Cho ¸n th¸ k XIX, Gauss mîi th nh cæng trong vi»c luªn chùng mët c¡chvúng chc kh¡i ni»m sè phùc.
D¤ng ¤i sè cõa sè phùc
Quan hằ giỳa R v C
Đạo hàm chứng minh là một phần quan trọng trong toán học, với các phép toán cơ bản như: f(x + y) = f(x) + f(y) và f(xy) = f(x)f(y) Những quy tắc này cho phép chúng ta xác định một số hàm số cụ thể, ví dụ như f(x, 0) = x, trong khi R thể hiện các giá trị thực Những khái niệm này tạo nền tảng cho các ứng dụng toán học phức tạp hơn.
ìn và £o
Theo trản ta  ỗng nhĐt số phực (−1, 0) vợi số thỹc −1 Vêy i 2 = −1
Hay số phực i l nghiằm cừa phữỡng trẳnh x 2 + 1 − 0 Ta gồi i l ỡn và Êo.
Mỗi số phức z có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z = x + yi, trong đó x và y là các số thực và i là đơn vị ảo với i² = -1 Biểu thức x + yi là đại diện cho số phức tương ứng với mỗi cặp (x, y).
CĂc khĂi niằm liản quan
x = Rez gồi l phƯn thỹc cừa số phực z y = Imz gồi l phƯn Êo cừa số phực z i ữủc gồi l dỡn và Êo
Náu số phực cõ phƯn thỹc x = 0 l thuƯn Êo
Số phực cõ phƯn Êo y = 0 gồi l số thỹc.
Hai số phực z 1 v z 2 gồi l bơng nhau náu
CĂc ph²p toĂn trản dÔng Ôi số
Tữỡng tỹ, ta cõ cĂc ph²p toĂn v ph²p cởng nhữ sau:C = {x + yi|x, y ∈ R , i 2 = −1}
(1) Ph²p cởng: Tờng hai số phực z 1 = x 1 + y 1 i v z 2 = x 2 + y 2 i l mởt số phực z ữủc xĂc ành z = z 1 + z 2 = (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i
(2) Ph²p nhƠn: Tẵch cừa 2 số z 1 = x 1 + y 1 i v z 2 = x 2 + y 2 i l mởt số phực z ữủc x¡c ành z = z 1 z 2 = (x 1 + y 1 i)(x 2 + y 2 i) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i ành nghắa n y trũng vợi ành nghắa cừa ph²p toĂn trản C ð phƯn trản.
Số phực liản hủp
ành nghắa: Cho số phực z = x + yi số phực cõ dÔng x − yi ữủc gồi l số phực liản hủp cừa số phực z , kẵ hiằu l z nghắa l z = x + yi v z = x+yi = x − yi
1) Náu z = x + yi , mối quan hằ z = z tữỡng ữỡng vợi x + yi = x − yi Do õ 2yi = 0 , vẳ y = 0 v z = x ∈ R
DÔng lữủng giĂc cừa số phực
Biºu diạn cỹc cừa số phực
a) Tồa ở cỹc trong m°t ph¯ng
X²t mởt m°t ph¯ng tồa ở v mởt iºm M (x, y) khĂc gốc tồa ở.
Sè thüc r = p x 2 + y 2 ữủc gồi l bĂn kẵnh cỹc cừa iºm M Số o φ ∈ [0, 2π) cừa gõc lữủng giĂc ( − Ox → , −−→ OM ) ữủc gồi l agument cừa iºm M C°p (r, φ) ữủc gồi l tồa ở cừa iºm M.
Trong õ: r ữủc gồi l bĂn kẵnh cỹc, φ ữủc gồi l gõc cỹc cừa số phực z iºm gốc O l iºm duy nhĐt cõ r = 0 v φ khổng xĂc ành.
Mội iºm M trong m°t ph¯ng cõ duy nhĐt iºm (1, φ) l giao iºm cừa tia OM vợi ÷íng trán ìn và t¥m O
Theo ành nghắa sin v cosin: x = r cos φ v y = r sin φ ở d i r cừa −−→ OM ữủc gồi l mổ-un cừa z , kẵ hiằu l r = |z| = p a 2 + b 2 ≥ 0
Do õ argument cừa số phực z ữủc xĂc ành vợi sai khĂc mởt bởi cừa 2π cos φ = Rez
|z| , ∀z ̸= 0 X²t argument cừa M vợi cĂc trữớng hủp sau: a) Náu x ̸= 0 tứ tan φ = y x ữủc φ = arctan y x + kπ, khi â k =
Vẵ dử: Tẳm cĂc tồa ở cỹc N 1 (2, −2), N 2 ( √
4 Vêy tồa ở cỹc cừa iºm N 1 l N 1 (2 √
6 Vêy tồa ở cỹc cừa iºm N 2 l N 2 (2, π
4 Vêy tồa ở cỹc cừa iºm N 3 l N 3 (2 √
4 ) b) Biºu diạn cỹc cừa số phực: ối vợi số phực z = x + yi chúng ta cõ thº viát nhữ sau z = r(cos φ + i sin φ), Trong â: r = p x 2 + y 2 x = r cos φ y = r sin φ
Khi r ∈ [0, ∞) và φ ∈ [0, 2π), số phức z có thể được biểu diễn dưới dạng z = r(cos φ + i sin φ) Với θ = φ + 2kπ, ta có z = r[cos(θ − 2kπ) + i sin(θ − 2kπ)] = r(cos θ + i sin θ) Điều này cho thấy rằng số phức z có thể được biểu diễn dưới dạng z = r(cos α + i sin α) với r ⩾ 0 và θ ∈ R Tập hợp arg z = {α, α + 2kπ, k ∈ Z} được gọi là argument của số phức z.
Để hai số phức \( z_1 \) và \( z_2 \) được biểu diễn dưới dạng \( z_1 = r_1 (\cos \alpha_1 + i \sin \alpha_1) \) và \( z_2 = r_2 (\cos \alpha_2 + i \sin \alpha_2) \) thì chúng phải bằng nhau khi \( r_1 = r_2 \) và \( \alpha_1 - \alpha_2 = 2k\pi \) với \( k \) là một số nguyên Ví dụ, cho hai số phức \( z_1 = -1 - i \) và \( z_2 = 2 + 2i \).
Líi gi£i: a) Nhữ trong hẳnh bản dữợi P 1 (−1, −1) nơm ð gõc phƯn tữ thự ba. Khi r 1 =p
4 + k2π|k ∈Z } b) iºm P 2 (2, 2) nơm ð gõc phƯn tữ thự nhĐt nản ta cõ thº viát r 2 =p
CĂc ph²p toĂn vợi số phực trong biºu diạn cỹc
Mằnh ã GiÊ sỷ rơng z 1 = r 1 (cos α 1 + i sin α 1 ) v z 2 = r 2 (cos α 2 + i sin α 2 ) Khi â z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(α 1 + α 2 ) + i sin(α 1 + α 2 )]
Ta câ : z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos α 1 + i sin α 2 )(cosα 2 + i sin α 2 )
= r 1 r 2 [(cos α 1 cos α 2 − sin α 1 sin α 2 ) + i(cos α 1 sin α 2 + cos α 2 sin α 1 )]
Chó þ: a) |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 | b) arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 − 2kπ, trong â k =
1, arg z 1 + arg z 2 + 2kπ ≥ 2π c) Ta cõ thº viát arg(z 1 z 2 ) = {arg z 1 + arg z 2 + 2kπ, k ∈Z } d) Mð rởng vợi n ≥ 2 số phực Náu z k = r k (cos α k + i sin α k ), k = 1, 2, , n z 1 z 2 z n = r 1 r 2 r n [cos(α 1 + α 2 + + α n ) + i sin(α 1 + α 2 + + α n )]
Cổng thực trản cõ thº viát : n
Mằnh ã Cho z = r(cos t + i sin t) v n ∈ N, ta cõ z n = r n (cos nt + i sin nt)
Chựng minh: Dũng cổng thực nhƠn vợi z = z 1 = z 2 = = z n z n = r.r r
Chó þ: a) |z n | = |z| n b) Náu r = 1 thẳ (cos α + i sin α) n = cos nα + i sin nα c) argz n = {n arg z + 2kπ, k ∈ Z }
4 ) = 2 500 c) Cổng thực Euler: e iα = cos α + i sin α; e −iα = cos α − i sin α, ∀α ∈R Hằ quÊ 1.1: cos α = 1
Chựng minh: ối vợi mằnh ã (1),(2),(4) suy trỹc tiáp tứ ành nghắa v tẵnh chĐt cừa lụy thứa.
Mằnh ã GiÊ sỷ rơng z 1 = r 1 (cos t 1 + i sin t 1 ) v z 2 = r 2 (cos t 2 + i sin t 2 ) ̸= 0
Ta câ: z 1 z 2 = r 1 (cos α 1 + i sin α 1 ) r 2 (cos α 2 + i sin α 2 )
= r 1 (cos α 1 + i sin α 1 )(cos α 2 − i sin α 2 ) r 2 (cos 2 α 2 + sin 2 α 2 )
= r 1 r 2 [(cos α 1 cos α 2 + sin α 1 sin α 2 ) + i(cos α 1 sin α 2 − cos α 2 sin α 1 )]
|z 2 | b) arg z 1 z 2 = {argz 1 − argz 2 + 2kπ, k ∈Z } c) Vợi z 1 = 1, z 2 = z, 1 z = 1 r [cos(−α) + i sin(−α)]
CĂc b i toĂn vã phữỡng trẳnh, hằ phữỡng trẳnh Ôi số
Chữỡng 3: Ùng dửng số phực giÊi cĂc b i toĂn a thực
B i toĂn vã sỹ chia hát cừa a thực
Chữỡng 4: Mởt số ựng dửng khĂc
Ùng dửng cừa cổng thực Moivre
Cổng thực Moivre
Vợi mồi n ∈ N ∗ ta cõ z = [r(cos φ) + i sin φ] n = r n (cos φ + i sin φ) Khi r=1 ta câ: z n = (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ
Ùng dửng cừa cổng thực è-le
Cổng thực è-le
⇒ e i(−φ) = e −iφ = cos(−φ) + i sin(φ) = cos φ − i sin φ ho°c cos φ = e iφ + e i(−φ)
2i ; e −iφ = e iφ Ngo i ra, cổng thực è-le ữủc xem l cổng cử tối ữu º tẳm nghiằm tờng quĂt mởt số phữỡng trẳnh vi phƠn.
X²t phữỡng trẳnh vi phƠn bêc hai vợi hằ số hơng y ′′ + py ′ + qy = 0 (1)
Náu y = u + iv = u(x) + iv(x) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1) Hay L[y] = 0 thẳ phƯn thỹc u(x) v phƯn Êo v(x) cụng l nghiằm cừa (1).
Từ phương trình L[y] = 0, ta suy ra được các nghiệm u(x) và v(x) liên quan đến phương trình bậc hai r^2 + pr + q = 0 Nếu nghiệm là r1 = a + bi và r2 = a - bi với b khác 0, ta có thể diễn đạt nghiệm tổng quát dưới dạng y = e^(rx) = e^(ax)(cos(bx) + i sin(bx)).
CĂc h m u = e ax cos bx v v = e ax sin bx l nghiằm thỹc cừa (1), chúng ởc lêp tuyán tẵnh vẳ u v = cot bx ̸= const
Do õ, y = e ax (c 1 cos bx + c 2 sin bx) l nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1).
Ùng dửng số phực giÊi cĂc b i toĂn phƠn thực, tờ hủp, rới rÔc
Nhà thùc Newton
Ùng dửng số phực º chựng minh ¯ng thực, bĐt ¯ng thực
Mởt số vẵ dử
Vẵ dử 1: Chựng minh rơng vợi mội số phực z, cõ ẵt nhĐt mởt trong hai trữớng hủp bĐt ¯ng thực sau xÊy ra.
(a 2 + b 2 ) 2 + 2(a 2 − b 2 ) < 0(2) Cởng vá theo vá (1) v (2) ta cõ :
Suy ra iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 2: Chựng minh ¯ng thực sau:
Ta thĐy phữỡng trẳnh x 7 − 1 = 0 cõ cĂc nghiằm l x k = cos 2kπ
Do õ x k (k = 0, 1, , 6) l nghiằm cừa phữỡng trẳnh: x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0
⇔ (x 3 + 1 x 3 ) + (x 2 + 1 x 2 ) + (x + 1 x ) + 1 = 0 (1) °t y = x + 1 x ; |y| ≥ 2 khi â (1) trð th nh y 3 + y 2 − 2y − 1 = 0 (2) M°t kh¡c, x k + 1 x k = x k + x k = 2 cos 2kπ
7 l nghiằm cừa phữỡng trẳnh vợi k = 1, 2, 4 °t 2 cos 2π
7 = γ ( α, β, γ l cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh),
NhƠn hai vá (3) v (4) ta cõ: A 3 B 3 − 9A 2 B 2 + 27AB − 20 = 0 °t AB = Z phữỡng trẳnh trð th nh :
Trong ã t i khõa luên vã " Số phực v ựng dửng cừa số phực" tổi  trẳnh b y ữủc:
1 Hằ thống ữủc cĂc kián thực quan trồng v tẳm thảm cĂc vẵ dử º hiºu ró hỡn vã cĂc kián thực õ.
2 Khai thĂc tối ữu nhĐt º ựng dửng số phực v o cĂc b i toĂn phực tÔp.
3 Tẳm ra ữủc cĂc ựng dửng mð rởng hỡn cừa số phực trong cĂc b i toĂn °c biằt.
Qua thời gian, chúng ta nhận thấy rằng các số phức trong toán học không chỉ giúp hiểu sâu hơn về các khía cạnh lý thuyết mà còn mở ra nhiều cơ hội mới trong việc giải quyết các vấn đề thực tiễn trong cuộc sống hàng ngày và các lĩnh vực công nghiệp khác Tuy nhiên, do thiếu kiến thức và thời gian hạn chế, việc áp dụng các khái niệm này thường gặp khó khăn và có thể dẫn đến nhiều sai sót Vì vậy, rất mong nhận được sự góp ý từ các chuyên gia để cải thiện việc giảng dạy và học tập trong lĩnh vực này.