Ta câ ngay i·u ph£i chùng minh... Chùng minh r¬ng... T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc... thùc AM-GM, b§t ¯ng thùc Cauchy-Schawarz, b§t ¯ng thùc Chebyshes,.
B§t ¯ng thùc
Tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa BĐt ¯ng thực
BĐt ¯ng thực vã giĂ trà tuyằt ối
BĐt ¯ng thực liản quan án h m số mụ v logarit
B§t ¯ng thùc AM-GM
Cho n số thỹc khổng Ơm a 1 , a 2 , , a n ta cõ a 1 +a 2 + +a n n ≥ √ n a 1 a 2 a n ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a1 = a2 = = an.
B§t ¯ng thùc Cauchy- Schwarz
Cho 2 d¢y sè thüc (a 1 , a 2 , , a n ); (b 1 , b 2 , , b n ) ta câ
(a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a n b n ) 2 ≤ (a 2 1 +a 2 2 + .+a 2 n )(b 2 1 +b 2 2 + +b 2 n ). ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a i = kb i , i = 1, n, k ∈ R.
H m sè
KhĂi niằm h m số
ành nghắa 1.2.1 Mởt h m số i tứ têp X v o têp Yl mởt quy tưc cho tữỡng ựng mội phƯn tỷ x ∈ X vợi mởt v ch¿ mởt phƯn tỷ y ∈ Y.
Để xác định hàm số biểu thức f(x), cần phải xác định rõ miền xác định và tập hợp các phần tử x ∈ X sao cho biểu thức f(x) được xác định Điều này tương tự như hàm số y = x², nơi mà miền xác định cũng rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của hàm số.
Têp giĂ trà cừa h m số l têp tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ y ∈ Y sao cho tỗn tÔi x ∈ X, f(x) = y.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) với x₀ ∈ (a;b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim x→x₀ f(x)−f(x₀) / (x−x₀), thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀, ký hiệu là f'(x₀) Tương tự, nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim x→x₀⁺ f(x)−f(x₀) / (x−x₀), thì giới hạn này được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại x₀, ký hiệu là f'(x₀⁺).
Náu tỗn tÔi giợi hÔn (hỳu hÔn) lim x→x − 0 f(x)−f(x 0 ) x−x 0 được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 Đạo hàm f ′ (x − 0) cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại điểm đó Hàm số y = f(x) được gọi là hàm liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trong khoảng này.
Hàm số y = f(x) được định nghĩa trên đoạn [a;b] nếu nó có giá trị tại mọi điểm x thuộc (a;b) và có giá trị tại biên trái a, biên phải b Đạo hàm của hàm số: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), thì f'(x₀) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm này được xác định.
M 0 (x 0 ;f(x 0 )) s³ l : y −f(x 0 ) = f ′ (x 0 )(x−x 0 ). ành nghắa 1.2.5 (Cỹc trà cừa h m số) Cho h m số f(x) liản tửc trản (a, b), ta cõ h m số Ôt cỹc trà tÔi iºm x 0 ∈ (a, b) náu ∃U(x 0 ) ⊂ (a, b) sao cho f(x)−f(x 0 ) khổng ời dĐu ∀x ∈ U(x 0 )\ {x 0 }.
• Náu f(x)−f(x 0 ) > 0 thẳ ta nõi h m số Ôt cỹc tiºu tÔi x 0
Nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại x₀ ∈ (a, b) với f'(x₀) = 0, thì theo định lý Fermat, f(x) đạt cực trị tại x₀ Định lý Rolle khẳng định rằng nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và thỏa mãn điều kiện f(a) = f(b), thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f'(c) = 0 Định lý Cauchy chỉ ra rằng nếu f(x) và g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và g'(x) không bằng 0 trên (a, b), thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho (f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a)) = f'(c) / g'(c) Cuối cùng, định lý Lagrange cho biết nếu f(x) là hàm số liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b), thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(b) - f(a) = f'(c) (b - a).
H m số ỡn iằu
ành nghắa 1.2.6 GiÊ sỷ K l mởt khoÊng, nỷa khoÊng, mởt oÔn.
H m số y = f(x) xĂc ành trản D ữủc gồi l :
• ỗng bián trản K náu vợi mồi x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
• Nghàch bián trản K náu vợi mồi x 1 , x 2 ∈ K, x 1 < x 2 ⇒f(x 1 ) > f(x 2 ). iãu kiằn cƯn º h m số ỡn iằu
GiÊ sỷ h m số y = f(x) cõ Ôo h m trản K
• Náu h m số y = f(x) ỗng bián trản K thẳ f ′ (x) ≥0 vợi mồi x ∈ K.
• Náu h m số y = f(x) nghàch bián trản K thẳ f ′ (x) ≤ 0 vợi mồi x ∈ K. iãu kiằn ừ º h m h m số ỡn iằu
Giá sỉ K là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực kinh doanh, đặc biệt liên quan đến việc xác định giá trị sản phẩm trong thị trường Hàm số y = f(x) thể hiện mối quan hệ giữa giá trị và các yếu tố ảnh hưởng đến giá cả Khi xem xét các điểm trong cửa K, cần chú ý đến những yếu tố không phải là ưu điểm của K để có cái nhìn toàn diện hơn về thị trường.
• Náu f ′ (x) > 0,∀x ∈ K thẳ h m số y = f(x) ỗng bián trản K.
• Náu f ′ (x) < 0,∀x ∈ K thẳ h m số y = f(x) nghàch bián trản K.
• Náu f ′ (x) = 0,∀x ∈ K thẳ h m số y = f(x) khổng ời trản K.
Nhên x²t 1.2.1 Náu h m số y = f(x) liản tửc trản oÔn [a;b] v cõ Ôo h mf ′ (x) > 0 (f ′ (x) < 0) vợi mồi x thuởc khoÊng (a;b) thẳ h m số y = f(x) ỗng bián (nghàch bián) trản oÔn [a;b]. ành nghắa 1.2.7 Cho h m số y = f(x) xĂc ành trản K.
• Số M ữủc gồi l giĂ trà lợn nhĐt cừa h m số y = f(x) trản K khi v ch¿ khi f(x) ≤ M,∀x ∈ K,
• Số m ữủc gồi l giĂ trà nhọ nhĐt cừa h m số y = f(x) trản K khi v ch¿ khi f(x) ≥m,∀x ∈ K,
H m lỗi
Têp hủp lỗi trong R được định nghĩa là tập hợp các điểm a, b ∈ D, với λ ∈ R và 0 ≤ λ ≤ 1, sao cho λa + (1−λ)b ∈ D Hàm số lỗi f: D → R được gọi là hàm lỗi nếu với mọi x1, x2 ∈ D và λ ∈ R, 0 ≤ λ ≤ 1, thỏa mãn f(λx1 + (1−λ)x2) ≤ λf(x1) + (1−λ)f(x2) Trong khi đó, hàm số lóm f: D → R được định nghĩa là hàm lỗi nếu -f(x) là hàm lỗi trong D.
Vẵ dử 1.2.1 H m số f(x) =x 2 lỗi trản (−∞; +∞).
Thêt vêy, vợi mồi x 1 ;x 2 ∈ (−∞; +∞);x 1 ̸= x 2 , ta cõ f(λx1+ (1−λ)x2) = (λx1+ (1−λ)x2) 2 = λ 2 x 2 1 + (1−λ) 2 x 2 2 + 2λ(1−λ)x1x2 λf(x 1 ) + (1−λ)f(x 2 ) = λx 2 1 + (1−λ)x 2 2 X²t λ 2 x 2 1 + (1−λ) 2 x 2 2 + 2λ(1−λ)x 1 x 2 ≤ λx 2 1 + (1−λ)x 2 2
Tẵnh chĐt cừa h m lỗi liản quan án Ôo h m
Cho f(x) l h m số xĂc ành trản [a, b] v cõ Ôo h m cĐp hai tÔi mồi x ∈ [a, b] Khi â, ta câ:
• Náu f”(x) > 0 vợi mồi x ∈ [a, b] thẳ f(x) l h m lỗi trản [a, b].
• Náu f”(x) < 0 vợi mồi x ∈ [a, b] thẳ f(x) l h m lóm trản [a, b].
CH×ÌNG2 ÙNG DệNG HM Sẩ CHÙNG MINH BT
Sỷ dửng tẵnh ỡn iằu
Kắ thuêt thá bián
ị tữðng: Rút x theo y (ho°c rút y theo x) thay v o biºu thực cƯn tẳm cỹc trà (bĐt ¯ng thực) ữa vã khÊo sĂt h m mởt bián (bĐt phữỡng trẳnh).
Vẵ dử 2.1.1 Cho x, y l hai số thỹc thọa mÂn iãu kiằn 2x−y = 2.
Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực P = px 2 + (y + 1) 2 +px 2 + (y −3) 2 Lới giÊi Theo giÊ thiát, ta cõ: y = 2x−2 thay v o biºu thực cừa P ta ữủc
5x 2 −20x+ 25 liản tửc trản R ta cõ: f ′ (x) = 5x−2
5. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = 2
Vẵ dử 2.1.2 Cho a, b l hai số thỹc thọa mÂn a 2 + b 2 = 1 Chựng minh rơng: ab+ max{a, b} ≤ 3√
4 Lới giÊi Náua v b trĂi dĐu khi õab+ max{a, b} ≤ max{a, b} ≤ 1 < 3√
3 ta cõ ngay iãu phÊi chựng minh 4
Vêy a v b cũng dĐu v náu cÊ a v b ãu Ơm khi õ: ab+ max{a, b} ≤ ab ≤ a 2 + b 2
4 , ta cõ ngay iãu phÊi chựng minh.
X²t vợi a, b ≥ 0 khi õ khổng mĐt tẵnh tờng quĂt giÊ sỷ a = max{a, b} ta c¦n chùng minh: ab+a ≤ 3√
Tứ iãu kiằn ta cõ: a = √
Ta cõ f ′ (b) ời dĐu tứ dữỡng sang Ơm khi i qua b = 1
4 Ta cõ ngay iãu phÊi chựng minh ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a √3
Khi biºu thực ối xựng hai bián
Bữợc 1: Tứ iãu kiằn °t t = x+ y (ho°c t = xy) rút t theo xy (ho°c x+y).
Bữợc 2: Thay v o biºu thực cừa P ta ữủc mởt h m số vợi t.
Bữợc 3: Tẳm miãn giĂ trà cừa t dỹa v o bĐt ¯ng thực cỡ bÊn
(x+y) 2 ≥ 4xy (ho°c iãu kiằn r ng buởc cừa bián ã b i cho) Ta tẳm ữủc miãn giĂ trà cừa t l [a;b].
Bữợc 4: x²t h m số f(t) trản oÔn [a;b] tứ õ tẳm ữủc giĂ trà lợn nhĐt, nhọ nhĐt cừa f(t) v suy ra giĂ trà lợn nhĐt, nhọ nhĐt cừa P.
Chú ý: Ổi khi cần ảnh giúp thông qua các bất đẳng thức cỡ bên trước tiễn ã giêm sỹ cổng kãnh cừa hàm f(t) giúp b i toán thực hiện ớn giên hơn Một số b i toán có thể thực hiện theo ảnh giảm kiền có nghiằm cừa phương trình bậc 2.
- Rút ữủc bián n y theo bián kia v ữa biºu thực vã dÔng mởt bián.
- Biºu thực cõ dÔng ối xựng giỳa tờng v tẵch.
- Biºu thực cõ dÔng ối xựng giỳa cĂc bián.
- Biºu thực l tờng hủp cừa cĂc h m (h m a thực, côn thực, lữủng giĂc, mô v logarit).
Mởt số Ănh giĂ cỡ bÊn:
• Vợi hai số thỹc khổng Ơm x, y ta cõ: t = x+y ⇒xy ≤ t 2
• Vợi a, b dữỡng ta cõ a b+ ab + b a+ab ≥ 2
Vẵ dử 2.1.3 Cho x, y l hai số thỹc dữỡng Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thùc sau:
Lới giÊi Biºu thực ối xựng vợi x v y nản ta dỹ oĂn dĐu bơng xÊy ra t¤i x = y Khi â: 1 x 2 + 1 y 2 + 1 x 2 +y 2 = 5
2xy Do â, ta ¡nh gi¡
Ta co f ′ (t) ời dĐu tứ Ơm sang dữỡng khi i qua t= 1 nản f(t) Ôt cỹc tiºu t¤i t = 1 hay P ≥f(t) ≥ f(1) = 5
2. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = 1.
Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cừa P bơng 5
Vẵ dử 2.1.4 Cho x, y l hai số thỹc dữỡng thọa mÂn iãu kiằn
3xy + 3 = x 4 +y 4 + 2 xy Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa biºu thực
P = x 2 y 2 + 16 x 2 +y 2 + 2. Lới giÊi XuĐt phĂt tứ giÊ thiát ta cõ:
3 Vêy giĂ trà lợn nhĐt cừa P bơng 20
Kh£o s¡t h m °c tr÷ng
Để chứng minh rằng hàm số f(x) luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên miền D, ta cần xác định điều kiện f(a) > f(b) hoặc f(a) < f(b) Việc này yêu cầu áp dụng các định lý và quy tắc trong toán học để khẳng định tính chất của hàm số trong khoảng đã cho.
Vẵ dử 2.1.5 ( H Khối D 2007) Cho a ≥b > 0 Chựng minh rơng
Lới giÊi BĐt ¯ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi:
X²t h m sè f(x) = ln (1 + 4 x ) x vợi x > 0, ta cõ f ′ (x) = 4 x ln 4 x −(1 + 4 x ) ln (1 + 4 x ) x 2 (1 + 4 x ) < 0,∀x > 0.
Do õ f(x) l h m nghàch bián trản (0; +∞) Vẳ vêy vợi a ≥b
BĐt ¯ng thực ữủc chựng minh ¯ng thực xÊy ra khi v ch¿ khi a = b. Vẵ dử 2.1.6 Chựng minh rơng vợi mồi x, y ∈ (0; 1);x ̸= y ta cõ
• Náu x < y thẳ bĐt ¯ng thực tữỡng ữỡng vợi: ln y
• Náu x > y thẳ bĐt ¯ng thực tữỡng ữỡng vợi: ln y
Suy ra f(t) tông trản (0; 1) Suy ra f(y) > f(x) náu y > x v f(y) < f(x) náu y < x
BĐt ¯ng thực ữủc chựng minh.
Kát hủp sỷ dửng cĂc bĐt ¯ng thực cỡ bÊn
º viằc khÊo sĂt h m số thuên tiằn v ỡn giÊn trữợc khi chựng minh bĐt ¯ng thực ta Ănh giĂ qua cĂc Ôi lữủng trung bẳnh cừa hai bián số
2 ) ho°c kát hủp sỷ dửng mởt số bĐt ¯ng thực phử quen biát.
Sau Ơy l mởt số Ănh giĂ hay ữủc sỷ dửng:
Vẵ dử 2.1.7 ( H Khối B 2011) Cho a, b l số thỹc dữỡng thọa mÂn iãu kiằn: 2(a 2 +b 2 ) +ab = (a+ b)(ab+ 2) Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
= 4t 3 −9t 2 −12t+18. XuĐt phĂt tứ iãu kiằn ta cõ:
Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cừa P bơng −23
Vẵ dử 2.1.8 Cho a, b l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn iãu kiằn: a + b +
2p(a+ 2)(b+ 2) = 12 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
Lới giÊi Theo giÊ thiát ta cõ:
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM ta cõa 4 +b 4 ≥ 1
Vêy ta cõ Ănh giĂ P ≥ f(t) = t 4 + 4t 3
Do õ f(t) ỗng bián trản [4; +∞) suy ra P ≥f(t) ≥ f(4) = 16 ¯ng thực x£y ra khi v ch¿ khi a = b = 2.
Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cừa P bơng 16 Ôt tÔi a = b = 2.
Sỷ dửng Ôo h m
KhÊo sĂt h m số mởt bián
Định lý Fermat, hay còn gọi là định lý cơ bản của số học, là một trong những khái niệm quan trọng trong toán học Nó thường được áp dụng trong các bài toán liên quan đến số nguyên Chúng ta sẽ làm quen với phương pháp chứng minh bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể Ví dụ 2.2.1: Cho a, b, x > 0 và a ≠ b, chứng minh rằng a + x < b + x < b + x.
⇒ f ′ (x) = f(x) lna+x b+x + b−a a+x a+ x b+x b+x lna+x b+x + b−a a+x a+x b+x b+x ãg(x) trong â g(x) = lna+x b+x + b−a a+ x Ta câ g ′ (x) = b+x a+x ã b−a
Do õ g(x) nghàch bián trản (0; +∞) Suy ra g(x) > lim x→∞g(x) = lim x→∞ lna+ x b+ x + b−a a+x
Vêyf ′ (x) > 0,∀x > 0, nảnf(x)ỗng bián trản(0; +∞) Suy raf(x) > f(0) (pcm).
Vẵ dử 2.2.2 (VMO- 2003, BÊng B) Cho h m số f xĂc ành trản têp số thỹc, lĐy giĂ trà trản R v thọa mÂn iãu kiằn f(cotx) = sin 2x+ cos 2x,∀x ∈ (0;π).
HÂy tẳm GTLN v GTNN cừa h m số g(x) = f(sin 2 x)ãf(cos 2 x) trản R. Líi gi£i Ta câ f(cotx) = sin 2x+ cos 2x,∀x ∈ (0;π)
⇔f(cotx) = 2 cotx cot 2 x+ 1 + cot 2 x−1 cot 2 x+ 1 = cot 2 x+ 2 cotx−1 cot 2 x+ 1 ,∀x ∈ (0;π).
Tứ õ vợi mội t∈ R ãu tỗn tÔi x ∈ (0;π) sao cho cotx = t ta ữủc f(t) = t 2 + 2t−1 t 2 + 1 ,∀t∈ R. Suy ra: g(x) = f(sin 2 x)ãf(cos 2 x) = sin 4 2x+ 32 sin 2 2x−32 sin 4 2x−8 sin 2 2x+ 32 ,∀x ∈ R (1) °t u = 1
4sin 2 2x Dạ thĐy khi x chÔy qua R thẳ u chÔy qua
Vẳ vêy tứ (1) ta ữủc minx∈ R g(x) = min
(u 2 −2u+ 2) 2 Dạ d ng chựng minh ữủc h ′ (u) > 0,∀u ∈
Suy ra h m h(u) ỗng bián trản
Vêy ming(x) = −1, Ôt ữủc khi x = 0 v maxg(x) = 1
KhÊo sĂt h m nhiãu bián
Chứng minh bất đẳng thức nhiều biến số bằng phương pháp Oô hẹp thẳng chúng ta phải sử dụng bất đẳng thức và đồng thời biến hóa khéo léo hàm số theo biến số Đối với các bài toán phức tạp, ta cần phối hợp với phương pháp chọn khoảng các biến và kết hợp với các bất đẳng thức phổ biến như bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Chebyshev, hoặc phối hợp với các phương pháp khác như phương pháp tọa độ.
Vẵ dử 2.2.3 ( H khối A, 2011) Cho x, y, z l cĂc số thỹc thuởc oÔn [1; 4] v x ≥ y, x ≥ z Tẳm GTNN cừa biºu thực
2x+ 3y + y y +z + z x+z. Lới giÊi Trữợc hát ta chựng minh vợi mồi a, b dữỡng, ab ≥1 thẳ
1 +√ ab (∗) Thêt vêy, ta cõ (∗) ⇔ √ ab −1 √ a−√ b 2 ≥ 0 luổn úng do a, b dữỡng v ab ≥ 1 DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi a = b ho°c ab = 1. p dửng (∗) vợi x, y thuởc oÔn [1; 4] v x ≥y, x ≥z ta cõ
DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi z y = x z ho°c x y = 1 (1). °t rx y = t, t ∈ [1; 2],khi â P ≥ t 2
33. DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi t = 2 ⇔ x y = 4 ⇔x = 4;y = 1 (2).
33 Tứ (1),(2) suy ra dĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi x = 4, y 1, z = 2.
Vẵ dử 2.2.4 (ã thi chồn TQG, 2001) X²t cĂc số thỹc dữỡng a, b, c thọa mÂn 21ab+ 2bc+ 8ac ≤ 12 Tẳm GTNN cừa biºu thực
Líi gi£i °t x= 1 a, y = 1 b, z = 1 c thẳ b i toĂn trð th nh:
X²t cĂc số thỹc dữỡng x, y, z thọa mÂn 2x+ 8y+ 21z ≤12xyz Tẳm GTNN cõa biºu thùc P(x, y, z) = x+ 2y + 3z.
Tứ giÊ thiát z(12xy−21) ≥2x+ 8y > 0 suy ra z ≥ 2x+ 8y
4y v y l tham sè d÷ìng Ta câ f ′ (x) = 16x 2 y 2 −56xy−32y 2 + 35
7 4y; +∞ thẳ f ′ (x) = 0 cõ nghiằm duy nhĐt l x0 = − 7
4y v qua x 0 thẳ f ′ (x) ời dĐu tứ Ơm sang dữỡng nản f(x) Ôt cỹc tiºu tÔi x 0 nản f(x) ≥ f(x 0 ) = 2x 0 − 5
2y p32y 2 + 14 Ta câ g ′ (y) = 0 ⇔ (8y 2 −9)p32y 2 + 14−28 = 0. °t t = p32y 2 + 14 vợi t > 0, thẳ phữỡng trẳnh trản trð th nh t 3 −50t−112 = 0 ⇔(t−8)(t 2 + 8t+ 14) = 0 ⇔ t= 8 ⇔ y = 5
= 0 v g ′ (y) ời dĐu tứ Ơm sang dữỡng nản g(y) Ôt cỹc tiºu t¤i y0 = 5
Vẵ dử 2.2.5 Cho a, b, c ∈ [0; 1] Tẳm GTLN cừa biºu thực
Líi gi£i °t f(c) = a b 3 +c 3 + 6 + b c 3 + a 3 + 6 + c a 3 +b 3 + 6 Ta câ f ′ (c) = 1 a 3 +b 3 + 6 − 3ac 2
(a 3 +c 3 + 6) 2 ≤0 Nản f ′ (c) giÊm trản [0; 1] Suy ra f ′ (c) ≥f ′ (1) = 1
49 > 0 Suy ra f(c) tông trản [0; 1] Do õ
(a 3 +b 3 + 7) 3 ≤ 0 Nản g ′ (a) giÊm trản [0; 1] Suy ra g ′ (a) ≥g ′ (1) = 1 b 3 + 7−3b
64 > 0 Suy ra g(a) tông trản [0; 1] Do õ
Suy ra h(b) tông trản [0; 1], nản h(b) ≤ h(1) = 3
Sỷ dửng ành lỵ Lagrange
Vẵ dử 2.2.6 Cho hai số thỹc dữỡng a, b thọa mÂn a < b Chựng minh rơng: b−a b < ln b a < b−a a
Theo ành lẵ Lagrange luổn luổn tỗn tÔic ∈ (a;b)sao chof ′ (c) = f(b)−f(a) b−a Vẳ vêy 1 c = lnb−lna b−a ⇔ a−b c = ln b a M°t kh¡c 0 < a < b < c ⇒ 1 b < 1 c < 1 a ⇒ b−a b < ln b a < b−a
Vẵ dử 2.2.7 Cho a < b < c, chựng minh rơng:
Líi gi£i X²t h m sè:f(x) = (x−a)(x−b)(x−c) ⇒f(a) =f(b) = f(c) = 0 Theo ành lẵ Lagrange tỗn tÔi: a < x 1 < b < x 2 < c sao cho: f(a)−f(b) = (a−b)f ′ (x 1 ), f(c)−f(b) = (c−b)f ′ (x 1 )
Vẵ dử 2.2.8 Chựng minh rơng:
⇔x[ln(x+ 1)−lnx] < (x+ 1) [ln(x+ 2)−ln(x+ 1)]. °t f(x) = x[ln(x+ 1)−lnx]
Ta câ:f ′ (x) = ln(x+ 1)−lnx+ x x+ 1 −1 = ln(x+ 1)−lnx− 1 x+ 1. p dửng ành lẵ Lagrange ối vợi h m số: y = lnt trản [x;x+ 1], thẳ tỗn tÔi c ∈ (x;x+ 1) sao cho: f ′ (c) = ln(x+ 1)−lnx ⇒ 1 c = ln(x+ 1)−lnx.
Sỷ dửng tẵnh chĐt cừa h m thuƯn nhĐt
Ph²p bián ời x = ty v y = tx
Vẵ dử 2.3.1 ( TSH Khối B 2006) Cho hai số thỹc x, y thay ời v thọa mÂn iãu kiằn x 2 +y 2 = 1 Tẳm giĂ trà lợn nhĐt v giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thùc
1 + 2xy + 2y 2 Lới giÊi Biºu thực P ữủc viát lÔi dữợi dÔng:
TH2: Náu y ̸= 0 ta °t x = tãy, ta cõ: P = f(t) = 2(t 2 + 6t) t 2 + 2t+ 3. X²t h m sè f(t) = 2(t 2 + 6t) t 2 + 2t+ 3 trản R ta cõ f ′ (t) =−4(2t 2 −3t−9)
Dỹa v o bÊng bián thiản suy ra P max = f(3) = 3 Ôt tÔi x = 3y ⇔ (x;y) ± 3
Vẵ dử 2.3.2 Cho x, y l hai số thỹc dữỡng thọa mÂn iãu kiằn xy ≤ y−1. Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa biºu thực
Chựng minh Nhên thĐy rơng P ỗng bêc nản ta tẳm cĂch Ănh giĂ miãn giĂ trà cõa t= x y v ữa khÊo sĂt h m số vợi t.
XuĐt phĂt tứ giÊ thiát ta cõ:
30. Vêy giĂ trà lợn nhĐt cừa P bơng
GiÊm bián
Ta thỹc hiằn viằc °t cĂc bián phử º giÊm bián số trong biºu thực.
Vẵ dử 2.3.3 Cho x, y, z l cĂc số thỹc thuởc oÔn [1; 2] Tẳm giĂ trà lợn nh§t cõa biºu thùc
Vẳ vêy P max = (maxf(a)) 3 + (maxg(b)) 3 + maxh(x) = 3 3 +
DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi
Vẵ dử 2.3.4 Cho x, y, z l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn iãu kiằn
(x+y)(y +z)(z +x) Theo giÊ thiát ta cõ: 7(x+y +z) 2 = 25(xy +yz +zx) Suy ra
Vêy º tẳm giĂ trà lợn nhĐt v nhọ nhĐt cừa P ta tẳm giĂ trà lợn nhĐt v nhọ nh§t cõa Q = abc.
Sỷ dửng mởt số Ănh giĂ khĂc
Với các số thực a, b, c không âm, các bất đẳng thức thường gặp là c = min{a, b, c} Điều này cho phép ta so sánh giá trị giữa bất đẳng thức và hai biến, từ đó rút ra những kết luận quan trọng trong toán học.
Ta cõ ữợc lữủng hay sỷ dửng: a 2 +c 2 ≤ a+ c
Vẵ dử 2.3.5 Cho a, b, c l cĂ số thỹc khổng Ơm khổng cõ hai số n o ỗng thới bơng 0 thọa mÂn a+b+c = 2 Tẳm giĂ trà nhọ nhĐt cừa biºu thực
√4 a 2 +c 2 Lới giÊi Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt giÊ sỷ c = min{a, b, c} khi õ ta cõ: a 2 +b 2 ≤ a+ c
Theo b§t ¯ng thùc AM-GM ta câ: xy ≤ x+y 2
DĐu bơng xÊy ra khi v ch¿ khi x = y = 1 ⇒a = b= 1, c = 0.
Vêy giĂ trà nhọ nhĐt cừa P bơng 2 + 1
Vẵ dử 2.3.6 Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn iãu kiằn a+b+c = 3.
Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa biºu thực
P = a 2 −ab+b 2 b 2 −bc+c 2 c 2 −ca+a 2 Líi gi£i Gi£ sû c = min{a, b, c} ta câ: b 2 −bc+c 2 = b 2 +c(c−b) ≤ b 2 ; a 2 −ac+c 2 = a 2 +c(c−a) ≤ a 2
Ta cõ f ′ (t) ời dĐu tứ dữỡng sang Ơm khi i qua t= 5
Vêy giĂ trà lợn nhĐt cừa P bơng 12 Ôt tÔi a = 2, b = 1, c = 0 ho°c tÔi cĂc hoĂn và cừa bở (2,1,0).
Sỷ dửng tẵnh chĐt cừa h m bêc nhĐt v h m bêc hai
hai ành lỵ 2.4.1 Náu f(x) l h m bêc nhĐt thọa mÂn iãu kiằn f(a) ≥
0, f(b) ≥0 khi â f(x) ≥ 0,∀x ∈ [a, b]. ành lỵ 2.4.2 Náu f(x) l h m bêc nhĐt khi õ minf(a);f(b) ≤ f(x) ≤ maxf(a);f(b),∀x ∈ [a;b]. ành lỵ 2.4.3 Náu f(x) = ax 2 +bx+c,(a ̸= 0) khi õ vợi mồi x ∈ [α;β].
Ta câ f(x) ¤t Max, Min t¤i x = α ho°c x = β ho°c x = − 2a b
Vẵ dử 2.4.1 Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn iãu kiằn a + b c = 1 Chựng minh rơng
Líi gi£i Ta gi£ sû a = min{a, b, c} ⇒ a ≤ 1
BĐt ¯ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi: 3
Vêy ta ch¿ cƯn chựng minh: f(t) = (9a−4)t+ (2a−1) 2 ≥ 0,∀t ∈
4a(3a−1) 2 ≥ 0. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1
3. Vẵ dử 2.4.2 Cho a, b, c l cĂc số thỹc thuởc oÔn [0; 1] Chựng minh rơng a b+c+ 1 + b c+ a+ 1 + c a+ b+ 1 + (1−a)(1−b)(1−c) ≤1.
Lới giÊi Gồi P l biºu thực vá trĂi cừa bĐt ¯ng thực.
Ta gi£ sû a = max{a, b, c} ⇒ b c+ a+ 1 ≤ b b+c+ 1; c a+b+ 1 ≤ c b+c+ 1. Suy ra
Vêy º chựng minh bĐt ¯ng thực trản ta ch¿ cƯn chựng minh f(a) = a+b+c b+c+ 1 + (1−a)(1−b)(1−c)−1≤ 0.
Suy ra iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 2.4.3 Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn iãu kiằn a+b+ c = 1 Tẳm giĂ trà lợn nhĐt cừa biºu thực
Lới giÊi DoP l biºu thực ối xựng vợi a, b, cnản khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta câ thº gi£ sû c = min{a, b, c} ⇒ c ≤ a+b+c
Khi õ ta viát lÔi P dữợi dÔng:
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực AM-GM ta cõ:
Coi ab l ân thẳ P l h m bêc nhĐt cừa ab.
Do õ f(c) l h m ỗng bián trản oÔn
27. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1
Vẳ vêy giĂ trà lợn nhĐt cừa P bơng 7
27, ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi a = b = c = 1
H m lỗi v bĐt ¯ng thực Karamata
ành lỵ 2.5.1 (BĐt ¯ng thực Karamata) Cho 2 bở n số thỹc ữủc sưp thự tỹ (a) = (a 1 , a 2 ,ã ã ã , a n ) v (b) = (b 1 , b 2 ,ã ã ã , b n ) vợi (a) ≻(b)
• Náu f l h m lóm trản I thẳ f(a1) +f(a2) +ã ã ã+f(an) ≤f(b1) +f(b2) +ã ã ã+f(bn).
• °c biằt: Náu b 1 = b 2 = ã ã ã = b n = a 1 +a 2 +ã ã ã+a n n ta nhên ữủc b§t ¯ng thùc Jensen.
2.5.1 Sỷ dửng tẵnh chĐt cừa h m lỗi
Vẵ dử 2.5.1 Cho a 1 , a 2 , , a n l cĂc số thỹc khổng Ơm v thọa mÂn a 1 +a 2 + .+a n = k.
GiÊ sỷ f l h m lỗi, liản tửc trản [0;k] v cõ Ôo h m cĐp hai trản (0;k). X²t biºu thùc
• GiĂ trà nhọ nhĐt cừa P Ôt ữủc khi a 1 = a 2 = = a n
• GiĂ trà lợn nhĐt cừa P Ôt ữủc khi a1 = a2 = = a n−1 = 0;an = k v c¡c ho¡n và.
Lới giÊi p dửng BĐt ¯ng thực Jensen ta cõ f(a 1 ) + f(a 2 ) + .+ f(a n ) n ≥ f a 1 +a 2 + .+a n n
Khi õ tỗn tÔi cĂc số thỹc khổng Ơm t, s thọa mÂn
Ta s³ chựng minh cho P l mởt h m số khổng tông theo bián s.
M°t khĂc, do f l h m số lỗi nản f ′′ ≥0 Tực l f ′ l h m số ỗng bián
Suy ra h m số g(s) l h m số ỗng bián Vêy ta ữủc g(s) ≤ g(t) =f(2t) + f(0) +f(a 3 ) + .+f(a n )
Ho n to n t÷ìng tü, ta suy ra
Vêy b i toĂn ữủc chựng minh ho n to n.
Vẵ dử 2.5.2 Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn khổng cõ hai số n o ỗng thới bơng 0 Chựng minh bĐt ¯ng thực
Lới giÊi Do bĐt ¯ng thực  cho l bĐt ¯ng thực ỗng bêc nản ta chuân hâa a+b+c = 3 Khi â b§t ¯ng thùc ¢ cho trð th nh
BĐt ¯ng thực trản ữủc viát lÔi dữợi dÔng f(a) +f(b) +f(c) ≥ f(s), s = a+b+ c
(3ưu) 3 (3 + 2u) 3 > 0, do õ, f l h m số lỗi trản [1; 3).
Theo ành lỵ v chú ỵ, ta ch¿ cƯn ch¿ ra h(x, y) ≥ 0,∀x, y ≥ 0 thọa mÂn x+ 2y = 3, trong â h(x, y) = g(x)−g(y) x−y ;g(u) = f(u)−f(1) u−1
(3−x)(3−y)(3 + 2x)(3 + 2y) ≥ 0. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c ho°c a = 0, b = c v c¡c giao ho¡n.
Vẵ dử 2.5.3 Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn a+ b +c = 3. Chùng minh b§t ¯ng thùc
5. Lới giÊi BĐt ¯ng thực  cho ữủc viát lÔi dữợi dÔng f(a) +f(b) +f(c) ≥ 3f(s), s = a+b+c
Vẳ vêy, f l h m số lỗi trản [1; 3] Theo ành lỵ v chú ỵ, ta ch¿ cƯn ch¿ ra h(x, y) ≥0,∀x, y ≥0 thọa mÂn x+ 2y = 3, trong õ h(x, y) = g(x)−g(y) x−y ;g(u) = f(u)−f(1) u−1
10(9 +x 2 )(9 +y 2 ) ≥0. ¯ng thùc x£y ra khi a = b = c = 1 ho°c a = 0, b = c = 3
Vẵ dử 2.5.4 Cho x, y, z l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn x+y +z = 1. Chựng minh rơng
Ta giÊ sỷ x ≥ y ≥z Kát hủp vợi giÊ thiát ta cõ
3. p dửng BĐt ¯ng thực Karamata ta cõ: f(x) +f(y) +f(z) ≤3f
4 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1
x ≤ 1 x+y ≤ 1 + 0 x+y +z = 1 + 0 + 0. p dửng BĐt ¯ng thực Karamata ta cõ: f(x) + f(y) + f(z) ≥ f(1) +f(0) +f(0)
2 ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = 1, y = z = 0.
Vẵ dử 2.5.5 (IMO 2000) Choa, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂnabc = 1. Chựng minh rơng a−1 + 1 b b−1 + 1 c c−1 + 1 a
Lới giÊi Vẳ abc = 1 nản tỗn tÔi cĂc số dữỡng x, y, z sao cho a = x y, b y z, c = z x Do â b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh trð th nh
Ta có bất đẳng thức (x − y + z) + (y − z + x) = 2x > 0 Trong ba số (x−y+z), (y−z+x), (z−x+y), không thể có hai số âm Nếu trong ba số này có một hoặc ba số âm, thì sẽ tồn tại mâu thuẫn cần chứng minh.
Trữớng hủp cÊ ba số ãu dữỡng, bơng cĂch lĐy logarit hai vá,ta ữủc ln(x−y +z) + ln(y−z +x) + ln(z−x+ y) ≤lnx+ lny + lnz.
Ta gi£ sû x ≥ y ≥z Khi â (y −z+x, x−y +z, z −x+y) ≻ (x, y, z). X²t h m số f(x) = lnx vợi x ∈ (0; +∞), ta cõ f ′ (x) = 1 x > 0 ∀x ∈ (0; +∞), f”(x) = − 1 x 2 < 0 ∀x ∈ (0; +∞), do õ f(x) = lnx l h m số lóm trản (0; +∞). p dửng bĐt ¯ng thực Karamata, ta cõ f(y −z+x) +f(x−y+ z) +f(z −x+y) ≤ f(x) +f(y) +f(z)
⇔ ln(x−y +z) + ln(y −z+x) + ln(z −x+y) ≤lnx+ lny + lnz. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z hay a = b = c = 1.
Vẵ dử 2.5.6 Cho a, b, c l cĂc số thỹc khổng Ơm thọa mÂn a+ b +c = 1. Chựng minh rơng
. Lới giÊi BĐt ¯ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi ln(1 +a 2 ) + ln(1 +b 2 ) + ln(1 +c 2 ) ≥ 3 ln10
X²t h m số f(x) = ln(1 +x 2 ) vợi x ≥ 0, ta câ f”(x) = 2
(1 +x 2 ) 2 > 0 x ≥ 0, do õ h m số f(x) lỗi trản khoÊng (0; +∞). p dửng bĐt ¯ng thực Jensen, ta cõ f(a) +f(b) +f(c)
DĐu bơng xÊy ra khi a = b = c = 1
Phương pháp tiếp tuyến là một kỹ thuật quan trọng trong toán học, được sử dụng để xác định giá trị của hàm số tại các điểm cụ thể Phương pháp này giúp tìm ra các điểm cực trị của hàm số bằng cách phân tích sự thay đổi của nó Đặc biệt, việc áp dụng phương pháp tiếp tuyến trong các bài toán thực tế cho thấy tính hiệu quả và độ chính xác cao, từ đó khẳng định vai trò thiết yếu của nó trong việc giải quyết các vấn đề toán học phức tạp.
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng I, liên tục và có đạo hàm trên I Khi x tiến đến x₀, nếu hàm số f(x) thể hiện sự biến thiên, ta có ∀x ∈ I, f(x) ≥ f'(x₀)(x−x₀) + f(x₀) (hoặc f(x) ≤ f'(x₀)(x−x₀) + f(x₀)).
Tứ tẵnh chĐt trản, ta thĐy vợi mồi x 1 ;x 2 ; .;x n ∈ I ta cõ: f(x 1 ) +f(x 2 ) + .+ f(x n ) ≥ f ′ (x 0 )(x 1 + x 2 + +x n −nx 0 ) +nf(x 0 ); ho°c f(x 1 ) +f(x 2 ) + .+ f(x n ) ≤ f ′ (x 0 )(x 1 + x 2 + +x n −nx 0 ) +nf(x 0 ).
Nhữ vêy, náu mởt bĐt ¯ng thực cõ dÔng "tờng h m" thẳ ta cõ thº hi vồng chựng minh ữủc bơng phữỡng phĂp tiáp tuyán.
Vẵ dử 2.6.1 (Olympic Trung Quốc, 2006) Cho a, b, c l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn a+b+c = 3 Chựng minh bĐt ¯ng thực a 2 + 9 2a 2 + (b+c) 2 + b 2 + 9
Lới giÊi Tứ giÊ thiát, ta cõ a, b, c ∈ (0; 3), v bĐt ¯ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi a 2 + 9 2a 2 + (3−a) 2 + b 2 + 9
Ta dỹ oĂn bĐt ¯ng thực trản trð th nh ¯ng thực khi a = b = c = 1 X²t h m sè f(x) = x 2 + 9
B§t ¯ng thùc ¢ cho trð th nh f(a) +f(b) +f(c) ≤ 5.
Phữỡng trẳnh tiáp tuyán cừa ỗ thà h m số trản tÔi iºmx = 1 l y = x+ 4
Vẵ dử 2.6.2 Ch x, y, z l cĂc số thỹc dữỡng thọa mÂn x+y+z = 9 Chựng minh b§t ¯ng thùc sau x 3 +y 3 xy + 9 + y 3 +z 3 yz + 9 + z 3 +x 3 zx+ 9 ≥ 9.
Lới giÊi p dửng BĐt ¯ng thực Cauchy- Schwarz, ta cõ x 3
Ta cõ phữỡng trẳnh tiáp tuyán cừa ỗ thà h m số f(t) tÔi iºm t= 3 l y = 11
4 Dạ d ng chựng minh ữủc rơng
4 = 9. ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x = y = z = 1.
Khõa luên "Ùng dửng h m số v o chựng minh bĐt ¯ng thực" Â thỹc hiằn cĂc vĐn ã sau:
1 Hằ thống hõa cĂc khĂi niằm v mởt số kát quÊ cỡ bÊn liản quan án bĐt ¯ng thực, h m số v mởt số tẵnh chĐt cừa cĂc h m °c biằt.
Hệ thống lối các kỹ thuật cũng như các vấn đề minh họa cho đồng và sự dụng hệ thống số chứng minh bắt đầu thực, bao gồm sự dụng tĩnh ẩn dẫu, ôn hệ, hệ thống thuần nhất, hệ thống bậc nhất và hệ thống bậc 2, hệ thống lỗi và tiếp tuyến Trong tương lai, tôi hy vọng có thể nghiên cứu và tìm hiểu thêm các cách thực tiễn trên công nghệ như sự dụng khác của hệ thống số trong giải các bài toán chứng minh bắt đầu thực.