊ 1.1 (ành lẵ vã cĂc oÔn lỗng nhau)
Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt số l sao cho T n∈
N[a n , b n ] = {l}. Chựng minh Vẳ (a n ),(b n ) kã nhau nản cũng hởi tử v ∀n cõ a n < a n+1 k 0 : nk > n0 ⇒ |u n k −a| < ε suy ra limk→∞un k = a.
Chú ỵ 1.5 Náu lim n→∞ = +∞ thẳ lim k→∞ u n k = +∞.
Tứ ành lẵ trản, chúng ta nhên ữủc iãu kiằn ừ cho dÂy số phƠn kẳ Náu tỗn tÔi hai dÂy con hởi tử vã hai số khĂc nhau thẳ dÂy số phƠn kẳ Ch¯ng hÔn (−1) n phƠn kẳ vẳ cõ dÂy con (−1) 2n )hởi tử vã 1 v dÂy con (−1) 2n+1 hởi tử vã -1.
Hằ quÊ 1.2 º (u n ) hởi tử án l iãu kiằn cƯn v ừ l hai dÂy con (u 2n ) v (u 2n+1 ) ãu hởi án l.
Chựng minh iãu kiằn cƯn suy tứ ành lẵ 1.5. iãu kiằn ừ:
∀p > n 2 ⇒ |u 2p+1 −l| < ε. °t n 0 = M ax(2n 1 ,2n 2 + 1) l§y n ∈ N sao cho n = 2p ho°c n = 2p+ 1. Trữớng hủp n = 2p ⇒p > n 1 ⇒ |u n −l| = |u 2p −l| < ε.
Trong mồi trữớng hủp cõ |u n −l| < ε ⇒lim n→∞ u n = l. ành lỵ 1.6 ành lẵ Bolzano -Weierstrass: Tứ mồi dÂy (u n ) bà ch°n ãu cõ thº lĐy ra mởt dÂy con hởi tử.
Chựng minh Dũng phữỡng phĂp chia ổi, ta s³ xƠy dỹng bơng qui nÔp hai dÂy thỹc (an),(bn) kã nhau v mởt dÂy con un k ∈ [an, bn],∀k ∈ N.
Vẳ (u n ) bà ch°n nản tỗn tÔi a 0 , b 0 sao cho ∀n ∈ N cõ a 0 ≤ u n ≤ b 0 , ró r ng u n k ∈ [a 0 , b 0 ],∀k ∈ N.
Chon∈ N giÊ sỷ(a n , b n ) ∈ R 2 sao choa n ≤ b n Têp {u n k ∈ [a n , b n ], k ∈ N} l vổ hÔn v b n −a n = 2 1 n (b 0 −a 0 ).
X²t iºm giỳa a n +b 2 n cừa [a n , b n ], ró r ng ẵt nhĐt mởt trong hai khoÊng chựa u n k l vổ hÔn Do õ tỗn tÔi (a n+1 , b n+1 ) ∈ R 2 sao cho a n+1 ≤ b n+1 Têp {u n k ∈ [a n+1 , b n+1 ], k ∈ N} l vổ hÔn v b n+1 −a n+1 = 1 2 (b n −a n ) 1
Ró r ng cĂc oÔn [an, bn] lỗng nhau Vêy ∀n tỗn tÔi 1 sao cho |u n k −l| ≤ b n −a n
CH×ÌNG2GIẻI HN DY Sẩ V MậT VI SNG TO
Giợi hÔn cừa dÂy số
D¢y sè
Mởt dãy số thực là một ánh xạ từ tập các số tự nhiên N đến R, ký hiệu là x: N → R, với x(n) := x_n Trong đó, x(n) thường được hiểu là x_n, đại diện cho số hạng thứ n của dãy Một dãy số với các số hạng là x_n thường được viết gọn là (x_n).
Giợi hÔn cừa dÂy số
DÂy (xn) ữủc gồi cõ giợi hÔn l a náu:
Khi õ ta cụng nõi dÂy (xn) hởi tử vã a Kẵ hiằu limn→∞xn = a ho°c x n → a, n → ∞ Náu dÂy (x n ) khổng hởi tử thẳ ta nõi dÂy (x n ) phƠn ký.
Vẵ dử 2.2 Cho dÂy số (x n ) vợi x n = n+1 n Chựng minh lim n→∞ x n = 1.
= 1 n+ 1, do õ khi muốn xn gƯn 1 bao nhiảu cụng ữủc ta °t:
Chồn n 0 > 1 ε −1 (phƯn nguyản cừa 1 ε −1 ) Khi õ ∀n > n 0 thẳ x n gƯn
1 bao nhiảu cụng ữủc Hay lim n→∞ x n = 1. ành lỵ 2.1 Náu dÂy (x n ) hởi tử thẳ giợi hÔn cừa nõ l duy nhĐt.
Chựng minh GiÊ sỷ x n → a v x n → b, a ̸= b khi n → ∞, chồn ε |a−b|
2 > 0 theo ành nghắa vã giợi hÔn cừa dÂy tỗn tÔi n 01 , n 02 ∈ N sao cho:
2. °t n 0 = max (n 01 , n 02 ) Khi õ vợi ≥ n 0 ta cõ:
2 , suy ra |a−b| ≤ |a−b| 2 iãu n y vổ lẵ Vêy a = b. ành lỵ 2.2 Cho ba dÂy (x n ),(y n ),(z n ) Náu x n , y n , z n ,∀n∈ N v lim n→∞ x n = limz n = a thẳ lim n→∞ y n = a.
Chựng minh Vẳ lim n→∞ x n = limz n = a, nản
Chox 0 ∈ R, ε - lƠn cên cừax 0 l khoÊng số thỹc cõ dÔng (x 0 −a, x 0 + a), a > 0.
Mởt v i phữỡng phĂp tẳm giợi hÔn cừa dÂy số
Phữỡng phĂp sỷ dửng ành nghắa cừa giợi hÔn dÂy số 23
Kián thực sỷ dửng ành nghắa 2.1 limun = L ⇔ ∀ε > 0,∃N : ∀n≥ N ⇒ |u n −L| < ε
- Tiảu chuân Cauchy: DÂy {x n } cõ giợi hÔn hỳu hÔn khi v ch¿ khi vợi mồi ε > 0, tỗn tÔi số tỹ nhiản N sao cho vợi mồi m, n ≥ N ta cõ
- Nguyản lỵ Ănh xÔ co: Náu vợi mồi x, y ta cõ |f(x) −f(y)| ≤ q|x −y| vợi q l hơng số 0 < q < 1 v {x n } bà ch°n thẳ {x n } hởi tử °c biằt náu |f ′ (x)| ≤ q < 1 thẳ ta luổn cõ iãu n y. ị tữðng chẵnh: Ănh giĂ |u n −L| ≤ q|u n−1 −L|;q < 1 v |u n+1 −u n |
Phữỡng phĂp n y thữớng s³ ữủc sỷ dửng khi ta thĐy dÂy số khổng tông, khổng giÊm.
Vẵ dử 2.3 (ã thi HSG QuÊng Bẳnh) Cho dÂy số u 1 = 1 3 v u n+1 = 1 2 u 2 n −1. Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Líi gi£i Chùng minh: −1< un < 0.
Vẵ dử 2.4 (º dỹ bà VMO 2008) Cho số thỹc a v dÂy số thỹc (u n ) xĂc ành bði: u 1 = a v u n+1 = ln (3 + cosu n + sinu n )−2008 vợi mồi n= 1,2,3,
Chựng minh rơng dÂy số (un) cõ giợi hÔn hỳu hÔn.
Lới giÊi °t f(x) = ln(3 + sinx+ cosx)−2008 thẳ f ′ (x) = 3+sin cos x−sin x+cos x x
Tứ õ, sỷ dửng Ănh giĂ |cosx−sinx| ≤ √
2 = q < 1. p dửng ành lỵ Lagrange vợi m > n ≥N, ta cõ:
Do dÂy (u n ) bà ch°n v q < 1 nản dÂy (x n ) thoÊ mÂn iãu kiằn Cauchy nản cõ giợi hÔn hỳu hÔn.
Vẵ dử 2.5 (ã thi vổ àch Nga 1982) Cho dÂy số u 1 = 1 v u n+1 = 1+u 1 n. Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Líi gi£i Ta s³ chùng minh: 0< u n < 1.
Vẵ dử 2.6 Cho dÂy số (u n ) ành bði u 1 ∈ (1,2) v u n+1 = 1 +u n −u n 2 /2. Chựng minh rơng (u n ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn õ.
Phữỡng phĂp sỷ dửng cổng thực, tẵnh chĐt cừa cĂc dÂy số °c biằt
- Tẵnh chĐt cừa cĂc dÂy số l cĐp số cởng, cĐp số nhƠn.
- CĂc cổng thực ối vợi cĂc dÂy số quen thuởc:
. ị tữðng chẵnh: ữa cĂc dÂy số vã cĂc dÂy số quen thuởc.
Vẵ dử 2.7 Cho dÂy số u n = 1.2 1 + 2.3 1 + .+ n(n+1) 1 Tẳm giợi hÔn dÂy số. Líi gi£i. u n = 1
Vẵ dử 2.8 Cho dÂy số u n = 1 2 +3 2 +5 2 + +(2n−1) 2
2 2 +4 2 +6 2 + +(2n) 2 Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Vẵ dử 2.9 Cho dÂy số u 1 = 5 v u n+1 = 5u u n +4 n +2 Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Vẵ dử 2.10 Cho dÂy số u 1 = 2 3 v u n+1 = 2(2n+1)u u n n +1 Tẳm giợi hÔn dÂy số x n = P n i=1 u n
Vẵ dử 2.11 Cho dÂy số u 1 = 1 v u n+1 = pu 2 n +a n (0 < a < 1) Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Líi gi£i Ta s³ chùng minh: u 2 1 = 1;u 2 2 = 1 +a;u 2 3 = 1 +a+a 2 ; .;u 2 n = 1 +a+a 2 + a n−1 Suy ra u n = 1−a n
Vẵ dử 2.12 Cho dÂy số u 1 = 2011 v u n−1 = n 2 (u n−1 −u n ) Tẳm giợi hÔn d¢y sè.
Phữỡng phĂp sỷ dửng ành lẵ kàp
- ành lỵ kàp v n < u n < w n ∀n ∈ N ∗ : limv n = limw n = a ⇒limu n = a ị tữðng chẵnh: Ănh giĂ dÂy số qua hai dÂy số tẵnh ữủc giợi hÔn.
Vẵ dử 2.13 Cho dÂy số u n = 1 1 +2 2 n +3 n+2 3 +n n Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Vẵ dử 2.14 Cho dÂy số u n = 1ã3ã5ã7 (2n−1)
2ã4ã6.8 (2n) Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Vẵ dử 2.15 Cho dÂy số u n = √ n n Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Vẵ dử 2.16 Cho dÂy số u n = n 2 n +1 + n 2 n +2 + + n 2 n +n Tẳm giợi hÔn dÂy sè.
Líi gi£i Ta câ: nã n n 2 + n ≤ u n ≤ nã n n 2 + 1 ⇔ 1← n 2 n 2 +n ≤ u n ≤ n 2 n 2 + 1 → 1 Suy ra limx n = 1.
Vẵ dử 2.17 Cho phữỡng trẳnh x 2n+1 = x 2 +x+ 1 Chựng minh rơng phữỡng trẳnh cõ duy 1 nghiằm dữỡng xn Tẳm giợi hÔn dÂy số xn
Lới giÊi Ta chựng minh phữỡng trẳnh cõ duy nhĐt nghiằm thuởc (1; 2) bơng tẵnh chĐt số liản tửc v chựng minh dÂy số xn l dÂy số giÊm.
Phữỡng phĂp sỷ dửng tẵnh ỡn iằu v bà ch°n
Kián thực sỷ dửng ành lỵ 2.3 Dây số tông bà ch°n trản (giêm bà ch°n dữợi) thẳ tỗn tÔi giợi h¤n Chựng minh dây số ỡn iằu, chựng minh dây số bà ch°n, giÊi phữỡng trẳnh tẳm giợi hÔn.
Vẵ dử 2.18 ( ã thi HSG Quốc gia nôm 2012) Cho dÂy số x 1 = 3 x n = n+2 3n (x n−1 + 2) Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Lới giÊi Chựng minh: x n−1 > n+2 n−1 (n≥ 3) Khi õ, x²t hiằu xn−x n−1 = n+ 2
Suy ra (x n ) l dÂy số giÊm kº tứ số hÔng thự hai Ngo i ra, theo ành lẵ
2.3, nõ bà ch°n dữợi Theo tẵnh chĐt cừa dÂy ỡn iằu, tỗn tÔi giợi hÔn hỳu hÔn lim n→∞ x n = a Chuyºn ¯ng thực x n = n+2 3n (x n−1 + 2) sang giợi hÔn, ta ữủc a = 1 3 (a+ 2) ⇔a = 1 Vêy lim n→∞ x n = 1.
Vẵ dử 2.19 Cho dÂy số u1 = 2012 v un+1 = u 3u 3 n +3u 2 n n +1 Tẳm giợi hÔn dÂy số. Líi gi£i Ta câ: u n+1 −1 = (u n −1)
3u 2 n +1 > 0. X²t hiằu u n+1 −u n = −2u 3u 3 n 2 +2u n n +1 < 0 Do õ dÂy số giÊm v bà ch°n dữợi nản tỗn tÔi giợi hÔn Suy ra limu n = 1.
Vẵ dử 2.20 Cho dÂy số u 1 = 1 v u n+1 = pu 2 n +u n + 1−pu 2 n −u n + 1. Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Líi gi£i Ta câ: u n+1 = 2u n pu 2 n +un+ 1 +pu 2 n −un+ 1 > 0.
Do õ dÂy số giÊm v bà ch°n dữợi nản tỗn tÔi giợi hÔn Suy ra limu n = 0.
Vẵ dử 2.21 Cho dÂy số 0 < u n < 1 v u n+1 (1ưu n ) > 1 4 Tẳm giợi hÔn d¢y sè.
Líi gi£i Ta câ: un+1(1ưun) > 1 4 ≥ un(1ưun) ⇒un+1 > un.
Do õ dÂy số giÊm v bà ch°n nản tỗn tÔi giợi hÔn Suy ra limun = 1 2 Vẵ dử 2.22 Cho dÂy số {x n } xĂc ành bði u1 = √
2 u n Chùng minh rơng dÂy {u n } cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn õ.
2) x x thẳ ta thĐy dÂy số s³ cõ dÔng x 0 = √
2 = x 0 Suy ra {x n } l dÂy số tông.
Chựng minh bơng quy nÔp rơng x n < 2.
Vêy dÂy {x n } tông v bà ch°n trản bði 2 nản dÂy cõ giợi hÔn hỳu hÔn Gồi a l giợi hÔn õ thẳ chuyºn ¯ng thực x n+1 = √
2 x n sang giợi hÔn, ta ữủc a = √
2 a Ngo i ra ta công câ a ≤ 2.
Phữỡng phĂp sỷ dửng sai phƠn
- Sai ph¥n: ∆k = xk+1−xk ⇒P n k=1 ∆k = P n k=1 xk+1−xk = xn+1 −x1 ị tữðng chẵnh: Biºu diạn tờng cĂc số hÔng qua sai phƠn
Vẵ dử 2.23 Cho dÂy số(u n )xĂc ành nhữ sau: u 1 = 1, u n+1 u n = 1 +u 2011 n ,∀n ∈ N, n ≥ 1. Tẵnh lim u 2011 1 u 2 + u 2011 2 u
Chùng minh limun = +∞ ⇒ lim u 1 n+1 = 0. Vêy lim u 2011 1 u
= 1. Vẵ dử 2.24 Cho dÂy số:
( u 1 = 5, un+1 = u u 2010 n 2009 +3u n +16 n −u n +11 Tẵnh limP n i=1 u 2009 1 i +7. Líi gi£i Ta câ: u n+1 −4 = u 2009 n + 7 (un −4) u 2009 n + 7−(u n −4) ⇒ 1 u n+1 −4 = 1 u n −4 − 1 u 2009 n + 7.
Chùng minh limu n = +∞ ⇒ lim u 1 n+1 −4 = 0. Vêy limP n i=1 u 2009 1 i +7 = 1.
Vẵ dử 2.25 Cho dÂy số ( u n ) xĂc ành nhữ sau:
Chùng minh limu n = +∞ ⇒ lim n→+∞ u 1 n = 0. Vêy lim n→+∞ n
Phữỡng phĂp lữủng giĂc hõa
Biểu diễn số hồng tường quất cửa dây số bông cổng thực lưỡng giác giúp tăng hiệu quả cho cổng thực nhân ổi, nhân ba và các hướng đứng thực lưỡng giác Việc sử dụng cổng thực lưỡng giác phù hợp để biểu diễn các số hồng cửa dây số là rất quan trọng Chú ý rằng các số hồng ưu l có các giác trà lưỡng giác được biện nêu rõ.
Vẵ dử 2.26 Cho dÂy số u 1 = 1 2 v u n+1 = 2u 2 n −1.
Tẳm giợi hÔn dÂy số u n n
Líi gi£i Ta câ: u1 = 1 2 = cos π 3 v un+1 = cos 2 n 3 π Suy ra lim u n n = 0. Vẵ dử 2.27 Tẳm giợi hÔn dÂy số
1+x 2 n −1 x n Lới giÊi Chựng minh: xn = tan 2 n+1 π Vêy lim n→∞ xn = 0.
Vẵ dử 2.28 Cho dÂy số x 1 = 1 2 v x n+1 = 1 2 x n + q x 2 n + 4 1 n
Lới giÊi Chựng minh: xn = 2 1 n cot 2 n+1 π Vêy lim n→∞ xn = 1 2
Vẵ dử 2.29 Cho dÂy số x 1 = 1 2 v x n+1 = 1 2 x n + q x 2 n + 4 1 n
Tẳm giợi hÔn dÂy số.
1 u n+1 = 1− 8 u 2 n + 8 u 4 n ⇒an+1 = 1−8a 2 n + 8a 4 n = 2 2a 2 n −1 2 −1 M°t kh¡c: a 1 = 1 2 = cos π 3 Ta câ u n+1 = cos 4 n 3 π Suy ra lim u n n = 0.
Vẵ dử 2.30 Cho phữỡng trẳnh x 2n+1 = x 2 +x+ 1 Chựng minh rơng phữỡng trẳnh cõ duy 1 nghiằm dữỡng xn Tẳm giợi hÔn dÂy số xn
Lới giÊi Ta chựng minh phữỡng trẳnh cõ duy nhĐt nghiằm thuởc (1; 2) bơng tẵnh chĐt số liản tửc v chựng minh dÂy số x n l dÂy số giÊm.
Phữỡng phĂp sỷ dửng cĂc tẵnh chĐt cừa h m số (dÂy số cho bði phữỡng trẳnh)
Tính chất của hàm số bao gồm tính liên tục và các ảnh hưởng liên quan như ảnh hưởng và giá trị trung gian, chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất Ở hàm số, sử dụng các tính chất của hàm số để xác định số hạng dây số cho bài phương trình.
Vẵ dử 2.31 Cho x n l nghiằm cừa phữỡng trẳnh: x n + x n−1
2 n Chựng minh rơng phữỡng trẳnh cõ duy nhĐt mởt nghiằm dữỡng Tẵnh limx n
Lới giÊi Phữỡng trẳnh  cho tữỡng ữỡng vợi: f n (x) = 2 n x n + 2 n−1 x n−1 + .+ 2x−1 = 0.
Ta cõ: f n (0) < 0 v f n 1 2 > 0 nản x n ∈ 0; 1 2 DÂy số x n giÊm, suy ra tỗn tÔi giợi hÔn limx n = a Ta cõ: 2x n (1−(2x n ) n )1−2x n = 1 ⇒a = 1 4
Vẵ dử 2.32 Kỵ hiằu x n l nghiằm cừa phữỡng trẳnh 1 x + x−1 1 + .+ x−n 1 = 0 thuởc khoÊng (0,1). a) Chựng minh dÂy {x n } cõ giợi hÔn. b) HÂy tẳm giợi hÔn õ.
Lới giÊi x n ữủc xĂc ành duy nhĐt vẳ h m sốf n (x) = 1 x + x−1 1 + .+ x−n 1 liản tửc v ỡn iằu trản (0,1) Ta cõ: f n+1 (x) = f n (x) + 1 x−n−1 ⇒f n+1 (x) = 0, cõ nghiằm x n+1 ∈ (0;x n ) Do õ dÂy số giÊm GiÊ sỷ limx n = a Ta cõ:
0 = x 1 n + x 1 n −1 + .+ x 1 n −n < x 1 n + −1 1 + −2 1 + + −n 1 < 1 a − a 1 = 0 Vêy ta phÊi cõ limx n = 0.
Với số thực a > 2 và hàm số fn(x) = a I0 x n + 10 + x n + + x + 1, ta có thể chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a luôn có ít nhất một nghiệm duy nhất Hơn nữa, khi xem xét nghiệm x n, ta chứng minh rằng dãy {x n} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến vô cùng.
Lới giÊi a) H m số f n (x) tông trản (0,+∞) v f(0) < 0 v f(1) > 0 nản 0 < x n < 1.
Chựng minh dÂy x n tông, tực l x n+1 > x n
Suy ra f(1) > a v f (x n ) < a, do â x n < x n+1 < 1. °t c = (a−1)/a < 1, f n (c)−f n (x n ) = kc n ( vợi k = (a−1) (a−1) 9 −1 > 0
Theo ành lỵ Lagrange thẳf n (c)−f n (x n ) =f ′ (ξ) (c−x n ) vợiξ thuởc (x n , c). Những f ′ (ξ) = (n + 10)a 10 ξ n+9 + nξ n−1 + + 1 > 1 nản tứ Ơy suy ra kc n > c−xn.
Mởt số sĂng tÔo vã giợi hÔn cừa dÂy số
Phữỡng phĂp sỷ dửng ành nghắa cừa giợi hÔn dÂy số 34
Vẵ dử 2.34 Cho số thỹc a v dÂy số thỹc (u n ) xĂc ành bði: u 1 = a v u n+1 = ln (3 + cosu n + sinu n )−2024 vợi mồi n= 1,2,3,
Chựng minh rơng dÂy số (u n ) cõ giợi hÔn hỳu hÔn.
Lới giÊi °t f(x) = ln(3 + sinx+ cosx)−2024 thẳ f ′ (x) = 3+sin cos x−sin x+cos x x
Tứ õ, sỷ dửng Ănh giĂ |cosx−sinx| ≤ √
2 = q < 1. p dửng ành lỵ Lagrange vợi m > n ≥N, ta cõ:
Do dÂy (u n ) bà ch°n v q < 1 nản dÂy (x n ) thoÊ mÂn iãu kiằn Cauchy nản cõ giợi hÔn hỳu hÔn.
Vẵ dử 2.35 Cho dÂy số (u n ) ữủc xĂc ành bði un+1 = 1
Chựng minh rơng dÂy số (u n ) cõ giợi hÔn.
Lới giÊi DÂy số cõ dÔng u n+1 = f (u n ) vợi f(x) = 1 2 ln 1 +x 2 −2024.
2. Vẳ lim x→−∞ (f(x)−x) = +∞ v lim x→+∞ (f(x)−x) = −∞ nản tỗn tÔi l ∈ R thọa mÂn f(l) = l Do õ
2|u n −l|. p dửng liản tiáp n lƯn ta cõ
Do õ (un) hởi tử án l nản dÂy số (un) cõ giợi hÔn.
Vẵ dử 2.36 Cho dÂy số (a n ) ữủc xĂc ành bði a 1 ≥ 0 v a n+1 = √
3a n + 1. Chựng minh rơng dÂy số (an) cõ giợi hÔn.
Lới giÊi Hiºn nhiản an ≥1 vợi n ≥2 DÂy số cõ dÔng an+1 = f (an) vợi f(x) = √
Phữỡng phĂp sỷ dửng cổng thực, tẵnh chĐt cừa cĂc dÂy số °c biằt
Vẵ dử 2.37 Cho dÂy số u n = 2.3 1 + 3.4 1 + .+ n(n+1) 1 Tẳm giợi hÔn dÂy số. Líi gi£i. u n = 1
Vẵ dử 2.38 Cho dÂy số u n = 1+3+5+ +(2n−1)
2+4+6+ +2n Tẳm giợi hÔn dÂy số.
Vẵ dử 2.39 Cho dÂy số u 1 = 2024 v u n−1 = n 2 (u n−1 −u n ) Tẳm giợi hÔn d¢y sè.
Phữỡng phĂp sỷ dửng ành lẵ kàp
Vẵ dử 2.40 Tẵnh giợi hÔn n→∞lim(√
Theo ành lỵ kàp, giợi hÔn cừa dÂy  cho bơng 0
10 sin 2 n 2000 lnn + cos 2 n 2000 lnn Líi gi£i Ta câ:
Theo ành lỵ kàp, giợi hÔn cƯn tẳm l 1
Vẵ dử 2.42 Tẵnh lim n→∞ (n+ 1 +nsinn) 1/(2n+n cos n)
Vêy giợi hÔn cƯn tẳm l 1
2.3.4 Phữỡng phĂp sỷ dửng tẵnh ỡn iằu v bà ch°n
Vẵ dử 2.43 KhÊo sĂt tẵnh ỡn iằu v tẳm giợi hÔn cừa dÂy a n = n!
Vêy {a n } giÊm v bà ch°n dữợi bði 0 Gồi x l giợi hÔn cừa nõ Tứ chộ a n+1 = 2n+3 n+1 a n , chuyºn qua giợi hÔn ta ữủc 0≤ x = 1 2 x hay x = 0.
Vẵ dử 2.44 Cho dÂy số u 1 = 2024 v u n+1 = u 3u 3 n +3u 2 n n +1 Tẳm giợi hÔn dÂy số. Líi gi£i Ta câ: u n+1 −1 = (u n −1) 3
Do õ dÂy số giÊm v bà ch°n dữợi nản tỗn tÔi giợi hÔn Suy ra limu n = 1.
1 ( n lƯn côn) Tẳm lim n→∞ a n Lới giÊi Vẳ p
1 +a n , theo quy nÔp ta chựng minh ữủc a n ≤ 2 Vêy dÂy cõ giợi hÔn x x l nghiằm cừa phữỡng trẳnh x= √
2.3.5 Phữỡng phĂp sỷ dửng sai phƠn
Vẵ dử 2.46 Cho dÂy (x n ) xĂc ành bði x 1 = 1 v x n+1 = x n 1 +x 2024 n vợi n≥ 1 Tẵnh giợi hÔn lim n→∞ x 2024 1 x
Lới giêi, trước hát, ta thấy dây n y tông thỹc sỹ và náu dây n y bà chân thẳ tỗn tôi giợi hơn, với giợi hơn là L > 0 Chuyển cổng thực xác ảnh của dây qua giợi hơn, ta có L = L1 + L2024 ⇔ L = 0, mớu thuẫn.
Do õ lim n→∞ x n = +∞ Vợi mội k ≥ 1, ta cõ x 2024 k x k+1 = x 2025 k x k x k+1 = x k −x k+1 x k x k+1 = 1 x k − 1 x k+1 Suy ra: n→∞lim x 2024 1 x2
Vẵ dử 2.47 Cho số thỹc a ̸= 0 v dÂy số (un) thọa mÂn u 0 = a, un = 2u n−1 +n−2.
Vẵ dử 2.48 Cho dÂy số(u n )xĂc ành nhữ sau: u 1 = 1, u n+1 u n = 1 +u 2024 n ,∀n ∈ N, n ≥ 1. Tẵnh lim u 2024 1 u
Chùng minh limu n = +∞ ⇒ lim u 1 n+1 = 0. Vêy lim u 2024 1 u 2 + u 2024 2 u
Qua cĂc nởi dung trản , khõa luên " Giợi hÔn cừa dÂy số v mởt v i sĂng tÔo" Â thỹc hiằn ữủc mởt số kát quÊ sau:
1) Hằ thống kián thực cỡ bÊn vã dÂy số , giợi hÔn cừa dÂy số.
2) Hằ thống cĂc phữỡng phĂp tẳm giợi hÔn cừa dÂy số v mởt v i sĂng tÔo, cử thº:
- Phữỡng phĂp sỷ dửng ành nghắa giợi hÔn dÂy số.
- Phữỡng phĂp sỷ dửng cổng thực, tẵnh chĐt cừa cĂc dÂy số °c biằt.
- Phữỡng phĂp sỷ dửng ành lẵ kàp.
- Phữỡng phĂp sỷ dửng tẵnh ỡn iằu v bà ch°n.
- Phữỡng phĂp sỷ dửng sai phƠn.
- Phữỡng phĂp lữủng giĂc hõa.
- Phữỡng phĂp sỷ dửng cĂc tẵnh chĐt cừa h m số (dÂy số cho bði phữỡng trẳnh).